高考數(shù)學(xué)（北師大版文）講義第八章　立體幾何與空間向量第1講　簡單幾何體的結(jié)構(gòu)三視圖和直觀圖1

§8.1簡單幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖最新考綱考情考向分析1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測畫法畫出它們的直觀圖．3.會(huì)用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖在高考中幾乎年年考查．主要考查根據(jù)幾何體的三視圖求其體積與表面積．對(duì)簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖的考查，以選擇題和填空題為主.1．簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)旋轉(zhuǎn)體①圓柱可以由矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到．②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到．③圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到．④球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到．(2)多面體①棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上、下底面是全等的多邊形．②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．③棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形．2．直觀圖畫直觀圖常用斜二測畫法，其規(guī)則是：(1)在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy.畫直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x′軸和y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平平面；(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和y′軸的線段；(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的eq\f(1,2).3．三視圖(1)主、俯視圖長對(duì)正；主、左視圖高平齊；俯、左視圖寬相等，前后對(duì)應(yīng)．(2)在三視圖中，需要畫出所有的輪廓線，其中，視線所見的輪廓線畫實(shí)線，看不見的輪廓線面虛線．(3)同一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同．(4)清楚簡單組合體是由哪幾個(gè)基本幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置．知識(shí)拓展1．常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓．(2)水平放置的圓錐的主視圖和左視圖均為全等的等腰三角形．(3)水平放置的圓臺(tái)的主視圖和左視圖均為全等的等腰梯形．(4)水平放置的圓柱的主視圖和左視圖均為全等的矩形．2．斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?圖形改變))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改變,與x，z軸平行的線段的長度不改變,相對(duì)位置不改變))題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(×)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái)．(×)(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．(×)(5)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．(×)(6)菱形的直觀圖仍是菱形．(×)題組二教材改編2．由斜二測畫法得到：①相等的線段和角在直觀圖中仍然相等；②正方形在直觀圖中是矩形；③等腰三角形在直觀圖中仍然是等腰三角形；④平行四邊形的直觀圖仍然是平行四邊形．上述結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案B解析逐一考查所給的說法：①相等的線段平行時(shí)在直觀圖中仍然相等，原說法錯(cuò)誤；②正方形在直觀圖中是平行四邊形，不是矩形，原說法錯(cuò)誤；③等腰三角形在直觀圖中不是等腰三角形，原說法錯(cuò)誤；④平行四邊形的直觀圖仍然是平行四邊形，原說法正確．綜上可得，結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是1.故選B.3．在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為________．(填寫所有正確的序號(hào))答案③⑤題組三易錯(cuò)自糾4．某簡單幾何體的主視圖是三角形，則該幾何體不可能是()A．圓柱 B．圓錐C．四面體 D．三棱柱答案A解析由三視圖知識(shí)知，圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其主視圖為三角形，而圓柱的主視圖不可能為三角形．5．(2018·珠海質(zhì)檢)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為()答案B解析左視圖中能夠看到線段AD1，應(yīng)畫為實(shí)線，而看不到B1C，應(yīng)畫為虛線．由于AD1與B1C不平行，投影為相交線，故選B.6.正三角形AOB的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則它的直觀圖的面積是________．答案eq\f(\r(6),16)a2解析畫出坐標(biāo)系x′O′y′，作出△OAB的直觀圖O′A′B′(如圖)，D′為O′A′的中點(diǎn)．易知D′B′＝eq\f(1,2)DB(D為OA的中點(diǎn))，∴S△O′A′B′＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)S△OAB＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.題型一簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案A解析①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等．2．下列命題中正確的為________．(填序號(hào))①存在一個(gè)四個(gè)側(cè)面都是直角三角形的四棱錐；②如果棱柱有一個(gè)側(cè)面是矩形，則其余各側(cè)面也都是矩形；③圓臺(tái)的任意兩條母線所在直線必相交．答案①③解析①如圖中的四棱錐，底面是矩形，一條側(cè)棱垂直于底面，那么它的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，故①正確；②如圖所示的棱柱有一個(gè)側(cè)面是矩形，則其余各側(cè)面不是矩形，故②錯(cuò)誤；③根據(jù)圓臺(tái)的定義和性質(zhì)可知，命題③正確．所以答案為①③.思維升華(1)關(guān)于簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種簡單幾何體的概念，要善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一反例即可．系．(3)既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略．

題型二簡單幾何體的三視圖命題點(diǎn)1已知幾何體，識(shí)別三視圖典例(2017·貴州七校聯(lián)考)如圖所示，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的三視圖是(用①②③④⑤⑥代表圖形)()A．①②⑥ B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤答案B解析主視圖應(yīng)該是邊長為3和4的矩形，其對(duì)角線左下到右上是實(shí)線，左上到右下是虛線，因此主視圖是①，左視圖應(yīng)該是邊長為5和4的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此左視圖是②；俯視圖應(yīng)該是邊長為3和5的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③.命題點(diǎn)2已知三視圖，判斷幾何體的形狀典例(2017·全國Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10B．12C．14D．16答案B解析觀察三視圖可知，該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的，且直三棱柱的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長為2.三棱錐的底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，高為2，如圖所示．因此該多面體各個(gè)面中有兩個(gè)梯形，且這兩個(gè)梯形全等，梯形的上底長為2，下底長為4，高為2，故這兩個(gè)梯形的面積之和為2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝12.故選B.命題點(diǎn)3已知三視圖中的兩個(gè)視圖，判斷第三個(gè)視圖典例(2018屆遼寧凌源二中聯(lián)考)如圖是一個(gè)簡單幾何體的主視圖和俯視圖，則它的左視圖為()答案B解析由主視圖和俯視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合主視圖的寬及俯視圖的直徑可知其左視圖為B，故選B.思維升華三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖．(3)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形狀，然后再找其剩下部分三視圖的可能形狀．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．跟蹤訓(xùn)練(1)(2017·全國Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π答案B解析方法一(割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示．將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq\f(1,2)，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.故選B.方法二(估值法)由題意知，eq\f(1,2)V圓柱<V幾何體<V圓柱，又V圓柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V幾何體<90π.觀察選項(xiàng)可知只有63π符合．故選B.(2)一個(gè)幾何體的三視圖中，主視圖和左視圖如圖所示，則俯視圖不可以為()答案C解析A中，該幾何體是直三棱柱，∴A有可能；B中，該幾何體是直四棱柱，∴B有可能；C中，由題干中主視圖的中間為虛線知，C不可能；D中，該幾何體是直四棱柱，∴D有可能．題型三簡單幾何體的直觀圖典例(2018·福州調(diào)研)已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．答案eq\f(\r(2),2)解析如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖．因?yàn)镺E＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝eq\f(1＋3,2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).思維升華用斜二測畫法畫直觀圖的技巧在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出．跟蹤訓(xùn)練如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測畫法)是一個(gè)底角為45°、腰和上底長均為2的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是()A．2＋eq\r(2) B．1＋eq\r(2)C．4＋2eq\r(2) D．8＋4eq\r(2)答案D

解析由已知直觀圖根據(jù)斜二測畫法規(guī)則畫出原平面圖形，如圖所示，∴這個(gè)平面圖形的面積為eq\f(4×2＋2＋2\r(2),2)＝8＋4eq\r(2)，故選D.1．一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是()A．球B．三棱錐C．正方體D．圓柱答案D解析球、正方體的三視圖形狀都相同、大小均相等．當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱相等且兩兩垂直時(shí)，其三視圖的形狀都相同、大小均相等．不論圓柱如何放置，其三視圖的形狀都不會(huì)完全相同，故選D.2．如圖為幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這個(gè)幾何體為()A．圓錐 B．三棱錐C．三棱柱 D．三棱臺(tái)答案C3．“牟合方蓋”(如圖1)是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖2所示，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，其實(shí)際直觀圖中四邊形不存在，當(dāng)其主視圖和左視圖完全相同時(shí)，它的主視圖和俯視圖分別可能是()A．a(chǎn)，bB．a(chǎn)，cC．c，bD．b，d答案A解析當(dāng)主視圖和左視圖完全相同時(shí)，“牟合方蓋”相對(duì)的兩個(gè)曲面正對(duì)前方，主視圖為一個(gè)圓，俯視圖為一個(gè)正方形，且兩條對(duì)角線為實(shí)線，故選A.4．(2018·成都質(zhì)檢)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是棱CD上一點(diǎn)，則三棱錐P－A1B1A的左視圖是()答案D解析在長方體ABCD－A1B1C1D1中，從左側(cè)看三棱錐P－A1B1A，B1，A1，A的射影分別是C1，D1，D；AB1的射影為C1D，且為實(shí)線，PA1的射影為PD1，且為虛線．故選D.5.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，C1D1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影不可能是()A．三角形 B．正方形C．四邊形 D．等腰三角形答案B解析四邊形AGFE在該正方體的底面上的投影為三角形，可能為A；四邊形AGFE在該正方體的前面上的投影為四邊形，可能為C；四邊形AGFE在該正方體的底面上的投影為等腰三角形，可能為D；四邊形AGFE在該正方體的左側(cè)面上的投影為三角形，可能為A.故選B.6．(2017·廣州模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的主視圖(等腰直角三角形)和左視圖，且該幾何體的體積為eq\f(8,3)，則該幾何體的俯視圖可以是()答案CC.7．(2017·東北師大附中、吉林市一中等五校聯(lián)考)如圖所示，在三棱錐D—ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其主視圖、俯視圖如圖所示，則其左視圖的面積為()A.eq\r(6) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)答案D解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征和主視圖、俯視圖，得該幾何體的左視圖是一個(gè)直角三角形，其中一直角邊為CD，其長度為2，另一直角邊為底面△ABC的邊AB上的中線，其長度為eq\r(2)，則其左視圖的面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2).8.如圖，在一個(gè)正方體內(nèi)放入兩個(gè)半徑不相等的球O1，O2，這兩個(gè)球外切，且球O1與正方體共頂點(diǎn)A的三個(gè)面相切，球O2與正方體共頂點(diǎn)B1的三個(gè)面相切，則兩球在正方體的面AA1C1C上的正投影是()答案B解析由題意可以判斷出兩球在正方體的面上的正投影與正方形相切．由于兩球球心連線AB1與面ACC1A1不平行，故兩球球心射影所連線段的長度小于兩球半徑的和，即兩個(gè)投影圓相交，即為圖B.9.(2017·福建龍巖聯(lián)考)一水平放置的平面四邊形OABC，用斜二測畫法畫出它的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長為1的正方形，則原平面四邊形OABC的面積為________．答案2eq\r(2)2eq\r(2).10.(2017·南昌一模)如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P—BCD的主視圖與左視圖的面積之比為________．答案1∶1解析根據(jù)題意，三棱錐P—BCD的主視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高；左視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱柱的高，故三棱錐P—BCD的主視圖與左視圖的面積之比為1∶1.11．如圖，點(diǎn)O為正方體ABCD—A′B′C′D′的中心，點(diǎn)E為平面B′BCC′的中心，點(diǎn)F為B′C′的中點(diǎn)，則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個(gè)面上的射影可能是_______．(填出所有可能的序號(hào))答案①②③解析空間四邊形D′OEF在正方體的平面DCC′D′上的射影是①；在平面BCC′B′上的射影是②；在平面ABCD上的射影是③，而不可能出現(xiàn)的射影為④中的情況．12．如圖，已知三棱錐P—ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，側(cè)面PAB⊥底面ABC，AB＝PA＝PB＝4，則這個(gè)三棱錐的三視圖中標(biāo)注的尺寸x，y，z分別是________．答案2eq\r(3)，2,2解析由三棱錐及其三視圖可知，x為等邊△PAB的高，所以x＝2eq\r(3)，又因?yàn)?y為AB的長，所以2y＝4，y＝2，可得z為點(diǎn)C到AB的距離，由此得z＝2.13．用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是()A．8B．7C．6D．5答案C解析畫出直觀圖，共六塊．14．(2017·湖南省東部六校聯(lián)考)某三棱錐的