浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第二學(xué)期浙里特色聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式化簡集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)榛颍?，所?故選：C.2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D3.設(shè)是三個(gè)不同平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理，及它們之間的推出關(guān)系，即可以作出判斷.【詳解】若，，則由平面平行的性質(zhì)定理：得；但當(dāng)，時(shí)，可能有，也可能有相交，如是三棱柱的兩條側(cè)棱所在直線，是確定的平面，另兩個(gè)側(cè)面所在平面分別為，此時(shí)符合條件，而相交，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.若命題p：，且，則命題為（）A.且 B.或C.且 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，只需將存在量詞改為全稱量詞，并否定結(jié)論即可得答案.【詳解】存在量詞命題的否定是全稱命題，將存在量詞改為全稱量詞，并否定結(jié)論，故命題為或．故選：B．5.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.的周期為C.是的一個(gè)對(duì)稱中心 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式化簡可得，根據(jù)函數(shù)圖象逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】由函數(shù)，由此可作出的函數(shù)圖象，如圖所示，對(duì)于A中，由，所以關(guān)于直線不對(duì)稱，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由函數(shù)圖象可知，不存在對(duì)稱中心，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)椋?，，所以函?shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以D錯(cuò)誤.故選：B.7.如圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊于地面上，再將容器繞邊傾斜.隨著傾斜度的不同，在下面四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）A.沒有水的部分始終呈棱柱形B.棱始終與水面所在平面平行C.水面所在四邊形的面積為定值D.當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，是定值【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)棱柱的特點(diǎn)進(jìn)行判斷；對(duì)于B：根據(jù)線面平行的判定定理來判斷；對(duì)于C：觀察不同傾斜度下的面積變化來判斷；對(duì)于D：根據(jù)水的體積和高均不變來判斷.【詳解】對(duì)于A：將容器繞邊傾斜，隨著傾斜度的不同，平面平面，平面，平面，平面，平面都是平行四邊形，所以沒有水的部分始終呈棱柱形，故A正確；對(duì)于B：面，面，所以面，即棱始終與水面所在平面平行，故B正確；對(duì)于C：如下圖：水面所在四邊形的面積等于長方形的面積，如下圖：水面所在四邊形的面積大于長方形的面積，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí)，有水的部分形成一個(gè)直三棱柱，三棱柱的底面為三角形，高為，根據(jù)水的體積為定值，可得底面三角形的面積為定值，故是定值，故D正確.故選：C.8.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理對(duì)已知條件進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，求得，結(jié)合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面積的最大值即可.【詳解】因，由正弦定理可得：，即，，又，，故；由，解得；由余弦定理，結(jié)合，可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；故的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).即面積的最大值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)，則（）AB.的虛部是C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn).復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根【答案】AC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的定義、模長公式、幾何意義、共軛復(fù)數(shù)定義與方程的解法一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】由題意可知，所以，故A正確；易知的虛部是，故B錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故C正確；對(duì)于，顯然不符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知非零向量，以下命題正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則與的夾角為銳角D.已知，，，則【答案】BD【解析】【分析】由已知可得，可判斷A；兩邊平方可得，可得，可判斷B；由已知可得，可判斷C；，利用和向量的平行四邊形法則可判斷D.【詳解】對(duì)于A：由，可得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由，兩邊平方得，所以，又，所以，故B正確；對(duì)于C.：，由，可得，所以，則，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，所以，，又，結(jié)合向量的平行四邊形法則可得，故D正確.故選：BD.11.如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且∥平面，則下列說法正確的有（）A.記的中點(diǎn)為，上存在一點(diǎn)，使得面∥面B.動(dòng)點(diǎn)軌跡的長度為C.三棱錐體積的最小值為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，通過證明平面平面，從而判斷A；對(duì)于B，結(jié)合A選項(xiàng)分析可得點(diǎn)軌跡為線段，從而判斷B；由此可得與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐體積的最小，求體積判斷C；對(duì)D，利用勾股定理求出外接球半徑即可判斷.【詳解】對(duì)于A，取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，正方體中易知，從而，又平面，而平面，所以平面，又正方體中與平行且相等，從而與平行且相等，則是平行四邊形，所以，同理可證平面，又，平面，所以平面平面，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，即點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，有平面平面，故A正確；對(duì)于B，平面平面，所以當(dāng)時(shí)，平面，即線段為點(diǎn)的軌跡，，故B不正確；對(duì)于C，點(diǎn)到平面即平面的距離為，而于三角形的面積而言，底邊是固定的，而線段為點(diǎn)的軌跡，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到的距離最短，且為，綜上所述，三棱錐體積的最小值為，故C正確；對(duì)D，如圖，當(dāng)在處時(shí)，三棱錐的體積最大時(shí)，由已知得此時(shí),所以在底面的射影為底面外心，,所以底面為直角三角形，所以在底面的射影為中點(diǎn)，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球球心為O，半徑為，由，，可得外接球半徑，外接球的表面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則_________．【答案】##【解析】【分析】化簡式子，結(jié)合已知條件即可求出的值.【詳解】由題意，，∴，，故答案：.13.已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點(diǎn)為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，圓錐的外接球的半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓可得，進(jìn)而求得球表面積.【詳解】依題意圓錐高，設(shè)圓錐的底面半徑，母線為，圓錐的外接球的半徑為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則，解得，可知，所以球的表面積.故答案為：14.如圖所示，為了測(cè)量某座山的山頂A到山腳某處的距離（垂直于水平面），研究人員在距研究所處的觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得山頂A的仰角為，山腳的俯角為.若該研究員還測(cè)得到處的距離比到處的距離多，且，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可得，過點(diǎn)作，結(jié)合直角三角形運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫?，解得：，則.過點(diǎn)作，由題意可得：，則，，可得，，則，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位．（1）求；（2）若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值；（3）若復(fù)數(shù)滿足，求的最值．【答案】（1）（2），（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及加法運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得解；（2）法一：將代入即可得解；法二：根據(jù)一元二次方程的復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，再結(jié)合韋達(dá)定理即可得解；（3）設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而可得出答案.【小問1詳解】，所以；【小問2詳解】法一：因?yàn)閺?fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，可得，即所以，解得，；法二：若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則是該方程的另一個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理得，，解得；【小問3詳解】設(shè)，則，即，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以為圓心，為半徑的圓，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，，則，.16.在中，點(diǎn)在邊上，，，，．（1）求的模；（2）求向量與夾角的余弦值；（3）若點(diǎn)在邊上，求的范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知可得，兩邊平方可求；（2）求得，利用向量的夾角公式可求向量與夾角的余弦值；（3）設(shè)邊的中點(diǎn)為，連接，，利用余弦定可得，進(jìn)而可得結(jié)論.【小問1詳解】由，可得，所以，可得，所以；【小問2詳解】，又，所以；【小問3詳解】設(shè)邊的中點(diǎn)為，連接，，由余弦定理可得，到的距離為，所以，所以.17.三棱柱的棱長都為2，D和E分別是和的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）若，點(diǎn)B到平面的距離為，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）法一，根據(jù)中位線可得線線平行，證明面面平行再證線面平行，法二，作出輔助線，證明，即可得證；（2）根據(jù)線面平行可得，由等體積法求解.【小問1詳解】在三棱柱中，，取中點(diǎn)F，連接DF，EF，∵D和E分別是和的中點(diǎn)，，又面，面，且面，面，∴//面，EF//面，又，面，∴面//平面，而面DEF，故直線//平面．法二，連接CE交于點(diǎn)G，連接CD交于點(diǎn)H，連接HG，如圖，在三棱柱中，，，∴，，∴，則，又面，面，∴直線平面.小問2詳解】如圖，∵直線//平面，∴，又，所以平行四邊形邊上的高，由B到面的高，則.18.在銳角三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求角B的值；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角后整理化簡即可；（2）利用正弦定理得到，則，利用三角公式變形整理，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理邊化角可得，所以，又，所以，又為銳角，則；【小問2詳解】由正弦定理，則，所以，，因?yàn)樵阡J角三角形中，得，所以，則，所以的取值范圍為.19.已知函數(shù)，，（1）求的解析式；（2）關(guān)于的不等式的解集為一切實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）關(guān)于的不等式的解集中的正整數(shù)解恰有個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡，即可求解；（2）由（1）化簡，并分離參數(shù)，利用換元法，構(gòu)造法求出函數(shù)的最值，即可求解；（3）由（1）化簡，結(jié)合條件將不等式化為，利用函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，，則，所以函數(shù)的解析式；（2）由（1）和，可得，即的解集為，設(shè)，則，即，又由函數(shù)在為單