2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊(cè)課后提升訓(xùn)練：3.1.1-橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

第三章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.已知方程x2k-4+y210A.(4,10) B.(7,10) C.(4,7) D.(4,+∞)解析依題意有k-4>10-k>0,解得7<k<10.答案B2.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且過(guò)兩點(diǎn)(4,0),(0,2)的橢圓方程為()A.x24+B.y24C.y216+D.x216解析(方法1)驗(yàn)證排除,將點(diǎn)(4,0)代入驗(yàn)證可排除A,B,C,故選D.(方法2)設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0),則16m=1,4n答案D3.已知橢圓x2k+y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)是(2,0),那么實(shí)數(shù)k=(A.3 B.5 C.3 D.5解析因?yàn)闄E圓x2k+y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)是(2,0),所以k>1,因?yàn)閗-1=4,所以k=5.故選答案D4.已知F1,F2分別為橢圓x225+y29=1的左、右焦點(diǎn),傾斜角為60°的直線l過(guò)點(diǎn)F1,且與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則△A.10 B.12 C.16 D.20解析由橢圓x225+y29=1可得a=5,△AF2B的周長(zhǎng)=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周長(zhǎng)=|AF1|+|AF2由橢圓的定義知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周長(zhǎng)=4a=20.故選D.答案D5.(多選題)橢圓x2m+y28A.12 B.10C.6 D.4解析因?yàn)闄E圓的焦距為2c=4,則c=2,當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),有m=8+22=12,解得m=12;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),有8=m+22,解得m=4.故m=4或12.答案AD6.一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,P(2,3)是橢圓上一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則橢圓方程為()A.x28+B.x216C.x28+D.x216解析∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,P是橢圓上的一點(diǎn),∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a,∴a=2c.設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),則a=2c,a2故橢圓的方程為x28+答案A7.過(guò)點(diǎn)(3,-5),且與橢圓y225+x2解析橢圓y225+x29設(shè)橢圓方程為y2a2+則有a2-b2=16,①再代入點(diǎn)(3,-5),得5a2+由①②解得a2=20,b2=4.則所求橢圓方程為y220+答案y2208.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)是F1,F2,P是橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果M是線段F解析由題知|PF1|+|PF2|=2a,設(shè)橢圓方程為x2a2+y2連接MO,當(dāng)P不在x軸上時(shí),由三角形的中位線可得|F1M|+|MO|=a(a>|F1O|),當(dāng)P在x軸上時(shí),|MF1|+|MO|=a(a>|F1O|),所以M的軌跡為以F1,O為焦點(diǎn)的橢圓.答案橢圓9.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0,-2),(0,2),經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,32);(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,-2),-1解(1)(方法1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2+x由橢圓的定義知2a=(4-所以a=6.又c=2,所以b=a2-c2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y236+(方法2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2+x由題意得18a2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y236+(2)(方法1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y由已知條件得4a2所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+同理可得,焦點(diǎn)在y軸上的橢圓不存在.綜上,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+(方法2)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).將兩點(diǎn)(2,-2),-1,得4A+2所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+能力提升練1.F1是橢圓x29+y25=1的左焦點(diǎn),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),A(1,1)為定點(diǎn),則A.9-2 B.6-2C.3+2 D.6+2解析如圖所示,設(shè)點(diǎn)F2為橢圓的右焦點(diǎn),連接F2A并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)P',連接P'F1,PF2.∵|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF1|=6-|PF2|,∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|=6+(|PA|-|PF2|).根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,當(dāng)點(diǎn)P位于P'時(shí),|PA|-|PF2|最小,其值為-|AF2|=-2,此時(shí)|PA|+|PF1|的最小值為6-2.答案B2.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則A.2 B.3 C.6 D.8解析由題意,得F(-1,0),設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),設(shè)y02=3OP·FP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+31-x024=當(dāng)x0=2時(shí),OP·FP取得最大值為答案C3.(2020·山東濰坊模擬)如圖所示,一圓形紙片的圓心為O,F是圓內(nèi)一定點(diǎn),M是圓周上一動(dòng)點(diǎn),把紙片折疊使M與F重合,然后抹平紙片,折痕為CD,設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是()A.圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.橢圓解析由題意知,M,F關(guān)于CD對(duì)稱(chēng),所以|PF|=|PM|,故|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=R>|FO|,可知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.答案D4.如圖,已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,F(-5,0)為C的左焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),滿足|OP|=|OF|且|PF|=6,則橢圓C的方程為()A.x236+y216=1C.x249+y224=1解析由題意可得c=5,設(shè)右焦點(diǎn)為F',連接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF',在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=|FF'由橢圓的定義,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,從而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,∴橢圓C的方程為x249答案C5.已知橢圓x29+y22=1的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上.若|PF1|=4,則|PF2|=,∠F1解析由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.在△PF1F2中,cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2答案2120°6.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn)A.x245+y236=1 C.x227+y218=1解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在橢圓上,∴x①-②,得(x1即b2a2∵AB的中點(diǎn)為(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2.而y1-y2x∴b2又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴橢圓E的方程為x218+y29答案D7.(2020·山東煙臺(tái)檢測(cè))已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),且PF1⊥P解析∵F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),且PF1⊥PF2,∴|PF1|+|PF2|=2a12|PF1||PF2|=9,∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2,∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3答案38.已知橢圓的中心在原點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0),a=3b,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0),知9a2+又a=3b,解得b2=1,a2=9,故橢圓的方程為x29+y2=當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2+x由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0),知0a2+又a=3b,聯(lián)立解得a2=81,b2=9,故橢圓的方程為y281+故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y281+x29=1或素養(yǎng)培優(yōu)練1.(2020·河南鄭州一中月考)已知橢圓x29+y25=1的右焦點(diǎn)為F,P是橢圓上一點(diǎn),點(diǎn)A(0,23),當(dāng)△APFA.114 B.11C.214 D.解析由橢圓方程x29+y25=1,得a=3,b=5,c=a則△APF的周長(zhǎng)為|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF'|=4+6+|AP|-|PF'|≤10+|AF'|,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F'三點(diǎn)共線,且P在AF'的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào).∵A(0,23),F'(-2,0),∴直線AF'的方程為x-2+y23=1,即3由3x-y+23=0,x29+y∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-53∴當(dāng)△APF的周長(zhǎng)最大時(shí),該三角形的面積為12|FF'|·|yA-yP|=2×2答案D2.如圖所示,△ABC的底邊BC=12,其他兩邊AB和AC上中線的和為30,求此三角形重心G的軌跡方程,并求頂點(diǎn)A的軌跡方程.解以BC邊所在直線為x軸,BC邊中點(diǎn)為原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(6,0),C(-6,0),CE,BD為AB,AC邊上的中線,則|BD|+|CE|=30.由重心性質(zhì)可知,|GB|+|GC|=23(|BD|+|CE|)=20>12∵B,C是兩個(gè)定點(diǎn),G點(diǎn)到B,C的距離和等于定值20,且20>12=|BC|,∴G點(diǎn)的軌跡是橢圓,B,C是橢圓焦點(diǎn),∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62