直線與圓大單元整體學習導學案 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

【學科大概念】本單元的學科大概念是解析幾何，以直線與圓為例，從直線和圓的概念出發(fā)，逐步得到直線和圓的方程，利用直線和圓的方程表示直線和圓的位置關(guān)系，從而構(gòu)成研究解析幾何的邏輯體系.【課程大概念】基于直線和圓的學科大概念和學生的學習基礎(chǔ)，融合社會生活實際和老師、學生已有的學習經(jīng)驗，以學生的學科素養(yǎng)生成為目的，用坐標法去研究幾何的學習過程.整體感知整體感知設(shè)計思路:通過類比向量的坐標表示，探索出平面直角坐標系中的兩點間的距離公式和中點坐標公式，體會到坐標法解決平面幾何問題的簡便性.經(jīng)歷對直線、圓兩種幾何圖形的直觀感知到坐標刻畫的過程，能用代數(shù)方程表示直線與圓.活動任務(wù)（設(shè)計意圖）具體實施步驟學時學習活動1回顧平面直角坐標系中的幾何坐標表示回顧向量的坐標表示，利用坐標法解決幾何問題學生：對比幾何法，感受坐標法解決幾何問題的便捷一、課前預(yù)習：45分鐘1.回顧必修二平面向量的坐標表示，初中所學一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓的定義（學習活動1,2）2.通讀教材一遍，結(jié)合目錄，初步構(gòu)建本單元的思維導圖（學習活動3）二、課堂設(shè)計1.自主學習：10分鐘對學程中出現(xiàn)的問題進行自主糾錯，標記存在的疑問2.合作探究：10分鐘（1）討論交流：①坐標法解決幾何問題的思路；②影響直線和圓圖形的幾何要素，及其代數(shù)方程；（2）小組展示：前黑板：活動3單元思維導圖后黑板：活動1的2個幾何問題、活動2作出直線與圓的圖形及分析3.學生點評：15分鐘（1）應(yīng)用坐標法解決幾何問題的思路；（2）對比三個一次函數(shù)的圖象，分析坐標系中直線的特征、代數(shù)方程的表示（3）對比三個圓的大小和位置，說出決定的幾何要素，由定義推導圓的標準方程；（4）以直線和圓的概念與方程為核心，梳理本單元的思維導圖，其他同學補充完善；4.教師點撥提升：5分鐘（1）對比幾何法，坐標法在解決幾何問題時的便捷性；（2）解析幾何的實質(zhì)就是在坐標系中，應(yīng)用代數(shù)的方法來研究幾何圖形的性質(zhì)，之后學習的重心要從直線與圓的方程出發(fā)來研究問題；5.整理落實：5分鐘（1）完善坐標法解決幾何問題的思路與步驟；（2）完善本單元的思維導圖；1學習活動2感知直線與圓的直觀形象，用代數(shù)方程表示直線與圓動手作出直線和圓，分析直線與圓的幾何要素，初步用方程表示直線與圓學生：體會幾何圖形與代數(shù)方程的統(tǒng)一學習活動3以直線和圓的概念與方程為主線，構(gòu)建思維導圖通讀教材，初步構(gòu)建思維導圖的框架學生：初步了解本單元的核心內(nèi)容和邏輯結(jié)構(gòu)探究建構(gòu)探究建構(gòu)設(shè)計思路:理解直線的傾斜角和斜率的概念與關(guān)系，掌握過兩點的直線斜率的計算公式，探索并掌握直線方程的五種形式（點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式）.從直線方程的斜截式與一般式兩個方面判定兩條直線的位置關(guān)系，推導并掌握點到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離.根據(jù)圓的定義推導圓的標準方程與一般方程，從代數(shù)運算與幾何圖形兩個角度判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.活動任務(wù)（設(shè)計意圖）具體實施步驟學時學習活動1探究直線方程的五種形式用斜率、方向向量、法向量刻畫直線，借助斜率推導并探索直線方程的五種形式.學生：掌握直線方程的五種形式，熟練選擇合適的形式求直線方程一、課前預(yù)習：45分鐘1.研讀教材P71-77：回顧確定直線的要素，說出傾斜角與斜率的概念，以及二者的關(guān)系；理解直線方向向量與法向量的定義，能用坐標準確表示直線的方向向量與法向量（問題1,2）；2.研讀教材P78-84：借助斜率公式推導直線方程的五種形式，并分析他們之間的關(guān)系與適用范圍（問題3,4,5,6、歸納生成）；3.完成【學習評測】；二、課堂設(shè)計1.自主學習：5分鐘對學程中出現(xiàn)的問題進行自主糾錯，標記存在的疑問2.合作探究：15分鐘（1）討論交流：①直線的斜率、方向向量、法向量如何求解？②如何選擇合適的形式來求解直線方程？（2）小組展示：前黑板：①【歸納】直線方程的表格；②問題6一般式中的斜率與截距；后黑板：【評測】1、2（1）（2）、2（3）（4）、33.學生點評：10分鐘（1）直線方程的五種形式及其適用范圍（表格、評測2（1）（2）、3）（2）如何在直線方程中找方向向量與法向量？（問題6、評測1、2（3）（4））4.教師點撥提升：10分鐘（1）直線方程的五種形式可以相互轉(zhuǎn)化、一題多解；（2）直線方向向量與法向量的概念與意義，引導學生能夠從直線方程中準確找出方向向量與法向量，為之后的學習打下基礎(chǔ)；5.整理落實：5分鐘（1）理順斜率、傾斜角、方向向量、法向量的關(guān)系；（2）靈活直線方程五種形式求直線方程的思路；1學習活動2探究兩條直線的位置關(guān)系從斜截式和一般式兩種形式探索兩條直線的位置關(guān)系學生：將兩直線位置關(guān)系的直觀感受轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，學會用代數(shù)方法判定兩直線的位置關(guān)系一、課前預(yù)習：45分鐘1.研讀教材P86-91：以斜截式與一般式兩種形式，借助方程組解的個數(shù)來判定兩直線的位置關(guān)系，得出判定條件；借助法向量推導兩直線垂直的判定條件；（問題1,2）2.完成【學習評測】二、課堂設(shè)計1.自主學習：10分鐘對學程中出現(xiàn)的問題進行自主糾錯，標記存在的疑問2.合作探究：15分鐘（1）討論交流：①以斜截式和一般式兩種形式推得兩直線位置關(guān)系的條件有何不同之處？②如何根據(jù)平行與垂直關(guān)系求解直線方程？（2）小組展示：前黑板：①【歸納】判定兩直線位置關(guān)系的方法；②【評測】1（1）（3）、1（2）（4）后黑板：【評測】2、3、43.學生點評：10分鐘（1）怎樣選擇方法判定兩直線的位置關(guān)系？（問題1、2、【評測】1、2）（2）已知兩直線的平行或垂直關(guān)系，怎樣設(shè)方程求直線的方程？（【評測】3、4）4.教師點撥提升：5分鐘（1）以斜截式判定兩直線位置關(guān)系時，一定要注意斜率不存在的直線；（2）補充：利用交點個數(shù)來判定兩條直線位置關(guān)系，為之后直線與圓位置關(guān)系的代數(shù)判定方法做鋪墊；5.整理落實：5分鐘（1）斜截式與一般式兩種形式判定兩直線位置關(guān)系的條件；（2）利用平行與垂直關(guān)系求直線方程的思路；1學習活動3探究點到直線的距離多種方法推導點到直線的距離公式學生：推導并掌握點到直線的距離公式，會求點到直線的距離一、課前預(yù)習：45分鐘1.回顧兩直線相交求交點的思路，先求出垂線段所在直線的方程，聯(lián)立方程組求出交點，即垂足，在應(yīng)用兩點間距離公式求解垂線段長度（問題1）；2.研讀教材P54例2：類比空間中點到直線的距離求解思路，借助直線的方向向量求解點到直線的距離.（問題2）3.研讀教材P92-95：借助直線的法向量、兩直線相交求解點到直線的距離，任選一種方法推導點到直線的距離公式，進一步得到兩平行線間的距離公式（問題3）；4.完成【學習評測】；二、課堂設(shè)計1.自主學習：5分鐘對學程中出現(xiàn)的問題進行自主糾錯，標記存在的疑問2.合作探究：15分鐘（1）討論交流：①點到直線的距離公式的推導思路與過程；②兩平行線間距如何轉(zhuǎn)化為點到直線的距離？（2）小組展示：前黑板：問題1、問題2、問題2思考后黑板：【評測】1、2、33.學生點評：10分鐘（1）點到直線的距離公式的推導思路（問題1、2、【評測】1、2）（2）兩平行線間距如何轉(zhuǎn)化為點到直線的距離？（問題3思考、【評測】3）4.教師點撥提升：10分鐘（1）梳理點到直線距離公式的推導過程；（2）引導學生理解距離的實質(zhì)是兩點距離的最小值；5.整理落實：5分鐘（1）牢記兩點距、點線距、兩平行線距的公式；（2）求解距離的思路；1學習活動4探究圓的標準方程與一般方程由定義推導圓的標準方程與一般方程，分析二者的關(guān)系學生：熟練掌握圓的標準方程與一般方程、選擇合適的形式求圓的方程一、課前預(yù)習：45分鐘1.研讀教材P98-101：由圓的定義推導出圓的標準方程，分析其結(jié)構(gòu)特征（問題1）；2.研讀教材P102-104：展開標準方程得到圓的一般方程，找出與標準方程的聯(lián)系，分析其結(jié)構(gòu)特征及限制條件.（問題2）3.完成【學習評測】；二、課堂設(shè)計1.自主學習：10分鐘對學程中出現(xiàn)的問題進行自主糾錯，標記存在的疑問2.合作探究：15分鐘（1）討論交流：①圓的一般方程的限制條件，與標準方程的關(guān)系；②如何判定點與圓的位置關(guān)系？（2）小組展示：前黑板：問題2思考、【評測】1后黑板：【評測】2（1）、2（2）、33.學生點評：10分鐘（1）圓的一般方程的限制條件，如何從一般方程中找出圓的圓心和半徑（兩種思路）？（問題2思考、【評測】1）（2）如何判定點與圓的位置關(guān)系？（【評測】3）4.教師點撥提升：5分鐘（1）強調(diào)一般方程的限制條件，建議利用配方法將一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程找圓心和半徑；（2）引導學生認識判定點與圓位置關(guān)系的方法，為之后學習幾何法判定直線與圓的位置關(guān)系做鋪墊；5.整理落實：5分鐘（1）在一般方程中找圓心和半徑的兩類方法；（2）待定系數(shù)法求圓的方程的計算訓練；（3）幾何法判定點與圓位置關(guān)系的思路.1學習活動5探究直線與圓的位置關(guān)系從代數(shù)和幾何兩個方面判定直線與圓的位置關(guān)系學生：掌握兩種方法判定直線與圓的位置關(guān)系，會去切線方程和弦長一、課前預(yù)習：45分鐘1.研讀教材P105-108：類比兩直線位置關(guān)系的判定方法，應(yīng)用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系；類比點與圓位置關(guān)系的判定方法，應(yīng)用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系（問題1,2）；2.研讀教材P108-109例2例3：梳理求切線方程和弦長的思路，完成【學習評測】；二、課堂設(shè)計1.自主學習：5分鐘對學程中出現(xiàn)的問題進行自主糾錯，標記存在的疑問2.合作探究：15分鐘（1）討論交流：①代數(shù)法和幾何法判定直線與圓位置關(guān)系的思路；②直線與圓相切求切線方程、相交求弦長的思路；（2）小組展示：前黑板：問題1、2、【評測】1后黑板：問題2思考、【評測】2、3、43.學生點評：10分鐘（1）代數(shù)法和幾何法判定直線與圓位置關(guān)系的思路；（問題1、2、【評測】1）（2）直線與圓相切求切線方程、相交求弦長的思路；（教材P108例2、【評測】2、3、4）4.教師點撥提升：10分鐘（1）直線與圓相切求切線方程時，要區(qū)分已知點在圓上和在圓外兩種情況的求解思路；（2）作圖分析問題2思考中三個問題，為之后應(yīng)用遷移中的最值問題做鋪墊；5.整理落實：5分鐘（1）代數(shù)法和幾何法判定直線與圓位置關(guān)系的思路；（2）直線與圓相切求切線方程、相交求弦長的思路；（3）問題2思考中三個問題.1學習活動6探究圓與圓的位置關(guān)系從代數(shù)和幾何兩個方面判定圓與圓的位置關(guān)系學生：掌握判定圓與圓位置關(guān)系的兩種方法，會求兩圓相交公共弦的直線方程和弦長一、課前預(yù)習：45分鐘1.借助生活中的實例，直觀感受圓與圓不同位置關(guān)系的形象（問題1）；2.研讀教材P111-114：類比直線與圓位置關(guān)系的判定方法，分別應(yīng)用代數(shù)法和幾何法判定圓與圓的位置關(guān)系（問題2、3）；3.完成【學習評測】；二、課堂設(shè)計1.自主學習：10分鐘對學程中出現(xiàn)的問題進行自主糾錯，標記存在的疑問2.合作探究：15分鐘（1）討論交流：①代數(shù)法和幾何法判定圓與圓位置關(guān)系的思路；②直線與圓相交求公共弦所在直線方程和弦長的思路；（2）小組展示：前黑板：問題2代數(shù)法、問題2幾何法、【評測】1后黑板：問題3、【評測】2、33.學生點評：10分鐘（1）代數(shù)法和幾何法判定圓與圓位置關(guān)系的思路；（問題2代數(shù)法、問題2幾何法、【評測】1）（2）圓與圓相交求公共弦直線方程和弦長的思路；（【評測】3）4.教師點撥提升：5分鐘（1）代數(shù)法判定圓與圓位置關(guān)系時的處理過程，為之后學習直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定做鋪墊；（2）解釋兩圓相交求公共弦所在方程思路的原理；5.整理落實：5分鐘（1）代數(shù)法和幾何法判定直線與圓位置關(guān)系的思路；（2）圓與圓相交求公共弦直線方程和弦長的思路；1應(yīng)用遷移應(yīng)用遷移設(shè)計思路:回顧直線與圓的方程、位置關(guān)系的判定方法，結(jié)合幾何圖形分析問題，應(yīng)用代數(shù)方法解決直線與圓的定點、最值等綜合問題；引導學生從實際問題中抽象出直線與圓的模型，建立合適的坐標系求解直線與圓的方程，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，應(yīng)用坐標法求解平面幾何問題，提升學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算的學科素養(yǎng).活動任務(wù)（設(shè)計意圖）具體實施步驟學時學習活動1探索直線與圓的綜合問題結(jié)合幾何圖形分析定點、最值問題，并應(yīng)用代數(shù)方法求解綜合問題學生：掌握作圖分析直線與圓綜合問題中取得最值時的情況的方法，理解常見代數(shù)式表示的幾何意義一、課前預(yù)習：45分鐘1.回顧探究建構(gòu)階段各活動學習的核心內(nèi)容，補充完善整體感知構(gòu)建的思維導圖，重點梳理直線與圓的方程的求解、位置關(guān)系的判定方法（10分鐘）；2.限時完成活動1（35分鐘）；二、課堂設(shè)計1.自主學習：10分鐘對學程中出現(xiàn)的問題進行自主糾錯，標記存在的疑問2.合作探究：25分鐘（1）討論交流：①直線過定點、點到直線距離的最值問題；②圓上動點最值問題的求解思路；③常見代數(shù)式表示的幾何意義；（2）小組展示：前黑板：問題2、【評測】1、2后黑板：【評測】3、4（1）、4（2）、4（3）3.學生點評：25分鐘（1）分析直線過定點問題、點到直線距離的最值問題；（【評測】1、2）（2）作圖分析圓上的動點在哪個位置時取得最值；（【評測】3、4（1））（3）理解常見代數(shù)式表示的幾何意義，求式子的最值；（【評測】4（1）（2））4.教師點撥提升：15分鐘（1）從點斜式的形式分析直線過定點問題，直線圍繞定點進行旋轉(zhuǎn)；（2）作圖分析動點在哪個位置取得最值時，一定要“化動為定”，從不變的量入手分析變化情況；（3）常見代數(shù)式表示的幾何意義有兩點間距（的平方）、直線斜率與截距，對式子進行變形后轉(zhuǎn)化為熟悉的形式5.整理落實：15分鐘（1）將直線方程整理成點斜式，解決直線過定點問題；（2）作圖分析動點怎樣運動才能取得最值的過程；（3）常見代數(shù)式表示的幾何意義；2學習活動2探索直線與圓在實際生活中的應(yīng)用從實際問題中抽象出直線與圓的模型，建立坐標系將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運算解決幾何問題學生：運用代數(shù)方法解決生活實際問題中有關(guān)直線與圓的幾何問題一、課前預(yù)習：45分鐘1.借助活動2情境設(shè)計的問題，感受并總結(jié)出生活實際問題的解決思路（15分鐘）；2.限時完成活動2的【學習評測】（30分鐘）；二、課堂設(shè)計1.自主學習：10分鐘對學程中出現(xiàn)的問題進行自主糾錯，標記存在的疑問2.合作探究：15分鐘（1）討論交流：①如何從實際問題中提取有效信息、抽象出直線與圓的模型？；②理解問題的意義將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學幾何問題，建立合適的坐標系解決幾何問題；（2）小組展示：前黑板：問題1、2后黑板：【評測