人教A版必修一課后作業(yè)第三章函數(shù)應(yīng)用31

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根與圖象交點(diǎn)三者之間的關(guān)系.2.會(huì)借助零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)概念思考函數(shù)的“零點(diǎn)”是一個(gè)點(diǎn)嗎？答案不是，函數(shù)的“零點(diǎn)”是一個(gè)數(shù)，一個(gè)使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x.實(shí)際上是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).梳理對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)二零點(diǎn)存在性定理思考函數(shù)零點(diǎn)有時(shí)是不易求或求不出來的.如f(x)＝lgx＋x.但函數(shù)值易求，如我們可以求出f(eq\f(1,10))＝lgeq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝－1＋eq\f(1,10)＝－eq\f(9,10)，f(1)＝lg1＋1＝1.那么能判斷f(x)＝lgx＋x在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))內(nèi)有零點(diǎn)嗎？答案能.因?yàn)閒(x)＝lgx＋x在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))內(nèi)是連續(xù)的，函數(shù)值從－eq\f(9,10)變化到1，勢(shì)必在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))內(nèi)某點(diǎn)處的函數(shù)值為0.梳理一般地，有函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根.類型一求函數(shù)的零點(diǎn)例1函數(shù)f(x)＝(lgx)2－lgx的零點(diǎn)為________.答案x＝1或x＝10解析由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴l(xiāng)gx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.反思與感悟函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)點(diǎn).在寫函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，所寫的一定是一個(gè)數(shù)字，而不是一個(gè)坐標(biāo).跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.答案4解析f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3).可知零點(diǎn)為±1，－2,3，共4個(gè).類型二判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間例2根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一個(gè)根所在的區(qū)間是()x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345A.(－1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)答案C解析令f(x)＝ex－(x＋2)，則f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一個(gè)根在(1,2)內(nèi).反思與感悟在函數(shù)圖象連續(xù)的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判斷在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，但不一定只有一個(gè)；而f(a)·f(b)＞0，卻不能判斷在區(qū)間(a，b)內(nèi)無零點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________.答案2解析∵函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx在定義域上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx在區(qū)間(n，n＋1)上只有一個(gè)零點(diǎn).∵f(1)＝3－7＋ln1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln2<0，f(3)＝9－7＋ln3>0，∴函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，∴n＝2.類型三函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題命題角度1判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)例3求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解方法一∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零點(diǎn).又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數(shù).故函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).方法二在同一坐標(biāo)系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖.由圖象知g(x)＝lg(x＋1)的圖象和h(x)＝2－2x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個(gè)零點(diǎn).反思與感悟判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法主要有：(1)可以利用零點(diǎn)存在性定理來確定零點(diǎn)的存在性，然后借助函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).跟蹤訓(xùn)練3求函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解方法一由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，說明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn).方法二通過作出函數(shù)y＝lnx，y＝－2x＋6的圖象，觀察兩圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出結(jié)論.也就是將函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝lnx與y＝－2x＋6的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).由圖象可知兩函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn).命題角度2根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍例4f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)內(nèi)有零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)答案D解析由題意可得a＝x－(eq\f(1,2))x(x＞0).令g(x)＝x－(eq\f(1,2))x，該函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，可知g(x)的值域?yàn)?－1，＋∞)，故a＞－1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有零點(diǎn).反思與感悟?yàn)榱吮阌谙拗屏泓c(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)所在區(qū)間，通常要對(duì)已知條件進(jìn)行變形，變形的方向是：(1)化為常見的基本初等函數(shù)；(2)盡量使參數(shù)與變量分離，實(shí)在不能分離，也要使含參數(shù)的函數(shù)盡可能簡單.跟蹤訓(xùn)練4若函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(－∞，1－eq\r(2)]∪[1＋eq\r(2)，＋∞)B.(－∞，1－eq\r(2))∪(1＋eq\r(2)，＋∞)C.[－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2)]D.(－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2))答案D解析函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，即函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的圖象與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在(－1,0)內(nèi)，一個(gè)在(1,2)內(nèi)，根據(jù)圖象列出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝2＞0，,f0＝2m＋1＜0，,f1＝4m＋2＜0，,f2＝6m＋5＞0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜－\f(1,2)，,m＞－\f(5,6)，))∴－eq\f(5,6)＜m＜－eq\f(1,2)，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2)).1.函數(shù)y＝x的零點(diǎn)是()A.(0,0)B.x＝0C.x＝1D.不存在答案B2.函數(shù)f(x)＝x2－2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案C3.若函數(shù)f(x)的圖象在R上連續(xù)不斷，且滿足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，則下列說法正確的是()A.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定沒有零點(diǎn)B.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定沒有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定有零點(diǎn)C.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上可能有零點(diǎn)D.f(x)在區(qū)間(0,1)上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定有零點(diǎn)答案C4.下列各圖象表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是()答案D5.函數(shù)f(x)＝x3－(eq\f(1,2))x的零點(diǎn)有()A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.無數(shù)個(gè)答案B1.方程f(x)＝g(x)的根是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也是函數(shù)y＝f(x)－g(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.在函數(shù)零點(diǎn)存在性定理中，要注意三點(diǎn)：(1)函數(shù)是連續(xù)的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一個(gè)零點(diǎn).3.解決函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題常用的辦法有三種：(1)用定理；(2)解方程；(3)用圖象.4.函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解，同樣，函數(shù)問題有時(shí)化為方程問題，這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ).課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．下列圖象表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是()答案A解析B，C，D的圖象均與x軸有交點(diǎn)，故函數(shù)均有零點(diǎn)，A的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，故函數(shù)沒有零點(diǎn)．2．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且圖象是連續(xù)不斷的，若f(a)·f(b)＜0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上()A．至少有一實(shí)數(shù)根 B．至多有一實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．必有唯一的實(shí)數(shù)根答案D解析由題意知函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)．∵f(a)f(b)＜0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)．又∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至多有一個(gè)零點(diǎn)．故函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]內(nèi)必有唯一的實(shí)數(shù)根．故選D.3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)答案C解析由題意知，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝eq\f(6,4)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)＜0.由零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)上必存在零點(diǎn)．4．對(duì)于函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)()A．一定有零點(diǎn) B．一定沒有零點(diǎn)C．可能有兩個(gè)零點(diǎn) D．至少有一個(gè)零點(diǎn)答案C解析若函數(shù)f(x)的圖象及給定的區(qū)間(a，b)，如圖(1)或圖(2)所示，可知A、D錯(cuò)，若如圖(3)所示，可知B錯(cuò)．5．已知x0是函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)的一個(gè)零點(diǎn)．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0答案B解析方法一由f(x)＝0得2x＋eq\f(1,1－x)＝0，∴2x＝eq\f(1,x－1).在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y1＝2x，y2＝eq\f(1,x－1)的圖象(圖略)，觀察圖象可知，當(dāng)x1∈(1，x0)時(shí)，y1<y2；當(dāng)x2∈(x0，＋∞)時(shí)，y1>y2，∴f(x1)<0，f(x2)>0.方法二∵函數(shù)y＝2x，y＝eq\f(1,1－x)在(1，＋∞)上均為增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，∴由x1∈(1，x0)，f(x0)＝0得f(x1)<f(x0)＝0，由x2∈(x0，＋∞)，f(x0)＝0得f(x2)>f(x0)＝0.6．若函數(shù)f(x)在定義域{x|x∈R且x≠0}上是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，f(2)＝0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有()A．一個(gè) B．兩個(gè)C．至少兩個(gè) D．無法判斷答案B解析f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)2.又f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)－2.因此函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)－2與2.7．函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?方程|log0.5x|＝eq\f(1,2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的根的個(gè)數(shù)?函數(shù)y1＝|log0.5x|與y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故選B.二、填空題8．若函數(shù)f(x)＝mx－1在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案m>1解析f(0)＝－1，要使函數(shù)f(x)＝mx－1在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，需f(1)＝m－1>0，即m>1.9．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一個(gè)零點(diǎn)為1，則它的另一個(gè)零點(diǎn)為________．答案－3解析根據(jù)函數(shù)解析式，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－eq\f(2a,a)＝－2.又因?yàn)閤1＝1，所以x2＝－3.10．若函數(shù)f(x)＝3x2－5x＋a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案－12＜a＜0解析根據(jù)二次函數(shù)及其零點(diǎn)所在區(qū)間可畫出大致圖象，如圖．由圖可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＞0，,f0＜0，,f1＜0，,f3＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋10＋a＞0，,a＜0，,3－5＋a＜0，,27－15＋a＞0，))解得－12＜a＜0.11．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－4，x≤0，,lgx，x＞0))的零點(diǎn)是________．答案－2,1解析當(dāng)x≤0時(shí)，令2－x－4＝0，得x＝－2，滿足要求；當(dāng)x＞0時(shí)，令lgx＝0，得x＝1，滿足要求．所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是－2,1.12．若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．答案(1，＋∞)解析函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝x＋a的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖，a>1時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；0<a<1時(shí)，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)．故a>1.13．已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______________．答案(eq\f(1,2)，1)解析畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．若方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則函數(shù)f(x)，g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知k＞eq\f(1,2)，且k＜1.三、解答題14．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－m－x，其中，x∈R，當(dāng)m＞1時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，m)內(nèi)是否存在零點(diǎn)．解∵f(x)＝ex－m－x，∴f(0)＝e－m－0＝e－m＞0，f(m)＝e0－m＝1－m，又∵m＞1，∴f(m)＜0，∴f(0)·f(m)＜0.∵函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(0，m)上是一條連續(xù)曲線，∴函數(shù)f(x)＝ex－m－x(m＞1)在區(qū)間(0，m)內(nèi)存在零點(diǎn)．15．已知y＝f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2－2x.(1)寫出函數(shù)y