考點09 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)（1月）（期末復(fù)習(xí)熱點題型）（人教A版2019）（解析版）

考點09橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一、單選題1．橢圓的長軸長為A．2 B．4C． D．【試題來源】河南省開封市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期五縣聯(lián)考期中（文）【答案】D【解析】即，所以長軸長為．故選D．2．已知橢圓：和橢圓：的離心率相同，則A． B．C． D．【試題來源】河南省豫北名校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期12月質(zhì)量檢測（文）【答案】C【解析】由題意有，可得，有，有，有．故選C．3．橢圓的短軸長為A． B．10C．8 D．6【試題來源】四川省成都市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】C【解析】橢圓，可知焦點在軸上，，，所以，所以橢圓的短軸長為8．故選C．4．橢圓的焦點坐標(biāo)為A． B．C． D．【試題來源】山東省臨沂市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】A【解析】由可得，因此，且焦點在軸上，所以焦點坐標(biāo)為．故選A．5．橢圓的長軸長、短軸長分別為A．5，3 B．3，5C．10．6 D．6，10【試題來源】山東省濟南回民中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】C【解析】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，，，故選C．6．若點到兩定點，的距離之和為2，則點的軌跡是A．橢圓 B．直線C．線段 D．線段的中垂線．【試題來源】四川省綿陽市綿陽南山中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月月考（文）【答案】C【解析】，，，因為點到兩定點，的距離之和為2，的軌跡是線段，故選C．7．已知的周長是20，且頂點B的坐標(biāo)為，C的坐標(biāo)為，則頂點A的軌跡方程是A． B．C． D．【試題來源】吉林省通化市輝南縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第二次月考（文）【答案】C【解析】由題意可知，則點的軌跡是焦點在軸且中心為原點的橢圓，且點不在軸上，，即，故選C.8．若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】A【解析】方程化為，因為是焦點在軸上的橢圓，所以，解得，故選A．9．橢圓的上、下焦點分別為、，過橢圓上的點作向量使得，且為正三角形，則該橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】2021屆高三湘豫名校聯(lián)考（2020年11月）（文）【答案】D【解析】為正三角形，點必在軸上，且，，又，，又點在橢圓上，，化簡得，解得，又，．故選D．【名師點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于，，的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為，的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)．10．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點橢圓上，且，則A． B．C． D．【試題來源】河北省滄州市七校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】C【解析】在橢圓中，，由橢圓的定義可得，所以，．故選C．11．橢圓的焦點為、，點在橢圓上，若，則的面積為A．24 B．28C．40 D．48【試題來源】四川省綿陽市涪城區(qū)東辰國際學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中（理）【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)橢圓定義得出以及，然后根據(jù)得出為直角三角形，即可求出的面積．【解析】因為橢圓方程為，所以由橢圓的定義可知，，因為，所以，因為，所以為直角三角形，則，故選A．12．已知橢圓的右焦點為，為坐標(biāo)原點，為軸上一點，點是直線與橢圓的一個交點，且，則橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】河南省豫北名校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期11月質(zhì)量檢測（文）【答案】D【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，因為，所以，如圖所示，所以，設(shè)，，則，所以，故選D．13．若橢圓的左焦點為，則A．2 B．3C． D．9【試題來源】湖北省武漢市華科附聯(lián)考體2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】C【解析】根據(jù)焦點坐標(biāo)可知焦點在軸，所以，，，因為，解得．故選C.14．橢圓上任一點到點的距離的最小值為A． B．C．2 D．【試題來源】河南省開封市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期五縣聯(lián)考期中（理）【答案】B【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，其中，由，可得，又由，當(dāng)時，取得最小值，最小值為．故選B．15．已知，分別是橢圓的左、右兩焦點，過點的直線交橢圓于點，，若為等邊三角形，則的值為A．3 B．C． D．【試題來源】黑吉兩省十校2020-2021學(xué)年高二（上）期中（理）【答案】B【解析】由題意可得，，則．又為等邊三角形，得直線與軸垂直，，則，，則，可得，即，求得．故選B.16．已知橢圓的左右焦點分別為，，上頂點為，若為等邊三角形，則該橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】四川省成都市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】A【解析】橢圓的上頂點為，左、右兩焦點分別為，，若為等邊三角形，由橢圓的對稱性知，即，又，可得，．故選A．17．方程的化簡結(jié)果是A． B．C． D．【試題來源】安徽省蚌埠第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期11月教學(xué)質(zhì)量檢測（理）【答案】B【解析】設(shè)，，，則由得，且，所以動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，這里，，，所以，所以該橢圓方程為．故方程的化簡結(jié)果是．故選B.18．設(shè)是圓：上的一動點，定點，線段的垂直平分線交線段于點，則點的軌跡方程為A． B．C． D．【試題來源】山東省臨沂市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】B【解析】因為線段的垂直平分線交線段于點，所以，而，所以，又，，即是到定點距離和為定長6的動點，所以且長軸在y軸上，故的軌跡方程為，故選B.19．已知橢圓的短軸長是焦距的2倍，則橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】北京市昌平區(qū)第一中學(xué)2020—2021學(xué)年度高二年級上學(xué)期期中考試【答案】D【解析】因為橢圓的短軸長是焦距的2倍，所以，因為，所以，可得，所以橢圓的離心率為，故選D．20．設(shè)橢圓C：的兩個焦點分別為，，P是C上一點，若，且，則橢圓C的方程為A． B．C． D．【試題來源】內(nèi)蒙古包頭市回民中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試（理）【答案】D【解析】因為，所以，P是C上一點，由橢圓的定義得，又，所以，又，則，所以在中，由余弦定理得，即，整理得，解得，則，所以橢圓C的方程為，故選D.21．已知橢圓，傾斜角為的直線與橢圓相交于A，B兩點，AB的中點是則橢圓的離心率是A． B．C． D．【試題來源】福建省寧德市部分達(dá)標(biāo)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)合考試【答案】B【解析】因為直線的傾斜角為45，所以直線的斜率為1，又的中點是，所以直線的方程為，即．聯(lián)立，可得．設(shè)，，則，又，整理得，即，可得．故選B．22．橢圓：的焦點在軸上，其離心率為，則A．橢圓的短軸長為 B．橢圓的長軸長為4C．橢圓的焦距為4 D．【試題來源】遼寧省葫蘆島市協(xié)作校2020-2021學(xué)年高三12月聯(lián)考【答案】B【分析】由離心率可求出，結(jié)合橢圓的性質(zhì)可求出橢圓的短軸長，長軸長，焦距．【解析】由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓的短軸長為，圓的離心率，則，，所以橢圓的長軸長，橢圓的焦距，故選B．23．橢圓的右焦點到直線的距離是A． B．C．1 D．【試題來源】山東省濟南第十一中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二年級【答案】B【解析】在橢圓中，，則，所以橢圓的右焦點為，則橢圓的右焦點到直線的距離為，故選B．24．已知橢圓的短軸長為，離心率為，則橢圓的焦點到長軸的一個端點的距離為A． B．C．或 D．以上都不對【試題來源】吉林省長春市第二十九中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二第二學(xué)程考試（理）【答案】C【解析】因為橢圓的短軸長為，所以，因為離心率為，所以，所以橢圓的焦點到長軸的一個端點的距離為或，故選C.25．已知橢圓的長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于A．3 B．5C．7 D．8【試題來源】吉林省通化市輝南縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第二次月考（文）【答案】D【解析】由題意知，所以，所以，故選D．26．已知橢圓：()，為橢圓上一動點，為橢圓的左焦點，則線段的中點的軌跡是A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】B【解析】設(shè)橢圓的右焦點是，坐標(biāo)原點為，由橢圓的定義得，則，則點的軌跡是以、為焦點的橢圓，故選B．27．已知、是橢圓：()長軸的兩個端點，、是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點，直線、的斜率分別為、，若的最小值為，則橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)，則，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為的最小值為，所以，設(shè)，則，所以，所以，故選D．28．已知，分別是橢圓的左、右焦點，點、是橢圓上位于軸上方的兩點，且，則的取值范圍為A． B．C． D．【試題來源】浙江省寧波市北侖中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】B【解析】如圖，延長射線、分別與橢圓相交于、兩點，由橢圓的對稱性可知，，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，顯然則點的坐標(biāo)為．①若直線的斜率不存在，則點、的坐標(biāo)分別為、，有②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去后整理為，有，，，，，，因為，所以，則的取值范圍為．故選B.29．已知橢圓的左焦點為，直線與橢圓相交于，兩點，且，則橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】【新教材精創(chuàng)】提高練-人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊【答案】D【分析】解方程組求出點的坐標(biāo)，再根據(jù)得到關(guān)于的方程，解方程即得解．【解析】由，消可得得，解得，分別代入得，，，，，，，，，，，，，把代入式并整理得，兩邊同除以并整理得，解得，．故選D.【名師點睛】求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入離心率的公式得解）；（2）方程法（分析得到關(guān)于離心率的方程解方程得解）．30．已知橢圓，點在橢圓上，以為圓心的圓與軸相切與橢圓的焦點，與軸相交于，，若為正三角形，則橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】浙江省金華市義烏市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試【答案】D【解析】不妨設(shè)在第一象限，以為圓心的圓與軸相切于橢圓右焦點，則，又在橢圓上，則，圓的半徑，為正三角形，，，即，解得．故選D．31．已知橢圓的焦距為2，右頂點為，過原點與軸不重合的直線交于，兩點，線段的中點為，若直線經(jīng)過的右焦點，則的方程為A． B．C． D．【試題來源】湖北省部分省級示范高中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】C【解析】由題知，設(shè)點，則，又右焦點，且有直線經(jīng)過點，所以，，所以，解得，所以：，所以橢圓方程為．故選C.32．已知直線與橢圓交于A、B兩點，與圓交于C、D兩點．若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】2018屆福建省漳州市高三畢業(yè)班第三次調(diào)研（文）【答案】C【解析】直線，即為，可得直線恒過定點，圓的圓心為，半徑為1，且，為直徑的端點，由，可得的中點為，設(shè)，，，，則，，兩式相減可得，由．，可得，由，即有，則橢圓的離心率，．故選C.33．已知橢圓的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交橢圓于A，B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為（1，），則G的方程為A． B．C． D．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】D【解析】設(shè)，則=2，=－2，，①，②①－②得，所以===，又==，所以=，又9==，解得=9，=18，所以橢圓方程為，故選D34．焦點在軸上的橢圓的方程為()，則它的離心率的取值范圍為A． B．C． D．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】C【解析】橢圓()焦點在軸上，故，即，解得，又，，故，其中對勾函數(shù)在上遞減，上遞增，故，，故，則．故選C．【名師點睛】求橢圓離心率（或取值范圍）常見方法：（1）直接法：由a，b，c的值或者關(guān)系，直接計算離心率；（2）構(gòu)建齊次式：利用已知條件和橢圓的幾何關(guān)系構(gòu)建關(guān)于a，b，c的方程和不等式，利用和轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程和不等式，通過解方程和不等式即求得離心率的值或取值范圍．35．若、分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上的任意一點，且的內(nèi)切圓的周長為，則滿足條件的點的個數(shù)為A． B．C． D．不確定【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】A【解析】由得，，得，，所以，，因為的內(nèi)切圓的周長為，所以內(nèi)切圓的半徑，設(shè)，則，即，得，所以滿足條件是短軸的個端點，故選A．二、多選題1．已知橢圓C：，則下列結(jié)論正確的是A．長軸長為 B．焦距為C．焦點坐標(biāo)為 D．離心率為【試題來源】廣東省深圳市皇御苑學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】CD【解析】由橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，所以，所以長軸長為，焦距，焦點坐標(biāo)為，短軸長為，離心率．故選CD.2．橢圓的焦距，短軸長和長軸長構(gòu)成等差數(shù)列，其中長軸長等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B．C． D．【試題來源】廣東省深圳市皇御苑學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】AD【解析】設(shè)橢圓的焦距，短軸長和長軸長分別為2c，2b，2a．由條件得解得．若焦點在橫軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若焦點在縱軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選AD．3．已知橢圓的焦距為6，短軸為長軸的，直線與橢圓交于，兩點，弦的中點為，則直線的方程為A． B．C． D．【試題來源】河北省曲陽縣第一高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考【答案】AD【解析】由已知可得橢圓的，又長軸為短軸的，故橢圓方程為或，設(shè)弦的兩端點為，，當(dāng)橢圓方程為時，則有，兩式相減得，整理得，所以弦所在的直線的斜率為，其方程為，整理得；當(dāng)橢圓方程為時，則有，兩式相減得，整理得，所以弦所在的直線的斜率為，其方程為，整理得．故選AD．4．如圖所示，某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點處變軌進(jìn)入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在點處第二次變軌進(jìn)入仍以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，且軌道Ⅱ的右頂點為軌道Ⅰ的中心．設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長半軸長分別為和，半焦距分別為和，離心率分別為，，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．橢圓Ⅱ比橢圓Ⅰ更扁【試題來源】山東省臨沂市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】ABC【解析】對于、由，，所以，所以選項正確；對于、由，，得到：，所以選項正確；對于、由，，得，即，所以選項正確；對于、根據(jù)選項知，，所以，即橢圓Ⅰ比橢圓Ⅱ更扁些，選項錯誤．故選．5．已知橢圓：，關(guān)于橢圓下述正確的是A．橢圓的長軸長為B．橢圓的兩個焦點分別為和C．橢圓的離心率等于D．若過橢圓的焦點且與長軸垂直的直線與橢圓交于，則【試題來源】山東省青島膠州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試【答案】ACD【解析】由已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以．長軸長為，A正確；兩焦點為，B錯誤；離心率為，C正確；代入橢圓方程得，解得，所以，D正確．故選ACD．6．已知曲線A．若，則是橢圓，其焦點在軸上B．若，則是橢圓，其焦點在軸上C．若，則是圓，其半徑為D．若，，則是兩條直線【試題來源】山東省濟南市市中區(qū)實驗中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】AD【解析】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確，故B錯誤；對于C，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故C不正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選AD．7．關(guān)于、的方程，（其中）對應(yīng)的曲線可能是A．焦點在軸上的橢圓 B．焦點在軸上的橢圓C．焦點在軸上的雙曲線 D．圓【試題來源】河北省石家莊市第二十七中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期段考一（10月）【答案】ABCD【解析】分以下幾種情況討論：①當(dāng)時，，，此時，方程表示焦點在軸上的雙曲線；②當(dāng)時，，此時，方程表示焦點在軸上的橢圓；③當(dāng)時，即當(dāng)時，此時，方程表示的曲線為圓；④當(dāng)時，，此時，方程表示的曲線為焦點在軸上的橢圓．故選ABCD．8．為使橢圓的離心率為，正數(shù)的值可以是A． B．C． D．【試題來源】江蘇省淮安市陽光學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考【答案】CD【解析】當(dāng)時，焦點在軸上，此時，，所以，所以，解得，符合題意；當(dāng)時，焦點在軸上，此時，，所以，所以，解得，符合題意；綜上所述：正數(shù)的值可以時或，故選CD.9．下列說法正確的有A．方程表示兩條直線B．橢圓的焦距為4，則C．曲線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱D．橢圓：的焦距是2【試題來源】山東省棗莊市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】AC【解析】A．方程，即和表示兩條直線，故A正確；B．若方程表示焦點在軸的橢圓，則，解得，若方程表示焦點在軸的橢圓時，則，解得，所以或，故B不正確；C．若點滿足方程，則點也滿足方程，所以曲線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故C正確；D．橢圓：，，則，所以焦距是4，故D不正確．故選AC.10．已知橢圓：，是該橢圓在第一象限內(nèi)的點，，分別為橢圓的左右焦點，的角平分線交軸于點，且滿足，則該橢圓的離心率可能是A． B．C． D．【試題來源】湖北省武漢市華科附聯(lián)考體2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】BCD【解析】，可得，所以，是的平分線，，又，，，，可得，故都有可能，故選BCD．【名師點睛】求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的方程或不等式，從而求出的值或范圍．三、填空題1．橢圓上一點A關(guān)于原點的對稱點為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的最大值為__________．【試題來源】廣東省中山市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次統(tǒng)測【答案】【解析】因為關(guān)于原點對稱，所以B也在橢圓上，設(shè)左焦點為，根據(jù)橢圓的定義：，因為，所以，O是直角三角形斜邊的中點，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)時，離心率的最大值為，故答案為．2．已知橢圓的左、右焦點分別為是橢圓過焦點的弦，則的周長是__________．【試題來源】湖南省部分重點高中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】16【解析】由橢圓的定義知所以．故答案為16．3．已知橢圓：的兩個焦點分別為，，過點且與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于點，，則的周長是__________．【試題來源】北京市昌平區(qū)第一中學(xué)2020—2021學(xué)年度高二年級上學(xué)期期中考試【答案】8【解析】的周長為，故答案為8．4．橢圓的一個焦點是，則__________．【試題來源】江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】10【解析】由題可得橢圓的焦點在軸上，，解得．故答案為10．5．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是__________．【試題來源】山東省德州市德城區(qū)第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】【分析】根據(jù)焦點在軸上的橢圓的方程的特征列出不等關(guān)系，求解不等關(guān)系可得結(jié)果．【解析】由題意得，解可得或；解可得或；綜上可得的取值范圍是．故答案為．【名師點睛】方程表示橢圓則有：；方程表示雙曲線則有：．6．橢圓的離心率為__________．【試題來源】山東省濟南回民中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】【解析】因為橢圓方程為，所以，所以離心率，故答案為．7．已知橢圓，左焦點，右頂點，上頂點，滿足，則橢圓的離心率為__________．【試題來源】四川省成都市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高三期中（文）【答案】【解析】由可得，，即，則，解得或（舍），故答案為.8．已知橢圓的離心率等于，則實數(shù)__________．【試題來源】山東省青島膠州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試【答案】或【解析】當(dāng)橢圓的焦點在軸時，，，，所以，解得，當(dāng)橢圓的焦點在軸時，，，，所以，解得．故答案為或.9．已知、是橢圓上的兩個焦點，是橢圓上一點，且，則的面積為__________．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】【解析】由得，，所以，，所以，設(shè)，，所以，所以，因為，所以所以，所以，所以的面積為．故答案為．10．若、為橢圓：()長軸的兩個端點，垂直于軸的直線與橢圓交于點、，且，則橢圓的離心率為__________．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】【解析】設(shè)、，因為，，所以，所以，所以．故答案為【名師點睛】求橢圓離心率的關(guān)鍵是得到關(guān)于的等量關(guān)系式，根據(jù)以及斜率公式可得到所要的等量關(guān)系式．11．如圖所示，橢圓：()的左右焦點分別為、，上頂點為，離心率為，點為第一象限內(nèi)橢圓上的一點，若，則直線的斜率為__________．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】【解析】，即，設(shè)，則，設(shè)直線的斜率為()，則直線的方程為，即，又，則，即，則，解得(舍去)或，又，則，解得，則．故答案為.12．已知橢圓經(jīng)過函數(shù)圖象的對稱中心，若橢圓C的離心率，則C的長軸長的取值范圍是__________．【試題來源】湖南省部分重點高中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】【解析】因為可化為，所以曲線的對稱中心為，把代入方程，得，整理得．因為，所以，從而．故答案為．【名師點睛】本題考查求橢圓長軸長的范圍．解題關(guān)鍵是建立長半軸長與離心率的關(guān)系式，求出函數(shù)對稱中心代入橢圓方程，利用進(jìn)行轉(zhuǎn)化是是解題的基本方法．13．已知橢圓的上焦點為，是橢圓上一點，點，當(dāng)點在橢圓上運動時，的最大值為__________．【試題來源】廣東省廣州市天河區(qū)天河中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考【答案】【分析】先設(shè)橢圓的下焦點為，由橢圓的定義知，利用，即可得到的最大值．【解析】如圖所示：設(shè)橢圓的下焦點為，，，，又，即，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，，共線且在線段上時等號成立，，，，的最大值為．故答案為．14．已知、為橢圓：的左、右焦點，為橢圓上一點，且內(nèi)切圓的周長等于，若滿足條件的點恰好有兩個，則__________．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（理）（人教A版）【答案】【解析】由題意得內(nèi)切圓的半徑，設(shè)，因此的面積為，設(shè)，則，因為滿足條件的點恰好有兩個，所以為橢圓短軸端點，即，所以，而，所以，所以．故答案為．15．已知橢圓：()的離心率為，若以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】【解析】圓方程為，與直線相切，所以，則，所以，故橢圓方程為．故答案為．四、雙空題1．已知，是橢圓的左、右焦點，點在上，則的最大值為__________；若，則的最小值為__________．【試題來源】浙江省寧波市北侖中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】94【解析】由可得，，則，由橢圓定義可知，，當(dāng)時取等號．．，又（當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取等號），．故答案為9；4．2．橢圓的焦距是__________，離心率是__________．【試題來源】浙江省寧波市北侖中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】【解析】由題知橢圓，，，．所以焦距是，離心率為．故答案為，.3．在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，且，動點與連線的斜率之積為，則動點的軌跡方程為__________，面積的取值范圍是__________．【試題來源】【新東方】杭州新東方數(shù)學(xué)試卷414【答案】【解析】因為的坐標(biāo)為，且，可得，設(shè)，所以，（），由題意得，整理可得動點的軌跡方程為；直線MN的斜率，設(shè)平行與MN的橢圓切線方程為，與橢圓聯(lián)立可得（），即，，解得，所以該切線與直線MN的距離，，所以面積的最大值，所以隨著P在橢圓上運動，的面積取值范圍為．故答案為；．4．橢圓與直線相交于兩點，是線段的中點，若，的斜率為，則__________，離心率__________．【試題來源】【新東方】杭州新東方數(shù)學(xué)試卷409【答案】【解析】設(shè)，代入橢圓方程并作差得，即，將，代入上式得．由消去得，所以，因為，所以即，所以，將代入，得，所以，此時橢圓為，橢圓的離心率，故答案為；.5．已知橢圓的焦點在軸上，它的長軸長為，焦距為2，則橢圓的短軸長為__________，標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【試題來源】【新東方】杭州新東方數(shù)學(xué)試卷409【答案】【解析】（1）由題得，所以橢圓的短軸長為；（2）因為，橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6．已知橢圓的左右焦點分別為、，點在橢圓上，若線段的中點在軸上，則__________，__________．【試題來源】【新東方】杭州新東方數(shù)學(xué)試卷403【答案】【解析】因為線段的中點在軸上，所以可得軸，即，所以，所以，所以，故答案為；.7．橢圓的離心率為__________，長軸長__________．【試題來源】【新東方】杭州新東方數(shù)學(xué)試卷403【答案】6【解析】由題意，則，所以離心率為，長軸長為．故答案為；6．8．橢圓的左、右焦點分別為，，過焦點的直線交橢圓于，兩點，則的周長為__________；若，兩點的坐標(biāo)分別為和，且，則的內(nèi)切圓半徑為__________．【試題來源】內(nèi)蒙古包頭市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期期中考試（文）【答案】8【解析】由知，，所以，，，所以，，根據(jù)橢圓的定義可得，，所以的周長為．因為，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，解得．故答案為；．9．橢圓的長軸長是__________，離心率是__________．【試題來源】浙江省浙北G2（嘉興一中、湖州中學(xué)）2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】6【解析】由橢圓方程得，長軸長為，，離心率為．故答案為6；．10．（1）方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是__________；（2）設(shè)點A，B的坐標(biāo)為，，點P是曲線C上任意一點，且直線PA與PB的斜率之積為，則曲線C的方程是__________．【試題來源】寧夏石嘴山市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試【答案】【解析】（1）因為方程即表示焦點在x軸上的橢圓，所以．（2）設(shè)，則，．故答案為；五、解答題1．已知圓，經(jīng)過橢圓的左、右焦點，且與橢圓C在第一象限的交點為A，且，E，A三點共線，直線l交橢圓C于兩點M，N，且．（1）求橢圓C的方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取到最大值時，求直線l的方程．【試題來源】江西省贛州市部分重點中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試（文）【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由，令得，，由點，，共線，知為中點，則，，，，所求橢圓方程為；（2）可知，由，可得直線l的斜率為，設(shè)直線的方程為，，，由，得，由，得，，，，又點A到直線l的距離為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，綜上，直線l的方程為或．2．已知橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積為原點到直線的距離為（1）求橢圓的方程；（2）已知定點，是否存在過的直線，使與橢圓交于兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點?若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．【試題來源】吉林省通化市輝南縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第二次月考（文）【答案】（1）；（2）存在，或．【解析】（1）直線的一般方程為．依題意，解得，故橢圓的方程為.假若存在這樣的直線，當(dāng)斜率不存在時，以為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓的左頂點，所以可設(shè)直線的斜率為則直線的方程為．由，得，由，得，記的坐標(biāo)分別為，則，而．要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點，則，且，，所以．所以，整理解得或，所以存在過的直線，使與橢圓交于兩點，且以為直徑的圓，方程為或．【名師點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找到，列出，考查了分析能力、計算能力．3．已知橢圓的短軸長為2，離心率為，直線與橢圓C交于A，B兩點．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若線段的垂直平分線通過點，證明：．【試題來源】吉林省通化市輝南縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第二次月考（文）【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由已知可得，解得．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）證明：設(shè)，，聯(lián)立方程消去y得．當(dāng)，即時，．所以．又，即，即，即，化簡整理得．【名師點睛】（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．4．已知橢圓的上頂點為P，右頂點為Q，直線PQ與圓相切于點．（1）求橢圓C的方程；（2）若不經(jīng)過點P的直線與橢圓C交于A，B兩點，且＝0，求證：直線l過定點．【試題來源】備戰(zhàn)2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點微專題【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，又由點，可得，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即，可得點，即，所以橢圓C的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然不滿足條件．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，消去y整理得，，得．①設(shè)，則．②由，得，又由，所以，③由②③得(舍)，或，滿足①．此時的方程為，故直線過定點．5．已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，點是橢圓上一個動點，面積的最大值是（1）求橢圓的方程；（2），，，是橢圓上不同的四點，與相交于點，，的最小值．【試題來源】四川省綿陽南山中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月月考（理）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意得，又，解得，故所求的橢圓方程為．（2）由（1）得，由得．①當(dāng)直線與中有一條直線得斜率不存在時，②當(dāng)直線的斜率存在且為時，由消去得，設(shè)，則所以．同理可得，，令，則，當(dāng)即時取得最小值．綜上所述，的最小值為．6．已知橢圓：()的離心率為，過右焦點的直線與相交于、兩點．當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，坐標(biāo)原點到的距離為．（1）求、的值；（2）上是否存在點，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有點的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019）【答案】（1），；（2）答案見解析．【解析】（1）橢圓的右焦點為，直線的斜率為時，則其方程為，即，原點到距離：，所以，又，所以，又，所以；（2）由（1）知橢圓的方程為，設(shè)弦的中點為，由可知，點是線段的中點，點的坐標(biāo)為，所以，①若直線的斜率不存在，則軸，這時點與重合，，點不在橢圓上，故直線的斜率存在，設(shè)，，則，，所以，即，即，即由得，所以，②由①和②解得、，所以當(dāng)、時，，點坐標(biāo)為，直線的方程為，當(dāng)、時，，點坐標(biāo)為，直線的方程為．7．平面內(nèi)動點到點的距離與到直線的距離之比為．（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線交軌跡于不同兩點?，交軸于點，已知，，試問是否等于定值，并說明理由．【試題來源】四川省成都市實驗外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二第二次階段性考試【答案】（1）；（2）是定值，．【解析】（1）設(shè)點，因為點到點的距離與到直線的距離之比為，所以，化簡可得，曲線的方程為．