正方的判定與性質(zhì)-2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？碱}專(zhuān)練（人教版）（解析版）

專(zhuān)題17正方形的判定與性質(zhì)

★知識(shí)歸納

?正方形的定義

四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.

要點(diǎn)梳理：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形,

正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.

?正方形的性質(zhì)

正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

1.邊一一四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；

2.角一一四個(gè)角都是直角；

3.對(duì)角線一一①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

4.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸；又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心.

要點(diǎn)梳理：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形.

?正方形的判定

正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等（即

矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.

?特殊平行四邊形之間的關(guān)系

或者可表示為:

1

?順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀

(1)順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.

(2)順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.

(3)順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.

(4)順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.

要點(diǎn)梳理：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.

(1)若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形.

(2)若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.

(3)若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.

★實(shí)操夯實(shí)

一.選擇題(共15小題)

1.菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是()

A.四條邊相等，四個(gè)角相等

B.對(duì)角線相等

C.對(duì)角線互相垂直

D.對(duì)角線互相平分

2

【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)為對(duì)角線互相平分.

故選：D.

2.已知四邊形48co是平行四邊形，下列結(jié)論中正確的有（）

①當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形；②當(dāng)ACLBOfI寸，它是菱形；

③當(dāng)/ABC=90°時(shí)，它是矩形；④當(dāng)4c=8。時(shí)，它是正方形.

A.3個(gè)B.4個(gè)C.1個(gè)D.2個(gè)

【解答】解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

...當(dāng)AB=8C時(shí)，它是菱形，故①正確，

當(dāng)時(shí)，它是菱形，故②正確，

當(dāng)乙4BC=90°時(shí)，它是矩形，故③正確，

當(dāng)AC=B￡＞時(shí)，它是矩形，故④錯(cuò)誤，

故選：A.

3.如圖，已知E是正方形A8CD對(duì)角線4c上一點(diǎn)，且AB=AE,則NDBE度數(shù)是（）

A,_____________P

A.15°B.32.5°C.22.5°D.30°

【解答】解：?.?AC、8O是正方形A8C。對(duì)角線,

：.ZBAE=ZABD=45°,

又AB=AE,

二NABE=NAEB=67.5°

3

：.ZDBE=61.5°-45°=22.5°,

故選：C.

4.已知四邊形48co是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）

A.當(dāng)AB=BCH寸，四邊形ABC。是菱形

B.當(dāng)4c=B力時(shí)，四邊形A8C￡＞是正方形

C.當(dāng)ACLBQ時(shí)，四邊形A8CO是菱形

D.當(dāng)N4BC=90°時(shí)，四邊形ABC。是矩形

【解答】解：4、當(dāng)48=8C時(shí)，由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得四邊形A8c。是菱形，故該選項(xiàng)不符

合題意；

B、當(dāng)4c=80時(shí)，由對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可得四邊形48CD是矩形，故該選項(xiàng)符合題意；

C、當(dāng)AC_L8。時(shí)，由對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得四邊形48C。是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；

。、當(dāng)/A8C=90°時(shí)，由有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形可得四邊形488是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選:B.

5.如圖，已知四邊形ABC。是正方形，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE=BD,則/BDE的度數(shù)是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.67.5°

【解答】解：

:.NBDE=NE,

"：NDBA=NBDE+NBED=45°

AZBDE=Ax45°=22.5°.

2

4

故選：A.

6.如圖，點(diǎn)。、E、尸分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.四邊形尸一定是平行四邊形

B.若平分/A,則四邊形AEQF是正方形

C.若AO_L8C,則四邊形AEDF是菱形

D.若N4=90°,則四邊形4ED尸是矩形

【解答】解：A、；點(diǎn)。、E、尸分別是AABC三邊的中點(diǎn)，...CE、。/為△A2C得中位線，

.'.ED//AC,且EZ）=-^AC=AF；同理KDF=^AB=AE,

22

...四邊形AEO尸一定是平行四邊形，正確.

B、若AO平分/A,如圖，延長(zhǎng)AO到M,使。M=AC,連接CM,由于3D=C￡>,DM=AD,

/ADB=NCDM,

：./\ABD^^\MCD(SAS),

：.CM=AB,

又,.?/D4B=/C4。，

ZDAB=ZCMD,

：.ZCMD=ZCAD,

5

：.CA=CM=AB,

平分/&AC,

.'.AD1.BC,

貝ij△ABD也△ACO：AB=AC,AE=AF,

結(jié)合（1）四邊形4EC尸是菱形，因?yàn)镹84C不一定是直角

.??不能判定四邊形AEDF是正方形；

C、若AQJ_BC,則△4BDgAAC￡）；AB=AC,AE=AF,結(jié)合（1）四邊形AEDF是菱形，正確;

D、若NA=90°,則四邊形AED尸是矩形，正確.

故選：B.

7.已知四邊形48co是平行四邊形，AC,8。相交于點(diǎn)0,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.OA=OC,OB=OD

B.當(dāng)AB=C。時(shí)，四邊形A8CD是菱形

C.當(dāng)/ABC=90°時(shí)，四邊形ABC。是矩形

D.當(dāng)AC=BO且ACJ_8。時(shí)，四邊形ABC￡＞是正方形

【解答】解：4、根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OA=OC,OB=OD,該結(jié)論正確；

B、當(dāng)A5=CD時(shí)，四邊形ABCQ還是平行四邊形，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可以判斷該選項(xiàng)正確；

D、當(dāng)AC=B。且ACL8。時(shí)，根據(jù)對(duì)角線相等可判斷四邊形48co是矩形，根據(jù)對(duì)角線互相垂直可判斷四邊

6

形ABC。是菱形，故四邊形A8CQ是正方形，該結(jié)論正確;

故選：B.

8.如圖，在正方形A8CO中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AQ的頂點(diǎn)E、尸分另U在8c和上，下列結(jié)論：①CE=

CF；②NAE8=75°；（3）BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+?,其中正確的序號(hào)是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【解答】解：???四邊形ABC。是正方形,

：.AB^=AD,

?.?△4E尸是等邊三角形，

：.AE=AF,

在Rt/\ABE和RtZsAO/中，

[AB=AD,

IAE=AF'

ARtAAB￡^RtAADF(HL),

：.BE=DF,

?:BC=DC,

：.BC-BE^CD-DF,

：.CE=CF,

①說(shuō)法正確；

'：CE=CF,

...△￡CF是等腰直角三角形,

7

：.ZCEF=45°,

VZAEF=60°,

二NAE8=75°,

...②說(shuō)法正確；

如圖，連接AC,交EF于G點(diǎn)、,

：.AC±EF,且AC平分EF,

,：ZCAF^ZDAF,

:.DF豐FG,

；.BE+DFWEF,

③說(shuō)法錯(cuò)誤；

?；EF=2,

:.CE=CF=?

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,

在RtAADF中,

AD1+DF2=AF2,即a+（a-圾）2=4,

解得〃二返士尼，

2

則〃2=2+，§,

S正方形A8C0=2+V3-

④說(shuō)法正確，

故選：D.

8

9.如圖，已知在正方形A5CQ中，AQ=4,￡,尸分別是CD,BC上的一點(diǎn)，且NE4F=45°,EC=1,點(diǎn)G在CB

延長(zhǎng)線上且G8=OE,連接ER則以下結(jié)論：①DE+BF=EF,②8F=',③4產(chǎn)=平，④5徵用=軍中正確

的個(gè)數(shù)有（）個(gè).

C.3D.4

【解答】解：,??四邊形4BCO是正方形，

：.AB=BC=CD=AD=4,NO=/A8G=90°,

V￡C=1,

:.GB=DE=\f

：.AE=AG=5f

即繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后與△48G重合,

：.ZDAE=ZBAG,

VZEAF=45°,

：.ZDAE+ZBAF=45°=ZGAB^^BAF=ZGAF=45°,

,.?AG=AE,ZFAE=ZFAG=45°,AF=AFf

在△ARE和△AFG中，

9

AG=AE

NFAE=NFAG，

AF=AF

.?.△AFE四△AFG(SAS),

：.EF=FG,

■:DE=BG,

:.EF=FG=BG+FB=DE+BF,故①正確；

?.,BC=CO=AC=4,EC=1,

：.DE=3,

設(shè)B尸=x,則EF=x+3,CF=4-x,

在Rtz^EC尸中，(x+3)2=(4-x)2+l2,

解得x=4，

7

:.BF=&,故②正確;

；.AF=、AB2+BF2=J16+^1=2)^'故③錯(cuò)誤；

G尸=3+4=至，

77

???SAAEF=S^AGF=—ABXGF=±x4X=-^2.,故④正確.

2277

所以正確的有①②④，共3個(gè).

故選：C.

10.如圖，G是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD邊上一點(diǎn)，矩形DEFG的邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,已知GD=5,則FG為（）

10

A.3B.3.2C.4D.4.8

【解答】解：；G是邊長(zhǎng)為4的正方形ABC。邊上一點(diǎn)，矩形。EFG的邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,GD=5,

.*./C=/E=90°,NEDG=NADC=90°,ED=FG,AD^CD=4,

：.ZEDA=ZCDG,

:AEDAs/XCDG,

.EDAD

CDGD

即典?二,

45

解得,ED=3.2,

；.FG=3.2,

故選:B.

II.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABC。的頂點(diǎn)。在y軸上且A(-3,0),B(2,b),則正方形A8CD

的面積是()

A.20B.16C.34D.25

II

【解答】解：作軸于M.

???四邊形48co是正方形，

：.AD=ABfZDAB=90°,

???NOAO+N3AM=90°,ZBAM+ZABM=90Q,

：.ZDA0=ZABMf

VZA0D=ZAMB=90Q,

.?.在△D4。和△A8M中，

'NDA0=NABM

,ZAOD=ZAMB=90°

AD二AB

：.^DAO^/\ABM(A45),

：.0A=BMfAM=0Df

VA(-3,0),B(2,b),

：.0A=3,0M=2,

：.OD=AM=5,

??AQ=+5—V34，

J正方形ABCD的面積=34,

故選：C.

12.如圖，A￡＞是△ABC的角平分線，DE,。尸分別是△"￡＞和△ACO的高，得到下列四個(gè)結(jié)論：?0A=0D；②A。

12

±EF；③當(dāng)NA=90°時(shí)，四邊形AEZ）尸是正方形；④AE+QF=AF+DE.其中正確的是（)

C.①③④D.②③④

【解答】解：如果04=0。則四邊形AE力尸是矩形，沒(méi)有說(shuō)/A=9（T,不符合題意，故①錯(cuò)誤;

???4。是△ABC的角平分線,

：.4EAD=ZFAD,

，ZEAD=ZFAD

在△AE￡>和△AFO中，(NAED=NAFD=90°，

AD=AD

A(AAS),

：.AE=AF,DE=DF,

：.AE+DF=AF+DE,故④正確：

，AE=AF

?.?在△AE。和△AF。中，，ZEAO=ZFAO>

AO=AO

A/XAEO^^AFO(SAS),

:.EO=FO,

又,.?AE=A凡

AO是EF的中垂線，

：.AD±EF,故②正確；

?.?當(dāng)NA=90°時(shí)，四邊形4EDF的四個(gè)角都是直角,

...四邊形AEO尸是矩形,

13

又,：DE=DF,

...四邊形AEDF是正方形，故③正確.

綜上可得：正確的是：②③④，

故選：D.

13.如圖，已知E,尸分別為正方形ABC。的邊AB,BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M,。為的中點(diǎn)，則下列結(jié)

論：①NAME=90°,②NBAF=NEDB,（3）AM=-^-MF,@ME+MF=^MB.其中正確結(jié)論的有（）

3

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【解答】解：在正方形A8CO中，AB=BC=AD,NA8C=/8AQ=90°,

：E、F分別為邊A8,BC的中點(diǎn)，

：.AE=BF^^BC,

2

'AE=BF

在△ABF和△D4E中，，ZABC=ZBAD-

AB=AD

A/\ABF^/\DAE(SAS),

:.NBAF=/ADE,

VZBAF+ZDAF^ZBAD=90°,

：.ZAME=180°-ZAMD=180°-90°=90°,

故①正確：

是△A8O的中線，

14

，NADErNEDB,

：.ZBAF^ZEDB,

故②錯(cuò)誤；

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a,則BF=a,

在RtAABF中，AF==匾i,

VZBAF=ZMAE,NA8C=NAME=90°,

.../\AME^/\ABF,

?AM_AEgpAM=a

*ABAF'2a巫a'

解得：AM=2Y￡“，

5

：.MF=AF-AM=y[^i-

55

，AM=2歷凡

3

故③正確：

如圖，過(guò)點(diǎn)時(shí)作知乂1_48于M

則迎=坦￡=迎

'BFABAF'

2場(chǎng)

叩MN=AN=F—a

a2aa

解得AfN=2a,AN——a,

55

.,.NB=AB-AN=2a--a=—a,

55

根據(jù)勾股定理，BM={BN+MN2=2'Ia，

25。

?；ME+MF=返什運(yùn)『里,MMBRX咨二"

55555

15

：.ME+MF=y/2MB.

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④共3個(gè).

故選:B.

14.如圖，已知四邊形A8CD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E為CD上一點(diǎn),且DE=1,尸為射線8c上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E

作EG,”于點(diǎn)P,交直線AB于點(diǎn)G.則下列結(jié)論中：①4F=EG；②若則尸C=PE；③當(dāng)

NCPF=45°時(shí)，BF=1：④PC的最小值為任-2.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：連接過(guò)E作E”_L42于H,

則EH=BC,

?；AB=BC,

：.EH=AB,

'：EGYAF,

：.ZBAF+ZAGP^ZBAF+ZAFB=90Q,

：.ZEGH=ZAFB,

16

NB=/EHG=90°,

:?△HEG94ABF(A4S),

：.AF=EG,故①正確；

YAB//CD,

：.NAGE=NCEG,

ZBAF+ZAGP=90°,ZPCF+ZPCE=90°,

*：NBAF=/PCF,

：./AGE=NPCE,

：.ZPEC=ZPCEf

:?PE=PC；故②正確；

連接“，

NEPF=NFCE=9C,

:?點(diǎn)、E、P、F、。四點(diǎn)共圓，

：./FEC=NFPC=45°,

:.EC=FC,

：.BF=DE=lf

同理當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，此時(shí)/尸PC=45°,且￡、P、C、尸四點(diǎn)共圓，EC=FC=3,故此時(shí)B/=8C+C/

=4+3=7.因此B產(chǎn)=1或7,故③錯(cuò)誤；

取A石的中點(diǎn)O,連接P。，CO,

：.AO=PO=—AE,

2

VZAPE=90°,

.??點(diǎn)戶在以。為圓心，AE為直徑的圓上,

17

/.當(dāng)0C最小時(shí)，CP的值最小,

?：PC^OC-OP,

.?.PC的最小值=0C-OP=OC-^AE,

2

?.?在Rt/XOPC中，OC=，22+.)在Rl^AOE中，AE-yJ42+12=y/lj

:.PC的最小值為隼-岑，故④錯(cuò)誤，

故選:B.

15.如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為旄，E在正方形外，DE=DC,過(guò)。作O”_LAE于〃，直線O”，EC交于點(diǎn)M,

直線CE交直線4。于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的是（）

①NZME=NZ)E4②NZ)MC=45。：③^1班：④若MH=2,則$△??)=,SMED

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：：四邊形ABC。是正方形，

：.DA=DC,NAQC=90°,

18

*：DC=DE,

：.DA=DE,

：.ZDAE=ZDEAf故①正確，

?：DA=DC=DE,

：.ZAEC=—ZADC=45°(圓周角定理)，

2

VDA/1AE,

：.ZEHM=90°,

AZDMC=45O,故②正確，

如圖，作。交尸M于R

VZADC=ZMDF=90°,

/ADM=NCDF,

VZDMF=45°,

:?NDMF=NDFM=45°,

；.DM=DF,VDA=DC,

AAADM^ACDF(SAS),

：.AM=CF,

：.AM+CM=CF+CM=MF=血OM,

...AM@=后,故③正確，

MD

若MH=2,則易知A，=MH=//E=2,AM=EM=2近,

=22==1

在RtaA。"中，OW7AD-AH^4'

:.DM=3,AM+CM=3版,

19

:.CM=CE=近,

S&DCM=S^DCE<故④錯(cuò)誤.

故選：C.

二.填空題（共8小題）

16.如圖，四邊形4BCD是一個(gè)正方形，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且4C=EC,則ND4E=22.5°

【解答】解：：四邊形ABC。是正方形,

；.NACB=45°，AD//BC,

'：AC=EC,

:.NE=NCAE,

/ACB=NE+NCAE=2NE,

.*.ZE=AZACB=22.5°,

2

'：AD//BC,

：.ZDAE=ZE=22.5°.

故答案為：22.5°.

17.如圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為2、〃（a>2）,圖中陰影部分的面積為_(kāi)/a2-a+2

20

2222

【解答】解：K^WWffi^-a+2-ya-yX2(a+2)-1a-a+2

18.如圖1,在RtZ\A8C中，ZC=90°,AB=10,AC=6.動(dòng)點(diǎn)尸，。從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)尸以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)

度的速度沿邊AB向終點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng).點(diǎn)。以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊AC向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接PQ,

以P。為邊作正方形PQWV,使得點(diǎn)M,C始終在PQ的同側(cè).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為fs.

(1)PQ=PA(填或“=

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，f=旦$

一5一

圖1圖2

【解答】解：(1)如圖1中，作PEJ_AC于￡

圖1

在Rt/XABC中，'.'A"10,AC=6,

??BC=J皿2_A’2—V100-36—8,

VZP￡A=ZC=90°,

：.PE//BC,

21

?.?一PA一二AE,

ABAC

???—5t二_AE，

106

：.AE=3t,

*：AQ=6t,

：.AE=EQ=3tf

.??PE垂直平分線段AQ,

：.PQ=PA=5t,

故答案為=;

（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M落在8c上時(shí),

圖2

???四邊形PQMN是正方形，

：.MQ=PQ=5t,NMQP=90°,

/.ZAQP^ZMQC=90°,

又...NA+N3=9O°,ZA=ZAQP,

:?4MQC=4B,

cosZMQC=cosZB,

.?.一CQ‘‘二4,

QM5

22

?6-6t_4

>?------------

5t5

解得『互

5

二當(dāng)點(diǎn)例落在8c上時(shí)，r的值為題,

5

故答案為旦.

5

19.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形A8CC中，動(dòng)點(diǎn)E,尸分別在CD,BC上移動(dòng)，CF=DE,AE和CF交于點(diǎn)P,則

線段CP的最小值是2逐-2.

【解答】解：???四邊形4BCO是正方形,

：.AD=DC,NAOC=NC=90°.

在△△￡)￡：和△OCF中，

'AD=DC

<ZADC=ZC>

DE=CF

:.△ADE迫XDCF(SAS).

:.AE=DF,NDAE=NCDF,

VZCDF+ZADF=90°,

：.ZDAE+ZADF=^.

：.AE±DF,

：.點(diǎn)P的路徑是段以AD為直徑的弧,

如圖，

23

設(shè)A。的中點(diǎn)為。，連接QC交弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小,

在RtZSQDC中，℃=弧24aj2=巡,

:.CP=QC-QP=2娓-2,

故答案為2旄-2.

20.如圖，B、E、F、。四點(diǎn)在同一條直線上，菱形ABCD的面積為120a〃2,正方形AECF的面積為50cm則菱

形的邊長(zhǎng)為13cm.

【解答】解：連接4C,8。交于點(diǎn)O,

E、F、。四點(diǎn)在同一條直線上,

：.E,尸在上，

正方形AECF的面積為50cnf,

.,.^(^=50,AC=l0an,

2

?.?菱形ABC。的面積為120cn/,

24

...■^■AOBD=120,BD—24cm,

所以菱形的邊長(zhǎng)48=

故答案為：13.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,3）,點(diǎn)8的坐標(biāo)是（-4,0）,以AB為邊作正方形ABCD,

連接O。，DB.則△COB的面積是14.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。ELy軸，垂足為￡

的坐標(biāo)是（0,3）,點(diǎn)8的坐標(biāo)是（-4,0）,

；.OA=3,08=4.

?:ABCD為正方形,

：.AB=AD,ZDAB=90Q.

：.ZDAE=ZAB0.

2E=NAOB

在△ABO和△。4"中,ZDAE=ZABO-

AB=AD

:./^ABO^^DAE.

：.AE=OB=4.

25

，0E=AE+A。=4+3=7.

的面積=工08??！?」*4'7=14.

22

故答案為：14.

22.如圖，四邊形A8CQ是正方形，△CBE是等邊三角形，則NAEB=75°

【解答】解：?..四邊形A8CO是正方形，aCBE是等邊三角形,

：.AB=BC,ZBAD=90°,BE=BC,NCBE=60°,

：.AB=BE,/AB￡=90°-60°=30°,

AZAEB=ZEAB=-^-(180°-30°)=75°,

2

故答案為：75°.

23.如圖，正方形A3C￡＞的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E,尸分別在線段BC,CD±.,且CF=3,CE=2,若點(diǎn)、M,N分別在線

段AB,AD上運(yùn)動(dòng)，P為線段MF上的點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持ZPEB=NPPC,則線段PN的最小值為

F—1

【解答】解：如圖I,

26

圖1

■:/PEB=NPFC,ZPEB+ZCEP=iSO°,

工NCEP+/CFP=180°,

：.C.E、P、尸四點(diǎn)共圓，

?..四邊形A2C￡＞是正方形，

.,.ZBCD=90°,

.,.EF是直徑，

取EF的中點(diǎn)為0,以EF為直徑作圓0,如圖1,連接0尸，ON,

■:PN20N-0P,

；0P是定值，02=工￡/=工/招手=1?，

即當(dāng)0、N、尸三點(diǎn)共線，且0N_LA。時(shí)，CW最小，PN最小，

如圖2,PN最小，延長(zhǎng)N0交BC于。，則OQLCE,

27

：.EQ=^EC=\,

由勾股定理得：。。=廬俞］喈y-F

:.PN=6---

222

即線段PN的最小值為9-J石.

2

故答案為：殳YH.

2

三.解答題(共7小題)

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)C、A分別在x、y軸上，A(0,6),E(0,2),點(diǎn)H、F

分別在邊AB、OC上，以H、E、F為頂點(diǎn)作菱形EFGH.

(1)當(dāng)，(-2,6)時(shí)，求證：四邊形EFG”是正方形；

(2)若F(-5,0),求點(diǎn)G的坐標(biāo).

【解答】解；(I)???四邊形ABCO是正方形,

...NBAO=NAOC=90°,

VE(0,2),H(-2,6),

；.AH=OE=2,

?.?四邊形E尸GH是菱形，

：.EH=EF,

在Rt^AHE和RtAOEF中,

[EH=EF,

IAH=OE'

28

：.Rt/\AHE^Rt/\OEF,

：.NAEH=NEFO,

VZEFO+ZFEO=90°,

；.NAEH+NFEO=90°,

：.ZHEF^90a,?四邊形E尸G”是菱形,

二四邊形EFGH是正方形.

(2)連接EG交"/于K.

,:HE=EF,

：.AH2+AE1=EO2+OF2,

.?./+16=4+25,

:.AH=\is，

：.H(--713-6),

,:KH=KF,

K(一耍3),

VGK=KE,

G(-5-773>4).

CFOlx

25.如圖，四邊形ABC￡＞是正方形，對(duì)角線4C、8。相交于點(diǎn)尸，NE=90°,ED=EC.求證：四邊形。尸CE是

正方形.

29

D

【解答】解：???四邊形A8CD是正方形，

:?NFDC=NDCF=45°,

VZE=90°,ED=EC,

：.ZEDC=ZECD=45°,

ZFCE=ZFDE=Z￡=90°,

???四邊形CE是矩形，

,:DE=CE,

???四邊形。尸CE是正方形.

26.如圖.在△ABC中，AB=AC,AZ)為NA4C的平分線，AN為△A5C外角NCAM的平分線，CE1AN,垂足為

E.

(1)求證：四邊形ADCE是矩形.

(2)若連接OE,交AC于點(diǎn)R試判斷四邊形A3DE的形狀(直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要證明).

(3)△ABC再添加一個(gè)什么條件時(shí)，可使四邊形AOCE是正方形.并證明你的結(jié)論.

【解答】證明：(1)???在△A3C中，AB=AC,AO為N5AC的平分線,

30

J.AD^BC,NBAD=NCAD,

：.ZADC=90°,

，：AN為叢ABC的外角/CAM的平分線，

：.ZMAN=ZCAN,

：.ZDAE=90',,

VCELAN,

：.ZAEC=90°,

，四邊形A￡>CE為矩形；

(2)四邊形A8OE是平行四邊形，

理由如下：由(1)知，四邊形AOCE為矩形，則AE=CO,AC=DE.

又,.?AB=AC,BD=CD,

：.AB=DE,AE=BD,

四邊形ABDE是平行四邊形：

(3)當(dāng)/區(qū)4c=90°時(shí)，四邊形AOCE是正方形，

理由：；N8AC=90°,AB=AC,4。為NBAC的平分線，

：.AD=CD=BD,

又???四邊形A￡>CE是矩形，

.??四邊形AQCE是正方形.

31

27.如圖，在矩形ABC。中，AD=f>,DC=8,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E,G,”分別在矩形A8CD的邊AB,CD,

DA±,AH=2,DG=2.求證：四邊形EFG”為正方形.

【解答】解：：四邊形ABC。為矩形，四邊形HEFG為菱形,

:.-4=90°,HG=HE,

又AH=DG=2,

.,.Rt^AHE^Rt^DGH(HL),

：.ZDHG=ZHEA,

VZAHE+ZHEA^90°,

ZAHE+ZDHG=90°,

；.NEHG=90°,

四邊形HEFG為正方形.

28.如圖，在aABC中，。是AB中點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)羁?

(1)四邊形8OEF■是平行四邊形;

(2)若四邊形8CEF是菱形，則△ABC滿足的條件是

32

(3)若四邊形BZ)￡F是矩形，則△ABC滿足的條件是NB=90°.

(4)若四邊形BDEF是正方形，則△