專題4.5 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及應(yīng)用（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題4.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】 2【題型2由部分圖象確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式】 4【題型3圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 8【題型4函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）問題】 12【題型5三角函數(shù)模型】 15【題型6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用】 191、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω,φ,A的意義，了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響

(2)會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型2023年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第12題，5分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第10題，5分函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是三角函數(shù)的重要內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換以及由部分圖象求函數(shù)的解析式是高考考察的主要方向，試題主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度不高.【知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】1．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的作法作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象常用如下兩種方法：(1)五點(diǎn)法作圖：用“五點(diǎn)法”作y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，主要是通過變量代換，設(shè)z=ωx+φ，由z取來(lái)求出相應(yīng)的x，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；(2)圖象的變換法：由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.2．三角函數(shù)的圖象變換問題的求解方法解決三角函數(shù)圖象變換問題的兩種方法分別為先平移后伸縮和先伸縮后平移.破解此類題的關(guān)鍵如下：(1)定函數(shù)：一定要看準(zhǔn)是將哪個(gè)函數(shù)的圖象變換得到另一個(gè)函數(shù)的圖象；(2)變同名：函數(shù)的名稱要變得一樣；(3)選方法：即選擇變換方法.【知識(shí)點(diǎn)2由部分圖象確定函數(shù)解析式的解題方法】1．由部分圖象確定函數(shù)解析式的方法由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段圖象求其解析式時(shí)，A比較容易由圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點(diǎn)”坐標(biāo)，那么由即可求出ω；確定φ時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的零點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則令即可求出φ.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo).利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或零點(diǎn))坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對(duì)A，ω的符號(hào)或φ的范圍有所需求，可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.【知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用的解題策略】1．研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的技巧研究y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)時(shí)可將ωx+φ視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.2．函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）的問題的解題策略函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，據(jù)此進(jìn)行求解即可.3．三角函數(shù)模型三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題.【方法技巧與總結(jié)】1．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.2．由y=sinωx到y(tǒng)=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度.【題型1函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】【例1】（2024·河北保定·三模）將函數(shù)fx=sin2x?π3的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)gx的圖象，則gx=（

）A．sin2x B．?sin2x C．sin【解題思路】由正弦型函數(shù)的圖象變換直接求得答案.【解答過程】將函數(shù)fx=sin得到函數(shù)gx故選：C.【變式1-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)fx=sin2x?π12的圖象向左平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)gx的圖象，若函數(shù)gxA．π6,7C．7π24,【解題思路】結(jié)合正弦函數(shù)圖象的平移先求出g(x)的解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答過程】將函數(shù)fx=sin得到函數(shù)g(x)=sin令?π2+2k則?π3+k若函數(shù)g(x)在區(qū)間0,a3和則a>04a<7π故選：A．【變式1-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)fx=cos2x?π6圖象上的所有點(diǎn)向左平移A．gx=cos2x?2πC．gx在0,π3上的最小值為32 D．直線【解題思路】由平移變換內(nèi)容得gx=fx+5π6=sin2x【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意，可得gx故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，令?π2+2k所以gx在?對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閤∈0,π3，所以2x∈∴gx在0,對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)gx=sin化簡(jiǎn)可得x=kπ2+π所以x=π4是故選：D.【變式1-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=sin(4x+φ)|φ|<π2，先將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，即可得到函數(shù)g(x)的圖象．若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于A．12 B．?12 C．3【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，得到g(x)=sin2x?π3+φ，由gx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求得【解答過程】先將函數(shù)f(x)=sin(4x+φ)的圖象向右平移得到y(tǒng)=sin再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到g(x)=sin因?yàn)楹瘮?shù)gx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以?π3又因?yàn)閨φ|<π2，所以φ=?π所以fπ故選：C．【題型2由部分圖象確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式】【例2】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=AsinA．fB．fC．fx的圖象向右平移3D．fx的圖象向右平移3【解題思路】由圖得到A=2，T=π，代入周期公式求出ω=2，再代入點(diǎn)π8,2【解答過程】對(duì)于A、B選項(xiàng)：由圖可得A=2，12因?yàn)棣?gt;0,∴ω=2所以fx因?yàn)閳D象過點(diǎn)π8,2，所以又φ<π2所以fx對(duì)于C、D選項(xiàng)：fx的圖象向右平移3π8所以為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤，C正確；故選：C.【變式2-1】（2024·重慶·三模）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,?π2<φ<πA．?29 B．29 C．?【解題思路】先由圖像以及題意求出f(x)的解析式，從而得fθ=sin【解答過程】由圖可知A=1,f0=sinφ=3故f(x)=sin(ωx+π故由圖4π3ω+π由圖4π3?0<又ω>0，結(jié)合①②可得ω=12，故所以fθ故f2θ+5π故選：D.【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=cosωx+φω>0,φ<A．ω=2 B．φ=?C．直線x=5π12是fx圖象的一條對(duì)稱軸 D．【解題思路】根據(jù)周期性求出ω，根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)Aπ9,1【解答過程】依題意T4=5π18?π所以fx又函數(shù)過點(diǎn)Aπ9,1，所以f又φ<π2所以fx又f5π12=cosf11π18=cos故選：D.【變式2-3】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)fx的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后再向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)gx=AsinA．fx=3sinC．fx=3sin【解題思路】由圖象可得最小正周期，可求ω，A，點(diǎn)?π6,0的坐標(biāo)代入函數(shù)y=g【解答過程】由圖像可得A=3，函數(shù)y=gx的最小正周期為T=所以ω=2πT=2，將點(diǎn)且函數(shù)y=gx在x=?π6則φ?π得φ=π3+2kπk∈Z.因?yàn)?因此gx函數(shù)gx的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度，然后橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到函數(shù)fx的解析式為f故選：B.【題型3圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例3】（2024·重慶·三模）如圖，函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|≤π2的圖像與x軸的其中兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，與y軸交于點(diǎn)C，D為線段BC的中點(diǎn)，OB

A．f(x)的最小正周期為12π B．f(x)的圖象關(guān)于直線x=8C．f(2)=f(?4) D．f(?x+2)為偶函數(shù)【解題思路】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)先含參表示A,B,C,D的坐標(biāo)，由線段關(guān)系求解參數(shù)得f(x)=16【解答過程】由題可A(2,0),B2+πω有3A∵AD把Asinφ=13∴ω=π6,∴sinπ解得A=16顯然其周期為T=2當(dāng)x=8時(shí)，π6x?πf2f(?x+2)=16故選：C.【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)fx的圖象向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)

A．π6,π3 B．3π2【解題思路】由fx的圖象，棱臺(tái)三角函數(shù)的性質(zhì)求得f(x)=2sin(2x?【解答過程】由函數(shù)fx的圖象，可得3T4=5π所以f(x)=2sin(2x+φ)，又由f(5可得5π6+φ=因?yàn)棣?lt;π，所以φ=?π所以g(x)=2sin2x+解得?π所以函數(shù)gx的單調(diào)增區(qū)間是?故選：C.【變式3-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=Asin①函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π②函數(shù)fx的解析式可以為f③函數(shù)fx在π12,④若把fx圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的23倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移π12A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【解題思路】由圖可得A=2，由函數(shù)的周期求出ω，再根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)π3,2求出【解答過程】由圖可得A=2，3T4=13π12?π所以fx=2sin所以fπ3=2解得φ=?π6+2kπ,k∈所以fx對(duì)于①，因?yàn)閒π所以函數(shù)fx的圖象不關(guān)于點(diǎn)π對(duì)于②，因?yàn)閥=2cos故函數(shù)fx的解析式可以為f對(duì)于③，當(dāng)x∈π12,13π則fx∈0,2，即函數(shù)fx在對(duì)于④，把fx圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的23倍，縱坐標(biāo)不變得到再將y=2sin3x?π6向右平移故選：B.【變式3-3】（2024·遼寧·三模）已知函數(shù)fx=AsinA．函數(shù)fx的振幅是2，初相是B．若函數(shù)fx的圖象上的所有點(diǎn)向左平移π12C．若函數(shù)fx在π3,πD．若函數(shù)fx的圖象關(guān)于7π12,0中心對(duì)稱，則函數(shù)f【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象得到A，由f0=?1求出φ，即可得到【解答過程】由圖可知A=2，且f0=2sin又φ<π2，所以φ=?故函數(shù)fx的振幅是2，初相是?將fx=2sinωx?π依題意π12ω?π若函數(shù)fx在π3,π2上單調(diào)遞減，則T2≥又x∈π3,又?π6<π3即函數(shù)fx在π3,π2若函數(shù)fx的圖象關(guān)于7π12解得ω=2又ω>0，所以ω=27+127故選：C.【題型4函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）問題】【例4】（2024·山西晉城·二模）將函數(shù)f(x)=2sin3x+π4的圖象向右平移φ（φ>0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,φ)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則A．5π12,3π4 B．3【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得g(x)=2sin(3x+π4?3φ)，由g(x)【解答過程】將函數(shù)f(x)=2sin(3x+π得g(x)=2sin(3x+π4?3φ)又g(x)在(0,φ)上有2個(gè)零點(diǎn)，所以?2π解得5π12<φ≤3π4，即實(shí)數(shù)故選：C.【變式4-1】（2024·山西長(zhǎng)治·一模）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，若方程f(x)=m在[?A．[?2,?3] B．(?2,?【解題思路】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點(diǎn)法作圖求出函數(shù)f(x)的解析式，再分析f(x)在[?π【解答過程】觀察圖象知，A=2，函數(shù)f(x)的周期T=43[由f(π12)=2，得2×π12于是f(x)=2sin(2x+π3)當(dāng)2x+π3∈[?2π3,?π2]當(dāng)2x+π3∈[?π2,π3]顯然函數(shù)f(x)的[?π2,?方程f(x)=m在[?π2,0]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即直線y=m與函數(shù)所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(?2,?3故選：B.【變式4-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)fx=sinx的圖象向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1ω(ω>0)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)gx的圖象，若函數(shù)A．1718,2318 B．1718,【解題思路】先利用三角函數(shù)圖象的變換得出gx=sinωx+π6，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出gx在0,3【解答過程】將函數(shù)fx=sin得到函數(shù)y=sinx+π6，再將函數(shù)縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)gx所以φx=x2+2x,x≤0所以要使φx在(?∞,3π]法一：令sinωx+π6解得x=?π6則?π6+4法二：因?yàn)閤∈0,3π，所以所以3π≤3ωπ故選:A.【變式4-3】（2024·天津紅橋·一模）將函數(shù)f(x)的圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向左平移π3單位，得到函數(shù)g(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的部分圖象（如圖所示）．對(duì)于?x1，x2

A．g(x)=B．f(x)=C．g(x)在π,D．函數(shù)f(x)在0,4π3的零點(diǎn)為【解題思路】由題意可得函數(shù)gx的圖象在區(qū)間a,b上的對(duì)稱軸為x=x1+x【解答過程】對(duì)于A，由題意可知函數(shù)gx的圖象在區(qū)間a,b上的對(duì)稱軸為x=則x=0與x=x1+又gx1+所以sinφ=32，又0<φ<所以gx對(duì)于B，gx=sin2x+π再將其橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12得到f對(duì)于C，由x∈π,3所以g(x)在π,對(duì)于D，令t=4x?π3，則函數(shù)y=sint在?π3,5則t1+t2=π，t2故t1所以x1故選：C．【題型5三角函數(shù)模型】【例5】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近位置進(jìn)倉(cāng)，轉(zhuǎn)一周大約需要30min．某游客坐上摩天輪的座艙10min后距離地面高度約為（

）A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．55【解題思路】以軸心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求得函數(shù)fx=55sin【解答過程】設(shè)座艙距離地面的最近的位置為點(diǎn)P，以軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)函數(shù)fx因?yàn)槟μ燧喌淖罡唿c(diǎn)距離地面為120m，直徑為110m，且轉(zhuǎn)一周大約需要周期T=30，A+b=120,?A+b=10，所以A=55,b=65,ω=2即fx當(dāng)t=0min時(shí)，游客在點(diǎn)P(0,?55)，其中以O(shè)P為終邊的角為?所以fx當(dāng)t=10時(shí)，可得f所以，摩天輪的座艙t=10后距離地面高度約為92.5m故選：A.【變式5-1】（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）某質(zhì)點(diǎn)的位移ycm與運(yùn)動(dòng)時(shí)間xs的關(guān)系式為y=sinωx+φω>0,φ∈?π,π，其圖象如圖所示，圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為0,?32A．ω=4B．φ=?C．質(zhì)點(diǎn)在1,3D．質(zhì)點(diǎn)在0,7π【解題思路】根據(jù)正弦函數(shù)周期求ω=3判斷A，根據(jù)特殊點(diǎn)求解φ判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C，根據(jù)正弦函數(shù)值域判斷D.【解答過程】由已知函數(shù)圖象得，函數(shù)的周期T=5π6令y=fx，所以fx=sin3x+φ因?yàn)棣铡?π,π，所以又fπ6=12由已知得fx圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸分別為直線x=π6且fx在5π18所以fx在1,由圖象得該質(zhì)點(diǎn)在0,7π18故選：C.【變式5-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）隨著電力的發(fā)展與石油的消耗，風(fēng)力發(fā)電越來(lái)越受到重視.預(yù)計(jì)到2025年全球風(fēng)電新增裝機(jī)量達(dá)到111.2GW，中國(guó)的裝機(jī)量占比達(dá)到世界第一.已知風(fēng)速穩(wěn)定時(shí)風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片圍繞轉(zhuǎn)軸中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)有兩個(gè)風(fēng)力發(fā)電機(jī)，A和B分別為兩個(gè)風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片邊緣一點(diǎn)，A和B到各自轉(zhuǎn)軸中心距離均為20米，初始時(shí)刻A處于所在的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)軸中心正上方，B處于所在的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)軸中心正下方，且A和B圍繞各自發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)軸中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng).由于兩個(gè)發(fā)電機(jī)所處位置風(fēng)速不同，A點(diǎn)轉(zhuǎn)速為5πm/s，B點(diǎn)轉(zhuǎn)速為8πm/s，以時(shí)間t（單位：秒）為自變量，A和B與各自發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)軸中心高度差為應(yīng)變量，分別得三角函數(shù)ft與gt，下列哪種方式可以使ftA．將ft圖象上所有點(diǎn)向右平移π個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的8B．將ft圖象上所有點(diǎn)向左平移π個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的5C．將ft圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的85倍，再向左平移D．將ft圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的58倍，再向右平移【解題思路】根據(jù)題意，分別列出函數(shù)f(t)與g(t)的解析式，再利用三角函數(shù)圖象的變換即可求解.【解答過程】由題意可知：三角函數(shù)ft與gt的角速度分別為5π又因?yàn)槌跏紩r(shí)刻A處于所在的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)軸中心正上方，B處于所在的發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)軸中心正下方，所以f(t)=20cos(5由三角函數(shù)的變換可知：f(t)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短縮小到原來(lái)的58倍得到20cos(8πt)故選項(xiàng)D正確；故選：D.【變式5-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)筒車按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒W到水面的距離為d（單位：米）（在水面下，則d為負(fù)數(shù)）．若以盛水筒W剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，d與時(shí)間t（單位：分鐘）之間的關(guān)系為d=4sin2t?π6+2．某時(shí)刻t0（單位：分鐘）時(shí)，盛水筒W在過點(diǎn)O（O為筒車的軸心）的豎直直線的左側(cè)，且到水面的距離為5米，則再經(jīng)過A．在水面下 B．在水面上C．恰好開始入水 D．恰好開始出水【解題思路】根據(jù)題意列出計(jì)算式，再用兩角和差公式計(jì)算即可.【解答過程】由題意，5=4sin可得sin2t0?π所以sin2所以再經(jīng)過π6分鐘，可得d=4×在判斷d>0時(shí)，可以采用放縮法更為直接，過程如下：21<d>0,故盛水筒在水面上．故選：B．【題型6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用】【例6】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)y=fx的圖象向左平移π12個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變?橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)y=gx的圖象，求y=g【解題思路】（1）利用兩角和差的正余弦公式與輔助角公式化簡(jiǎn)可得fx（2）根據(jù)三角函數(shù)圖形變換的性質(zhì)可得gx【解答過程】（1）fxf=2cos所以函數(shù)fx的最小正周期為π令2x+π6=kπ，k∈Z，得函數(shù)f（2）將函數(shù)y=fx的圖象向左平移π12個(gè)單位后所得圖象的解析式為所以gx令2kπ?x+π所以?π3+2kπ?x?所以y=gx在0,2π上的單調(diào)遞減區(qū)間為0,【變式6-1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)若x∈0,π4時(shí)，m<f(2)將函數(shù)fx的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的12，縱坐標(biāo)不變，再將其向右平移π6個(gè)單位，得到函數(shù)gx的圖象.若x∈0,t【解題思路】（1）利用三角恒等變形，轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，然后利用相位整體思想，結(jié)合正弦曲線，求出最值，即可得到答案；（2）根據(jù)伸縮和平移變換，得到新的函數(shù)解析式，再同樣把相位看成一個(gè)整體，利用正弦曲線，數(shù)形結(jié)合，就可以判定端點(diǎn)值的取值范圍，從而得到解答.【解答過程】（1）因?yàn)閒x當(dāng)x∈0,π4當(dāng)2x+π3=5π6，即因?yàn)閤∈0,π4時(shí)，m<f即實(shí)數(shù)m的取值范圍為?∞（2）由fx=2sin2x+π再將其向右平移π6，可得：y=2即函數(shù)gx因?yàn)閤∈0,t，所以4x?π3再由函數(shù)gx有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則滿足3解得5π6≤t<13π【變式6-2】（2024·山西臨汾·三模）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<(1)求f7(2)求函數(shù)gx【解題思路】（1）根據(jù)題意求出振幅和周期，再由正顯函數(shù)的對(duì)稱軸解出φ=π6，進(jìn)而得到fx（2）先由圖象平移得到gx，法一換元法整體代入求增區(qū)間；法二由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間結(jié)合條件中x【解答過程】（1）依題知函數(shù)fx與函數(shù)y=3sinx有相同的振幅和周期，所以因?yàn)楹瘮?shù)fx的圖象關(guān)于直線x=所以π3即φ=π又因?yàn)?<φ<π2，所以所以fxf7（2）g=33法一：因?yàn)閤∈0,π，所以因?yàn)閥=sint在故y=gx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,π6法二：由?π得?π又因?yàn)閤∈所以gx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,π6【變式6-3】（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosφ+2sinφ?4sin2ωx2sinφω>0,φ<π，其圖象的一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)fx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1tt>0倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=gx的圖象，若函數(shù)y=gx【解題思路】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)可得f(x)=2sin(ωx+φ)，根據(jù)最小正周期求出ω，若選①，則根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移變換求得φ，可得解析式；若選②，則根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性求得（2）根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換可得gx=2sin2tx?π6，結(jié)合【解答過程】（1）由題意可得f(x)=2=2sin=2sin由于其圖象的一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差π4，故T=4×故f(x)=2sin若選①，函數(shù)fx的圖象向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為由題意知該函數(shù)為偶函數(shù)，故23由于φ<π且f0<0，即故f(x)=2sin若選②，函數(shù)fx的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為π12,0則π6由于φ<π且fπ6>0故f(x)=2sin（2）由題意可得gx由于y=gx在區(qū)間0,π3即t∈13一、單選題1．（2024·山東青島·三模）為了得到y(tǒng)=sin2x+cos2x的圖象，只要把A．向右平行移動(dòng)π8個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平行移動(dòng)πC．向右平行移動(dòng)π4個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平行移動(dòng)π【解題思路】利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名，再根據(jù)函數(shù)y=Asin【解答過程】y=sin由誘導(dǎo)公式可知：y=又y=則π4?π故選：A.2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=sin2x+φ（0<φ<π）向左正移φ個(gè)單位后在區(qū)間0,A．π3 B．π2 C．π6【解題思路】根據(jù)圖象平移規(guī)律、函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【解答過程】函數(shù)fx=sin2x+φ向左平移當(dāng)x∈0,π2∵fx+φ所以?π2+2k可得φ=?π又0<φ<π，∴φ=故選：B.3．（2024·四川自貢·三模）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2）的部分圖象如圖所示，f(x)的圖象與y軸交于M點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)N在f(x)圖象上，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)A．函數(shù)f(x)的最小正周期是πB．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)5πC．函數(shù)f(x)在?πD．函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6后，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)【解題思路】A選項(xiàng)，根據(jù)M、N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱得到C點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到最小正周期T=π；B選項(xiàng)，根據(jù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)?π6,0對(duì)稱和最小正周期得到B正確；C選項(xiàng)，求出ω=2πT=2，將π12,A代入解析式求出【解答過程】A選項(xiàng)，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，故xC設(shè)fx的最小正周期為T，則12T=B選項(xiàng)，可以看出函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)?π又fx的最小正周期T=故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)5πC選項(xiàng)，又ω>0，故ω=2π3+?π6解得π6又|φ|<π2，故當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，滿足要求，故又當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=Asinπ3則fx當(dāng)x∈?π2由于y=sinz在故fx=AsinD選項(xiàng)，gx又g?x=Asin故選：C.4．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知函數(shù)fx=22A．函數(shù)fx的最小正周期是B．函數(shù)fx在區(qū)間πC．函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)?D．函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=2sin2x【解題思路】根據(jù)三角恒等式對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)得fx【解答過程】fx=2=sin2x+cos2x?1=2當(dāng)x∈π8,又y=sinx在[π2,因?yàn)閒(?π8)=2sin將y=2sin2x的圖象向右平移π8個(gè)單位得到y(tǒng)=2故選：B．5．（2024·四川成都·三模）在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動(dòng)稱為“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”.在平面直角坐標(biāo)系下，某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)fx=Asinωx+φ（A>0，ω>0，①函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π②函數(shù)fx的解析式可以為f③函數(shù)fx在π12,④若把fx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的23倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移πA．①③ B．②③ C．③④ D．①④【解題思路】根據(jù)圖象求出函數(shù)表達(dá)式，對(duì)于①，由代入檢驗(yàn)法判斷；對(duì)于②，由誘導(dǎo)公式檢驗(yàn)；對(duì)于③，由整體代入法求值域檢驗(yàn)；對(duì)于④，由平移、伸縮變換法則驗(yàn)算即可判斷.【解答過程】由圖可知A=2,3T4=且2×π3+φ=又因?yàn)棣?lt;π，所以只能所以fx對(duì)于①，fπ對(duì)于②，fx對(duì)于③，當(dāng)x∈π12,13π24時(shí)，從而函數(shù)fx在π12,對(duì)于④，若把fx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的23倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移則所得函數(shù)是f3綜上，正確的編號(hào)是②③.故選：B.6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)fx=sinx的圖象向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1ω(ω>0)倍，可以得到函數(shù)gx的圖象，若A．0,53 B．53,3 C．【解題思路】先根據(jù)圖象的變換求出gx【解答過程】將函數(shù)fx=sinx的圖象向左平移再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1ω(ω>0)倍，得到函數(shù)g因?yàn)閤∈π6,因?yàn)間x在π6,即π6ω+π因?yàn)?k?1≤2k+53ω>0?k≤故選：A.7．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的音樂噴泉曲線，我們叫葫蘆曲線（像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），每過相同的間隔，它的振幅就變化一次，且過點(diǎn)M3π4,32，其對(duì)應(yīng)的方程為y=2?122xπsinωx（x≥0，A．±1 B．±22 C．±1【解題思路】先代入M3π4,32，求出ω=2，從而【解答過程】由題意得32=2?所以sin3ω因?yàn)?<ω<3，所以34故3ω4π=所以y=將x=7π6故y=±3所以點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為±3故選：D.8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)fx=sinωx?π6(0<ω<6)的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)A．fx的最小正周期為π B．函數(shù)FC．fx在π2,2π3上單調(diào)遞減【解題思路】A選項(xiàng)，根據(jù)圖象的平移變換得到gx=sinωx?ωπ12?π6，然后根據(jù)0,πω是【解答過程】由題意得gx因?yàn)?,πω是gx的一個(gè)遞增區(qū)間，所以g因?yàn)?<ω<6，所以ω=4，T=2Fx所以函數(shù)Fx的最大值為3x∈π2,2π3則4x?所以fx在πfx的圖象如上，由fx與y=?12的圖象交點(diǎn)可知，故選：D.二、多選題9．（2024·新疆喀什·三模）已知函數(shù)fx=3A．fB．函數(shù)fx的最小正周期為C．x=π3是函數(shù)D．函數(shù)fx的圖象可由y=sin2x【解題思路】A由降冪公式，輔助角公式可得答案；B由周期計(jì)算公式可得答案；C將x=πD由函數(shù)圖象平移知識(shí)可得答案．【解答過程】Ａ選項(xiàng)，fxB選項(xiàng)，由A選項(xiàng)結(jié)合周期計(jì)算公式可知最小正周期為2πC選項(xiàng)，將x=π3代入2x?π6=π2D選項(xiàng)，y=sin2x的圖象向右平移π12故選：ACD.10．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<A．gx的一個(gè)對(duì)稱中心B．gx的對(duì)稱軸方程為C．gx在0,πD．gx的單調(diào)遞減區(qū)間為【解題思路】由題圖可得fx=3【解答過程】由題圖可得A=3，34T=又f5可得5π6+φ=因?yàn)?<φ<π，所以φ=2π所以g=?32sin對(duì)于A，當(dāng)x=π6，所以π6,0不是對(duì)于B，令2x+π3=故gx的對(duì)稱軸方程為x=對(duì)于C，x∈0,π2時(shí)，2x+故gx在0,π2對(duì)于D，令2kπ≤2x+π所以gx的單調(diào)遞減區(qū)間為k故選：BCD．11．（2024·廣西南寧·一模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為110米，轉(zhuǎn)盤直徑為100米，摩天輪的圓周上均勻地安裝了36個(gè)座艙，游客甲從距離地面最近的位置進(jìn)艙，開啟后摩天輪按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，開始轉(zhuǎn)動(dòng)t分鐘后距離地面的高度為H米，當(dāng)t=15時(shí)，游客甲隨艙第一次轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處．如圖，以摩天輪的軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則Ht=AsinA．H關(guān)于t的函數(shù)HtB．若在t1,tC．摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時(shí)長(zhǎng)為10分鐘D．若甲、乙兩游客分別坐在P,Q兩個(gè)座艙里，且兩人相隔5個(gè)座艙（將座艙視為圓周上的點(diǎn)），則劣弧PQ的弧長(zhǎng)l=50【解題思路】對(duì)A，先根據(jù)題意確定各參數(shù)的值，再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性判斷即可；對(duì)B，根據(jù)Ht1=Ht2代入解析式可得π15t1=2k【解答過程】對(duì)A，由題意，A=50,所以Ht=50sinπ15t+φ+60故Ht=50sin對(duì)B，由題意Ht1=H即cosπ15t1=k∈N,t1≠t2對(duì)C，由題意50sinπ15t?π所以2kπ+2π3所以摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時(shí)長(zhǎng)為10分鐘，故C正確；對(duì)D，因?yàn)槟μ燧喌膱A周上均勻地安裝著36個(gè)座艙，故每個(gè)座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為2π36因?yàn)镻,Q兩個(gè)座艙相隔5個(gè)座艙，所以劣弧PQ對(duì)應(yīng)的圓心角是π18故l=π故選：BCD.三、填空題12．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）宋朝詩(shī)人王镃在《蜻蜓》中寫到：“輕綃剪翅約秋霜，點(diǎn)水低飛戀野塘”，描繪了蜻蜓點(diǎn)水的情形，蜻蜓點(diǎn)水會(huì)使平靜的水面形成水波紋，截取其中一段水波紋，其形狀可近似于用函數(shù)fx=Asinωx+φA>0，【解題思路】利用圖象可以觀察出振幅和周期，也就是能求出A,ω，最后通過代入最高點(diǎn)坐標(biāo)去求φ即可.【解答過程】由題知：A=1，T=2πω=4π又∵f(π6)=1，φ<π故答案為：sin313．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動(dòng)力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史.如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為3米的筒車按逆時(shí)針方向做每6分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車的軸心O距離水面BC的高度為1.5米，設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P的初始位置為點(diǎn)D（水面與筒車右側(cè)的交點(diǎn)），從此處開始計(jì)時(shí)，t分鐘時(shí)，該盛水筒距水面距離為H=ft=Asinωt+φ+bA>0,ω>0,【解題思路】由題意得T=6，ω=2πT=π3，A=3,b=1.5，又【解答過程】由題意得T=6，又ω>0，故ω=2且A+b=4.5,?A+b=?1.5，解得A=3,b=1.5，故H=ft當(dāng)t=0時(shí)，H=0，即3sinφ+1.5=0，又φ<π2故H=ft所以f=3sin故答案為：3.14．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)fx=sinωx?π6(0<ω<6)的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)gx的圖象，若0,πω【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出gx，再由0,πω是gx的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，可求出ω的值，從而可求出f(x)的解析式，再由x∈0,【解答過程】因?yàn)閷⒑瘮?shù)fx=sinωx?π所以gx所以gx的最小正周期為T=所以0,πω是因?yàn)?,πω是gx所以?ωπ12因?yàn)?<ω<6，所以ω=4，所以fx當(dāng)x∈0,π時(shí)，由fx4x?π6=?π6，或4x?π6所以方程fx=?1故答案為：5.四、解答題15．（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)完善下面的表格并作出函數(shù)fx在0,2x??0π11x5f1(2)將函數(shù)fx的圖象向右平π3個(gè)單位后再向上平移1個(gè)單位得到gx【解題思路】（1）由表格中所給數(shù)據(jù)計(jì)算得到其他對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)完善表格；由五點(diǎn)作圖法繪出函數(shù)fx在0,（2）函數(shù)fx的圖象向右平π3個(gè)單位后再向上平移1個(gè)單位得到gx【解答過程】（1）表格如下：2x??0ππ

311x

0ππ7π5

πf

?010

?1

?函數(shù)fx在0,（2）將函數(shù)fx的圖象向右平π3個(gè)單位后再向上平移1個(gè)單位得到則gx所以gx≥1則2kπ+得kπ+所以不等式gx≥116．（2024·甘肅·一模）如圖，角αα∈R的始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為M,M到直線OP的距離為MN.若將MN關(guān)于角α的函數(shù)關(guān)系記為y=f

(1)求y=fx(2)將fx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移π6個(gè)單位