半角模型(正方形中的半角模型)

正方形中的半角模型例1.如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°．求證：（1）EF＝BE+DF；

（2）證明：（1）延長CB到G，使GB＝DF，連接AG（如圖）∵AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，GB＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠3＝∠2，AG＝AF，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴∠GAE＝∠1+∠3＝45°＝∠EAF，∵AE＝AE，∠GAE＝∠EAF，AG＝AF，∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GB+BE＝EF，∴DF+BE＝EF；例題講解練習(xí)1.正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°．將△DAE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：EF＝FM；（2）當(dāng)AE＝1時，求EF的長．

變式練習(xí)練習(xí)2.已知正方形ABCD的邊長為12，E，F(xiàn)分別是AD，CD上的點(diǎn)，且EF＝10，∠EBF＝45°，求AE的長

變式練習(xí)例2.如圖，已知邊長為5正方形ABCD中，M、N分別為邊BC、DC上的點(diǎn)，連接AM、AN，過N作NH⊥AM于點(diǎn)H，若∠ANH＝45°，連接MN．（1）證明：BM＝MN﹣DN；（2）求點(diǎn)A到MN的距離．（1）證明：如圖，延長CB至E，使得BE＝DN，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，在△ADN和△ABE中∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，∵NH⊥AM于點(diǎn)H，若∠ANH＝45°，∴∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠MAN＝45°，在△EAM和△NAM中，∴△EAM≌△NAM（SAS），∴MN＝ME，∴ME＝BM+BE＝BM+DN，∴BM+DN＝MN，即BM＝MN﹣DN；

（2）解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥MN，∵由（1）中△EAM≌△NAM得：∠AMB＝∠AMF，又∵∠ABM＝∠AFM＝90°，AM＝AM，∴△ABM≌△AFM（AAS）∴AB＝AF＝5，即點(diǎn)A到MN的距離為5．例題講解例3.已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)M、N分別是邊BC、CD的兩點(diǎn)，若△CMN的周長為2，求：∠MAN的大??；

解：（1）延長CB到E，使BE＝DN，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，∴∠D＝∠ABE＝90°，在△ADN和△ABE中，∴△ADN≌△ABE（SAS），∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵△CMN的周長為2，正方形ABCD的邊長為1，∵CM+CN+MN＝2＝CD+CB，∴MN＝2﹣CN﹣CM＝DN+BM＝ME，在△NAM和△EAM中∴△NAM≌△EAM（SSS），∴∠NAM＝∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝∠BAM+∠DAN＝＝45°；例題講解練習(xí)3.如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)M、N分別在BC、CD上，且△CMN的周長為2，求△MAN的面積的最小值.變式練習(xí)練習(xí)4.如圖，已知正方形ABCD，M，N分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠MAN＝45°，連接BD分別交AM，AN于E，F(xiàn)，下面結(jié)論正確的是

．①△CMN的周長等于正方形ABCD的邊長的兩倍；②點(diǎn)A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長；③EF2＝BE2+DF2；④△EMO與△FNO均為等腰直角三角形；⑤S正方形ABCD：S△AMN＝2AB：MN．

變式練習(xí)例4.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D、B在斜邊AB上，且∠DCE＝45°，證明：DE2＝BE2+AD2

證明：如圖，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，把△BCE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACF，連接DF，則△BCE≌△ACF，∴AF＝BE，∠CAF＝∠B＝45°，CF＝CE，∴∠DAF＝∠CAF+∠BAC＝90°，在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF2＝AF2+AD2＝BE2+AD2，∴∠DCF＝∠ECF﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DE＝DF，∴DE2＝BE2+AD2．例題講解練習(xí)5.如圖4.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的長．．變式練習(xí)練習(xí)6.已知正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上．∠EAF＝∠CEF＝45°，直線EF與AB，AD的延長線分別交于點(diǎn)M，N，求證：EF2＝ME2+NF2變式練習(xí)例5.如圖所示，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A在正方形ABCD的內(nèi)部作∠EAF＝45°，E、F分別在BC、CD上，連接EF，作AH⊥EF于點(diǎn)H，求證：AH＝AB．

證明：將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，DF＝BG，AF＝AG，∠DAF＝∠BAG．∵∠FAG＝∠BAG+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠EAG＝45°．在△AEF和△AEG中，∴△AEF≌△AEG（SAS），∵AH、AB分別是△AEF和△AEG對應(yīng)邊上的高，∴AH＝AB．例題講解例6.已知，正方形ABCD，M在CB延長線上，N在DC延長線上，∠MAN＝45°．求證：MN＝DN﹣BM．

證明：如圖，在DN上截取DE＝MB，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，在△ABM與△ADE中，∴△ABM≌△ADE（SAS），∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD，∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，在△AMN和△AEN中，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，∴DN﹣BM＝MN．例題講解例7.點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方形ABCD中BC，CD延長線上的動點(diǎn)，且∠EAF＝45°，證明：BE＝EF+DF；證明：如圖3，將△ADF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABN，∴AN＝AF，∠NAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠NAE＝45°，∴∠NAE＝∠FAE，∵AE＝AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF＝EN，∴BE＝BN+NE＝DF+EF．即BE＝EF+DF．例題講解練習(xí)7.已知