數(shù)字圖像處理-第三章-第三節(jié)

3.3形態(tài)變換形態(tài)變換表、規(guī)則解析表達非連續(xù)連續(xù)不光滑光滑線性非線性仿射變換平移變換放縮變換旋轉(zhuǎn)變換歐式變換剛體變換相似變換形態(tài)變換是一類將平面區(qū)域映射到平面區(qū)域的變換，可將一個組合區(qū)域映射為另一組合區(qū)域，將單個區(qū)域映射為一個組合區(qū)域，將一個組合區(qū)域映射為一個單個區(qū)域光滑是指表達變換的矢量場的直到無窮階的所有偏微分都存在。僅能用表格、規(guī)則表達的變換一、形態(tài)變換及分類二、一般仿射變換1、投影變換投影變換確定的是投影中的坐標變換。將一個點p投影到另一個點q的投影變換可定義為：如果用矩陣形式可簡潔表示為：q=Hpp這是一個通用的非奇異齊次線性變換，即變換矩陣的行列式不為0。它的分塊形式：A是一個2×2的非奇異矩陣；ｔ是一個2×1的矢量；矢量V=[v1，v2]T矩陣有9個元素，但只有它們的比例有意義。變換可用8個獨立的參數(shù)表示，即一般的投影變換有8個自由度。兩平面間的投影變換可根據(jù)4組點的對應(yīng)性來計算。2、仿射變換仿射變換是一種特殊的投影變換。仿射變換是一個非奇異的線性變換接上一個平移變換。矩陣表達式為：分塊矩陣形式為：一個平面上的仿射變換有6個自由度（4個A中元素，2個t中元素），可根據(jù)平面上3組點的對應(yīng)關(guān)系計算。例如：的仿射變換仿射變換的另一種方式：旋轉(zhuǎn)變換＋非各向同性縮放＋平移仿射變換中線性分量A可分解為：R（θ），R（φ）表示旋轉(zhuǎn)θ和φ角度D是對角矩陣：仿射矩陣A：可看作是一個旋轉(zhuǎn)（φ），然后沿X和Y方向放縮λ1和λ2，再旋轉(zhuǎn)回去（－φ），最后再級聯(lián)一個旋轉(zhuǎn)（θ）。R（θ）：表示旋轉(zhuǎn)θ

，R(－φ)DR(φ):表示非各向同性放縮。φ

：表示放縮方向的角度。λ1和λ2：兩方向的放縮參數(shù)θθ仿射變換的性質(zhì)：仿射變換將有限點映射為有限點。仿射變換能建立一對一的關(guān)系，而投影變換在將一個平面變換為另一個平面時則不總具備這個性質(zhì)。仿射變換將直線映射為直線。仿射變換將平行直線映射為平行直線。當區(qū)域P和Q是沒有退化的三角形（即面積不為0），那么存在一個唯一的仿射變換A可將P映射為Q，即Q=A(P)三、特殊仿射變換1、相似變換：相似變換的矩陣表示：分塊矩陣的形式：S（>0）表示各向同性放縮R表示旋轉(zhuǎn)，是一個特殊的2×2正交矩陣，RTR＝RRT＝1,行列式det(R)=1，t=0表示純旋轉(zhuǎn)，R=1表示純平移特點：具有保形性（保持形狀）或保角性，即一個相似變換可以保持兩條曲線在交點處的角度。由于相似變換可保持形狀，所以也稱為同形變換。即對一個圓環(huán)的相似變換總得到一個圓環(huán)（雖然圓環(huán)可能在另一個位置或者具有另一個尺度）相似變換具有4個自由度，可根據(jù)兩組點的對應(yīng)性來計算。與一般的仿射變換相比，相似變換沒有非各向同性放縮，比仿射變換少兩個自由度，即沒有表示放縮方向的角度φ和表示兩個放縮參數(shù)的比值2、等距變換等距變換在2－D空間保持歐氏距離等距變換可表示為：平面上的等距變換的分塊矩陣形式表示為：3、剛體變換剛體變換T能保持區(qū)域中兩個點間的所有距離。即給定兩點，距離，那么必然有4、歐氏變換這種變換在處理平面區(qū)域反射的情況很有用。歐氏變換可表達剛體的運動（平移和旋轉(zhuǎn)的組合）。一個歐氏運動是先旋轉(zhuǎn)（可看作特殊的正交變換）后平移的組合剛體變換歐氏變換如果兩個區(qū)域P和Q是用歐氏運動聯(lián)系在一起的，即q=Ap+t

和p=A-1(q-t)，其中p∈P，q∈Q，則可說這兩個區(qū)域是全等的、疊合的或同余的。平面上的歐氏變換有3個參數(shù)（3個自由度），可根據(jù)兩組點的對應(yīng)性來計算。剛體變換和歐氏變換都是等距變換。等距變換中，如果e=1，那么等距變換能保持朝向且是歐氏變換。如果e=-1，那么將反轉(zhuǎn)朝向，對應(yīng)剛體變換。歐氏變換是剛體變換的一個特例。剛體變換中R是一個一般的正交矩陣，det(R)=±1。歐氏變換中R是一個特殊的正交矩陣，det(R)=1.四、仿射變換的另一種描述方案仿射變換也可表示成從（x,y）到（x’,y’）的變換:其中，X和Y表示平移。那么：借助旋轉(zhuǎn)變換的形式，可將上兩式寫為：如果令，則反變換為：系數(shù)Mx和My是在X和Y方向上的放縮系數(shù)，而Sx和Sy描述了剪切的情況。原圖MX=2My=1.5SX=0.5Sy=0.3混合剪切仿射變換會使面積發(fā)生變化。例如，一個單位正方形的4個角點的坐標如何受到仿射變換的影響。（0，0）（1，0）（1，1）（0，1）（0，0）MxSxSyMy（Mx+Sx,My+Sy）（Mx,Sy）（Sx,My）剪切造成的變形：一個正方形（圖a）受到沿X方向的剪切作用后會變成一個菱形(圖b)。其主對角線不再在45度線上（主對角線與水平線的夾角改為41度）。但是這個菱形不是將正方形簡單的旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果，在短對角線方向有所壓縮而在長對角線方向有所拉伸。如果將其對角線轉(zhuǎn)回到45度(圖c)，可以保持面積不變但不再是正方形。45414145圖a圖b圖c仿射變換（affinetransformation）其中A是變形矩陣，b是平移矢量。在2維空間，A可以按如下的四個步驟分解：尺度、伸縮、扭曲、旋轉(zhuǎn)（1）尺度（2）伸縮（3）扭曲（4）旋轉(zhuǎn)即：圖人臉圖象和掩膜圖象五、變換的層次（相互關(guān)系）投影變換仿射變換相似變換等距變換最后一行為[0，0，1]左上角矩陣正交左上角矩陣行列式為1v是零矢量,s=1矩陣A可寫成sR尺度s取值為±1投影變換是最一般的變換。等距變換是相似變換的一個特例（讓相似變換中的尺度值s=±1）.相似變換是仿射變換的一個特例（讓仿射變換中的矩陣A為sR）。仿射變換是投影變換的一個特例（投影變換中矢量V是一個零矢量，尺度s=1）,即投影變換矩陣的最后一行為【0，0，1】，則投影變換退化為仿射變換。仿射變換矩陣的左上角2×2矩陣是正交的，則仿射變換退化為相似變換。當相似變換矩陣的左上角2×2矩陣的行列式為1，即det(A)=1,(如果A是正交，那么|det(R)|=1），則相似變換退化為等距變換。

從矩陣分解看變換層次

一個投影變換矩陣可分解為一系列變換矩陣，其中每個矩陣表示比前一個變換高一個層次的變換矩陣，在低層次上的變換不影響高層次變換的性質(zhì)。其中，非奇異矩陣A為A=sRK+tvT，K為上三角矩陣(det(K)=k1,1，k2,2，kN,N)，歸一化后有det（K）=1，只要u≠0，這個分解就可成立，而只要S>0，則這個分解是唯一的。一個通用的投影變換也可分解為：由上式可得H的逆變換：例如：投影矩陣K，R，t和v的具體數(shù)值與上面分解式中取值可能不同。當僅需要部分確定變換時就可使用分解方案。例如，如果要從一個平面的透視圖像測量長度比例，那只需要確定一個相似變換。

從變換結(jié)果看變換層次以從平面場景獲取的具有圓環(huán)和正方形（它也提供了平行線）為例，不同變換的失真效果：等距變換：圓環(huán)和正方形都不變化形狀相似變換：圓環(huán)和正方形都不變化形狀，平行或垂直的直線仍具有相同的相對朝向仿射變換：圓環(huán)變成橢圓，原始互相垂直的直線不再垂直，但原始平行的直線仍平行。投影變換：原始平行的直線變成匯聚的直線。離相機近的正方形比遠的正方形的圖像大。高層次的變換可使變換對象的形狀產(chǎn)生更復雜的變化。等距變換相似變換仿射變換投影變換包括了從只有平移和旋轉(zhuǎn)的歐氏變換，直到能把正方形變換為任意四邊形的投影變換（只要每個平面中沒有3個點是共線的）?？梢娫诟邔哟紊系淖儞Q能產(chǎn)生在低層次上的變換所產(chǎn)生的所有結(jié)果。不同變換的不同變量既可以用作用于點或曲線坐標的矩陣形式描述變換，又可以用變換前后所保留的性質(zhì)（不變量）來描述變換的特點。等距變換中的不變量，有長度（兩點間的距離）、角度（兩條線間夾角）、面積。相似變換中的不變量可根據(jù)歐氏不變量再加上縮放得到。兩條線間的夾角不受旋轉(zhuǎn)、平移和縮放的影響，所以相似變換中的不變量也不受旋轉(zhuǎn)、平移和縮放的影響。兩點間的距離不是相似變換中不變量，但兩個長度的比是不變量，因為長度的放縮被消掉了。面積的比也是一個不變量，因為放縮（的平方）也被消掉了。仿射變換，因為仿射變換包含非各向同性放縮，所以長度比和兩條線間的夾角在仿射變換中不再是不變量。但平行性（平行直線變換后仍平行），平行直線段長度的比，面積比都是不變量。最基本的投影變換是4個共線點的交比：直線長度的比在仿射變換中是不變量，但在投影變換中不是。不過，直線長度的交比是投影變換的一個不變量。低層次的變換繼承了高層次變換的不變量如果一個量是不變量（如歐氏變