專題6.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題6.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)】 4【題型2累加法求通項(xiàng)公式】 4【題型3累乘法求通項(xiàng)公式】 5【題型4構(gòu)造法求通項(xiàng)公式】 6【題型5數(shù)列的周期性】 6【題型6數(shù)列的單調(diào)性】 6【題型7數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)】 7【題型8數(shù)列中的規(guī)律問(wèn)題】 8【題型9數(shù)列的恒成立問(wèn)題】 91、數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)(2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)2021年北京卷：第10題，4分?jǐn)?shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，高考中對(duì)數(shù)列的概念的考查相對(duì)較少，考查題型以選擇題、填空題為主，難度不大，重點(diǎn)是考查數(shù)列的單調(diào)性、周期性與最值等內(nèi)容.【知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的概念與基本知識(shí)】1．?dāng)?shù)列的定義一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用表示第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).2．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義舉例按項(xiàng)的

個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,…,n無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列1,0,1,0,1,0,…按項(xiàng)的

變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一

項(xiàng)的數(shù)列3,4,5,6,…,n+2遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一

項(xiàng)的數(shù)列-1,-2,-3,…,-n常數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列0,0,0,0,…擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一

項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列1,-2,3,-4,…3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{}的第n項(xiàng)與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.4．?dāng)?shù)列的遞推公式(1)遞推公式的概念如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.(2)對(duì)數(shù)列遞推公式的理解①與“不一定所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實(shí)上，遞推公式和通項(xiàng)公式一樣，都是關(guān)于項(xiàng)的序號(hào)n的恒等式.如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng).

③用遞推公式求出一個(gè)數(shù)列，必須給出：基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；

遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)()(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以用等式來(lái)表示.5．?dāng)?shù)列表示方法及其比較優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)通項(xiàng)

公式法便于求出數(shù)列中任意指定的一項(xiàng)，利于對(duì)數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行研究一些數(shù)列用通項(xiàng)公式表示比較困難列表法內(nèi)容具體、方法簡(jiǎn)單，給定項(xiàng)的序號(hào)，易得相應(yīng)項(xiàng)確切表示一個(gè)無(wú)窮數(shù)列或項(xiàng)數(shù)比較多的有窮數(shù)列時(shí)比較困難圖象法能直觀形象地表示出隨著序號(hào)的變化，相應(yīng)項(xiàng)的變化趨勢(shì)數(shù)列項(xiàng)數(shù)較多時(shí)用圖象表示比較困難遞推

公式法可以揭示數(shù)列的一些性質(zhì)，如前后幾項(xiàng)之間的關(guān)系不容易了解數(shù)列的全貌，計(jì)算也不方便6．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列{}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，記作，即=+++.

如果數(shù)列{}的前n項(xiàng)和與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

=.【知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解策略】1．由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)：(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.(2)Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.2．由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式：(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為的形式，可用累乘法，也可用代入求出通項(xiàng).(3)構(gòu)造法：①形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.②形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.【知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題策略】1．?dāng)?shù)列周期性問(wèn)題的解題策略：解決數(shù)列周期性問(wèn)題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.2．求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項(xiàng)的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大(小)項(xiàng)，否則，利用作差法.(2)利用確定最大項(xiàng)，利用確定最小項(xiàng).【方法技巧與總結(jié)】1．若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，則=.2．在數(shù)列{}中，若最大，則；若最小，則.【題型1由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)】【例1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2n?1?12，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為（

）A．a(chǎn)n=1C．a(chǎn)n=(?2)【變式1-1】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足k=1nak2k?1A．2024 B．2023 C．4047 D．4048【變式1-2】（2024·四川·三模）已知數(shù)列an滿足2a1+2A．a(chǎn)n=1,n=1C．a(chǎn)n=n 【變式1-3】（2024·江蘇·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足1a1a2+1A．13 B．1 C．32【題型2累加法求通項(xiàng)公式】【例2】（23-24高二·全國(guó)·單元測(cè)試）已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1=A．4+1n B．4?1n C．【變式2-1】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=2，an+1A．n2?n+2 C．2n2 D．【變式2-2】（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=A．43 B．46 C．37 D．36【變式2-3】（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，則（

A．a(chǎn)6=16 C．2an+1=【題型3累乘法求通項(xiàng)公式】【例3】（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=13，前n項(xiàng)和SA．12n?12n+1 B．3n?22n+1 C．2?【變式3-1】（23-24高二下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的項(xiàng)滿足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．【變式3-2】（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=1，A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=3【變式3-3】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知a1=2，an=naA．n B．n+1 C．2n D．n+1【題型4構(gòu)造法求通項(xiàng)公式】【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在數(shù)列an中，a1=2，an+1A．?3n?53n?2 B．3n2?n 【變式4-1】（2024·廣東茂名·一模）已知Tn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)的乘積，且a1=2,TA．16 B．32 C．64 D．128【變式4-2】（23-24高一下·上海·期末）數(shù)列an滿足a1=2,an+1=3【變式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若數(shù)列an(n∈N?)的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1【題型5數(shù)列的周期性】【例5】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列an中，a1=4，a2=3，aA．14 B．34 C．3 【變式5-1】（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列an中，a1=2，aA．?2 B．?1 C．1 D．2【變式5-2】（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列an中，已知a1=2,a2A．3 B．2 C．1 D．0【變式5-3】（2024·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an，若an+1=an+an+2n∈N?，則稱數(shù)列anA．0 B．1 C．－5 D．－1【題型6數(shù)列的單調(diào)性】【例6】（2024·北京西城·三模）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{an}，定義dn=an+1?aA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式6-1】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足an=n?aa∈R，則“a≤1”是A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式6-2】（2024·江西·二模）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1為常數(shù)且a1≠23，an+1A．?23,C．0,23 【變式6-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a1=t,an+1?2aA．?1,1 B．?∞,0 C．?1,1 【題型7數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)】【例7】（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）數(shù)列an、bn滿足：a1=8，an?aA．第7項(xiàng) B．第9項(xiàng)C．第11項(xiàng) D．第12項(xiàng)【變式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若數(shù)列an的前n項(xiàng)積bn=1?27A．?13 B．57 C．2【變式7-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an是遞增數(shù)列，且an∈N?，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnA．5 B．6 C．7 D．8【變式7-3】（23-24高二上·上海楊浦·期中）已知數(shù)列an=(n+1)(?A．a(chǎn)nB．a(chǎn)nC．a(chǎn)nD．a(chǎn)n【題型8數(shù)列中的規(guī)律問(wèn)題】【例8】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個(gè)正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3,6,10等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時(shí)他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個(gè)六邊形數(shù)為（

）A．778 B．779 C．780 D．781【變式8-1】（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）“大衍數(shù)列”來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中的一大瑰寶.已知“大衍數(shù)列”的前10項(xiàng)分別為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,?，據(jù)此可以推測(cè)，該數(shù)列的第15項(xiàng)與第60項(xiàng)的和為（

）A．1012 B．1016 C．1912 D．1916【變式8-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b與“弦”c之間的關(guān)系為a2+b2=c2（其中a≤b）．當(dāng)a,b,c∈A．145 B．181 C．221 D．265【變式8-3】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）分形幾何學(xué)是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照?qǐng)D①的分形規(guī)律生長(zhǎng)成一個(gè)圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個(gè)數(shù)是（

）A．12 B．13 C．40 D．121【題型9數(shù)列的恒成立問(wèn)題】【例9】（23-24高三上·湖北襄陽(yáng)·期末）數(shù)列an中，a1=a(a>0),2n?1aA．3 B．6 C．12 D．15【變式9-1】（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）定義maxa,b=a,a≥bb,a<b．若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=λn2+20+λnλ∈A．?4,?3 B．?3,?2C．?23,?【變式9-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+1+Sn=n2【變式9-3】（23-24高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n?1.若對(duì)于任意n∈N?，不等式2一、單選題1．（2024·山東濟(jì)南·三模）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)，則aA．10 B．11 C．12 D．132．（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項(xiàng)為（

）A．366 B．422 C．450 D．6003．（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2+bn，若數(shù)列A．?3,+∞ B．?2,+∞ C．?2,+∞4．（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an對(duì)任意k∈N*滿足ak?A．21012 B．21013 C．220245．（2024·重慶九龍坡·三模）正整數(shù)1,2,3,?,n的倒數(shù)的和1+12+13+?+1n已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒(méi)有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，當(dāng)n很大時(shí)，1+12+13+?+1（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.10，A．10 B．9 C．8 D．76．（23-24高二下·上海閔行·階段練習(xí)）數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，且an=33n?13，則關(guān)于A．a(chǎn)n，Sn都有最小值 B．a(chǎn)nC．a(chǎn)n，Sn都無(wú)最小值 D．a(chǎn)n7．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=3x?13x+1，數(shù)列an滿足aA．1 B．2 C．3 D．48．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且SnA．a(chǎn)n<an+1 B．Sn>二、多選題9．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=A．a(chǎn)3=2?22C．a(chǎn)n+1≤n+110．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列{an}(n∈N?)的前n項(xiàng)和為SnA．a(chǎn)3=2 C