專題10.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題10.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【四大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】 3【題型2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】 5【題型3涂色問(wèn)題】 6【題型4兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用】 101、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義(2)能利用計(jì)數(shù)原理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題2023年新高考I卷：第13題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第3題，5分2023年全國(guó)乙卷（理數(shù)）：第7題，5分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第9題，5分從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本概念與步驟方法為主，往往與排列組合結(jié)合考查，難度不大.【知識(shí)點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理】1．分類加法計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理的概念完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同的方法.(2)分類的原則

分類計(jì)數(shù)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，分類時(shí)要注意兩個(gè)基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個(gè)基本原則，就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.2．分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.

(2)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說(shuō)，弄清要經(jīng)過(guò)哪幾步才能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個(gè)步驟逐步去做，才能完成這件事，各個(gè)步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.3．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問(wèn)題.

(2)區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)別如下表：區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理①針對(duì)的是“分類”問(wèn)題針對(duì)的是“分步”問(wèn)題②各種方法相互獨(dú)立各個(gè)步驟中的方法互相依存③用其中任何一種方法都可以完成這件事只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事(3)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇分類→將問(wèn)題分為互相排斥的幾類，逐類解決→分類加法計(jì)數(shù)原理；分步→將問(wèn)題分為幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決→分步乘法計(jì)數(shù)原理.在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意合理分類，準(zhǔn)確分步，同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.【知識(shí)點(diǎn)2分類、分步計(jì)數(shù)原理的解題策略】1．分類加法計(jì)數(shù)原理的解題策略分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)；(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù)；(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.2．分步乘法計(jì)數(shù)原理的解題策略(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事.(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.【方法技巧與總結(jié)】分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.(1)分類加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”.【題型1分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）從1至7這7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取出3個(gè)不同的數(shù)，則它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有（

）A．9種 B．12種 C．20種 D．30種【解題思路】根據(jù)題意分3個(gè)不同的數(shù)中不含3和6，取出的3個(gè)不同的數(shù)中含有3不含有6，取出的3個(gè)不同的數(shù)中含有6不含有3，取出的3個(gè)不同的數(shù)中含有3和6時(shí)四種情況研究即可.【解答過(guò)程】①當(dāng)取出的3個(gè)不同的數(shù)中不含3和6時(shí)，顯然它們的積不可能是3的倍數(shù)，不符合題意；②當(dāng)取出的3個(gè)不同的數(shù)中含有3不含有6時(shí)，它們的積一定是3的倍數(shù)，但只有當(dāng)另外2個(gè)數(shù)是1,2，1,5，2,4，2,7，4,5，5,7時(shí)，它們的和才是3的倍數(shù)，共有6種取法；、③當(dāng)取出的3個(gè)不同的數(shù)中含有6不含有3時(shí)，它們的積一定是3的倍數(shù)，但只有當(dāng)另外2個(gè)數(shù)是1,2，1,5，2,4，2,7，4,5，5,7時(shí)，它們的和才是3的倍數(shù)，也有6種取法；④當(dāng)取出的3個(gè)不同的數(shù)中含有3和6時(shí)，它們的積一定是3的倍數(shù)，但它們的和一定不是3的倍數(shù)，不符合題意．綜上，它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有6+6=12（種），故選：B．【變式1-1】（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）平面上的兩個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(A．19 B．20 C．25 D．27【解題思路】依題先確定x1,x2,y1,y2中任意兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的所有可能值有【解答過(guò)程】依題意，x1,x將其中任意兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值記為d1，則d1可能的值有而A(x1，y1)，B(而x1?x22故AB的不同取值可分成五類：①|(zhì)x1?x2|與|y②|x1?x2|與|y③|x1?x2|與|y④|x1?x2|與|⑤|x1?x2|與|y⑥|x1?x2|與由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2+1=20個(gè).故選：B.【變式1-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）甲?乙等6名高三同學(xué)計(jì)劃今年暑假在A,B,C,D四個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)打卡游玩，若每個(gè)景點(diǎn)至少有一個(gè)同學(xué)去打卡游玩，每位同學(xué)都會(huì)選擇一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，且甲?乙都單獨(dú)1人去某一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，則不同游玩方法有（

）A．96種 B．132種 C．168種 D．204種【解題思路】根據(jù)題意，剩下4人去其他兩個(gè)景點(diǎn)游玩，由此按游玩的人數(shù)分2種情況討論，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理，即可求解.【解答過(guò)程】由題意，甲、乙都單獨(dú)1人去某一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，則剩下的4人去其他兩個(gè)景點(diǎn)游玩，有兩種情況：①若3位同學(xué)去一個(gè)景點(diǎn)，1位同學(xué)去另一個(gè)景點(diǎn)，有A4②分別都是2位同學(xué)去一個(gè)景點(diǎn)，有A4由分類計(jì)數(shù)原理得，共有96+72=168種.故選：C.【變式1-3】（2024·貴州黔東南·二模）在n個(gè)數(shù)碼1,2,?,nn≤9,n∈N*的全排列j1j2?jnA．19 B．20 C．21 D．22【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)字8,7,5,4,2都構(gòu)成逆序，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.【解答過(guò)程】由題意，對(duì)于八位數(shù)87542136，可得8與后面每個(gè)數(shù)字都構(gòu)成逆序，7與后面每個(gè)數(shù)字都構(gòu)成逆序，5與4,2,1,3都構(gòu)成逆序，4與2,1,3都構(gòu)成逆序，2與1構(gòu)成逆序，所以T87542136故選：C.【題型2分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用】【例2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）五一小長(zhǎng)假前夕，甲、乙、丙三人從A，B，C，D四個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲到過(guò)A．64種 B．48種 C．36種 D．24種【解題思路】由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【解答過(guò)程】因甲不選A景點(diǎn)，應(yīng)該分步完成：第一步，先考慮甲在B,C,D三個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)，有3種選法；第二步，再考慮乙和丙，從A,B,C,D中分別任選一個(gè)景點(diǎn)，有4×4=16中選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同選法有：3×16=48種．故選：B．【變式2-1】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知x∈Z，y∈Z，則滿足方程xy+2024(x?y)=8092的解(x,y)的個(gè)數(shù)為（

）A．27 B．54 C．108 D．216【解題思路】由已知可得(x?2024)(y+2024)=?20222，又【解答過(guò)程】由題設(shè)，得(x?2024)(y+2024)=?2022又2022=2×3×337，其中2,3,337都為質(zhì)數(shù)，所以(x?2024)(y+2024)=?2因?yàn)閤，y∈Z，所以x?2024可能為?1k+12a3b所以x?2024的取值個(gè)數(shù)為2×3×3×3=54，方程xy+2024(x?y)=8092的整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為54．故選：B．【變式2-2】（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）把5個(gè)人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．96種 B．60種 C．48種 D．36種【解題思路】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合相鄰問(wèn)題和不相鄰問(wèn)題的方法即可求得.【解答過(guò)程】依題意，設(shè)這五個(gè)人分別為甲乙丙丁戊.第一步，將乙丙看成一個(gè)整體，考慮2人之間的順序，有A2第二步，將這個(gè)整體與丁戊全排列，有A3第三步，排好后產(chǎn)生4個(gè)空位，因甲乙不相鄰，則只能從3個(gè)空中任選1個(gè)安排甲，有A3則由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的方案共有2×6×3=36種.故選：D.【變式2-3】（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）將“1，2，2，3，4，5”這6個(gè)數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域填一個(gè)數(shù)字，1不在A區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7，若中間一列填2和5，則不同的填法有（

）ABCDEFA．20種 B．24種 C．36種 D．48種【解題思路】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算即得.【解答過(guò)程】求不同填法需要4步，填中間一列有2種方法，再填1有3種方法，與1同列的只能是3或4，有2種方法，最后兩個(gè)區(qū)域，填兩個(gè)數(shù)字有2種方法，所以不同填法種數(shù)是2×3×2×2=24.故選：B.【題型3涂色問(wèn)題】【例3】（2024·四川資陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某社區(qū)計(jì)劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域布置的花卉種類不同，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有（

）A．360種 B．420種 C．480種 D．540種【解題思路】利用要求根據(jù)區(qū)域依次討論計(jì)算即可.【解答過(guò)程】如圖，先在區(qū)域A布置花卉，有5種不同的布置方案，再在區(qū)域E布置花卉，有4種不同的布置方案，再在區(qū)域D布置花卉，有3種不同的布置方案．若區(qū)域B與區(qū)域E布置同一種花卉，則區(qū)域C有3種不同的布置方案；若區(qū)域B與區(qū)域E布置不同的花卉，則區(qū)域B有2種不同的布置方案，區(qū)域C有3種不同的布置方案．故不同的布置方案有5×4×3×3+2×3故選：D.【變式3-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）為迎接元宵節(jié)，某廣場(chǎng)將一個(gè)圓形區(qū)域分成A,B,C,D,E五個(gè)部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進(jìn)行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．12種．【解題思路】滿足條件的涂色方案可分為B,D區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色和C,E區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可【解答過(guò)程】滿足條件的擺放方案可分為兩類，第一類B,D區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域A有4種方法，第二步，擺放區(qū)域B,D有3種方法，第三步，擺放區(qū)域C有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域A,B,C不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域E有1種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得第一類中共有4×3×2×1=24種方案，第二類，C,E區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域A有4種方法，第二步，擺放區(qū)域B有3種方法，第三步，擺放區(qū)域C,E有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域A,B,C不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域D有1種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得第一類中共有4×3×2×1=24種方案，根據(jù)分步加法計(jì)數(shù)原理可得該區(qū)域鮮花的擺放方案共有48種，故選：A.【變式3-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A，B，C，D為四個(gè)不同的區(qū)域，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、黑4種顏色，對(duì)這四個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同的顏色（A與C不相鄰，B與D不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（

）A．18 B．17 C．16【解題思路】由排列組合以及分類加法計(jì)數(shù)原理求解個(gè)數(shù)，即可由古典概型概率公式求解.【解答過(guò)程】使用4種顏色給四個(gè)區(qū)域涂色，有A4使用3種顏色給四個(gè)區(qū)域涂色，共有2C（使用3種顏色給四個(gè)區(qū)域涂色有兩類情況：①區(qū)域A與區(qū)域C涂同一種顏色，區(qū)域B與區(qū)域D涂另外2種顏色；②區(qū)域B與區(qū)域D涂同一種顏色，區(qū)域A與區(qū)域C涂另外2種顏色）使用2種顏色給四個(gè)區(qū)域涂色，共有A4所以所有的涂色方法共有24+48+12=84（種），故使用2種顏色給四個(gè)區(qū)域涂色的概率為1284故選：B.【變式3-3】（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.五行學(xué)說(shuō)是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化.所以，在中國(guó)，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A．30 B．120 C．150 D．240【解題思路】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分別確定每個(gè)區(qū)域的涂色方法種數(shù)，結(jié)合分類加法分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意可知，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），不妨設(shè)四種顏色分別為A、B、C、D，先填涂區(qū)域“火”，有4種選擇，不妨設(shè)區(qū)域“火”填涂的顏色為A，接下來(lái)填涂區(qū)域“土”，有3種選擇，分別為B、C、D，若區(qū)域“土”填涂的顏色為B，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為A、C、D；若區(qū)域“土”填涂的顏色為C，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為A、B、D；若區(qū)域“土”填涂的顏色為D，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為A、B、C.綜上所述，區(qū)域“金”填涂A、B、C、D的方案種數(shù)分別為3、2、2、2種，接下來(lái)考慮區(qū)域“水”的填涂方案：若區(qū)域“金”填涂的顏色為A，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為B、C、D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為B，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A、C、D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為C，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A、B、D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為D，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A、B、C.則區(qū)域“水”填涂A的方案種數(shù)為2×3=6種，填涂B的方案種數(shù)為3+2×2=7種，填涂C的方案種數(shù)為3+2×2=7種，填涂D的方案種數(shù)為3+2×2=7種.從區(qū)域“火”、“土”、“金”填涂至區(qū)域“水”，填涂區(qū)域“水”的方案還和填涂區(qū)域“木”有關(guān)，當(dāng)區(qū)域“水”填涂的顏色為A時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為B、C、D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為B時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為C、D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為C時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為B、D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為D時(shí)，區(qū)域“木”填涂的顏色可為B、C.所以，當(dāng)區(qū)域“火”填涂顏色A時(shí)，填涂方案種數(shù)為6×3+7×2×3=60種.因此，不同的涂色方法種數(shù)有4×60=240種.故選：D.【題型4兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用】【例4】（23-24高二上·江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對(duì)數(shù)的值有（

）A．30個(gè) B．42個(gè) C．41個(gè) D．39個(gè)【解題思路】分是否取1兩類，當(dāng)不取1時(shí)，排除重復(fù)的即可得解.【解答過(guò)程】當(dāng)取1時(shí)，則1只能為真數(shù)，此時(shí)這個(gè)對(duì)數(shù)值為0，當(dāng)不取1時(shí)，底數(shù)有7種，真數(shù)有6種，其中l(wèi)og2故此時(shí)有7×6?4=38個(gè)，所以共有38+1=39個(gè).故選：D.【變式4-1】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）用0,1,2,3,4能組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（

）個(gè).A．212 B．213 C．224 D．225【解題思路】先對(duì)數(shù)字位數(shù)分類討論，在對(duì)五位數(shù)的首位數(shù)字進(jìn)行分類討論：①首位為1，2；②首位為3.然后分析千位數(shù)的選取，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【解答過(guò)程】分?jǐn)?shù)字位數(shù)討論：一位數(shù)5個(gè)；兩位數(shù)有4×4=16個(gè)；三位數(shù)有4×4×3=48個(gè)；四位數(shù)有4×4×3×2=96個(gè)；五位數(shù)分以下兩種情況討論：①首位數(shù)字為1或2，此時(shí)共有2A②首位數(shù)字為3，則千位數(shù)從0或1中選擇一個(gè)，其余三個(gè)數(shù)位任意排列，此時(shí)共有2A綜上所述，共有5+16+48+96+48+12=225個(gè)比32000小的數(shù).故選：D.【變式4-2】（24-25高三上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識(shí)競(jìng)賽，已決出了第1名到第4名（沒(méi)有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問(wèn)成績(jī)，老師對(duì)甲和乙說(shuō)：“你倆名次相鄰”，對(duì)丙說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有得到第1名”，從這個(gè)回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【解題思路】由題意可得丙不是第1名，甲乙相鄰，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案.【解答過(guò)程】解：由題意可得丙不是第1名，甲，乙相鄰；所以丙是第2名時(shí)，甲，乙只能是第3，4名，丁為第1名，此時(shí)共2種情況；丙是第3名時(shí)，甲，乙只能是第1，2名，丁為第4名，此時(shí)共2種情況；丙是第4名時(shí)，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名，當(dāng)甲，乙是第1，2名時(shí)，丁為第3名，此時(shí)共2種情況；當(dāng)甲，乙是第2，3名時(shí)，丁為第1名，此時(shí)共2種情況；所以一共有2+2+2+2=8種情況.故選：C.【變式4-3】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）從正十五邊形的頂點(diǎn)中選出3個(gè)構(gòu)成鈍角三角形，則不同的選法有（

）.A．105種 B．225種 C．315種 D．420種【解題思路】首先選取一個(gè)點(diǎn)作為鈍角頂點(diǎn)，并該點(diǎn)與圓心連線將其余14個(gè)頂點(diǎn)分成左右各7個(gè)：在左側(cè)選取一個(gè)點(diǎn)作為第二頂點(diǎn)，依次選取右側(cè)7個(gè)點(diǎn)作為第三頂點(diǎn)判斷三角形形狀，依此步驟即可得當(dāng)前鈍角頂點(diǎn)下的鈍角三角形個(gè)數(shù)，最后乘以15即可得結(jié)果.【解答過(guò)程】如圖所示，以A為鈍角頂點(diǎn)，在直徑AA′的左邊取點(diǎn)B1，右邊依次取C1,同理，直徑AA′的左邊取點(diǎn)B2，右邊依次取C1,C2,???,C……在直徑AA′的左邊取點(diǎn)B6在直徑AA′的左邊取點(diǎn)故以A為鈍角頂點(diǎn)的三角形共有6+5+4+3+2+1=21（個(gè)）.以其余14個(gè)點(diǎn)為鈍角頂點(diǎn)的三角形也各有21個(gè)，所以總共有15×21=315（個(gè)）鈍角三角形.故選：C.一、單選題1．（2024·陜西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實(shí)習(xí)時(shí)，有A，B，C三家企業(yè)可供選擇，若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是（

）A．112 B．80 C．64 D．32【解題思路】根據(jù)已知條件及分類分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【解答過(guò)程】分兩類情況，第一類情況，去C企業(yè)僅有一人，有C5第二類情況，沒(méi)有一個(gè)去C企業(yè)，有25所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理共有80+32=112種.故選：A.2．（2024·陜西西安·三模）方程xy=2160的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為（

）A．40 B．28 C．22 D．12【解題思路】將2160分解質(zhì)因數(shù)，即可求出2160的因數(shù)的個(gè)數(shù)，從而得解.【解答過(guò)程】因?yàn)?160=24×33故方程xy=2160的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為40．故選：A.3．（2024·山東淄博·一模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機(jī)密碼時(shí)，計(jì)劃將自然常數(shù)e≈2.71828…的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼.若排列時(shí)要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間有一個(gè)數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為（

）A．24 B．16 C．12 D．10【解題思路】分兩個(gè)2之間是8和不是8兩大類討論即可.【解答過(guò)程】若兩個(gè)2之間是8，則有282817；282871；728281；128287；172828；712828；828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12種若兩個(gè)2之間是1或7，則有272818；818272；212878；878212，共4種；則總共有16種，故選：B.4．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）某市人民醫(yī)院急診科有3名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生，內(nèi)科有4名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生，現(xiàn)從該醫(yī)院急診科和內(nèi)科各選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會(huì)，則所有不同的選派方案有（

）A．192種 B．180種 C．29種 D．15種【解題思路】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可求結(jié)論.【解答過(guò)程】從急診科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有3×4=12種方案，從內(nèi)科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有4×4=16種方案，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有12×16=192種不同的選派方案.故選:A.5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節(jié)電影市場(chǎng)．某電影院同時(shí)段播放這三部電影，小李和小明每人只能選擇看其中的一場(chǎng)電影，則兩位同學(xué)選擇的電影不相同的概率為（

）A．16 B．12 C．13【解題思路】分別求2個(gè)人不同的選擇方案以及選擇的電影相同的選擇方案，根據(jù)對(duì)立事件結(jié)合古典概型分析求解.【解答過(guò)程】因?yàn)槊總€(gè)人選擇方案有3種，可知2個(gè)人不同的選擇方案有32且三位同學(xué)選擇的電影相同的選擇方案有3種；所以三位同學(xué)選擇的電影不相同的概率為P=1?3故選：D.6．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由1+a?1+b的展開(kāi)式1+a+b+ab表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球，而“ab”表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái)，以此類推，下列各式中，其展開(kāi)式可用來(lái)表示從3個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、3個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、2個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是（A．1+a+B．1+C．1+aD．1+【解題思路】分三步處理問(wèn)題，分別表示出取紅球、籃球、黑球的表達(dá)式，相乘即可求得.【解答過(guò)程】第一步，從3個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球中取出若干球，則有1+a+a第二步，從3個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球中都取出或都不取出，要滿足題意，只有1+b第三步，從2個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)，則有1+c1+c根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，則要滿足題意的取法有：1+a+a故選：A.7．（23-24高二上·山東德州·階段練習(xí)）中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家，傘是中國(guó)勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8.現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同．若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．550種 B．630種C．720種 D．840種【解題思路】確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色是否相同兩種情況討論，進(jìn)而可得出答案.【解答過(guò)程】由題意可得，只需確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色．先涂區(qū)域1，有6種選擇，再涂區(qū)域2，有5種選擇，當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域3有4種選擇，剩下的區(qū)域4有4種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域4有5種選擇，故不同的涂色方案有6×5×(4×4+5)=630種．故選：B．8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）距高考30天之際，高三某班級(jí)五位同學(xué)打算利用周末親近大自然，陶冶情操，釋放壓力.這五位同學(xué)準(zhǔn)備星期天在凌云山景區(qū)，印象嘉陵江濕地公園，西山風(fēng)景區(qū)三個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)去游玩，已知每個(gè)景點(diǎn)至少有一位同學(xué)會(huì)選，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且只能選擇其中一個(gè)景點(diǎn)，若學(xué)生甲和學(xué)生乙準(zhǔn)備選同一個(gè)景點(diǎn)，則不同的選法種數(shù)為（

）A．18 B．36 C．48 D．32【解題思路】先根據(jù)甲乙選的景點(diǎn)其他人是否選分成兩類情況，①無(wú)人再選，按照1:2:2分組計(jì)算方法數(shù)；②還有人選，按照1:1:3部分平均分組計(jì)算方法數(shù).最后用分類加法原理計(jì)算總的方法數(shù)即可.【解答過(guò)程】若甲乙選的景點(diǎn)沒(méi)有其他人選，則分組方式為：1,2,2的選法總數(shù)為：C3若甲乙選的景點(diǎn)還有其他人選擇，則分組方式為：1,1,3的選法總數(shù)為：C3所以不同的選法總數(shù)為:18+18=36.故選：B.二、多選題9．（23-24高三下·全國(guó)·強(qiáng)基計(jì)劃）某城市內(nèi)有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正中央開(kāi)始走，每個(gè)點(diǎn)至多經(jīng)過(guò)一次，最終回到出發(fā)點(diǎn)．已知向左轉(zhuǎn)了100次，則可能向右轉(zhuǎn)了（

）次．A．96 B．98 C．104 D．102【解題思路】分情況討論不同情況即可.【解答過(guò)程】總體的路線形成一個(gè)多邊形，如果出發(fā)點(diǎn)在多邊形的邊上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定是4的倍數(shù)，如果出發(fā)點(diǎn)在多邊形的頂點(diǎn)上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定奇數(shù)，因此只有AC有可能．下面兩圖的路線分別對(duì)應(yīng)右轉(zhuǎn)96次和104次的情形：故選：AC.10．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無(wú)窮無(wú)盡的美，尤以對(duì)稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)是對(duì)稱美的一種體現(xiàn)，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99；三位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說(shuō)法正確的是（

）A．四位回文數(shù)有45個(gè) B．四位回文數(shù)有90個(gè)C．2n（n∈N*）位回文數(shù)有10n個(gè) D．2n+1（n∈【解題思路】根據(jù)題意，用列舉法分析四位回文數(shù)數(shù)目，可得A錯(cuò)誤，B正確；再用分步計(jì)數(shù)原理分析2n+1位回文數(shù)的數(shù)目，可得C錯(cuò)誤，D正確，綜合可得答案．【解答過(guò)程】據(jù)題意，對(duì)于四位回文數(shù)，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999，共90個(gè)，則A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于2n位回文數(shù)，首位和個(gè)位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第n和第n+1位也有10種，則共有9×10×10×……×10＝9×10n-1種選法，故C錯(cuò)；對(duì)于2n+1位回文數(shù)，首位和個(gè)位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第n+1個(gè)數(shù)字，即最中間的數(shù)字有10種選法，則共有9×10×10×……×10＝9×10n種選法，即2n+1（n∈N*）位回文數(shù)有9×10n個(gè)，所以D正確．故選：BD．11．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說(shuō)法正確的有(不同的圖形指兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)頂點(diǎn)不同)（

）A．可以圍成20個(gè)不同的正方形B．可以圍成24個(gè)不同的長(zhǎng)方形(鄰邊不相等)C．可以圍成516個(gè)不同的三角形D．可以圍成16個(gè)不同的等邊三角形【解題思路】利用分類計(jì)算原理及組合，結(jié)合圖形，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【解答過(guò)程】不妨設(shè)兩個(gè)釘子間的距離為1，對(duì)于選項(xiàng)A，由圖知，邊長(zhǎng)為1的正方形有3×3=9個(gè)，邊長(zhǎng)為2的正方形有2×2=4個(gè)，邊長(zhǎng)為3的正方形有1個(gè)，邊長(zhǎng)為2的正方形有2×2=4個(gè)，邊長(zhǎng)為5的有2個(gè)，共有20個(gè)，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由圖知，寬為1的長(zhǎng)方形有3×3=9個(gè)，寬為2的長(zhǎng)方形有4×2=8個(gè)，寬為3的長(zhǎng)方形有5個(gè)，寬為2的有2個(gè)，共有24個(gè)，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，由圖知，可以圍成C16對(duì)于選項(xiàng)D，由圖可知，不存在等邊三角形，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABC.三、填空題12．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實(shí)習(xí)時(shí)，有A，B，C三家企業(yè)可供選擇，若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是112.【解題思路】根據(jù)給定條件，利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算即得.【解答過(guò)程】求不同分配種數(shù)的問(wèn)題，有兩類辦法：沒(méi)有人去C企業(yè)，有25有1人去C企業(yè)，有5×2所以不同分配種數(shù)是25故答案為：112.13．（2024·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)一個(gè)四棱錐各個(gè)頂點(diǎn)著色，現(xiàn)有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)不能著相同的顏色，則不同的著色方法有420種（用數(shù)字作答）．【解題思路】依題意按照分類分步計(jì)數(shù)原理直接計(jì)算可得結(jié)果.【解答過(guò)程】根據(jù)題意可知，需分五步進(jìn)行著色，在四棱錐P?ABCD中，如下圖所示：

按照P?A?B?C?D的順序進(jìn)行著色，則P點(diǎn)有5種顏色可選，A點(diǎn)有4種顏色可選；B點(diǎn)有3種顏色可選，若C點(diǎn)顏色與A點(diǎn)相同，則D點(diǎn)有3種顏色可選；若C點(diǎn)顏色與A點(diǎn)不同，則C點(diǎn)有2種顏色可選，此時(shí)D點(diǎn)有2種顏色可選；所以共有5×4×3×1×3+2×2故答案為：420.14．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）某排球賽共有三個(gè)組：第一、二組各有6個(gè)隊(duì)，第三組有7個(gè)隊(duì)，首先各組進(jìn)行單循環(huán)賽，然后各小組的第一名共3個(gè)隊(duì)分主客場(chǎng)進(jìn)行決賽，最終決出冠、亞軍，則該排球比賽一共需要比賽57場(chǎng)．【解題思路】利用分類加法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合知識(shí)求解即可.【解答過(guò)程】首先在3個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，第一組有6個(gè)隊(duì)，需進(jìn)行C62=15場(chǎng)比賽，第二組有6個(gè)隊(duì)，需進(jìn)行C62然后各小組的第一名共3個(gè)隊(duì)分主客場(chǎng)進(jìn)行決賽，有A3所以共需要比賽51+6=故答案為：57.四、解答題15．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）分別編有1，2，3，4，5號(hào)碼的人與椅，其中i號(hào)人不坐i號(hào)椅(i=1，2，3，4，5)的不同坐法有多少種？【解題思路】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理、分類加法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算即得.【解答過(guò)程】1號(hào)椅有4種坐法(2，3，4，5均可坐），假設(shè)1號(hào)椅由3號(hào)坐，則按排3號(hào)椅，那3號(hào)椅也有4種坐法(1，2，4，5可坐），假設(shè)3號(hào)椅由1號(hào)坐了，剩下2，4，5坐2，4，5這3個(gè)椅，只有2種坐法，如果3號(hào)椅由4號(hào)坐了，剩下1，2，5坐2，4，5這3個(gè)椅，有3種坐法，同樣，3號(hào)椅由2號(hào)，5號(hào)坐的時(shí)候，也是各有3種坐法，所以總坐法數(shù)是4×(2+3+3+3)=44種．16．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）將三個(gè)分別標(biāo)有A，B，C的球隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中．求：(1)1號(hào)盒中無(wú)球的不同放法種數(shù)；(2)1號(hào)盒中有球的不同放法種數(shù)．【解題思路】（1）由分步乘法計(jì)數(shù)原理可直接求出答案；（2）分1號(hào)盒中有一個(gè)球、1號(hào)盒中有兩個(gè)球、1號(hào)盒中有三個(gè)球3種情況進(jìn)行討論，再根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【解答過(guò)程】（1）1號(hào)盒中無(wú)球即A，B，C三個(gè)球只能放入2，3，4號(hào)盒子中，有3×3×3=27（種）放法．（2）1號(hào)盒中有球可分三類：一類是1號(hào)盒中有一個(gè)球，共有3×3×3=27（種）放法，一類是1號(hào)盒中有兩個(gè)球，共有3×3=9（種）放法，一類是1號(hào)盒中有三個(gè)球，有1種放法．共有27+9+1=37（種）放法．17．（23-24高二下·青海西寧·期中）由0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字．(1)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(2)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？(3)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個(gè)？【解題思路】（1）先排數(shù)字0，再排其它4個(gè)數(shù)字即可計(jì)算得解；（2）選偶數(shù)先排個(gè)位數(shù)，分個(gè)位數(shù)字為0和個(gè)位數(shù)字為2或4兩種情況，再排其它數(shù)位；（3）按最高位上的數(shù)字比2大和2兩類分類計(jì)算作答.【解答過(guò)程】（1）先排數(shù)字0，0只能占除最高位外的其余四個(gè)數(shù)位，有A4再排四個(gè)非0數(shù)字有A44