中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)手冊(cè)（下）知識(shí)體系及重點(diǎn)

圖形初步

☆知識(shí)體系:

直線、射線與線段的相關(guān)概念

◎章節(jié)概述：

本章節(jié)，我們會(huì)分四個(gè)部分進(jìn)行復(fù)習(xí).

第一部分，我們將會(huì)復(fù)習(xí)直線、射線與線段的相關(guān)內(nèi)容；

第二部分，我們會(huì)復(fù)習(xí)角的相關(guān)概念與計(jì)算；

第三部分，我們將會(huì)復(fù)習(xí)投影與視圖；

第四部分，我們將會(huì)復(fù)習(xí)相交線和平行線.

這部分內(nèi)容在中考中考查的難度不大，一般出現(xiàn)在選擇題中，屬于送分

題；但其中線段、角的有關(guān)計(jì)算，相交線和平行線是幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，我們一

定要掌握扎實(shí)，為解決幾何綜合題夯實(shí)好基礎(chǔ).

園知識(shí)清單:

圖形初步

一、線段、射線與直線

1.線段、射線、直線的基本特點(diǎn)

線段射線直線

端點(diǎn)2個(gè)端點(diǎn)1個(gè)端點(diǎn)無(wú)端點(diǎn)

延伸情況無(wú)延伸向一方無(wú)限延伸向兩方無(wú)限延伸

長(zhǎng)度有長(zhǎng)度無(wú)長(zhǎng)度無(wú)長(zhǎng)度

2.兩個(gè)基本事實(shí)

(1)直線公理：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線.即：兩點(diǎn)確定一條直線;

(2)線段公理：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.即：兩點(diǎn)之間，線段最短.

3.計(jì)數(shù)問(wèn)題

(1)直線計(jì)數(shù)問(wèn)題：

“條直線相交，最多有;〃(〃—1)個(gè)交點(diǎn)；

平面內(nèi)〃個(gè)點(diǎn)，最多可以確定;"(〃-1)條直線.

(2)線段計(jì)數(shù)問(wèn)題：

同一直線上〃個(gè)不同的點(diǎn)，可確定;〃(〃-1)條線段.

二、角

1.角

有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射

線叫做角的邊.

2.角的換算

1°=60',1=60"

3.余角、補(bǔ)角

（1）如果兩個(gè)角的和等于9（）度（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中每一

個(gè)角是另一個(gè)角的余角；

（2）如果兩個(gè)角的和等于180度（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中每一

個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角；

（3）同角（等角）的補(bǔ)角相等；同角（等角）的余角相等.

4.方位角

一般指，以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)

的方向線所形成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成“北偏東（西）xx度”或“南

偏東（西）XX度”.

三、投影與試圖

1.投影

（1）物體的投影：

一個(gè)物體放在陽(yáng)光下或者燈光前，就會(huì)在地面上或者墻面上留下它的影子,

這個(gè)影子稱為物體的投影.

（2）平行投影

在陽(yáng)光下，房屋的影子是房屋在地面上的投影，地面是投影面，光線是投影

線，由于太陽(yáng)的光線可看作是平行的，我們稱這種由平行的光線所形成的

投影為平行投影；

在平行投影中，如果投射線垂直于投影面，那么這種投影為正投影；

①線段正投影有以下規(guī)律：平行長(zhǎng)不變，傾斜長(zhǎng)縮短，垂直成一點(diǎn)；

②平面圖形正投影有以下規(guī)律：平行形不變，傾斜形改變，垂直成線段；

③一個(gè)幾何體在一個(gè)平面上的正投影是一個(gè)平面圖形，叫做這個(gè)幾何體的

視圖.

(3)中心投影:

在燈光前，將兩手交叉握緊，墻面上就會(huì)出現(xiàn)影子，它是手的造型在墻面上

的投影，墻面是投影面，光線是投射線，由于燈光的光線可看作是從一點(diǎn)發(fā)

出的，我們稱這種由一點(diǎn)(點(diǎn)光源)發(fā)出的光線所形成的投影為中心投影.

2.三視圖

(1)三視圖：主視圖、俯視圖和左視圖組成了三視圖；

①主視圖：自幾何體的前方向后投射,在正面投影面上得到的視圖；

②俯視圖：自幾何體的上方向下投射,在水平投影面上得到的視圖；

③左視圖：自幾何體的左側(cè)向右投射,在側(cè)面投影面上得到的視圖；

(2)三視圖的畫(huà)法：

主視圖的長(zhǎng)與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖的高與左視圖的高平齊，俯視圖的

寬與左視圖的寬相等，可簡(jiǎn)述為：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等;

能看到的邊用實(shí)線表示，不能看到的邊用虛線表示.

四、相交線與平行線

1.相交線

(1)“兩線四角”

①對(duì)頂角：有一個(gè)共同的頂點(diǎn)并且角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角；對(duì)

頂角相等；

②鄰補(bǔ)角：有一條公共邊并且它們的另一條邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角；

鄰補(bǔ)角互補(bǔ).

（2）“三線八角”

角的名稱位置特征基本圖形圖形結(jié)構(gòu)特征

1

在兩條被截直線同旁，形如字母"F”

同位角

在截線同側(cè)（或倒置）

在兩條被截直線之內(nèi)，形如字母“Z”

內(nèi)錯(cuò)角

在截線兩側(cè)（交錯(cuò)）（或反置）

1

在兩條被截直線之內(nèi)，

同旁內(nèi)角形如字母“U”

在截線同側(cè)

（3）垂線與垂線段

①垂線：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，即兩條直線相互

垂直，其中一條直線叫另一條直線的垂線，交點(diǎn)叫垂足.直線AB、8互相

垂直，記作AB，。；

②垂線段：過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，以這點(diǎn)和垂足為端點(diǎn)的線段

就是這點(diǎn)到這條直線的垂線段；

③垂線性質(zhì)：a.同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

b.連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

④點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直

線的距離.

2.平行線

(1)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線.

直線。平行于直線b記作：al1b.

(2)平行公理：過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行；

平行公理推論：平行于同一條直線的兩條直線也互相平行；

數(shù)學(xué)語(yǔ)言：a/lb,allc:.b//c.

(3)平行線的性質(zhì)與判定：

①兩直線平行占J同位角相等.

判定

②兩直線平行建區(qū)內(nèi)錯(cuò)角相等.

判定

③兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).

判定

份專屬練習(xí)：

1.要整齊地栽一行樹(shù)，只要確定兩端的樹(shù)坑的位置，就能確定這一行樹(shù)坑所在

的直線，這里用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是()

A.兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短

B.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線

C.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短

D.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

2.如圖，點(diǎn)。為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段CB上，若D4=6,D3=4,貝1]

CD=?

iit1

ACDB

3.如果Na和互補(bǔ)，且則下列表示N,的余角的式子中:

①90一/4；②Ne—90";③1（Za+Z/?）；④g（Na-N/7）.正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

4.已知NAO8=110\ZCOZ）=40平分ZAOC,OF平分NBOD.

(1)如圖①，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，求NAOE—N3QF的值；

(2)當(dāng)NCOD從圖①所示位置繞點(diǎn)。以每秒3。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，秒

(0</<10)；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中NAOE-/BOQ的值是否會(huì)因，的變化而變化，若不

發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.直角三角板和直尺如圖放置，若Nl=20。，則N2的度數(shù)為（）

A.60B.50

9.已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內(nèi)，下列四條命題：

①如果a//b,a_Lc那么6_Lc；②如果》/果,c//a,那么Z?//c；

③如果〃_La,c_La,那么0_Lc；④如果人_La,c_La,那么〃//c.

其中真命題的是（填寫所有真命題的序號(hào)）

10.如圖，?//Z>,Zl=65,Z2=140,則N3=（）

11.如圖，/I//l2.

（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)P作乙的平行線，可證乙4P8,NA,NB之間的等量關(guān)系是:

（2）如圖2,請(qǐng)你寫出之間的等量關(guān)系，并證明.

（3）如圖3,請(qǐng)你直接寫出/6，/鳥(niǎo),/4,/馬,2月之間的等量關(guān)系為

12.如圖（1）是長(zhǎng)方形紙帶，ADEF=a,將紙帶沿EF折疊成圖⑵，再沿8尸

折疊成圖（3）,則圖（3）中的NCFE的度數(shù)是（）

A.2aB.90+2。C.180-2aD.180°—3a

13.如圖MN||A氏P、Q為直線MN上任意兩點(diǎn)，則圖中等面積的三角形共有

14.如圖，AB\\DC,ED\\BC,AE\\BD,那么圖中和-WD面積相等的三角形

（不包括AABD"I）

A.1個(gè)

特殊三角形

☆知識(shí)體系:

三角形的三邊

◎章節(jié)概述：

本章節(jié)，我們會(huì)分三個(gè)部分進(jìn)行復(fù)習(xí).

第一部分，我們將會(huì)復(fù)習(xí)三角形的邊角關(guān)系，包括三角形的三邊關(guān)系，內(nèi)

外角定理及3條重要的線段.這部分是研究幾何中許多邊角問(wèn)題的基礎(chǔ)，一定

要掌握扎實(shí).

第二部分，我們會(huì)復(fù)習(xí)特殊三角形，包括等腰三角形的性質(zhì)及判定、垂直

平分線及角平分線、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及逆定理.這部分內(nèi)容在初

中數(shù)學(xué)幾何中占主導(dǎo)地位，而且是學(xué)習(xí)其他初中幾何圖形的重要基礎(chǔ)，在歷年的

中考考題中更是重點(diǎn)的考查對(duì)象.

第三部分，我們將會(huì)復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，包括銳角三角形的基礎(chǔ)概念、解

直角三角形.這部分內(nèi)容難度不大，解答題中需要注意解題格式.

園知識(shí)清單:

特殊三角形

一、三角形的基礎(chǔ)邊角關(guān)系

1.三角形的邊

三角形中任何兩邊的和大于第三邊，三角形中任何兩邊的差小于第三邊.

2.三角形的內(nèi)角

三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180。.

3.三角形的外角

(1)由三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角；三角形

外角和為180。.

(2)性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和；

②三角形的外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角；

4.三角形的重要線段

定義位置

三角形的一個(gè)內(nèi)角的角平分線與這個(gè)角

角平分線的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的

都在三角形內(nèi)部，且

線段叫做三角形的角平分線

都交于一點(diǎn)

在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中

中線

點(diǎn)的線段叫做三角形的中線

可能在三角形的內(nèi)

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直

部、外部，也可能在

高線線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角

邊上，它們或它們的

形的高

延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)

5.三角形的內(nèi)心、外心和重心

定義結(jié)論

內(nèi)心三條角平分線的交點(diǎn)內(nèi)心到三邊的距離相等

外心三條邊垂直平分線的交點(diǎn)外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距

重心三條中線的交點(diǎn)

離的2倍

6.三角形的分類

(1)按角分：銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；

(2)按邊分：不等邊三角形和等腰三角形(等邊三角形是特殊的等腰三角形).

二、特殊三角形

1.軸對(duì)稱

(1)軸對(duì)稱圖形：

如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么

這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸；

(2)軸對(duì)稱：

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱

這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸，折疊后重合的兩點(diǎn)叫做對(duì)稱

點(diǎn)；

(3)垂直平分線：

①經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線,

又叫做線段的中垂線；

②線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等；到線段兩端距離相等的點(diǎn)

在這條線段的垂直平分線上；

(4)角平分線：

①性質(zhì)：角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；

②判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；

2.等腰三角形

(1)等腰三角形的性質(zhì)：

①兩邊相等，兩底角相等；

②頂角的角平分線、底邊的中線、底邊上的高線重合(三線合一)；

(2)等腰三角形的判定：等角對(duì)等邊

(3)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形各角都相等，并且都等于60。；

(4)等邊三角形的判定：

①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

②有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

推論：含30。角的直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

3.直角三角形

(1)直角三角形的性質(zhì)：

①直角三角形兩銳角互余；

②直角三角形斜邊中線等于斜邊一半；

(2)勾股定理：

如果直角三角形的兩直角邊用表示，斜邊用c表示，那么勾股定理可表

示為小+b2=C2；

(3)勾股定理的逆定理：

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角

形；能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的一組正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

三、銳角三角函數(shù)

1.銳角三角函數(shù)的定義

(1)正弦：

在RtAABC中，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的

A

比叫做NA的正弦，記作sinA,即sinA=@;

(2)余弦：b

在RtAABC中，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的?-----------------

比叫做NA的余弦，記作cosA,即cosA=2；.

c

(3)正切：

在RtAABC中，我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作tanA,

即tanA=@；

b

正切經(jīng)常用來(lái)描述坡面的坡度，坡面的鉛錘高度力和水平長(zhǎng)度/的比叫做坡

面的坡度(或坡比)，記作i,gP/=y(坡度通常寫成〃:/的形式)；

坡面與水平面的夾角叫做坡角(或稱傾斜角)，記作a,于是有

卜

/=y=tana.顯然，坡度(z=tantz)越大，坡角a越大，坡面就越陡.

2.同角三角函數(shù)關(guān)系

?2.2■,,sinA

sin-A+cos-A=1；tanA4=------

cosA

3.互余角三角函數(shù)關(guān)系

若ZA+ZB=90°,則sinA=cos3；cosA=sin3；tan-tanB=1.

4.銳角三角函數(shù)增減性

設(shè)0。<a<90。,a變大，sina變大；cosa變小；tane變大.

5.特殊角三角函數(shù)值

30°45°60°

\_V2縣

sin

22

J_

cos小0

22

顯

tan1

3

6.解直角三角形

在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的過(guò)程，叫做解直角

三角形.

已知條件解法類型

一條邊斜邊c和銳角ZAZ-B—90°—ZA,a-csinA,b=ccosA

和一個(gè)

直角邊。和銳角ZANB=90?！狽A,b=-^—,c=」一

銳角tanAsinA

c=\a2+b2,由tanA=—求NA,

兩條直角邊。和匕b

兩條邊ZB=90°-ZA

b=ylc2—a2,由sinA=@求ZA,

斜邊c和直角邊ac

ZB=90°-ZA

份專屬練習(xí):

-1.如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,1-2〃，那么a的取值范圍是

2.如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木

框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依序?yàn)?、3、

4、6,且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角

時(shí)不破壞此木框，則任兩螺絲的距離的最大值是（）

A.5B.7C.8D.10

3.如圖所示，把一個(gè)三角形紙片ABC的三個(gè)頂角向內(nèi)折疊之后（3個(gè)頂點(diǎn)不重

合），那么圖中N1+N2+N3+N4+N5+N6的度數(shù)和是（）

C

A.180,B.270°C.360°D.540。

4.如圖，AABC中，NC=80。，若沿圖中虛線截去NC,

則Nl+N2=().

A.230°B.260C.180'D.140

5.如圖所示，在AABC中，NA6CNAC8的角平分線8。,。交于點(diǎn)。，外角

平分線BE,CE交于點(diǎn)、E,則ZBDC與NE的關(guān)系是（）

A.NBDC=NE

B.ZBDC+ZE^90°

C.ZBDC+ZE=180°

D.ZBDC-ZE=90°￡

6.如圖，在AABC中，已知點(diǎn)。,￡/分別是邊8C,AD,C￡的

中點(diǎn)，且AABC的面積為4c/,則陰影年的面積等于

()

A.2cm2B.Icm2C.—cm2D.—cm2

24

7.設(shè)AABC的三邊長(zhǎng)分別為BC=2,CA=3,A8=4,/v4、僅分別表示邊

（11］、

BC、CA>AB上的高，貝U（力〃+4+）1----1—=（）

S%%）

A,又B.亞C.史D.史

6457

8.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A（G/），在y軸上確定點(diǎn)p,

使得AAOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)尸共有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

9.兩根長(zhǎng)木棍（足夠長(zhǎng)）BABC形成一個(gè)10。的夾角，現(xiàn)在小明手里有一些短

木棒想依次放在角的內(nèi)部，形成幾個(gè)等腰三角形.小明最多能放入（）個(gè).

A.8B.9C.10D.無(wú)數(shù)個(gè)

10.等邊三角形ABC,。為AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)

到點(diǎn)E,使CE=AD.連接OE交AC于點(diǎn)

F,作。"_LAC于點(diǎn)H.若等邊三角形的邊長(zhǎng)

為6,則FH的長(zhǎng)是（）

A.3B.3.5

C.4D.不能確定

11.如圖，AABC是等邊三角形，P是三角形內(nèi)任

意一點(diǎn)，D、E、E分別是AC、AB.BC邊上的三

點(diǎn)，且A8,PO||8C,PE||AC.若

PF+PD+PE^a,則AABC的邊長(zhǎng)為（）

A.6aB.Ga

C.—aD.a

2

12.如圖，在ABE中，N84E=105°,AE的垂直平分線MN交BE于點(diǎn)C,且

AB=CE,則ZB的度數(shù)是（）

A.45°B.50°

C.55°D.60

13.如圖，AABC中，ZBAC=100,EF>MN分別

為AB、AC的垂直平分線，如果3C=12cm,那么

△FAN的周長(zhǎng)為cm,ZFAN-.

14.如圖，AABC的三邊A3、BC、C4長(zhǎng)分別為

40、50、60,其三條角平分線交于點(diǎn)O,則

S^ABO：SdBCO'SaCA。=-------,

15.如圖所示，在AABC中，NA8C=3NC,AZ）是ZBAC的平分線,

3￡，的于石，求證：8E=g（AC-AB）.

BD

16.如圖，已知點(diǎn)P是NAQB角平分線上的一點(diǎn)，/AQB=6(r,PQ_LQ4,M是

。尸的中點(diǎn)，DM=4cm,如果點(diǎn)C是08上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

PC的最小值為()

A.2B.273C.4D.473

B

17.如圖，正方形A3CD和正方形CEEG中，點(diǎn)。在

CG上，8C=1,CE=3,"是AF的中點(diǎn)，那么CH的

長(zhǎng)是

18.如圖，已知4408=60°,點(diǎn)P在邊。4上，

OP=10,點(diǎn)M,N在邊05上，PM=PN,若

MN=2,則等于（）

A.5A/3B.5A/3-1C.5D.4

19.如圖，在四邊形ABC。中，A8=1,BC=1,8=2,

D4=遙，且N43C=90。，則四邊形A3CZ)的面積為

()

A.2B.-+V2C.1+V2D.

22

20.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個(gè)全等的直

角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如

圖所示)，如果大正方形的面積是25,小正方形的面積是

1,直角三角形的兩直角邊分別是。和b,那么(a+0)2的值

為.

21.計(jì)算：

(1)sin300+V3cos300-1(2)tan230,-2sin30"tan45°+8cos260,

22.如圖1,某超市從一樓到二樓有一自動(dòng)扶梯，圖2是側(cè)面示意圖.已知自

動(dòng)扶梯A6的坡度為1:2.4,A3的長(zhǎng)度是13米，是二樓樓頂，MN\\PQ,C

是MN上處在自動(dòng)扶梯頂端8點(diǎn)正上方的一點(diǎn)，BC±MN,在自動(dòng)扶梯底端A

處測(cè)得C點(diǎn)的仰角為42。，求二樓的層高8C的長(zhǎng).（精確到0.1米，

sin42°?0.67,tan420?0.90）

全等與相似

☆知識(shí)體系:

全等三角形及模型

。章節(jié)概述：

本章節(jié)，我們會(huì)分兩個(gè)部分進(jìn)行復(fù)習(xí).

第一部分，我們將會(huì)復(fù)習(xí)全等三角形內(nèi)容，包括全等三角形性質(zhì)及判定、

相關(guān)模型、輔助線及角平分線專題.全等三角形是初中幾何的基礎(chǔ)，也是重

點(diǎn)，是中考命題的熱點(diǎn)之一，它不僅是后面學(xué)習(xí)相似三角形、平行四邊形、圓

等知識(shí)的基礎(chǔ)，并且是證明線段相等、角相等常用的方法，也是證明兩條直線

垂直、平行的重要依據(jù)，因此我們必須熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定方

法，并且能靈活應(yīng)用.

第二部分，我們會(huì)復(fù)習(xí)相似三角形，包括比例線段、相似的判定與性質(zhì)、

相似三角形的基本模型及位似.相似三角形不僅可以考查學(xué)生對(duì)圖形相似的認(rèn)

識(shí)，并且有利于學(xué)生對(duì)以前學(xué)過(guò)的全等三角形知識(shí)進(jìn)行鞏固和提高，綜合性比

較強(qiáng)，一般出現(xiàn)在試卷最后一題幾何綜合中，比較靈活.

園知識(shí)清單:

全等與相似

一、全等三角形

1.定義：

能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形.

當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫

做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.

2.性質(zhì)：

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等；

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，對(duì)應(yīng)邊上的高，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等；

全等三角形面積、周長(zhǎng)相等.

3.全等判定定理

(1)邊邊邊(SSS)：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

(2)邊角邊(SAS)：有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

(3)角邊角(ASA)：有兩角和其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

(4)角角邊(AAS)：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

(5)斜邊、直角邊(HL)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全

等.

二、相似三角形

1.比例性質(zhì)與比例線段

(1)比例性質(zhì)

比例的性質(zhì)示例剖析

(1)基本性質(zhì)：

—=—<=>3Q=2b

—=—<=>aJ=bc(bdw0)23

bd

(2)反比性質(zhì)：

acbd/1】

—=—<=>—=-(abedw0)23ab')

bdac

(3)更比性質(zhì)：

aba2ixZ?3.八、

acabdc...z

—=—<=>—=—>_=—{abedw0)23b3a2'7

bdcdba

X(4)合比性質(zhì)：

a2a+b2+5/,八、

aca+bc+d.,八、

一=—o----=----(zhd0)b5b5'"

bdbd

(5)分比性質(zhì)：

ci4a—h4-3(；C\

aca-bc-d..,.一=—0------=-------(/?^0)

—=—<=>------=-------(bd*n0)b3b3'"

hdbd

(6)合分比性質(zhì)：

ci4a+b4+3/7八1八\

aca+bc+dz,,、v7

—=—0-------=--------(c手da豐b)b3a-b4-3

bda-bc-d

X(7)等比性質(zhì)：

a_b_c_d_ea+b+c+d+e__a

_a2_a3__ak

「

b\b&b2―3—4―5-1+2+3+4+5-1

2k445

：>%+/+,,,+QR%一=—=一,當(dāng)a+b+cwO時(shí)

abc

“1+”2+■*,+4"1

3_4_5_3+4+5

(其中化為正整數(shù)，且

abca+b+c

b[+8+&+???+w0)

(2)比例線段

在四條線段4,6,c,d中，如果其中兩條線段a/的比，等于另外兩條線段c,d

的比，即凹=￡(或a:)=c:d),那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例

bd

線段.

這時(shí)，線段a,。,叫做組成比例的項(xiàng)，線段叫做比例外項(xiàng)，線段仇c叫

做比例內(nèi)項(xiàng).

如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的兩條線段是相等的，即線段之間有a:b=":c,

那么線段人叫做線段a,c的比例中項(xiàng).

把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng),

這樣的線段分割叫做黃金分割，分割點(diǎn)叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，比值

近二1叫做黃金數(shù).

2.平行線分線段成比例

（1）定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

則AB_DEAB_DEBC_EF

如圖1所示，如果/[〃（〃。，

正一而，~AC~~DF'~AC~~DF

（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的

對(duì)應(yīng)線段成比例.

如圖2所示，若DE〃BC,則有42=4月ADAEDBEC

DBEC~AB~~AC'AB_7c

如圖3,若AB〃DE,則有"=4C=0C

DECECD

圖3

3.相似三角形

（1）相似三角形的判定

①平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，截得的三

角形與原三角形相似；

②兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；

③兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；

④三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；

(2)相似三角形的性質(zhì)

①相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比等

于相似比；

②周長(zhǎng)之比等于相似比；

③面積之比等于相似比的平方；

4.位似

(1)位似圖形：兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)

邊互相平行或共線，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.

(2)位似中心：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.

(3)位似比：相似比叫做位似比.

(4)位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等

于位似比.

如圖所示，已知△ABC與△A'8'C是位似圖形，點(diǎn)。為位似中心，

那么°，__O_B____O_C_____A_B_____A_C___BC

=k(%為位似比)

"'OB'OCA'B'A'CB'C

B'

份專屬練習(xí)：

1.如圖，已知AA8CWAAO￡：,NBAO=30",貝U

NCDE度數(shù)為()

A.30°B.40。C.605D.75°

2.如圖所示，NE=NF,NB=NC,AE=AF,以下結(jié)

論：(DZFAN=ZEAM；②EM=FN；③

△ACN*ABM；④CD=DN.其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D,4個(gè)

3.如圖，AACD和ABCE都是等腰直角三角形，NACD=NBCE=9(T,AE交

于點(diǎn)尸,8。分別交CE,AE于點(diǎn)G,”,試猜測(cè)線段AE和BO的數(shù)量和位置關(guān)

系，并說(shuō)明理由.

4.(1)如圖1,AABC與AADE均是頂角為40。的等腰三角形，BC、OE分別是

底邊.求證：BD=CE；

圖1

(2)如圖2,AACB和ADCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接

3E.填空：NAEB的度數(shù)為;線段3E與AD之間的數(shù)量關(guān)系是;

圖2圖3

(3)如圖3,AACB和均為等腰直角三角形，NAC8=/DCE=9(y,點(diǎn)

A、。、E在同一直線上，CM為AOCE中OE邊上的高，連接5E請(qǐng)判斷NAEB

的度數(shù)及線段。0、AE.BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

5.在AABC中，NB4C=90"B=AC,/是過(guò)A的一條直線，BD-LAE于

￡>,CE_LA￡于E.求證：

(1)當(dāng)直線/繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到如圖1位置時(shí)，試說(shuō)明：DE=BD+CE.

(2)若直線/繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí)，試說(shuō)明：DE=BD-CE.

(3)若直線/繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3位置時(shí)，試問(wèn)：6。與。瓦CE具有怎樣的等

量關(guān)系？請(qǐng)寫出結(jié)果，不必證明.

6.如圖，點(diǎn)E、尸分別在正方形ABC。的邊BC、CZ)上，ZE4F=45°,連接

EF,則=試說(shuō)明理由.

(1)證明：

-.AB^AD

把.ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至90至^ADG,

可使AB與AO重合

?.NA￡)C=ZB=90°

ZFDG=180%點(diǎn)尸、D、G共線

根據(jù),易證AAFG合,得EF=BE+DF

(2)如圖，在四邊形ABC。中，AB=AD,ZBAD=90\點(diǎn)￡、F分別在邊

BC、CD上，ZEAF=45\若ZB、NO都不是直

角，則當(dāng)N5與NO滿足等量關(guān)系時(shí)，

仍有EF=BE+DF.

(3)如圖，在AABC中，ZBAC^9Q°,AB=AC,

點(diǎn)區(qū)F均在邊BC上,且NE4/=45°.猜想BE、EF、FC應(yīng)滿足的等量關(guān)

系，并寫出推理過(guò)程.

7.如圖，是AABC的中線，AE±AC,AF±AB,S.AE^AC,AF=AB,

求證：AD^-EF.

2

8.如圖，在nABCD中,

線段A3上，連接￡F、CF,則下列結(jié)論中一定成立的是.(把所有

正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上)

?ZDCF=-ZBCD；②EF=CF

2

③S0=2S@F；④ZDFE=3ZAEF

9.。為等邊AABC外一點(diǎn)，已知5。=。,/8。。=120。，則M,N分別在

AB,AC±,且BM+CN=MN.

(1)求證：4MDN=60.

(2)作出ADMN的高￡歸，求證：DH=BD.

10.如圖，AABC中，平分NBAC,OG，BC且平分5C,OE_LAB于

瓦。/_￡4。于F.

(1)說(shuō)明3￡=。/的理由；

(2)如果A8=8,AC=6,求AE、3E的長(zhǎng).

BC

11.如圖，在AABC中，NBAC為直角，A8=AC,O為AC上一點(diǎn)，CELBD

于E.

(1)若5D平分NABC,求證CE='B。；

2

(2)若。為AC上一動(dòng)點(diǎn)，NAED如何變化？若變化，求它的變化范圍；若不

變，求出它的度數(shù)，并說(shuō)明理由.

12.已知，在~43C中，NB=2NC,A。平分NB4c交BC于Q,求證:

AC-AB=BD.

13.如圖，在AABC中，ZBAC=90,AC=6,BC=10,過(guò)點(diǎn)A的直線

￡>E,QE||BC,ZABC與NAC3的平分線分別交OE于E、D,則0E的長(zhǎng)為()

A.14B.16C.18

14.若x:y=6:5,則下列等式中不正確的是(

x+y_11

15.如圖，已知A8||CD||E尸,A0:A/=3:5,BE=12,

'B

那么CE的長(zhǎng)等于（）

,3624

A.—B.

5T

「159

C.——D.

22

16.如圖，將矩形紙片ABCO沿石尸折疊，使點(diǎn)5與C￡）的中點(diǎn)9重合，若

AB=2,8C=3,則AECB'與AB'DG的面積之比為（）

17.如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCO的邊。。的延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，AP與

8D,8c分別交于點(diǎn)M,N.求證：AM2

18.如圖所示,

AB:AC等于（

A.1:3

C.1:73

19.如圖1,在

的中點(diǎn)，以D為項(xiàng)點(diǎn)作NMDN=NC.

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)射線OW經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，DN交AB于點(diǎn)、E,不添加任何輔助

線，請(qǐng)?zhí)羁眨号c相似的三角形是.

(2)探究表明：如圖2,將NMOV繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，DN、分別交

線段A3、AC于尸、E兩點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合)，不添加輔助線，證明：

小BDF?ADEF.

(3)結(jié)論運(yùn)用：在圖2中，若AB=AC=10,BC=12,當(dāng)AABC的面積為

面積的4倍時(shí)，直接寫出線段ER的長(zhǎng).

20.如圖所示，在Rt~4BC中，N3AC=90',A。，3c于點(diǎn)。，點(diǎn)。是AC邊上

一點(diǎn)，連接80交A力于點(diǎn)￡OE_LOB交3c邊于點(diǎn)E.

(1)求證:△ABF~^COE；

AC如圖，求”的值;

⑵當(dāng)。為AC邊中點(diǎn)，空=2時(shí),

AB0E

AC,請(qǐng)直接寫出竺值.

(3)當(dāng)。為AC邊中點(diǎn),——=〃時(shí)0,

ABOE

四邊形

☆知識(shí)體系:

◎章節(jié)概述：

四邊形部分一直全國(guó)各地中考中一個(gè)非常重要的板塊，這個(gè)部分知識(shí)點(diǎn)較

多，而且多與三角形和圓結(jié)合，難度也是中等偏難，甚至容易會(huì)出現(xiàn)在壓軸題

中，例如填空題最后一題和解答題的最后兩題中一題.所以這個(gè)板塊也是我們

中考復(fù)習(xí)的一個(gè)重中之重，首先要梳理清楚基本知識(shí)點(diǎn)，做到掃除盲點(diǎn)，明確

重點(diǎn).

本章節(jié)我們重點(diǎn)要知道平行四邊形和特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定，只有

對(duì)所有性質(zhì)、判定足夠熟悉，才能在考試中靈活運(yùn)用.

園知識(shí)清單:

四邊形

一、平行四邊形

1.定義

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

2.性質(zhì)

(1)平行四邊形的對(duì)邊相等；

(2)平行四邊形的對(duì)角相等；

(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分(對(duì)角線平分面積)；

(4)對(duì)稱性：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心.

3.判定

(1)根據(jù)定義判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

(2)判定定理1：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)判定定理2：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

(4)判定定理3：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(5)判定定理4：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

注意：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形.

二、特殊的平行四邊形

1.矩形

(1)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

(2)性質(zhì)1：矩形的四個(gè)角都是直角；

性質(zhì)2：矩形的對(duì)角線相等.

引申：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

(3)判定：

①根據(jù)定義判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

②判定定理1：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；

③判定定理2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

2.菱形

(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

(2)性質(zhì)1：菱形的四條邊都相等；

性質(zhì)2：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

(3)判定：

①根據(jù)定義判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

②判定定理1：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是矩形；

③判定定理2：四邊都相等的四邊形是菱形.

3.正方形

(1)正方形既具有矩形的性質(zhì)，又具有菱形的性質(zhì).

性質(zhì)1：兩組對(duì)邊分別平行，四條邊都相等；

性質(zhì)2：四個(gè)角都是直角；

性質(zhì)3：對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

(3)判定：

①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.

4.中點(diǎn)四邊形：

（1）定義：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形.

注意：中點(diǎn)四邊形的形狀僅與原四邊形的對(duì)角線的數(shù)量和位置關(guān)系有關(guān).

順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是菱形;

順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形.

（2）性質(zhì)：

①無(wú)論原四邊形是什么形狀，它的中點(diǎn)四邊形始終是平行四邊形;

②中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)等于原四邊形對(duì)角線的和；

③中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.

三、梯形

1.定義：

一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形；

其中，平行的兩邊叫底，按長(zhǎng)度不同，分別叫上底和下底（與位置無(wú)關(guān)）；

不平行的兩邊叫梯形的腰；梯形兩底之間的距離叫做梯形的高.

2.分類（特殊的梯形）：

（1）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；

等腰梯形的性質(zhì)：

①兩腰相等；

②同一底上的兩個(gè)角相等；

③兩對(duì)角線相等；

④它是軸對(duì)稱圖形，只有一條對(duì)稱軸，即經(jīng)過(guò)兩底中點(diǎn)的直線.

（2）直角梯形：一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.

四、多邊形

1.內(nèi)角和：〃邊形內(nèi)角和為：（〃—2）480。

2.外角和：360°

?專屬練習(xí)：

1.四邊形ABC。中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，給出下列四個(gè)條件:

?AD\\BC；?AD=BC;?OA=OC；④OB=OD.

從中任選兩個(gè)條件，能使四邊形A3CO為平行四邊形的選法有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

2.如圖，以AABC各邊向同一側(cè)作三個(gè)等邊三角形△ABDMACEMBCF,試說(shuō)

明四邊形AEED是什么形狀并證明.

3.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線4?,80交于點(diǎn)0,?！昶椒?88交48于

點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)尸，且NABC=60',A8=2BC,連接OE,下列結(jié)論:

①ZACD=30,②SABCD=AC.BC

③OE:AC=g:3④S.°EF=gs.℃F

成立的是.

4.分別以平行四邊形A3CO(NCD4w90)的三邊A8,CD,DA為斜邊作等腰直角

三角形AABERCDGQADF.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)三個(gè)等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時(shí)，連接

GF,EF.請(qǐng)判斷GE與核的關(guān)系(只寫結(jié)論，不需證明)；

(2)如圖2,當(dāng)三個(gè)等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時(shí)，連接

(1)中結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由.

5.如圖，在nABC。中，AEL5C1于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC至F點(diǎn)、使.CE=BE,連接

AF.DE、DF.

(1)求證：四邊形A￡ED是矩形；

(2)若A5=6,DE=8,BF=10,求AE的長(zhǎng).

5

6.如圖，已知四邊形ABC。是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)5落在點(diǎn)E

An

處，連接OE.若￡>E:AC=3:5,則一的值為()

1""IAB