專題8.2 兩條直線的位置關系（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

專題8.2兩條直線的位置關系【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1兩條直線的平行與垂直】 3【題型2求與已知直線平行、垂直的直線方程】 3【題型3兩直線的交點問題】 4【題型4距離問題】 4【題型5與距離有關的最值問題】 5【題型6點（或直線）關于點對稱】 5【題型7點關于直線對稱】 6【題型8直線關于直線的對稱問題】 6【題型9直線系方程】 71、兩條直線的位置關系考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直(2)能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標(3)掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離2022年上海卷：第7題，5分2024年北京卷：第3題，4分從近幾年的高考情況來看，高考對兩條直線的位置關系、距離公式的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式考查，難度不大；復習時應加強對距離公式、對稱關系的掌握，靈活求解.【知識點1兩條直線的位置關系】1．兩條直線的位置關系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當時，記為）垂直k1·k2=-1（當時，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當時，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當時，記為）2．平行的直線的設法平行：與直線Ax+By+n=0平行的直線方程可設為Ax+By+m=0.3．垂直的直線的設法垂直：與直線Ax+By+n=0垂直的直線方程可設為Bx-Ay+m=0.【知識點2三種距離公式】1．兩點間的距離公式平面內兩點間的距離公式為.

特別地，原點O到任意一點P(x,y)的距離為|OP|=.2．點到直線的距離公式(1)定義：點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.

(2)公式：已知一個定點，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點P到直線l的距離為d=.3．兩條平行直線間的距離公式(1)定義

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.

(2)公式

設有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.【知識點3點、線間的對稱關系】1．六種常用對稱關系(1)點(x,y)關于原點(0,0)的對稱點為(-x,-y).(2)點(x,y)關于x軸的對稱點為(x,-y)，關于y軸的對稱點為(-x,y).(3)點(x,y)關于直線y=x的對稱點為(y,x)，關于直線y=-x的對稱點為(-y,-x).(4)點(x,y)關于直線x=a的對稱點為(2a-x,y)，關于直線y=b的對稱點為(x,2b-y).(5)點(x,y)關于點(a,b)的對稱點為(2a-x,2b-y).(6)點(x,y)關于直線x+y=k的對稱點為(k-y,k-x)，關于直線x-y=k的對稱點為(k+y,x-k).【知識點4直線系方程】1．直線系方程過直線與的交點的直線系方程為，但不包括直線.【題型1兩條直線的平行與垂直】【例1】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知直線l1:2x+my?1=0，l2:m+1x+3y+1=0，則“m=2”是“l(fā)1//l2”的（

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-1】（2024·陜西西安·二模）已知點M(m,?1)，N(4,m)，且直線MN與直線2x?y+3=0垂直，則m=（

）A．?6 B．73 C．23 【變式1-2】（2024·河南洛陽·模擬預測）“a=0”是“直線l1:x+2ay?2024=0與直線l2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-3】（2024·河南·三模）已知直線Ax+By+C=0與直線y=2x?3垂直，則（

）A．A=?2B≠0 B．A=2B≠0C．B=?2A≠0 D．B=2A≠0【題型2求與已知直線平行、垂直的直線方程】【例2】（2024·山東·二模）已知直線l與直線x?y=0平行，且在y軸上的截距是?2，則直線l的方程是（

）．A．x?y+2=0 B．x?2y+4=0C．x?y?2=0 D．x+2y?4=0【變式2-1】（2024·廣東珠?！つM預測）過點P?1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是（

A．x?2y+5=0 B．x+2y?3=0C．2x?y+4=0 D．2x+y=0【變式2-2】（2024·吉林·模擬預測）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，則ABA．2x+y?7=0 B．2x?y?1=0C．x+2y?8=0 D．x?2y+4=0【變式2-3】（23-24高二上·廣東江門·期末）過點?2，0與y=x平行的直線方程是（A．x?y?2=0 B．x+y+2=0C．x?y+2=0 D．x+y?2=0【題型3兩直線的交點問題】【例3】（2024·海南?？凇ざ＃┤糁本€y=?2x+4與直線y=kx的交點在直線y=x+2上，則實數(shù)k=（

）A．4 B．2 C．12 D．【變式3-1】（23-24高二上·重慶長壽·期末）直線2x?y+6=0與直線x+y=3的交點坐標是（

）A．(3，0) B．(?1,4) C．(?3,6) 【變式3-2】（23-24高二上·四川涼山·期末）經過兩條直線2x?3y+10=0和3x+4y?2=0的交點，且垂直于直線2x?y?1=0的直線方程為（

）A．x?2y?6=0 B．x+2y?2=0C．2x?y?3=0 D．2x+y?2=0【變式3-3】（23-24高二下·上?！て谥校┲本€l1:7x+2y+1=0,l2:mx+y=0,A．3 B．4 C．5 D．6【題型4距離問題】【例4】（2024·全國·模擬預測）平行直線l1:2x+y?5=0與l2A．5 B．25 C．35 【變式4-1】（2024·海南海口·模擬預測）設A(0,18)，若函數(shù)y=ax2(a>0)圖象上任意一點P(xA．14 B．12 C．2 【變式4-2】（2024·河南信陽·模擬預測）已知方程?x2+2ax+22b=2A．12 B．14 C．22【變式4-3】（2024·江蘇南京·一模）已知實數(shù)a>0,b<0，則3b?aa2A．[?2,?1) B．(?2,?1)C．(?2.?1] D．[?2,?1]【題型5與距離有關的最值問題】【例5】（2024·吉林·二模）直線l的方程為λ+2x+λ?1y?3λ=0λ∈R，當原點O到直線l的距離最大時，A．?1 B．?5 C．1 D．5【變式5-1】（23-24高二上·安徽·階段練習）若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為()A．95 B．185 C．2910 【變式5-2】（23-24高三上·重慶·階段練習）在平面直角坐標系中，集合A=x,ykx?y+k=0，集合B=x,yy=kx?1，已知點M∈A，點N∈B，記d表示線段MN長度的最小值，則A．2 B．3 C．1 D．2【變式5-3】（23-24高二上·黑龍江·期中）著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：x?a2+y?b2可以轉化為平面上點Mx,y與點NA．210 B．22 C．2+【題型6點（或直線）關于點對稱】【例6】（23-24高二上·全國·期末）點P1,2在直線l上，直線l1與l關于點0,1對稱，則一定在直線l1A．12,32 B．?1,3【變式6-1】（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知直線x+2y?3=0與直線ax+4y+b=0關于點A(1,0)對稱，則實數(shù)b的值為（

）A．2 B．6 C．?2 D．?6【變式6-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）點P(1,2)在直線l上，直線l1與l關于點(0,1)對稱，則一定在直線l1上的點為（A．(12,32) B．(?1,【變式6-3】（23-24高一下·內蒙古包頭·期末）與直線3x?4y+5=0關于坐標原點對稱的直線方程為（

）A．3x+4y?5=0 B．3x+4y+5=0C．3x?4y+5=0 D．3x?4y?5=0【題型7點關于直線對稱】【例7】（2024·浙江·模擬預測）點1,2關于直線x+y?2=0的對稱點是（

）A．1,0 B．0,1 C．0,?1 D．2,1【變式7-1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知A?3,0,B0,3，從點P?1,0射出的光線經y軸反射到直線AB上，又經過直線AB反射到A．210 B．6 C．25 【變式7-2】（2024·陜西西安·一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為A?4,1．若將軍從山腳下的點B?3,2處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x?y+3=0，則“將軍飲馬”的最短總路程為（A．2 B．5 C．10 D．2【變式7-3】（23-24高二上·浙江寧波·期中）如圖，一束光線從A1,0出發(fā)，經直線x+y+1=0反射后又經過點B6,?5，則光線從A到B走過的路程為（A．55 B．214 C．58 D．【題型8直線關于直線的對稱問題】【例8】（2024·上海靜安·二模）設直線l1:x?2y?2=0與l2關于直線l:2x?y?4=0A．11x+2y?22=0 B．11x+y+22=0C．5x+y?11=0 D．10x+y?22=0【變式8-1】（23-24高二上·陜西西安·期中）設直線l1:3x?2y?6=0，直線l2:x?y?4=0，則l1A．3x+2y?14=0 B．2x?3y?14=0C．3x+2y?6=0 D．2x?3y?6=0【變式8-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點A?2,1射出，經直線2x?y+10=0反射，且反射光線所在直線過點B(?8,?3)，則反射光線所在直線的方程是（

A．x?3y?1=0 B．3x?y+21=0C．x+3y+17=0 D．3x+y+15=0【變式8-3】（23-24高二上·湖北黃石·階段練習）若兩條平行直線l1：x?2y+m=0m>0與l2：2x+ny?6=0之間的距離是25，則直線l1A．x?2y?13=0 B．x?2y+2=0C．x?2y+4=0 D．x?2y?6=0【題型9直線系方程】【例9】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）過兩直線l1:x?3y+4=0和l2A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【變式9-1】（23-24高二上·重慶·階段練習）經過直線3x+2y+6=0和2x+5y?7=0的交點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為（

）A．x+y+1=0 B．x?y+1=0C．x+y+1=0或3x+4y=0 D．x?y+1=0或x+y+1=0【變式9-2】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習）過兩直線2023x?2022y?1=0和2022x+2023y+1=0的交點且過原點的直線方程為．【變式9-3】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）平面直角坐標系xOy中，過直線l1:7x?3y+1=0與l2:x+4y?3=0的交點，且在y軸上截距為1的直線一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知直線l1:ax+3y?6=0，直線l2:2x+a?1y?4=0，則“l(fā)1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·黑龍江吉林·二模）兩條平行直線l1：x+y+1=0，l2：x+y?1=0之間的距離是（A．1 B．2 C．22 3．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知直線l1:x+my+1=0與直線l2:x+(1?2m)y?3=0，則“m∈{1,?2}”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·重慶·三模）當點P?1,0到直線l：3λ+1x+λ+1A．?1 B．1 C．?2 D．25．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）設直線l:x+y?1=0，一束光線從原點O出發(fā)沿射線y=kxx≥0向直線l射出，經l反射后與x軸交于點M，再次經x軸反射后與y軸交于點N.若MN=136，則A．32 B．C．12 D．6．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習）已知點A2,3,B4,1,直線x?2y+4=0與y軸相交于點C,則△ABC中AB邊上的高CEA．x+y?2=0 B．x+y+2=0C．x?y+2=0 D．x?y?2=07．（2024·陜西西安·一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為A?3,0，若將軍從山腳下的點B?1,1處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=1，則“將軍飲馬”的最短總路程為（A．5 B．3 C．13 D．58．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預測）直線l1:x+1+a①?a∈R，使得l1//l2；

③?a∈R，l1與l2都相交；

④?a∈R，使得原點到其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④二、多選題9．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知直線l1:x+2y?2=0，直線l2A．直線l2可以與x軸平行 B．直線l2可以與C．當l1∥l2時，k=2 D．當l10．（23-24高三上·江蘇·階段練習）已知直線l經過點2,3，且點A?3,2，B5,?4到直線l的距離相等，則直線l的方程可能為（A．4x?y?5=0 B．4x+y?11=0C．3x+4y?18=0 D．3x?4y+6=011．（2024·云南昆明·模擬預測）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流m，n，其方程分別為2x?y=0，y=0，將軍的出發(fā)點是點A3,1，軍營所在位置為B6,3，則下列說法錯誤的是（A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為(1,2)B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是5C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是85D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是2三、填空題12．（2024·山東·二模）過直線x+y+1=0和3x?y?