費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題-【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（解析版）(一)-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題12費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題

解題策略

krerrmiu,ioul年8月17日-1665年1月12日），生于法國(guó)南部圖盧茲

附近的波蒙?德?羅曼，被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王.1643年，費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何

問(wèn)題：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的

點(diǎn)的位置.另一位數(shù)學(xué)家托里拆利成功地解決了這個(gè)問(wèn)題：如圖1,△A8C（三個(gè)內(nèi)角均

小于120°）的三條邊的張角都等于120°,即滿足NAPB=NBPC=NAPC=120°的點(diǎn)

P,就是到點(diǎn)A,B,C的距離之和最小的點(diǎn)，后來(lái)人們把這個(gè)點(diǎn)P稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.

下面是“費(fèi)馬點(diǎn)”的證明過(guò)程：如圖2,將△AP8繞著點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P'

B,使得A'P'落在△ABC外，則AA'AB為等邊三角形，：.P'B=PB=PP',

于是必+PB+PC=P'A'+PP'+PC^A'C,

...當(dāng)A,P=P,C四點(diǎn)在同一直線上時(shí)B4+PB+PC有最小值為4c的長(zhǎng)度，

,:P'B=PB,NPBP=60°,

...△PBP為等邊三角形，

則當(dāng)4,P,P,C四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，

ZBPC=1800-NP'PB=180°-60°=120°,

NAP8=NA'PB=180°-NBP'P=180°-60°=120°,

NAPC=360°-ZBPC-ZAPC=360°-120°-120°=120°,

...滿足/AP8=NBPC=NAPC=120°的點(diǎn)P,就是到點(diǎn)A,B,C的距離之和最小的點(diǎn)；

圖2

經(jīng)典例題

\見(jiàn)如因\"，3為△A8C所在平面上一點(diǎn),且N4PB=/BPC=/Cfi4=120°,則

點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

ABf

B

圖⑴圖⑵

(1)如點(diǎn)尸為銳角的費(fèi)馬點(diǎn).且NA8C=60°,%=3,PC=4,求尸8的長(zhǎng).

(2)如圖(2),在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACS'連接.求證：BB'過(guò)△ABC的

費(fèi)馬點(diǎn)尸，且88'=PA+PB+PC.

(3)已知銳角△ABC,ZACB=60°,分別以三邊為邊向形外作等邊三角形AB￡),BCE,

ACF,請(qǐng)找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，并探究SAABC與SAABD的和，S^BCE與S”CF的和是否相

等.

【分析】(1)由題意可得△ABPsZ\8CP,所以即尸8=2五；

(2)在8B'上取點(diǎn)P,使/BPC=120°,連接AP,再在PB'上截取PE=PC,連接CE.由

此可以證明為正三角形，再利用正三角形的性質(zhì)得到PC=CE,ZPCE=60°,

NCE3=120°,而△AC8為正三角形，由此也可以得到AC=B'C,ZACB'=60°,現(xiàn)在

根據(jù)已知的條件可以證明△ACP好△8CE,然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的

結(jié)論；

(3)作CP平分/AC8,交BC的垂直平分線于點(diǎn)P,P點(diǎn)即費(fèi)馬點(diǎn)；

要證明以上結(jié)論，需創(chuàng)造一些條件，首先可從△ABC中分出一部分使得與△ACF的面積

相等，則過(guò)A作AM〃尸C交8c于M,連接OM、EM,就可創(chuàng)造出這樣的條件，然后再

證其它的面積也相等即可.

【解析】(1)；NRW+/P&4=180°-ZAPB=60Q,

ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

；./如B=NPBC,

又；NAP8=N8PC=120°,

:.△ABPs/\BCP,

?PA=PB

"PBPC

：.PB2=PA'PC=\2,

:.PB=2M;

(2)證明：在88'上取點(diǎn)P,使N3PC=120°.連接4P,再在尸2'匕截取PE=PC,連

接CE.

：.ZEPC^60Q,

...△PCE為正三角形，

:.PC=CE,ZPCE=60Q,NCEB，=120°.

???△ACS為正三角形，

C.AC^B'C,ZACB'=6Q°,

ZPCA+ZACE=ZACE+ZECB'=60°,

：.ZPCA=ZECB',

...△ACP絲CE,

；.NAPC=NB'￡C=120°,PA=EB',

ZAPB^ZAPC=ZBPC=120°,

尸為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

.?.BB'過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.

(3)如下圖，

作CP平分/ACB,交8c的垂直平分線于點(diǎn)P,P點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn);

證明：過(guò)4作AM〃尸。交8c于M,連接。M、EM,

VZACfi=60°,/C4尸=60°,

，ZACB=ZCAF,

：.AF//MC,

...四邊形AMCF是平行四邊形，

又：/;A=FC,

四邊形4MCF是菱形，

：.AC=CM^AM,且NMAC=60°,

?.?在△B4C與△EMC中，

CA=CM,ZACB=ZMCE,CB=CE,

'：ZDAM=ZDAB+ZBAM=60°+ZBAM

NBAC=/M4C+/BAM=60°+ZBAM

：.NBAC=ZDAM

在△ABC和△AOM中

AB=AD,ZBAC=ZDAM,AC=AM

：.^ABC^^ADM(SAS)

故△ABCdMECdAOM,

在CB上截取CM,使CM=C4,

再連接AM、DM、EM(輔助線這樣做△/!〃€■就是等邊三角形了，后邊證明更簡(jiǎn)便)

易證△AMC為等邊三角形，

在△ABC與△〃￡：(；中，

CA=CM,ZACB=ZMCE,CB=CE,

：.AABC^AA/EC(SAS),

：.AB=ME,ZABC=AMEC,

又；。8=AB,

；.DB=ME,

/DBC=ZDBA+ZABC^60°+ZABC,

NBME=NBCE+NMEC=60°+ZMEC,

：.NDBC=NBME,

J.DB//ME,

即得到DB與ME平行且相等，故四邊形DBEM是平行四邊形，

四邊形DBEM是平行四邊形，

.".S^/3DM+S^DAM+S^MAC=S^BEM+S^EMC+SMCF,

即SMBC+SMBD=SABCE+SMCF.

【例21探究問(wèn)題:

（1）閱讀理解：

①如圖（A）,在已知aABC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小，

則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離；

②如圖（8）,若四邊形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則有A8?CQ+8C?D4=AC?8。.此

為托勒密定理；

（2）知識(shí)遷移：

①請(qǐng)你利用托勒密定理，解決如下問(wèn)題：

如圖（C）,已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的前上任意一點(diǎn).求證：PB+PC^PA；

②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋AABC（其中N4、NB、NC均小于120°）的

費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：

第一步：如圖（。），在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△8C。及其外接圓；

第二步：在?5±任取一點(diǎn)P,連接PA、P'B、P'C、P'D.易知尸'A+P'B+P'

C=P'A+CP'B+P'C）=P'A+P'D

第三步：請(qǐng)你根據(jù)（1）①中定義，在圖（。）中找出△A8C的費(fèi)馬點(diǎn)P,并請(qǐng)指出線段

也—的長(zhǎng)度即為△A8C的費(fèi)馬距離.

2010年4月，我國(guó)西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見(jiàn)的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困

難，為解決老百姓的飲水問(wèn)題，解放軍某部來(lái)到云南某地打井取水.

已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖（E）所示的△A8C（其中乙4、NB、/C均小于120°）,

現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使從水井戶到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，求輸

水管總長(zhǎng)度的最小值.

【分析】（2）知識(shí)遷移①問(wèn)，只需按照題意套用托勒密定理，再利用等邊三角形三邊相

等，將所得等式兩邊都除以等邊三角形的邊長(zhǎng)，即可獲證.②問(wèn)，借用①問(wèn)結(jié)論，及線

段的性質(zhì)“兩點(diǎn)之間線段最短”數(shù)學(xué)容易獲解.

（3）知識(shí)應(yīng)用，在（2）的基礎(chǔ)上先畫出圖形，再求解.

【解答】（2）①證明：由托勒密定理可知

?..△ABC是等邊三角形

：.AB=AC=BC,

：.PB+PC=PA,

②尸'D、AD,

（3）解：如圖，以8c為邊長(zhǎng)在△4BC的外部作等邊△BCD,連接A。，則知線段AO

的長(zhǎng)即為最短距離.

：△88為等邊三角形，8c=4,

；.NCBD=60°,BD=BC=4,

VZABC=30a,/.ZABD=90",

在RtZXABZ）中，：AB=3,BD=4,

VAB2+BD2=V32+42=5（如力，

從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度的最小值為5h”.

D

D

【例3].如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)。在x軸的正半軸

上，ZODB=30°,OE為△B。。的中線，過(guò)8、E兩點(diǎn)的拋物線x

軸相交于A、尸兩點(diǎn)（A在尸的左側(cè)）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）等邊△OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)P為△ABO內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)機(jī)=唐+尸8+尸0,請(qǐng)直接寫出，"的最小值，以及m

取得最小值時(shí)，線段AP的

【分析】（1）己知點(diǎn)8的坐標(biāo)，可求出08的長(zhǎng)：在RtZ\08。中，己知了/。力8=30°,

通過(guò)解宜角三角形即可求得。。的長(zhǎng)，也就得到了點(diǎn)。的坐標(biāo)；由于￡是線段8。的中

點(diǎn)，根據(jù)8、。的坐標(biāo)即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)：將8、E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即

可求得待定系數(shù)的值，由此確定拋物線的解析式；

（2）過(guò)E作EG_Lx軸于G,根據(jù)4、E的坐標(biāo)，即可用勾股定理求得AE的長(zhǎng)；

過(guò)。作AE的垂線，設(shè)垂足為K,易證得△AOKs/vlEG,通過(guò)相似三角形所得比例線

段即可求得OK的長(zhǎng)；在RtZXOMK中，通過(guò)解直角三角形，即可求得MK的值，而AK

的長(zhǎng)可在RtZXAEK中由勾股定理求得，根據(jù)AM=AK-KW或AM=AK+KM即可求得AM

的長(zhǎng)；

（3）由于點(diǎn)。到△ABO三頂點(diǎn)的距離和最短，那么點(diǎn)P是△AB。的費(fèi)馬點(diǎn)，即/AP。

=ZOPB=ZAPB=\20°；易證得△06E是等邊三角形，那么辦+PO+PB的最小值應(yīng)為

AE的長(zhǎng)；求AP的長(zhǎng)時(shí)，可作△OBE的外切圓（設(shè)此圓為。。），那么。。與AE的交點(diǎn)

即為，”取最小值時(shí)戶點(diǎn)的位置；設(shè)。。與x軸的另一交點(diǎn)（。點(diǎn)除外）為H,易求得點(diǎn)

。的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)”的坐標(biāo)，也就得到了AH的長(zhǎng)，相對(duì)于。。來(lái)說(shuō)，AE.A”都

是OQ的割線，根據(jù)割線定理即可求得AP的長(zhǎng).

【解析】（1）過(guò)E作EGJ_OO于G（I分）

,：ZBOD=ZEGD=90°,ZD=ZD,

:.ABODsAEGD,

?.?點(diǎn)B（0,2）,NOO8=30°,

可得08=2,0D=2?；

為8。中點(diǎn)，

.EGDEGD1

"BO"DB=OD1

：.EG=\,GD=V3

0G=V3

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（?,1）（2分）

:拋物線丫=2乂2率x+c經(jīng)過(guò)8（0,2）、E（V3,1）兩點(diǎn),

l=a（V3）2XV3+2，

可得a=4：

...拋物線的解析式為y=^x2率x+2：（3分）

（2）?.?拋物線與龍軸相交于A、F,4在尸的左側(cè)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為（—四，0）

.?.AG=2?,EG=1,

...在aAGE中，NAGE=90°,（273）2+12=V13⑺分）

過(guò)點(diǎn)。作OK_LAE于K,

可得△AOKs/^AEG

.OK_EG

"AO'AE

.OK]

"73=713

?，嚕

AK=7AO2-OK2

?..△OMN是等邊三角形，

/.NNMO=60°

V39

IT_OK一方.

KH-tanZKM0-布-13

?'-AM=AK+KM=^p-'或AM=AK-KM=5辱;（6分）

XOXO

（寫出一個(gè)給1分）

（3）如圖；

以A8為邊做等邊三角形AO'B,以0A為邊做等邊三角形A03'；

易證OE=O8=2,NO8E=60°,則△O8E是等邊三角形；

連接0。'、BB，、AE,它們的交點(diǎn)即為"，最小時(shí)，P點(diǎn)的位置（即費(fèi)馬點(diǎn)）：

"：OA=OB',NB'OB=/AOE=150°,OB=OE,

.?.△AOE絲0B-,

：.ZB'80=/AE。；

,：ZBOP=ZEOP',而NBO￡=60°,

.?.NPOP=6（T,

'△POP'為等邊三角形，

：.OP=PP',

：.PA+PB+PO=AP+OP'+P'E=AE；

即m坡小=AE=J]3；

如圖；作正△OBE的外接圓。Q,

根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)知NBPO=120°,則NPBO+/8OP=60°,而NEBO=NEOB=60°；

；.NPBE+/POE=180°,ZBPO+ZBEO=180°；

即8、P、0、E四點(diǎn)共圓；

易求得。（近，1）,則，（冬/1_,0）；

33

3

由割線定理得：AP-AE=OA-AH,

即：亙.

313

故：，〃可以取到的最小值為我

當(dāng)m取得最小值時(shí)，線段AP的長(zhǎng)為顯亙.

13

（如遇不同解法，請(qǐng)老師根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分）

1.已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如果aABC是銳角

（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足/AP8=N8PC=NCB4=

120°.（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）.若AB=AC=夜,BC=2禽，

尸為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則P+PB+PC=5；若AB=2百，BC=2,AC=4,P為/XABC

的費(fèi)馬點(diǎn)，則弘+P8+PC=.

【分析】①作出圖形，過(guò)B,C分別作N￡>BP=NOCP=30°,勾股定理解直角三角形即

可；

②作出圖形，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)則8,P,P,,C

四點(diǎn)共線，即M+P8+PC=BC,再用勾股定理求得即可.

【解析】如圖，過(guò)A作AQLBC,垂足為。，

過(guò)8,C分別作NO2P=NOCP=30°,則PB=PC,P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，

；A8=AC=V7，BC=2料，

;-BD=DC=yBC=V3）

?+0C。PDV3

.?tan30=而二

:?PD=1,

???AD=A/AB2-BD2=VT^3=2，

：.PA+PB+PC=5；

②如圖：

,:AB=2?,BC=2,AC=4,

：.AB2+BC2^]6,AC2=16,

：.AB2+BC2=AC2,NABC=90°,

：sinNBAC=^q=sin30。'

AC2

AZBAC=30°,

將△4PC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

由旋轉(zhuǎn)可得：△APCZ/V1PC,

：.AP'=AP,PC=P'C,AC^AC,ZCAC^ZPAP1=60°,

：.^APP'是等邊三角形，

：.ZBAC=90°,

為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，

即B,P,P',C四點(diǎn)共線時(shí)候，PA+PB+PC=BC,

；.PA+PB+PC=BP+PP”C=BC=ylhB2+hC‘2=4(2^)2+42

故答案為：5,2^7.

P

BC

A

2.在△ABC中，若其內(nèi)部的點(diǎn)尸滿足/428=/82。=/(7%=120°,則稱P為△ABC的

費(fèi)馬點(diǎn).如圖所示，在△ABC中，已知N8AC=45°,設(shè)尸為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且滿足

/P8A=45°,%=4,則△"(；的面積為4\6.

【分析】如圖，延長(zhǎng)BP交AC于￡),先說(shuō)明△A8D是等腰直角三角形，△AOP是30°

的直角三角形，可得P。和AO的長(zhǎng)，根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的定義可得/APC=120°,從而可知

△POC也是30°的直角三角形，可得CQ的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論.

【解析】如圖，延長(zhǎng)3尸交4c于。，

；NBAC=NPBA=45°,

/.ZADB=90°,AD^BD,

為ZvlBC的費(fèi)馬點(diǎn)，

.?.NAP8=/CB4=12O°,

：.ZBAP=\S0a-120°-45°=15°,

：.ZPAC^45°-15°=30°,

=60°,

RtZ\B4。中，VB4=4,

:.PD=2,A￡)=2禽，

VZAPC=120°,

：.ZCPD=120°-60°=60°,

Rtz^POC中，/PCD=30°,

；.CQ=2代，

.*.*=4。+。=2禽+24=4禽，

C的面積為/AOPD4X4炳X2=4V3-

故答案為：473.

3.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形A3。中，點(diǎn)M,N分別為AB、8c上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持

BM=CN.連接MN,以例N為斜邊在矩形內(nèi)作等腰Rt^MNQ,若在正方形內(nèi)還存在一

點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)。、點(diǎn)。的距離之和的最小值為3+3JR.

【分析】根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)BM=BN=3

時(shí)，Q點(diǎn)到AD距離最近，此時(shí)。點(diǎn)是AC和BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。加，月。于點(diǎn)M',

在△ADQ內(nèi)部過(guò)A、。分別作NA/'DP=ZM'AP=30°,則NAPD=/APQ=/OPQ

=120°,點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)以+PO+PQ最小，根據(jù)特殊直角三角形才求出AQ,PA,

PD,P。的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案.

【解析】設(shè)8M=x,則BN=6-x,

'：MN2=BM2+BN2,

二例M=/+(6-x)2=2(x-3)2+18,

，當(dāng)元=3時(shí)，MN最小,

此時(shí)。點(diǎn)離A。最近，

?:BM=BN=3,

???Q點(diǎn)是AC和8。的交點(diǎn)，

：.AQ=DQ=^-AD=3\[2<

2

過(guò)點(diǎn)Q作QM'_LAQ于點(diǎn)M',在△49Q內(nèi)部過(guò)4、。分別作NM'DP=NM'AP=

30°,則/4尸。=/4「。=/￡)/>。=120°,點(diǎn)/5就是費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)％+PD+PQ最小，

在等腰中，AQ=OQ=3&,QM'_LA。，

：.AM=QMf=*_AQ=3,

故cos300=幽——，

PA

解得：PA=243,則PM'=禽，

故QP=3-盜，同法可得尸3=2禽，

則PA+PD+PQ=2X2A/3+3-愿=3+3愿，

...點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)。、點(diǎn)。的距離之和的最小值為3+3愿,

故答案為3+3

4.如果點(diǎn)尸是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫AABC的

費(fèi)馬點(diǎn).已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)NAP8=/APC=NBPC=

120°時(shí),P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為我的等腰直角三角形OE尸的費(fèi)馬點(diǎn)，

則PD+PE+PF=_43±\_.

（分析】過(guò)點(diǎn)D作DMLEF于點(diǎn)、M,在ABDE內(nèi)部過(guò)E、尸分別作NMEP=ZMFP=30°,

則/￡/于=/尸「。=/￡2。=120°,點(diǎn)戶就是費(fèi)馬點(diǎn)，求出PE,PF,OP的長(zhǎng)即可解決

問(wèn)題；

【解析】如圖：過(guò)點(diǎn)D作DM±EF于點(diǎn)M,在△BOE內(nèi)部過(guò)E、F分別作N?WEP=N

MFP=30。，則/曰）/=//7>￡）=/后尸。=120°,點(diǎn)尸就是費(fèi)馬點(diǎn)，

在等腰RtZkDEF中，DE=DF=?,DMLEF,

:.EF=?DE=2

:.EM=DM=1,

故cos30°=?L,

PE

解得：PE=22S應(yīng)，則

33

故DP=\-叵,同法可得PF=2限

33

則PD+PE+PF=2X^ZL+l-2^=我+1.

33

故答案為我+i.

5.法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在aABC內(nèi)存在一點(diǎn)P,使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小.人

們稱這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)南+P8+PC的值為費(fèi)馬距離.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△4BC中，

費(fèi)馬點(diǎn)。滿足/4)8=/2/^=/61%=120°,如圖，點(diǎn)P為銳角AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且

布=3,PC=4,NABC=60°,則費(fèi)馬距離為7+2、2.

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解.

：N4P8=/8PC=/Cai=120,/ABC=60°,

.,.Zl+Z3=60°,Zl+Z2=60°,N2+N4=60°,

.-.Z1=Z4,Z2=Z3,

.?.△BPCS/XAPB

?PC=PB

"PBPA'

即PB2=\2

，P8=2歷

：.PA+PB+PC=1+143

故答案為：7+2我.

二.解答題(共20小題)

6.定義：在一個(gè)等腰三角形底邊的高線上所有點(diǎn)中，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)

叫做這個(gè)等腰三角形的“近點(diǎn)”，“近點(diǎn)”到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和叫做這個(gè)等腰三角形的“最

近值”.

【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,在等腰RtA^BC中，N84C=90°,AD為BC邊上的高，已知AO上一點(diǎn)

E滿足NDEC=60°,4C=4&，AE+BE+CE=12+4A/3_；

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,等邊三角形A8C邊長(zhǎng)為4料，E為高線AO上的點(diǎn)，將三角形AEC繞點(diǎn)

4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG,連接EF,請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究求出等邊三角

形A8C的“最近值”；

【拓展提高】

(3)如圖3,在菱形ABCC中，過(guò)A8的中點(diǎn)E作AB垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接

AC、DB,已知/BD4=75°,AB=6,求三角形AFB“最近值”的平方.

圖1圖2圖3

【分析】(1)△CDE為含30°角直角三角形，可求出DE、CE的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出結(jié)果.

(2)aAEF為等邊三角形，可得AE+BE+CE=EF+BE+GF,故當(dāng)8、E、F、G四點(diǎn)共線

時(shí)，EF+8E+G尸最小，進(jìn)而可得乙4后8=乙4￡<?=/8￡：。=120°,即可求出結(jié)果.

(3)作。于點(diǎn)M,可知進(jìn)而可推出△ABF為等腰直角三角形，

2

結(jié)合(2)中的結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)P滿足：ZAPF=ZBPF=ZAPB=120°時(shí)，辦+P8+PF最小，

進(jìn)而結(jié)合(1)中方法求出結(jié)果.

【解析】(1)：A8=AC,/a4C=90°,AC=4找，

：.BD=CD=AD=4我，

,.?/￡>EC=60",

V3

：.AE=AD-DE=4A/3-4>CE=BE=2DE=8,

：.AE+BE+CE=4V3-4+8X2=12+473；

故答案為：12+4、/*^；

(2)由題意可得：AE^AF,/EAF=60°,

...△EAF為等邊三角形，

：.AE=EF=AF,

：.AE+BE+CE=EF+BE+GF,

；B、G兩點(diǎn)均為定點(diǎn)，

...當(dāng)8、E、F、G四點(diǎn)共線時(shí)，EF+8E+G尸最小,

AZA￡B=120°,ZAEC=ZAFG=\20°,

/.ZBEC=120",

，此時(shí)E點(diǎn)為等邊△ABC的中心，

：.AE+BE+CE=3AE=3X-fi-=12>

V3

故等邊三角形ABC的“最近值”為12；

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)M,

,:NBDA=15°,AB=AD,

：.ZDAB=30°,

：.2DM=AD=AB,

'：AB//CD,

；.EF=DM,

：.2EF=AB,

：.AE=BE=EF=3,

：.^AEF與△BEF均為等腰直角三角形，

...△A8尸為等腰直角三角形，

設(shè)P為EF上一點(diǎn)，由(2)得：ZAPF=ZBPF=120°時(shí)，*PB+PF最小,

此時(shí)：￡7>=單_=我，

.'.AP=BP=2EP=2/3<FP=EF-EP=3-M，

：.AP+BP+FP^2/3+2V3+3-V3=3+3?，

(AP+BP+FP)2=(3+3V3)2=36+l8V3.

...三角形AF8“最近值”的平方為36+18?.

7.如圖①，P為AABC所在平面上一點(diǎn)，且NAPB=/8PC=NC以=120°,則點(diǎn)P叫做

△4BC的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)尸為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且/ABC=60°.

①求證：△ABPsLBCP；

②若出=3,PC=4,求P8的長(zhǎng).

(2)己知銳角三角形ABC,分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD,

CE和相交于P點(diǎn)，連結(jié)AP,如圖②.

①求NCPD的度數(shù)；

②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【分析】(1)①由三角形內(nèi)角和定理可求NP54+N用8=60°,可證NPBC=/BAP,

可得結(jié)論；

②由相似三角形的性質(zhì)可得改型，即可求解；

PBPC

(2)①由“SAS”可證可得/1=N2,即可求解；

②通過(guò)證明可得空M，可證△AFPs/\c4凡可得

CPPF

=60°,可得結(jié)論.

【解答】(1)①證明：：點(diǎn)尸為銳角三角形A8C的費(fèi)馬點(diǎn)，

...NAPB=NBPC=/C%=120°,

：.ZPBA+ZPAB=60a,

；/ABC=60°,

，NA8P+NP8C=60°,

NPBC=ZBAP,

又；NAPB=NBPC,

，△ABPsgCP，

②解：V/XABP^^BCP,

.PAPB

"PB'PC"

又：勿=3,PC=4,

?-?-3-=-P-B--

PB4

:,PB=2心

(2)①解：設(shè)AC與8。的交點(diǎn)于F,

如圖，".?△ABE與△ACO都為等邊三角形，

.?./84E=NCAD=60°,AE^AB,AC^AD,

：./BAE+/BAC=ZCAD+ZBAC,即NEAC=/BAD,

在△ACE和△AO8中，

，AC=AD

-ZEAC=ZBAD-

EA=AB

A/\ACE^/\ADB(SAS),

.*.Z1=Z2,

；N3=/4,

.*.ZCPD=Z6=Z5=60o；

②證明：VZ1=Z2,N5=N6,

△ADFsXCFP,

?AFDF

"CP"PF'

：.AF-PF=DF-CP,

'：NAFP=NCFD,

/APF=NACD=60°,

APC=/CP￡>+/APF=120°,

:.ZBPC=no0,

.?.NAP8=360°-Z.BPC-ZAPC=120°,

...尸點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

8.如圖1,。、E、尸是等邊三角形A8C中不共線三點(diǎn)，連接4。、BE、CF,三條線段兩兩

分別相交于。、E、F.已知AF=BO,NEDF=60：

(1)證明：EF=DF；

(2)如圖2,點(diǎn)M是ED上一點(diǎn)，連接CM,以CM為邊向右作aCMG,連接EG.若

EG=EC+EM,CM=GM,ZGMC=ZGEC,證明：CG=CM.

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)例與點(diǎn)。重合時(shí)，若G￡)=4,請(qǐng)問(wèn)在

△AC。內(nèi)部是否存在點(diǎn)P使得P到△ACQ三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小,若存在請(qǐng)直接寫出距

離之和的最小值；若不存在，試說(shuō)明理由.

【分析】(1)可先推出/C4尸再證△AC尸絲△84Z),即可得出結(jié)論；

(2)在EF上截取￡N=EM,連接MN,可推出是等邊三角形，可證△NCMgA

EGM,然后推出△CMG是等邊三角形，從而問(wèn)題得證；

(3)先求得將△￡＞「(？繞點(diǎn)〃順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG,連接AG,可得

3

△PD。是等邊三角形，于是AP+PD+CP=AP+PQ+QG,故當(dāng)A、P、Q、G共線時(shí)，

AP+PQ+CP最小=AG,最后解斜三角形4QG,從而求得.

【解答】(1)證明：如圖1,

△ABC是等邊三角形,

：.AC=AB,

ZACB=60°,

，NCA尸+ND48=60°,

VZEDF=60°,

：.ZDAB+ZABD=60°,

：.ZCAF=NA8D,

?：AF=BD,

：.^ACF^ABAD(S4S),

：.EF=DF；

EF=DF,NEDF=60°,

???△OE/是等邊三角形，

：?NDEF=60°,

在石尸上截取硒=EM,連接MM

:.CN=CE+EN=CE+EM=EG,

???△EMN是等邊三角形，

：.ZCNM=60°,

?：NGMC=NGEC,Na=N0,

:?/NCM=NEGM,

?:CM=GM,

:?△NCMWdEGM(SAS),

；?NMEG=NCNM=60°,

：.ZCEG=1800-NMEG-NFED=60°,

；?NGME=NGEC=60°,

■:CM=GM,

???△CA/G是等邊三角形，

JCG=CM；

(3)解：如圖3,

E

由⑴（2）知，

△DEF和ACDG是等邊三角形,

：.ZCFD=60°，CO=GZ）=4,

U：CD±AD,

：.ZCDF=90°,

：.AD=CF=—2P=3后,

sin6003

將△￡）「（：繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△OQG,連接AG,

：.AD=DQ,CP=QG,

...△PQ2是等邊三角形，

：.PD=PQ,

."P+PO+"=AP+PQ+QG,

.?.當(dāng)A、P、。、G共線時(shí)，AP+PO+CP最小=AG,

作GHLAD于H,

在RtaQGH中，

GH=^DG=2,

2

DH=^-DG=2M，

2

；.AH=AD+DH=2M=此愿,

33

?■?AG=VGH2+AH2

."P+PO+CP的最小值是

9.【問(wèn)題情境】

如圖1,在△4BC中，ZA=120°,AB^AC,BC=5如,則△ABC的外接圓的半徑值

為5.

【問(wèn)題解決】

如圖2,點(diǎn)P為正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且NBPC=90°,若A8=4,求AP的最小值.

【問(wèn)題解決】

如圖3,正方形A8C。是一個(gè)邊長(zhǎng)為3d的隔離區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門，點(diǎn)E在邊

BC上,CE=J§cm,點(diǎn)尸是正方形ABCZ）內(nèi)設(shè)立的一個(gè)活動(dòng)崗哨，到8、E的張角為120°,

即NBPE=120°,點(diǎn)A、O為另兩個(gè)固定崗哨.現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個(gè)補(bǔ)水供給

點(diǎn)Q,使得。到A、D、P三個(gè)崗哨的距離和最小，試求QA+QO+QP的最小值.（保留

根號(hào)或結(jié)果精確到lew,參考數(shù)據(jù)愿F.7,10.52=110.25）.

【分析】（1）作出三角形的外接圓O,證明△OBA是等邊三角形，利用三線合一性質(zhì)計(jì)

算即可；

（2）點(diǎn)P在以8c為直徑的圓上，根據(jù)圓心，P,A三點(diǎn)共線時(shí)AP最小，計(jì)算即可；

（3）如圖3,設(shè)N8PE所在圓的圓心為點(diǎn)O,根據(jù)（1）可得/BPE所在圓的半徑，以

點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將△OQA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△OFN,當(dāng)N,F,Q,P,。共線時(shí)，

04+QD+QP最小，構(gòu)造直角三角形求解即可.

【解析】（1）如圖1,作△A8C的外接圓。，作直徑AQ,連接08,

"：AB=AC,

：.AO±BC,N8AO=60°,

'：OA=OB,

.?.△084是等邊三角形，

：.AB=OA=OB,

設(shè)A。與8C交于點(diǎn)E,BE=LBC=酎2,

22

在直角三角形ABE中,

?.?sin/&40=里

AB

5?

.".sin60°=_2_=返

AB2

：.AB=5f

?,.OA=5,

故答案為：5；

VZ?PC=90°,

點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)O,

則OP=JLBC=2,

2

：.O,P,A三點(diǎn)線時(shí)AP最小，

在直角三角形A80中，

AO=VAB2OB2=2V5-

:尸0=2,

：.AP的最小值為：AO-PO=2爬-2；

蚯

~~5~

(3)如圖3,設(shè)N8PE所在圓的圓心為點(diǎn)O,根據(jù)(1)可得NBPE所在圓的半徑為—一

V3

2

=2,以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將△OQA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△OFM當(dāng)MF,Q,P,

。共線時(shí)，QA+QQ+QP最小，過(guò)點(diǎn)N作NGLA8交8A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AM則

△4ND是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)。作OM_LGN于M交8c于點(diǎn)打，連接08,

:四邊形A8C￡＞是正方形,

：.AD//BC//GN,

：.OH±BC,

,:BE=2M，

:

0//=VOB2-BH2=1，

YAD=DN,/ADN=6Q°,

.?.△AN。是等邊三形，且AV=3禽，NNAC=60°,

ZGAN=30°,

GN=ANsin30。=AG=ANcos30°=9,

22

A0M=OH+AB+AG^^-+1+35/3—+373-MN=GN--M=^-,

2222

OEGM+MN2r吟+3\^V+（冬2,11,

...QA+QD+QP最小值為：11-2=9（cm）.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a?+bx-8的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,直線y=正號(hào)（20）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與拋物線交于另一點(diǎn)R,已知。C=2O4,08

=3OA.

(1)求拋物線與直線的解析式；

(2)如圖1,若點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做PHLAR于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)P做

「?！ā份S交拋物線于點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)P做P”'軸于點(diǎn)H',K為直線PH'上一點(diǎn)，且

PK=2如PQ,點(diǎn)/為第四象限內(nèi)一點(diǎn)，且在直線PQ上方,連接/P、/Q、/K,記

PQ,m=lP+IQ+lK,當(dāng)/取得最大值時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)〃?的最小值.

(3)如圖2,將點(diǎn)A沿直線AR方向平移13個(gè)長(zhǎng)度單位到點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M做MNLx軸,

交拋物線于點(diǎn)N,動(dòng)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，連接MD、DN,再將沿直線MD翻折

為AMDN'(點(diǎn)M、N、D、N'在同一平面內(nèi))，連接AN、AN'、NN',當(dāng)△AMV'

為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

y八『個(gè)

圖1圖2

【分析】(1)令二次函數(shù)x=0,解出C點(diǎn)坐標(biāo)(0,-8),根據(jù)已知條件可知點(diǎn)A(-4,

0)點(diǎn)B(12,0).代入解析式從而求得拋物線和直線解析式.

(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為p,求出對(duì)稱軸為直線x=4,根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，

從而求出PQ的長(zhǎng)度，延長(zhǎng)PK交直線4R與點(diǎn)例,利用一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，

PM線段長(zhǎng)可表示,利用△尸，MS/VIEO,求出PH的長(zhǎng)度，則/可用點(diǎn)p的代數(shù)式表示，

從而求得最大值，點(diǎn)P坐標(biāo)也可求出，由，〃=/P+/Q+/K求其最小值可知，點(diǎn)/為△PQK

的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

(3)由點(diǎn)A平移13個(gè)單位可知點(diǎn)M的坐標(biāo)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)可求為(8,-8)可求4N

的長(zhǎng)度，MN的長(zhǎng)度為13,因?yàn)榉劭芍狹N'的長(zhǎng)度也為13,則N'在以點(diǎn)M為圓心

13個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，再利用等腰三角形求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

【解答】解(1)???)，=以2+云-8與y軸的交點(diǎn)為C,令x=0,y=-8

...點(diǎn)C(0,-8)

0C=8

'：OC=2OA,0B=30A

；.0A=4,08=12

(-4,0)B(12,0)

將點(diǎn)A代入直線解析式可得0=-4"互

3

解得人=_L

12

.*.y=-5-x+—

123

將點(diǎn)A和點(diǎn)B代入拋物線中

f0=16a-4b-8

l0=144a+12b-8

解得a=—,b=-—

63

/?y=Ax2-Ax-8

'63

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(p,與2_g-8)

-至=4

b

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4

.?.點(diǎn)Q(8-p,|p2-1p-8)

:.PQ=2p-8

PK=2aPQ

；.PK=4料〃-1673

)

■：4PHM=NMH'A,NHMP=NAMH'

：.ZHPM=ZMAH

?..直線解析式為y=-Lx金，令x=o,y=~-

1233

3

VOA=4

根據(jù)勾股定理得

3

，COSNEAO=93=_1^.

AE13

cosZHPMh理=--------———=J2

PMJ,2212913

6P12p3

.PH-2221116

?，”FP

-1.PQ

24

p2aL-A(2p-8)=(p-5)2+85

213Pl3P134

...當(dāng)p=5時(shí)，/取最大值此時(shí)點(diǎn)產(chǎn)（5,2）

2

:.PQ=2,尸K=4?

如圖2所示，連接QK,以PQ為邊向下做等邊三角形PQD,連接KC,在KQ取/,

使/尸/。=60°,以P/為邊做等邊三角形/PF,連接/Q

?：IP=PF,PQ=PD,4PQ=NFPD

.?.△/PQ空△尸PO

:.DF=IQ

：.IP+1Q+IK=1F+FD+1K=DK,此時(shí)〃，最小

過(guò)點(diǎn)。作￡W垂直于KP

,/NKPD=NKPQ+NQPD=150°

：.ZPDN=30°

,;DP=PQ=2

:.DN=T,根據(jù)勾股定理得

在AKDN中,KN=543'DN=\,根據(jù)勾股定理得長(zhǎng)。=2?

：.m的最小值為2丁語(yǔ)

(3)設(shè)NM與x軸交于點(diǎn)./

：AM=13,cosNM4./=X

13

.?.A/=12,根據(jù)勾股定理得M/=5

：0A=4,；Q=8

：.M(8,5)

當(dāng)x=8時(shí)，代入拋物線中，可得y=-8

：.N(8,-8),MN=13

在△AJN中，根據(jù)勾股定理得AN=4

?.?點(diǎn)。為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)翻折，MN'=13,所以點(diǎn)N'在以朋為圓心，13個(gè)單位

長(zhǎng)度為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖3所示

tanZA/WA=-^-=—

82

.,.tan/MGJ=3,"：MJ=5

2

.?.1/G=」g,根據(jù)勾股定理得

33

,：MD\為NGMJ的角平分線

?.--M-G-=-G-D-

M.TD.T

D\（止5o）

22

也為角平分線

.,.ZDIMD4=90°

根據(jù)射影定理得M