22基本不等式（第2課時(shí)）（教學(xué)設(shè)計(jì)）高一數(shù)學(xué)（人教A版2019）

2.2基本不等式（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)課堂教學(xué)目標(biāo)解析課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“內(nèi)容與要求”是掌握基本不等式；結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的最大值或最小值問(wèn)題?！罢莆铡被静坏仁揭笾浪膩?lái)歷、能夠證明、還要能熟練應(yīng)用。實(shí)現(xiàn)“掌握”基本不等式的教學(xué)目標(biāo)是本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)，本節(jié)課主要教學(xué)目標(biāo)如下：1.通過(guò)對(duì)已知不等式的代數(shù)變換，得到基本不等式，提高學(xué)生代數(shù)變換的能力．2.通過(guò)證明基本不等式，滲透分析法和綜合法中“執(zhí)果索因”和“由因?qū)Ч钡幕痉椒?，培育學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)．3.通過(guò)基本不等式的幾何解釋的探究，培育直觀想象的核心素養(yǎng)．4.通過(guò)例1，初步感知最值的意義，明確基本不等式的使用條件和注意事項(xiàng)，即“一正、二定、三相等”，結(jié)合辨析思考題加深對(duì)基本不等式以及最值含義的理解，為今后給出函數(shù)的最大值和最小值的概念做鋪墊；通過(guò)例2提煉出基本不等式能夠解決的兩類最值問(wèn)題模型，培育學(xué)生的模型意識(shí)．邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育是整個(gè)高中學(xué)段的總體目標(biāo)，通過(guò)基本不等式的學(xué)習(xí)過(guò)程滲透核心素養(yǎng)的培育。而對(duì)于不等式的逐步歸納和復(fù)合構(gòu)造也滲透了代數(shù)學(xué)的基本研究方法。達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志：知道基本不等式的內(nèi)容，明確基本不等式就是“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；會(huì)利用不等式的性質(zhì)證明基本不等式，能說(shuō)明基本不等式的幾何意義；能結(jié)合具體實(shí)例，明確基本不等式的使用條件和注意事項(xiàng)，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型識(shí)別和理解實(shí)際問(wèn)題，能用基本不等式求最大值或最小值，在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中，感受從特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的定義、證明方法和幾何解釋，用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式的幾何解釋，用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題。學(xué)情分析&教材分析1.本章的第一節(jié)，學(xué)生學(xué)習(xí)了等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)，為逐步歸納、復(fù)合構(gòu)造得到基本不等式提供理論支撐；學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式，通過(guò)對(duì)乘法公式的理解和應(yīng)用，學(xué)生已經(jīng)初步具備模型意識(shí)；對(duì)乘法公式的幾何解釋也讓學(xué)生初步具備數(shù)形結(jié)合的能力。2.盡管由代數(shù)變換得到基本不等式的過(guò)程并不復(fù)雜，但是為什么這樣代換的原因很難理解，這是由于學(xué)生代數(shù)變換的經(jīng)驗(yàn)比較少，代數(shù)的基本思想領(lǐng)悟不夠深，需要老師適當(dāng)設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考得到；對(duì)于基本不等式的證明，學(xué)生之前已有“做差法”的經(jīng)驗(yàn)以及不等式的性質(zhì)為基礎(chǔ)，可以完成基本不等式的證明，也有學(xué)生會(huì)嘗試“分析法”，但由于沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)“分析法”，需要教師給予完善；對(duì)于“幾何平均數(shù)”的幾何意義，需要教師引導(dǎo)學(xué)生思考消除“”這一點(diǎn)是本節(jié)課的難點(diǎn)；由于“最值”的含義學(xué)生尚未學(xué)習(xí)，因此需要通過(guò)賦值，讓學(xué)生感知相等和不等，感知變化中的規(guī)律性，在通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的分析完成求解。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用．2.會(huì)用基本不等式解決生活中簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題．3.能夠運(yùn)用基本不等式解決幾何中的應(yīng)用問(wèn)題．導(dǎo)入新知基本不等式在解決實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（?。┲祮?wèn)題的有工具．同學(xué)們，數(shù)學(xué)是和生活聯(lián)系非常緊密的學(xué)科，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也是為了解決生活中的問(wèn)題，比如：“水立方”是2008年北京奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志性建筑之一，在2022年成功改造成冬奧會(huì)歷史上體量最大的冰壺場(chǎng)館“冰立方”．如圖為水立方平面設(shè)計(jì)圖，已知水立方地下部分為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)是大小相同的左、右兩個(gè)矩形框架，兩框架面積之和為18000m2，現(xiàn)地上部分要建在矩形ABCD上，已知兩框架與矩形ABCD之間空白的寬度為10m，兩框架之間的中縫空白寬度為5m，請(qǐng)問(wèn)作為設(shè)計(jì)師的你，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)矩形ABCD，才能使水立方占地面積最小？要解決這個(gè)問(wèn)題，還得需要我們剛學(xué)習(xí)過(guò)的基本不等式哦，讓我們開始今天的探究之旅吧！學(xué)習(xí)新知一、基本不等式在生活中的應(yīng)用問(wèn)題利用基本不等式求最大(小)值時(shí)，應(yīng)注意哪些問(wèn)題？提示一正：x，y都得是正數(shù)；二定：積定和最小，和定積最大；三相等：檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否滿足實(shí)際需要．例3（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？（2）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？分析：（1）矩形菜園的面積是矩形的兩鄰邊之積，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之積為定值，邊長(zhǎng)多大時(shí)周長(zhǎng)最短.（2）矩形菜園的周長(zhǎng)是矩形兩鄰邊之和的2倍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和為定值，邊長(zhǎng)多大時(shí)面積最大.解：設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長(zhǎng)分別為m，m，籬笆的長(zhǎng)度為.（1）由已知得.由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為10m的正方形時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長(zhǎng)度為40m.（2）由已知得，矩形菜園的面積為.由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為9m的正方形時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是81.【變式1】某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地,計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層,每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算,若將樓房建為層,則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建為多少層?

注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝eq\f(購(gòu)地總費(fèi)用,建筑總面積).【解析】設(shè)將樓房建為層,則每平方米的平均購(gòu)地費(fèi)用為.

設(shè)每平方米的平均綜合費(fèi)用為元,

則.

當(dāng)取最小值時(shí),有最小值.

,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.

所以當(dāng)時(shí),有最小值2000.

因此該樓房建為15層時(shí),每平方米的平均綜合費(fèi)用最少.反思感悟利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)理解題意．設(shè)變量，并理解變量的實(shí)際意義；(2)構(gòu)造定值．利用基本不等式求最值；(3)檢驗(yàn)．檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否滿足題意；(4)結(jié)論．應(yīng)用新知二、基本不等式在幾何中的應(yīng)用例4某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m．如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？分析：貯水池呈長(zhǎng)方體形，它的高是3m，池底的邊長(zhǎng)沒有確定．如果池底的邊長(zhǎng)確定了，那么水池的總造價(jià)也就確定了．因此，應(yīng)當(dāng)考察池底的邊長(zhǎng)取什么值時(shí)，水池的總造價(jià)最低．【解析】設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長(zhǎng)分別為，，水池的總造價(jià)為元．根據(jù)題意，有．由容積為4800m3，可得，因此．所以，當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，此時(shí)．所以，將貯水池的池底設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元．【變式1】為了增強(qiáng)生物實(shí)驗(yàn)課的趣味性,豐富生物實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容,某校計(jì)劃沿著圍墻(足夠長(zhǎng))劃出一塊面積為100平方米的矩形區(qū)域修建一個(gè)羊駝養(yǎng)殖場(chǎng),規(guī)定的每條邊長(zhǎng)均不超過(guò)20米.如圖所示,矩形為羊駝養(yǎng)殖區(qū),且點(diǎn)A,B,E,F四點(diǎn)共線,陰影部分為1米寬的鵝卵石小徑.設(shè)(單位:米),養(yǎng)殖區(qū)域的面積為(單位:平方米).(1)將S表示為x的函數(shù)，并寫出x的取值范圍；(2)當(dāng)AB為多長(zhǎng)時(shí)，S取得最大值？并求出最大值．【解析】(1)因?yàn)?所以,

所以,

因?yàn)?解得,

所以.

(2)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,經(jīng)驗(yàn)證,符合題意,

即當(dāng)米時(shí),取得最大值,最大值為平方米.反思感悟在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．能力提升題型一：基本不等式在生活中的應(yīng)用【練習(xí)1】某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為900元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為eq\f(x,4)天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．30件 B．60件C．80件 D．100件【答案】B【解析】根據(jù)題意,生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和是,設(shè)平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和為,

則,

由基本不等式,得,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,

即每批生產(chǎn)產(chǎn)品60件時(shí),平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小.反思感悟在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．【跟蹤練習(xí)】為了美化校園環(huán)境，園藝師在花園中規(guī)劃出一個(gè)平行四邊形，建成一個(gè)小花圃，如圖，計(jì)劃以相距6米的M，N兩點(diǎn)為?AMBN一組相對(duì)的頂點(diǎn)，當(dāng)AMBN的周長(zhǎng)恒為20米時(shí)，小花圃占地面積(單位：平方米)最大為()A.6 B.12 C.18 D.24答案D解析設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，則由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(x2＋y2－62,2xy)＝eq\f(（x＋y）2－36,2xy)－1＝eq\f(32,xy)－1≥eq\f(32,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))\s\up12(2))－1＝eq\f(32,25)－1＝eq\f(7,25)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝5時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)(cosA)min＝eq\f(7,25)，所以(sinA)max＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,25)))\s\up12(2))＝eq\f(24,25)，所以四邊形AMBN的最大面積為2×eq\f(1,2)×5×5×eq\f(24,25)＝24(平方米)，此時(shí)四邊形AMBN是邊長(zhǎng)為5米的菱形.感悟提升利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的思路(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.題型二：基本不等式在幾何中的應(yīng)用【練習(xí)2】如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建為一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求點(diǎn)B在AM上，點(diǎn)D在AN上，且對(duì)角線MN過(guò)點(diǎn)C，已知AB＝4米，AD＝3米，當(dāng)BM＝______時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最?。敬鸢浮?米【解析】設(shè),則由得,解得,

矩形的面積為,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)米時(shí),矩形花壇的面積最小求實(shí)際問(wèn)題中最值的解題4步驟(1)先讀懂題意，設(shè)出變量，理清思路，列出函數(shù)關(guān)系式．(2)把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題．(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，一般先考慮基本不等式．(4)回到實(shí)際問(wèn)題中，正確寫出答案．課堂總結(jié)1．知識(shí)清單：(1)基本不等式在生活中的應(yīng)用．(2)基本不等式在幾何中的應(yīng)用．2．方法歸納：配湊法．3．常見誤區(qū)：生活中的變量有它自身的意義，容易忽略變量的取值范圍．【設(shè)計(jì)意圖】回顧了重要不等式和基本不等式的探究過(guò)程、運(yùn)用基本不等式求最值的條件，分析了本節(jié)課運(yùn)用的思想方法。在作業(yè)布置環(huán)節(jié)，讓學(xué)生課后繼續(xù)探尋基本不等式其他的證明方法和幾何解釋。整節(jié)課貫徹了“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)思想。作業(yè)設(shè)計(jì)課本48頁(yè)習(xí)題2.2第5,6題第48頁(yè)習(xí)題2.2復(fù)習(xí)鞏固1.（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最小值為；（2）由知.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由基本不等式可得.當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題型，基本不等式求最值的方法需記住“一正，二定，三相等的原則”.2.（1）把寫成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最??？（2）把寫成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最大？【答案】（1）a=b=6時(shí)，它們的和最小，為12；（2）a=b=9時(shí)，它們的積最大，為81【解析】設(shè)兩個(gè)正數(shù)為a，b（1），則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，即a=b=6時(shí)，它們的和最小，為12.（2），則當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立即a=b=9時(shí)，它們的積最大，為81.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值．即兩個(gè)正數(shù)，積為定值時(shí)和有最小值，和為定值時(shí)積有最大值，都是當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)取得最值．3.某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為，房屋正面每平方米的造價(jià)為元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為元，如果墻高為，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，那么怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？【答案】當(dāng)房屋的正面邊長(zhǎng)為，側(cè)面邊長(zhǎng)為時(shí)，房屋總造價(jià)最低，為元.【解析】設(shè)房屋的正面邊長(zhǎng)為，側(cè)面邊長(zhǎng)為，總造價(jià)為元，則，即，.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最小值，最低總造價(jià)為元.答：當(dāng)房屋的正面邊長(zhǎng)為，側(cè)面邊長(zhǎng)為時(shí)，房屋總造價(jià)最低，為元.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，在利用基本不等式時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.第48頁(yè)綜合運(yùn)用4.已知、、都是正數(shù)，求證：.【解析】，，，由基本不等式可得，，，由不等式的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式證明不等式，涉及不等式性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，求證：的最大值是.【答案】見解析【解析】，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值是.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，在應(yīng)用基本不等式時(shí)，要注意“一正二定三相等”條件的成立，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離（單位：）成反比，每月庫(kù)存貨物費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與成正比；若在距離車站處建倉(cāng)庫(kù)，則和分別為萬(wàn)元和萬(wàn)元，這家公司應(yīng)該把倉(cāng)建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最?。俊敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，，，，，兩項(xiàng)費(fèi)用之和為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即應(yīng)將這家倉(cāng)庫(kù)建在距離車站處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，且最小費(fèi)