2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題講次21 解直角三角形專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

專(zhuān)題21解直角三角形專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

典例剖析

LJ

1.（2020?上海九年級(jí)一模）某次臺(tái)風(fēng)來(lái)襲時(shí)，一棵筆直大樹(shù)樹(shù)干（假定樹(shù)干Z8垂直于

水平地面）被刮傾斜7°（即/以夕=7°）后折斷倒在地上，樹(shù)的頂部恰好接觸到地面。

處，測(cè)得/CD4=37°,/D=5米,求這棵大樹(shù)48的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：

sin37g0.6,cos37=0.8,tan37七0.75）

【答案】（3、6+4）米.

【分析】過(guò)點(diǎn)/作ZE_LC￡＞于點(diǎn)E,解RtZX/E。，求出OE及/E的長(zhǎng)度，再解Rta/EC,

得出CE及/C的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)/作/ELCO于點(diǎn)E,則//EC=//EO=90。.

:在RtZ\/ED中，NNOC=37。，

DEDE八0

；.cos37°=-----=------=0.8,.,.DE=4,

AD5

AEAE“

,；sin37°=-----=------=0.6,.'.AE—3,

AD5

在RtZ\/EC中，

/7

?.?/C/E=90。-ZJC￡=90°-60°=30°,：.CE=—AE=^,

：.AC=2CE=2yjj,

：.AB=AC+CE+ED=2y/j+y/3+4=3y/j+4(米).

答：這棵大樹(shù)48原來(lái)的高度是(373+4)米.

與D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(2020?上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級(jí)三模)已知：如圖，樓頂有一根天線，為了測(cè)量樓的高

度，在地面上取成一條直線的三點(diǎn)E、D、C,在點(diǎn)C處測(cè)得天線頂端A的仰角為60。，從

點(diǎn)C走到點(diǎn)D,CD=6米，從點(diǎn)D處測(cè)得天線下端B的仰角為45。.又知A、B、E在一條

線上，AB=25米，求樓高BE.

AA

B

□

□

□

□

□

□

L~~D

【答案】(7+19)米

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DE=BE,設(shè)BE=x米，則AE=(x+25)米,

AE

CE=(x+6)米，然后根據(jù)tanC=一列出方程即可求出結(jié)論.

CE

【詳解】解：；從點(diǎn)D處測(cè)得天線下端B的仰角為45。，；.DE=BE.

設(shè)BE=x米，則AE=(x+25)米，CE=(x+6)米,

在點(diǎn)C處測(cè)得天線頂端A的仰角為60°,

AEx+25

tanC=---=VJ,

CEx+6

.\x=—(7+1973)>即樓高BE=5(7+196)米?

答：樓高BE為g(7+19V3)米.

【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決此

題的關(guān)鍵.

3.（2020?上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級(jí)三模）如圖，某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD

的長(zhǎng)為12米，視角a為60。，根據(jù)有關(guān)部門(mén)的規(guī)定，Na439。時(shí)，才能避免滑坡危險(xiǎn)，學(xué)

校為了消除安全隱患，決定對(duì)斜坡進(jìn)行改造，在保持坡腳C不動(dòng)的情況下，學(xué)校至少

要把坡頂。向后水平移動(dòng)多少米才能保證教學(xué)樓的安全？（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

sin39°x0.63,cos39°?0.78,tan39°?0.81,72?1.41,73?1.73,后?2.24）

【答案】學(xué)校至少要把坡頂。向下水平移動(dòng)7米才能保證教學(xué)樓的安全.

【分析】假設(shè)點(diǎn)D移到D，的位置時(shí)，恰好Na=39。，過(guò)點(diǎn)D作DE_LAC于點(diǎn)E,作DEUAC

于點(diǎn)日，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出DE、CE、CE，的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】假設(shè)點(diǎn)D移到D，的位置時(shí)，恰好/a=39。，過(guò)D點(diǎn)作DEJ_AC于E點(diǎn)，作D'EIAC

于E'

VCD=12m,ZDCE=60°/.DE=CD-sin60°=673m>CE=CDcos600=6m

VDEIAC,D'E'LAC,DD'〃CE'.'.四邊形DEE'D'是矩形

DE=DE=66m

?.?/D'CE'=39°；.CE'=-^va^lxl3；.EE'=CE'-CE=13-6=7（米）.

tan390.81

答：學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動(dòng)7米才能保證教學(xué)樓的安全.

4.（2020?上海九年級(jí)二模）一塊顯示屏斜掛在展示廳的墻面上，如圖是顯示屏掛在墻面A?

2

的正側(cè)面示意圖，其中A5表示顯示屏的寬，與墻面的夾角￡的正切值為不，在

地面C處測(cè)得顯示屏頂部A的仰角為45°,屏幕底部B與地面CD的距離為2米，如果C處

與墻面之間的水平距離C。為3.4米，求顯示屏的寬A8的長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）

5

【分析】過(guò)A作APYDM丁尸，AHA.CD丁”，過(guò)5作BNJ_A//T'N，設(shè)AP=BN=2x,

AN=PB=5x,解宜角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)A作”_LDW于P,過(guò)8作于N,

2

vtanZABM=-,...設(shè)AP=8N=2x,AN=PB=5x,

?:BD=2,8=3.4,:.HN=2,CH=3.4-2x,AH=5x+2,

?：ZACD=45°,AH=CH,.-.3.4-2x=5x+2,

解得：x=0.2,:.PB=\,AP=0.4.

AB=y/PB2-AP2=J（0.4『+12=--（米），

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題要了解角之間的

關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或

垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問(wèn)題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的形式給出時(shí);要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)

題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決.

5.（2020?上海九年級(jí)二模）如圖1,一扇窗戶(hù)打開(kāi)一定角度，其中一端固定在窗戶(hù)邊OM

上的點(diǎn)A處，另一端B在邊ON上滑動(dòng)，圖2為某一位置從上往下看的平面圖，測(cè)得NABO

為37。，NAOB為45。,OB長(zhǎng)為35厘米，求AB的長(zhǎng)（參考數(shù)據(jù)：sin370~0.6,cos37°=0.8,

tan37°~0.75）

【答案】AB的長(zhǎng)為25厘米

【分析】作AC_LOB于點(diǎn)C,然后根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得AC和BC的長(zhǎng)，再根

據(jù)勾股定理即可得到AB的長(zhǎng)，本題得以解決.

【詳解】作ACLOB于點(diǎn)C,如圖2所示，

則NACO=/ACB=90。，

VZAOC=45°,.,.ZAOC=ZCOA=45°,AAC=OC,

設(shè)AC=x,則OC=x,BC=35-x,

x

：/ABC=37°,tan37M）.75,/.---------=0.75,

35-x

解得，x=15,.\35-x=20,

；.AB=，152+2（）2=25（厘米）,即AB的長(zhǎng)為25厘米?

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)解

答.

6.（2020?上海九年級(jí)二模）如圖是某地下停車(chē)庫(kù)入口的設(shè)計(jì)示意圖，已知坡道AB的坡比i

=1：2.4,AC的長(zhǎng)為7.2米，CD的長(zhǎng)為0.4米.按規(guī)定，車(chē)庫(kù)坡道口上方需張貼限高標(biāo)志，

根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，確定該車(chē)庫(kù)入口的限高數(shù)值（即點(diǎn)D到AB的距離）.

【答案】該車(chē)庫(kù)入口的限高數(shù)值為2.4米.

【分析】由題意延長(zhǎng)CD交AB于E,并根據(jù)坡度和坡角可得CE=3,DE=2.6,過(guò)點(diǎn)D作DHLAB

于H,根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出DH的長(zhǎng).

Vi=l：2.4,

CE5

/.tanZCAB=—=—

2.412AC-12

VAC=7.2,；.CE=3,

VCD=0.4,，DE=2.6,

過(guò)點(diǎn)D作DHLAB于H,；./EDH=/CAB,

5I?

tanZCAB=—,Z.cosZEDH=cosZCAB=—

1213

DH=DExcosZEDH=2.6x—=2.4.

13

答：該車(chē)庫(kù)入口的限高數(shù)值為2.4米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握坡度坡角定

義.

7.（2020?上海九年級(jí)一模）有一個(gè)坡度i=l:2的斜坡A8,頂部A處的高AC為4米,

B,C在同一水平地面上，其橫截面如圖.

H

（1）求該斜坡的坡面A3的長(zhǎng)度.

（2）現(xiàn)有一個(gè)側(cè)面圖為矩形OEFG的長(zhǎng)方體貨柜，其中。E=2.5米,Eb=2米，該貨

柜沿斜坡向下時(shí)，點(diǎn)。離BC所在水平面的高度不斷變化，求當(dāng)BR=3.5米時(shí)，點(diǎn)。離

BC所在水平面的高度

【答案】（1）4技⑵2#）

【分析】

（1）根據(jù)坡度定義以及勾股定理解答即可；

（2）證出/GDM=/HBM,根據(jù)9叫=,，得到GM=lm,利用勾股定理求出DM的長(zhǎng),

GD2

然后求出BM=5m,進(jìn)而求出MH,然后得到DH.

【詳解】

（1）?.?坡度i=l:2,AC=4米，

8C=4x2=8（米）

AB=VAC2+BC2=A/42+82=4后

（2）ZDGM=NBHM=90°,ZDMG=ZBMH：.NDGM=ZHBM

GM_1

~GD~2

,;DG=EF=2（米）；.GM=1（米）

.-.DM=y/l+4=y/5,BM=BF+FM=5（米）

設(shè)=x米，則BH=2x米，

.?./+3=52（米）：.HD=2也（米）

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，熟悉坡度坡角的定義和勾股定理

是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?上海九年級(jí)一模）為了測(cè)量大樓頂上（居中）避雷針BC的長(zhǎng)度，在地面上點(diǎn)A

處測(cè)得避雷針底部B和頂部C的仰角分別為55。58,和57°,己知點(diǎn)A與樓底中間部位D的

距離約為80米,求避雷針BC的長(zhǎng)度.（參考數(shù)據(jù)：sin55°58^0.83,cos55°58M）.56,

tan55°58'=1.48,sin57°=0.84,tan57yL54）

【答案】避雷針BC的長(zhǎng)度為4.8米.

【分析】解直角三角形求出CD,BD,根據(jù)BC=CD-BD求解即可.

BD

【詳解】解：在RtZ\ABD中，VtanABAD=——，

AD

.」48二嗎

8（）

；AD=80米,.,.BD=118.4（米）,

在RtACAD中，VtanZCAD=——，

AD

CD

：.1.54=——，；.CD=123.2（米），；.BC=CD-BD=4.8（米）

AD

答：避雷針BC的長(zhǎng)度為4.8米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題

型.

9.（2020?上海九年級(jí)一模）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，想利用

所學(xué)的解直角三角形的知識(shí)測(cè)量某塔的高度.他們先在點(diǎn)。用高1.5米的測(cè)角儀ZM測(cè)得

塔頂M的仰角為30。，然后沿?？诜较蚯靶?0加到達(dá)點(diǎn)E處，在E處測(cè)得塔頂M的仰角

為60。.請(qǐng)根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)求此塔Mb的高.（結(jié)果精確0.1加，參考數(shù)據(jù)：、歷=1.41，

6=1.73，76=2.45).

【答案】36.1米

［分析】首先證明AB=BM=4Q,在RtABCM中，利用勾股定理求出CM即可解決問(wèn)題;

【詳解】解：由題意：A6=40,CF=1.5,NMAC=30°,ZMBC=60°,

4c=30。，ZMBC=60°,:.ZAMB=30°

ZAMB=ZMAB：.AB=MB=40,

在RtABCM中，

VZMCB=90°,ZMBC=60°,:.ZBMC^30°.

22

???BC=^BM=20,MC=y]MB-BC=2(x/3-

MC-34.64,

MF=CF+CM=36.14?36.1.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解

決問(wèn)題，本題的突破點(diǎn)是證明48=3"=40,屬于中考常考題型.

10.（2020?上海九年級(jí)一模）如圖，一艘游艇在離開(kāi)碼頭A處后，沿南偏西60。方向行駛到

達(dá)B處,此時(shí)從3處發(fā)現(xiàn)燈塔。在游輪的東北方向，已知燈塔。在碼頭A的正西方向200

米處，求此時(shí)游輪與燈塔C的距離（精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：0=1.414，6=1.732，灰=2.449）

///〃///

乃

【答案】386米

【分析】過(guò)B作BD_LAC于D,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】過(guò)B作BD_LAC于D,

北

A?

D…一///〃///

：/C

：/.?一：

?z?

才

在R3BCD中，VZD=90°,ZDBC=45°,

ZDBC=ZDCB=45°,BD=CD,

在RSABD中，VZDAB=30°,.,.AD=GBD,

VAC=200,/.&BD-BD=200,

200仁r-r-r-

.-.BD=-j^—j=IOO（V3+I）,/.BC=V2BD=100（6+l）x&=386米，

答：此時(shí)游輪與燈塔C的距離為386米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出

直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

壓軸精練

L▲

1.（2020?上海）圖1是一臺(tái)實(shí)物投影儀，圖2是它的示意圖，折線。-N-8-C表示支架，

支架的一部分O-/-8是固定的，另一部分8C是可旋轉(zhuǎn)的，線段表示投影探頭，OM

表示水平桌面，AOVOM,垂足為點(diǎn)O,且/O=7cm,/8/。=160°,BC//OM,CO=8c機(jī).

圖1

將圖2中的8c繞點(diǎn)8向下旋轉(zhuǎn)45°,使得8CZ）落在30。'的位置（如圖3所示），止匕

時(shí)C'D'LOM,AD'//OM,AD'=\6cm,求點(diǎn)8到水平桌面OA/的距離，（參考數(shù)據(jù)：

sin70°?=0.94,cos70°七0.34,cot700-0.36,結(jié)果精確到1c-）

【答案】8到水平桌面0M的距離為44.5cm.

【分析】過(guò)3作8G_LOM于G,過(guò)C'作C'H_LBG于H,延長(zhǎng)￡）'/交8G于E,則C'H

=￡>'E,HE=C'D'=8,設(shè)<E=x,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過(guò)8作8G_LOA/于G,

過(guò)C'作C'H_LBG于H,延長(zhǎng)A交BG于E,

則C'H=D'E,HE=CD'=8,

設(shè)/E=x,：.C'H=D'E=l6+x,

VZBCa=45°,:.BH=C'H=16+x,.,.BE=16+x+8=24+x,

BE24+x1

:.NB4E=7G°,.\tan70o

AEx0.36

解得：x=13.5,:.BE=315,

：.BG=BE+EG=BE+AO=37.5+l=44.5cm,

答：B到水平桌面OM的距離為44.5a”.

圖3

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，解

題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.

2.（2020?上海市民辦協(xié)和雙語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)一模）水城門(mén)位于淀浦河和漕港河三叉口，是環(huán)

城水系公園淀浦河夢(mèng)蝶島區(qū)域重要的標(biāo)志性景觀.在課外實(shí)踐活動(dòng)中，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣

小組決定測(cè)量該水城門(mén)的高.他們的操作方法如下：如圖，先在O處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為20。，

再往水城門(mén)的方向前進(jìn)13米至C處，測(cè)得點(diǎn)力的仰角為31。（點(diǎn)。、C、B在一直線上），

求該水城門(mén)48的高.（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù):sin20yo.34,cos20°=0.94,tan20tM）.36,sin31°~0.52,cos31°=0.86,tan31cM）.60）

【答案】11.7米.

【分析】根據(jù)正切的概念表示出BD、BC,根據(jù)題意列出方程，解方程即可.

【詳解】由題意，得乙48D=90。，Z￡>=20°,乙4c8=31。，CZ）=13.

/cABABAB

在中，?tanND=-----,??BD==

BDtan20°0.36

AD.ABAB

在RtZUBC中，???tanNACB=—,

BCtan3100.6

cABAB

CD=BD-BC,：.13=---------------.解得48“11.7米.

0.360.6

答：水城門(mén)48的高約為11.7米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟記銳角三角函數(shù)的概念是解

題的關(guān)鍵.

3.（2020?上海市民辦協(xié)和雙語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)一模）如圖1為放置在水平桌面/上的臺(tái)燈，底座

的高N8為50“，長(zhǎng)度均為20czM的連桿8C、CD與始終在同一平面上.

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿8C,CD,使N8CD成平角，N/8C=150°,如圖2,求連桿端點(diǎn)。離桌面

/的高度。￡

（2）將（1）中的連桿C。再繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，經(jīng)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，如圖3,當(dāng)N88=150°

時(shí)臺(tái)燈光線最佳.求此時(shí)連桿端點(diǎn)。離桌面/的高度比原來(lái)降低了多少厘米？

【答案】（1）（20后+5）cm；（2）比原來(lái)降低了（10石-10）厘米.

【分析】（1）作8OLOE于O,根據(jù)矩形的判定，可得四邊形48OE是矩形，先求出NO8O,

然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出OD,從而求出DE：

(2)過(guò)C作CG_L8H,CKLDE,根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求出CG,從而求出KH,再求

出NDCK,利用銳角三角函數(shù)即可求出DK,從而求出此時(shí)連桿端點(diǎn)。離桌面/的高度，即

可求出結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖2中，作1于O.

D

圖2

,：NOE4=NBOE=NBAE=90。，四邊形/80E是矩形，

AZ05/4=90°,：.ZDBO=\50°-90°=60°,

.,.OD=5￡)?sin60a=206(cm),

：.DE=OEHOE=OD+AB=(20^+5)cm；

(2)過(guò)C作CGJL8",CKLDE,

由題意得，BC=CD=20ni,CG=KH,

.?.在RtZiCGB中，sinZCBH=~=-=^-,

BC202

CG=10y/3cm,.\KH=10y/3cm,

■:NBCG=90°-60°=30°,AZDC/C=150°-90°-30°=30°,

,,DKDK1

在RtZA\OCK中，smNDCK=——=——=一，：.DK=\0cm,

DC202

此時(shí)連桿端點(diǎn)。離桌面/的高度為10+1073+5=(15+1073)cm

，比原來(lái)降低了(2073+5)-(15+1073)=1073-10,

答：比原來(lái)降低了(log-10)厘米.

【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握構(gòu)造直角三角形的方法和用銳角三角函數(shù)

解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.

4.(2020?上海九年級(jí)一模)如圖，一艘船由/港沿北偏東65。方向航行90夜b”至8港，

然后再沿北偏西40。方向航行至C港，C港在/港北偏東20。方向，求/,C兩港之間的距

離.

【答案】（90+306）km.

【分析】過(guò)8作BEL4c于E,在中，由//B￡=45。，/3=90V5，可得/E=

BE=?AB=9Qkm,在RtZ\C8￡中，由N/C8=60°,可得CE=18E=30石km,繼而

23

可得NC=ZE+CE=90+3073?

【詳解】解：根據(jù)題意得，/。8=65。-20。=45。，//。8=40。+20。=60。，AB=90底,

過(guò)3作8E_L/C于E,

NAEB=NCEB=90°,

在RtAABE中，ZABE=45°,AB=9072，

歷

:J4E=BE="AB=9Qkm,

2

在RtZ\C8E中，VZACB=60°,

：.CE=^^BE=30y/3km,：.AC=AE+CE=90+30y/j>

：.A,C兩港之間的距離為（90+306）km-

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問(wèn)題，三角形的內(nèi)角和，是基礎(chǔ)知識(shí)比較

簡(jiǎn)單.

5.（2020?上海九年級(jí)一模）如圖是一把落地的遮陽(yáng)傘的側(cè)面示意圖，傘柄CO垂直于水平

地面GQ,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，傘收緊；當(dāng)點(diǎn)尸由點(diǎn)A向點(diǎn)3移動(dòng)時(shí)，傘慢慢撐開(kāi)；當(dāng)

點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，傘完全張開(kāi).己知遮陽(yáng)傘的高度CO是220厘米，在它撐開(kāi)的過(guò)程中，

總有「河=PN=GM=CW=50厘米，CE=CE=120厘米，8c=20厘米.（參考數(shù)

據(jù)：sin53°?0.8>cos53°?0.6>tan53°?1.3)

（1）當(dāng)NCPN=53°，求BP的長(zhǎng)？

（2）如圖，當(dāng)金定全張開(kāi)時(shí)，求點(diǎn)E到地面GQ的距離.

【答案】（1）40厘米；（2）196厘米

【分析】（1）連接MN,交PC于點(diǎn)O,易證：四邊形MPNC是菱形，由NC/W=53°，可

求PO的長(zhǎng)，進(jìn)而求出PC的長(zhǎng)，即可求解；

（2）連接MN,交PC于點(diǎn)O,作EHLCD,垂足是H,易證：MO〃EH,得到：-,

CECH

求出CH=24,進(jìn)而即可求解.

【詳解】（1）連接MN,交PC于點(diǎn)O,如圖1,

PM=PN=CM=CN=5。，

.??四邊形MPNC是菱形，/.MN1CP,CO=PO,

；NCPN=53°，.,.PO=PN-cos530=50x0.6=30，

，PC=2PO=2x30=60,

BC=2Q,：.BP=PC-BC=60-20=40（厘米）；

（2）連接MN,交PC于點(diǎn)O,作EHJ_CD,垂足是H,如圖2,

,四邊形MPNC是菱形，.?.CO=BO=L8C=1x20=10,MO1BC,

22

VEH1CD,???MO〃EH,

，絲二絲，9=里

alJ:.\CH=24,

CECH120CH

DH=CD-CH=220-24=196（厘米）,

即：點(diǎn)E到地面GQ的距離是196厘米.

圖1圖2

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)定理以及三角函數(shù)的定義，添加合適的輔助線，是

解題的關(guān)鍵.

6.（2020?上海九年級(jí)一模）為了測(cè)量大樓頂上（居中）避雷針的長(zhǎng)度，在地面上點(diǎn)A處

測(cè)得避雷針底部B和頂部C的仰角分別為55。58'和57。,已知點(diǎn)A與樓底中間部位D的距

離約為80米，求避雷針6C的長(zhǎng)度（參考數(shù)據(jù)：sin55°58'?0.83,cos55°58'?0.56,

tan55°58'?1.48,sin57°a0.84,cos57°?0.54,tan57°?1.54）

【答案】約4.8米

【分析】分別在兩個(gè)直角三角形4ABD和4ACD中利用正切函數(shù)求出BD長(zhǎng)和CD長(zhǎng)，BD

和CD作差即可求解.

【詳解】解:根據(jù)題意可知:AD=80米，ZBAD=55°58\ZCAD=57°,

*、BD

在RtZ\BAD中，tan/BAD=---,

AD

BDBD

tan55°58'=---,<'?---?1.48,BD=118.4米;

AD80

,.CD

在RtZ\CAD中，tanZCAD=——，

AD

CDCD

Atan57°=——，Z.——?1.54CD=123.2米,，BC=CD-BD=123.2-118.4=4.8米.

4080

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，仰角、俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是

解答此題的關(guān)鍵.

7.（2020?上海九年級(jí)一模）如圖，海中有一個(gè)小島A,該島的四周10海里的范圍內(nèi)有暗礁,

有一貨輪在海面上由西向東航行，到達(dá)B處時(shí)，該貨輪位于小島南偏西60。的方向上，再往

東行駛20海里后到達(dá)小島的南偏西30。的方向上的C處，如果貨輪繼續(xù)向東航行，是否會(huì)

有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：

【分析】先過(guò)A作AH垂直于BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,解直角三角形求出AH的長(zhǎng)度,

然后與10進(jìn)行比較即可，若AH>10,則不會(huì)有危險(xiǎn)，反之則有危險(xiǎn).

【詳解】過(guò)A作AH垂直于BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H：

A

B

由題意可得/BAH=60°,ZCAH=30°；

ZABH=30°,ZACH=60°

AHl

設(shè)C”=x,在RT^ACH中，tan60°=-^=<3

CH

AH=辰H=氐

在RTAABH中，tan30°=^=-

BH3

BH=3x

,:BC=20BH=BC+CH=20+x

廠.20+x=3元，x=10

AH=y/3x=10百海里＞10海里

所以，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?上海九年級(jí)一模）已知不等臂蹺蹺板AB長(zhǎng)為3米,蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面

上的點(diǎn)H的距高OH=0.6米。當(dāng)蹺蹺板AB的一個(gè)端點(diǎn)A碰到地面時(shí),AB與地面上的直線

AH的夾角ZOAH的度數(shù)為30°.

B

（1）當(dāng)AB的另一個(gè)端點(diǎn)B碰到地面時(shí)（如右圖）,蹺蹺板AB與直線BH的夾角ZABH的正

弦值是多少？

（2）當(dāng)AB的另一個(gè)端點(diǎn)B碰到地面時(shí)（如右圖），點(diǎn)A到直線BH的距離是多少米？

【答案】（1）；；（2）1

【分析】（1）先根據(jù)作圖中求出0B的長(zhǎng)度，再利用sinN