數(shù)字圖像處理-第三章-第三節(jié)

3.3形態(tài)變換形態(tài)變換表、規(guī)則解析表達非連續(xù)連續(xù)不光滑光滑線性非線性仿射變換平移變換放縮變換旋轉(zhuǎn)變換歐式變換剛體變換相似變換形態(tài)變換是一類將平面區(qū)域映射到平面區(qū)域的變換，可將一個組合區(qū)域映射為另一組合區(qū)域，將單個區(qū)域映射為一個組合區(qū)域，將一個組合區(qū)域映射為一個單個區(qū)域光滑是指表達變換的矢量場的直到無窮階的所有偏微分都存在。僅能用表格、規(guī)則表達的變換一、形態(tài)變換及分類二、一般仿射變換1、投影變換投影變換確定的是投影中的坐標(biāo)變換。將一個點p投影到另一個點q的投影變換可定義為：如果用矩陣形式可簡潔表示為：q=Hpp這是一個通用的非奇異齊次線性變換，即變換矩陣的行列式不為0。它的分塊形式：A是一個2×2的非奇異矩陣；ｔ是一個2×1的矢量；矢量V=[v1，v2]T矩陣有9個元素，但只有它們的比例有意義。變換可用8個獨立的參數(shù)表示，即一般的投影變換有8個自由度。兩平面間的投影變換可根據(jù)4組點的對應(yīng)性來計算。2、仿射變換仿射變換是一種特殊的投影變換。仿射變換是一個非奇異的線性變換接上一個平移變換。矩陣表達式為：分塊矩陣形式為：一個平面上的仿射變換有6個自由度（4個A中元素，2個t中元素），可根據(jù)平面上3組點的對應(yīng)關(guān)系計算。例如：的仿射變換仿射變換的另一種方式：旋轉(zhuǎn)變換＋非各向同性縮放＋平移仿射變換中線性分量A可分解為：R（θ），R（φ）表示旋轉(zhuǎn)θ和φ角度D是對角矩陣：仿射矩陣A：可看作是一個旋轉(zhuǎn)（φ），然后沿X和Y方向放縮λ1和λ2，再旋轉(zhuǎn)回去（－φ），最后再級聯(lián)一個旋轉(zhuǎn)（θ）。R（θ）：表示旋轉(zhuǎn)θ

，R(－φ)DR(φ):表示非各向同性放縮。φ

：表示放縮方向的角度。λ1和λ2：兩方向的放縮參數(shù)θθ仿射變換的性質(zhì)：仿射變換將有限點映射為有限點。仿射變換能建立一對一的關(guān)系，而投影變換在將一個平面變換為另一個平面時則不總具備這個性質(zhì)。仿射變換將直線映射為直線。仿射變換將平行直線映射為平行直線。當(dāng)區(qū)域P和Q是沒有退化的三角形（即面積不為0），那么存在一個唯一的仿射變換A可將P映射為Q，即Q=A(P)三、特殊仿射變換1、相似變換：相似變換的矩陣表示：分塊矩陣的形式：S（>0）表示各向同性放縮R表示旋轉(zhuǎn)，是一個特殊的2×2正交矩陣，RTR＝RRT＝1,行列式det(R)=1，t=0表示純旋轉(zhuǎn)，R=1表示純平移特點：具有保形性（保持形狀）或保角性，即一個相似變換可以保持兩條曲線在交點處的角度。由于相似變換可保持形狀，所以也稱為同形變換。即對一個圓環(huán)的相似變換總得到一個圓環(huán)（雖然圓環(huán)可能在另一個位置或者具有另一個尺度）相似變換具有4個自由度，可根據(jù)兩組點的對應(yīng)性來計算。與一般的仿射變換相比，相似變換沒有非各向同性放縮，比仿射變換少兩個自由度，即沒有表示放縮方向的角度φ和表示兩個放縮參數(shù)的比值2、等距變換等距變換在2－D空間保持歐氏距離等距變換可表示為：平面上的等距變換的分塊矩陣形式表示為：3、剛體變換剛體變換T能保持區(qū)域中兩個點間的所有距離。即給定兩點，距離，那么必然有4、歐氏變換這種變換在處理平面區(qū)域反射的情況很有用。歐氏變換可表達剛體的運動（平移和旋轉(zhuǎn)的組合）。一個歐氏運動是先旋轉(zhuǎn)（可看作特殊的正交變換）后平移的組合剛體變換歐氏變換如果兩個區(qū)域P和Q是用歐氏運動聯(lián)系在一起的，即q=Ap+t

和p=A-1(q-t)，其中p∈P，q∈Q，則可說這兩個區(qū)域是全等的、疊合的或同余的。平面上的歐氏變換有3個參數(shù)（3個自由度），可根據(jù)兩組點的對應(yīng)性來計算。剛體變換和歐氏變換都是等距變換。等距變換中，如果e=1，那么等距變換能保持朝向且是歐氏變換。如果e=-1，那么將反轉(zhuǎn)朝向，對應(yīng)剛體變換。歐氏變換是剛體變換的一個特例。剛體變換中R是一個一般的正交矩陣，det(R)=±1。歐氏變換中R是一個特殊的正交矩陣，det(R)=1.四、仿射變換的另一種描述方案仿射變換也可表示成從（x,y）到（x’,y’）的變換:其中，X和Y表示平移。那么：借助旋轉(zhuǎn)變換的形式，可將上兩式寫為：如果令，則反變換為：系數(shù)Mx和My是在X和Y方向上的放縮系數(shù)，而Sx和Sy描述了剪切的情況。原圖MX=2My=1.5SX=0.5Sy=0.3混合剪切仿射變換會使面積發(fā)生變化。例如，一個單位正方形的4個角點的坐標(biāo)如何受到仿射變換的影響。（0，0）（1，0）（1，1）（0，1）（0，0）MxSxSyMy（Mx+Sx,My+Sy）（Mx,Sy）（Sx,My）剪切造成的變形：一個正方形（圖a）受到沿X方向的剪切作用后會變成一個菱形(圖b)。其主對角線不再在45度線上（主對角線與水平線的夾角改為41度）。但是這個菱形不是將正方形簡單的旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果，在短對角線方向有所壓縮而在長對角線方向有所拉伸。如果將其對角線轉(zhuǎn)回到45度(圖c)，可以保持面積不變但不再是正方形。45414145圖a圖b圖c仿射變換（affinetransformation）其中A是變形矩陣，b是平移矢量。在2維空間，A可以按如下的四個步驟分解：尺度、伸縮、扭曲、旋轉(zhuǎn)（1）尺度（2）伸縮（3）扭曲（4）旋轉(zhuǎn)即：圖人臉圖象和掩膜圖象五、變換的層次（相互關(guān)系）投影變換仿射變換相似變換等距變換最后一行為[0，0，1]左上角矩陣正交左上角矩陣行列式為1v是零矢量,s=1矩陣A可寫成sR尺度s取值為±1投影變換是最一般的變換。等距變換是相似變換的一個特例（讓相似變換中的尺度值s=±1）.相似變換是仿射變換的一個特例（讓仿射變換中的矩陣A為sR）。仿射變換是投影變換的一個特例（投影變換中矢量V是一個零矢量，尺度s=1）,即投影變換矩陣的最后一行為【0，0，1】，則投影變換退化為仿射變換。仿射變換矩陣的左上角2×2矩陣是正交的，則仿射變換退化為相似變換。當(dāng)相似變換矩陣的左上角2×2矩陣的行列式為1，即det(A)=1,(如果A是正交，那么|det(R)|=1），則相似變換退化為等距變換。

從矩陣分解看變換層次

一個投影變換矩陣可分解為一系列變換矩陣，其中每個矩陣表示比前一個變換高一個層次的變換矩陣，在低層次上的變換不影響高層次變換的性質(zhì)。其中，非奇異矩陣A為A=sRK+tvT，K為上三角矩陣(det(K)=k1,1，k2,2，kN,N)，歸一化后有det（K）=1，只要u≠0，這個分解就可成立，而只要S>0，則這個分解是唯一的。一個通用的投影變換也可分解為：由上式可得H的逆變換：例如：投影矩陣K，R，t和v的具體數(shù)值與上面分解式中取值可能不同。當(dāng)僅需要部分確定變換時就可使用分解方案。例如，如果要從一個平面的透視圖像測量長度比例，那只需要確定一個相似變換。

從變換結(jié)果看變換層次以從平面場景獲取的具有圓環(huán)和正方形（它也提供了平行線）為例，不同變換的失真效果：等距變換：圓環(huán)和正方形都不變化形狀相似變換：圓環(huán)和正方形都不變化形狀，平行或垂直的直線仍具有相同的相對朝向仿射變換：圓環(huán)變成橢圓，原始互相垂直的直線不再垂直，但原始平行的直線仍平行。投影變換：原始平行的直線變成匯聚的直線。離相機近的正方形比遠的正方形的圖像大。高層次的變換可使變換對象的形狀產(chǎn)生更復(fù)雜的變化。等距變換相似變換仿射變換投影變換包括了從只有平移和旋轉(zhuǎn)的歐氏變換，直到能把正方形變換為任意四邊形的投影變換（只要每個平面中沒有3個點是共線的）?？梢娫诟邔哟紊系淖儞Q能產(chǎn)生在低層次上的變換所產(chǎn)生的所有結(jié)果。不同變換的不同變量既可以用作用于點或曲線坐標(biāo)的矩陣形式描述變換，又可以用變換前后所保留的性質(zhì)（不變量）來描述變換的特點。等距變換中的不變量，有長度（兩點間的距離）、角度（兩條線間夾角）、面積。相似變換中的不變量可根據(jù)歐氏不變量再加上縮放得到。兩條線間的夾角不受旋轉(zhuǎn)、平移和縮放的影響，所以相似變換中的不變量也不受旋轉(zhuǎn)、平移和縮放的影響。兩點間的距離不是相似變換中不變量，但兩個長度的比是不變量，因為長度的放縮被消掉了。面積的比也是一個不變量，因為放縮（的平方）也被消掉了。仿射變換，因為仿射變換包含非各向同性放縮，所以長度比和兩條線間的夾角在仿射變換中不再是不變量。但平行性（平行直線變換后仍平行），平行直線段長度的比，面積比都是不變量。最基本的投影變換是4個共線點的交比：直線長度的比在仿射變換中是不變量，但在投影變換中不是。不過，直線長度的交比是投影變換的一個不變量。低層次的變換繼承了高層次變換的不變量如果一個量是不變量（如歐氏變