2025屆廣東省高二數(shù)學第一學期期末達標檢測試題含解析

2025屆廣東省高二數(shù)學第一學期期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線：與直線：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或72．丹麥數(shù)學家琴生（Jensen）是19世紀對數(shù)學分析作出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為“凸函數(shù)”，則下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是“凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.3．已知，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足，那么點P到x軸的距離為（）A. B.C. D.4．設(shè)分別為圓和橢圓上的點,則兩點間的最大距離是A. B.C. D.5．設(shè)，直線與直線平行，則（）A. B.C. D.6．若曲線與曲線在公共點處有公共切線，則實數(shù)（）A. B.C. D.7．直線經(jīng)過兩個定點，，則直線傾斜角大小是（）A. B.C. D.8．設(shè)x∈R，則x<3是0<x<3的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件9．已知向量，，且與互相垂直，則（）A. B.C. D.10．某學生2021年共參加10次數(shù)學競賽模擬考試，成績分別記為，，，…，，為研究該生成績的起伏變化程度，選用一下哪個數(shù)字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標準差；C.，，，…，的中位數(shù)； D.，，，…，的眾數(shù)；11．南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第十層球的個數(shù)為（）A.45 B.55C.90 D.11012．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_______14．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______.15．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_______________16．為和的等差中項，則_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.18．（12分）如圖，點分別在射線，上運動，且（1）求；（2）求線段的中點M的軌跡C的方程；（3）直線與，軌跡C及自上而下依次交于D，E，F(xiàn)，G四點，求證：19．（12分）圓心為的圓經(jīng)過點,，且圓心在上，（1）求圓的標準方程；（2）過點作直線交圓于且，求直線的方程.20．（12分）甲、乙兩人獨立地對某一目標射擊，已知甲、乙能擊中的概率分別為，求：（1）甲、乙恰好有一人擊中的概率；（2）目標被擊中的概率21．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦點為，且過點，橢圓的上、下頂點分別為，右頂點為，直線過點且垂直于軸（1）求橢圓的標準方程；（2）若點在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點，直線與軸交于點，試問：是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由22．（10分）已知.(1)討論的單調(diào)性；(2)當有最大值，且最大值大于時，求取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D2、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導函數(shù)公式求各函數(shù)二階導函數(shù)，判斷其在定義域上是否恒有，即可知正確選項.【詳解】A：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負，故不是“凸函數(shù)”；B：，則，故是“凸函數(shù)”；C：，則，故不是“凸函數(shù)”；D：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負，故不是“凸函數(shù)”；故選：B3、D【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個焦點，設(shè)焦距為，，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設(shè)的高為，則為點P到x軸的距離，則，故選：D【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.4、D【解析】轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加（半徑）.【詳解】設(shè)，圓心為，則，當時，取到最大值，∴最大值為故選：D.【點睛】本題考查圓上點與橢圓上點的距離的最值問題，解題關(guān)鍵是圓上的點轉(zhuǎn)化為圓心，利用圓心到動點距離的最值加（或減）半徑得出結(jié)論5、C【解析】根據(jù)直線平行求解即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，即，經(jīng)檢驗，滿足題意.故選：C6、A【解析】設(shè)公共點為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實數(shù)、的值.【詳解】設(shè)公共點為，的導數(shù)為，曲線在處的切線斜率，的導數(shù)為，曲線在處的切線斜率，因為兩曲線在公共點處有公共切線，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故選：A7、A【解析】由兩點坐標求出斜率，再得傾斜角【詳解】由已知直線的斜率為，所以傾斜角為故選：A8、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】，因此，“”是“”必要不充分條件.故選：B.9、D【解析】根據(jù)垂直關(guān)系可得，由向量坐標運算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，又與互相垂直，，解得：.故選：D.10、B【解析】根據(jù)平均數(shù)、標準差、中位數(shù)及眾數(shù)的概念即得.【詳解】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念可知，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，標準差描述數(shù)據(jù)的波動大小估計數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.故選：B.11、B【解析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并將規(guī)律表達出來，第層有個球.【詳解】根據(jù)規(guī)律，可以得知：第一層有個球；第二層有個球；第三層有個球，則根據(jù)規(guī)律可知：第層有個球設(shè)第層的小球個數(shù)為，則有：故第十層球的個數(shù)為：故選：12、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，則排除選項、,當時，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點存在定理可知在上存在一個零點，則排除，故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構(gòu)造新函數(shù)，求導根據(jù)導數(shù)大于等于零得到，構(gòu)造，求導得到單調(diào)區(qū)間，計算函數(shù)最小值得到答案.【詳解】當時，不等式恒成立，所以，所以在上是增函數(shù)，，則上恒成立，即在上恒成立，令，則，當時，，當時，，所以，所以故答案為：14、【解析】先求函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)在處的切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，重點考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.15、107【解析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，根據(jù)題意列方程可得，從而求出或，再根據(jù)，確定，進而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因為，易知，又因為，，所以，，故答案為：107.【點睛】本題考查了等差中項和等比數(shù)列的通項公式，考查了和的關(guān)系，同時考查了計算能力，屬于中檔題.16、【解析】利用等差中項的定義可求得結(jié)果.【詳解】由等差中項的定義可得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）由三角形的中位線定理可證得MN∥AB，再由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論，（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥AC，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得VC⊥平面ABC，從而有AB⊥VC，然后由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論【小問1詳解】證明：∵M，N分別為VA，VB的中點，∴MN∥AB，∵AB?平面CMN，MN?平面CMN，∴AB∥平面CMN【小問2詳解】證明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV，∴AB⊥BC，VC⊥AC，∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，∴VC⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴AB⊥VC，又VC∩BC＝C，∴AB⊥平面VBC18、（1）2（2）（3）證明見詳解【解析】（1）用兩點間的距離公式和三角形的面積公式，結(jié)合已知直接可解；（2）根據(jù)中點坐標公式，結(jié)合（1）中結(jié)論可得；（3）要證，只需證和的中點重合，直接或利用韋達定理求出中點橫坐標，證明其相等即可.【小問1詳解】記直線的傾斜角為，則，易得所以因為，所以，整理得：【小問2詳解】設(shè)點M的坐標為，則即，由（1）知，所以，即【小問3詳解】要證，只需證和的中點重合，記D，E，F(xiàn)，G的橫坐標分別為，易知直線的斜率（當時與漸近線平行或重合，此時與雙曲線最多一個交點）則解方程組，得解方程組，得將代入，得所以因為所以所以和的中點的橫坐標相等，所以和的中點重合，記其中點為N，則有，即19、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段的垂直平分線方程，求出此直線與已知直線的交點坐標即為圓心坐標，再求得半徑后可得圓的標準方程；（2）檢驗直線斜率不存在時是否滿足題意，在斜率存在時設(shè)方程為,求得圓心到直線的距離，由勾股定理得弦長，由弦長為8得參數(shù)，得直線方程【詳解】（1）由已知，中點坐標為，垂直平分線方程為則由解得，所以圓心,因此半徑所以圓的標準方程（2）由可得圓心到直線的距離當直線斜率不存在時,其方程為，當直線斜率存在時,設(shè)其方程為,則，解得，此時其方程為，所以直線方程為或.【點睛】方法點睛：本題考查求圓的標準方程，考查直線與圓相交弦長．求弦長方法是幾何法：即求出圓心到弦所在直線距離，由勾股定理求得弦長．求直線方程時注意檢驗直線斜率不存在的情形20、（1）；（2）.【解析】（1）分為甲擊中且乙沒有擊中，和乙擊中且甲沒有擊中兩種情況，進而根據(jù)獨立事件概率公式求得答案；（2）先考慮甲乙都沒有擊中，進而根據(jù)對立事件概率公式和獨立事件概率公式求得答案.【小問1詳解】設(shè)甲、乙分別擊中目標為事件，，易知，相互獨立且，，甲、乙恰好有一人擊中的概率為.【小問2詳解】目標被擊中的概率為.21、（1）（2）為定值，該定值為2【解析】（1）先根據(jù)焦點形式設(shè)出橢圓方程和焦距，根據(jù)橢圓經(jīng)過和半焦距為3易得橢圓的標準方程；（2）設(shè)，分別表示出直線方程，進而求得點的縱坐標，點橫坐標，即可表示出，即可求得答案【小問1詳解】由焦點坐標可知，橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)橢圓：，焦距為，因為橢圓經(jīng)過點，焦點為所以，，解得，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】設(shè)，由橢圓的方程可知，因為，則直線，由已知得，直線斜率均存在，則直線，令得，直線，令得，因為點在第一象限，所以，，則，又因為，即，所以所以為定值，該定值為2.22、(1)