湖南明德中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

湖南明德中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，設(shè)其中一個切點(diǎn)為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.2．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2C. D.13．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為A. B.C. D.4．已知數(shù)列滿足，且，那（）A.19 B.31C.52 D.1045．若直線與雙曲線相交，則的取值范圍是A. B.C. D.6．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個數(shù)為（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.47．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.8．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當(dāng)時，得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個重要的數(shù)（自然對數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評價它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部（）A. B.C. D.9．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23，則該數(shù)列的第31項(xiàng)為（）A.336 B.467C.483 D.60110．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為B.當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時，面積的最大值為24C.當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時，射線是的角平分線D.在C上存在點(diǎn)M，使得11．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.12．若數(shù)列的前n項(xiàng)和(n∈N*)，則=（）A.20 B.30C.40 D.50二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，則實(shí)數(shù)的值是__________.14．橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是________15．某企業(yè)有4個分廠，新培訓(xùn)了一批6名技術(shù)人員，將這6名技術(shù)人員分配到各分廠，要求每個分廠至少1人，則不同的分配方案種數(shù)為________.16．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到x軸的距離為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C的焦點(diǎn)為，N為拋物線上一點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，，求直線l的方程18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線：，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)：當(dāng)l與拋物線的對稱軸垂直時，（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)A在第一象限，記的面積為，的面積為，求的最小值19．（12分）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上.過點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).（1）求該橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P為直線上的動點(diǎn)，記直線PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數(shù)列.20．（12分）已知橢圓上頂點(diǎn)與橢圓的左，右頂點(diǎn)連線的斜率之積為（1）求橢圓C的離心率；（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，若方程的兩根為，且，當(dāng)時，不等式對任意的恒成立，求正實(shí)數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，即，故選：B2、B【解析】先畫出可行域，由，作出直線向下平移過點(diǎn)A時，取得最小值，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中可求得答案【詳解】由題可得其可行域?yàn)槿鐖D，l：，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時，取到最小值，由，得，即，所以的最小值為故選：B3、C【解析】利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對應(yīng)的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.4、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以有，因此?shù)列是公比的等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，故選：D5、C【解析】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到，即得的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得當(dāng)，即時，直線和雙曲線的漸近線重合，所以直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).當(dāng)，即時，，解之得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.6、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式計(jì)算后即可判斷【詳解】解：①，故錯誤；②，故正確；③，故錯誤；④，故錯誤.所以求導(dǎo)運(yùn)算正確的個數(shù)為1.故選：A.7、D【解析】根據(jù)題意參變分離得到，求出的最小值，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意得：在上恒成立，即，其中在處取得最小值，，所以，解得：，故選：D8、D【解析】由歐拉公式的定義和復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.9、B【解析】先由遞推關(guān)系利用累加法求出通項(xiàng)公式，直接帶入即可求得.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列2，3，5，8，12，17，23……滿足，，所以該數(shù)列的第31項(xiàng)為.故選：B10、C【解析】根據(jù)題意可求出C的方程為，即可根據(jù)題意判斷各選項(xiàng)的真假【詳解】對A，由可得，化簡得，即，A錯誤；對B，當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時，點(diǎn)到直線的最大距離為，所以面積的最大值為，B錯誤；對C，當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時，因?yàn)?，所以射線是的角平分線，C正確；對D，設(shè)，由可得點(diǎn)的軌跡方程為，而圓與圓的圓心距為，兩圓內(nèi)含，所以這樣的點(diǎn)不存在，D錯誤故選：C11、B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及反例判斷各個選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閏>d，所以，所以，所以B正確；時，不滿足選項(xiàng)A；時，，且，所以不滿足選項(xiàng)CD；故選：B12、B【解析】由前項(xiàng)和公式直接作差可得.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和(n∈N*)，所以.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)圓錐曲線焦點(diǎn)在軸上且離心率小于1，確定a,b求解即可.【詳解】因?yàn)閳A錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，所以曲線為橢圓，且，所以，解得，故答案為：14、2x＋4y－3＝0【解析】設(shè)弦端點(diǎn)為，又A，B在橢圓上，、即直線AB的斜率為直線AB的方程為，.15、1560【解析】先把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人，有兩種情況：（1）4個組的人數(shù)按3,1,1,1分配，（2）4個組的人數(shù)為2,2,1,1，求出所有的分組方法，然后再把4個組的人分給4個分廠，從而可求得答案【詳解】先把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人.（1）若4個組的人數(shù)按3,1,1,1分配，則不同的分配方案有(種).（2）若4個組的人數(shù)為2,2,1,1，則不同的分配方案有(種).故所有分組方法共有20＋45＝65(種).再把4個組的人分給4個分廠，不同的方法有(種).故答案為：156016、【解析】由空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到軸的距離為計(jì)算可得【詳解】解：空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）拋物線的方程為，利用拋物線的定義求出點(diǎn)N，代入拋物線方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，將直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及焦半徑公式可得或，即求.【小問1詳解】拋物線的方程為，設(shè)，依題意，由拋物線定義，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由（1）得，設(shè)直線的方程為，，，由，得.因?yàn)?，故所?由題設(shè)知，解得或，因此直線方程為或.18、（1）.（2）8.【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程可解得基本量.（2）設(shè)直線AB為，代入聯(lián)立得關(guān)于的一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再求函數(shù)最值.【小問1詳解】當(dāng)l與拋物線的對稱軸垂直時，，，則代入拋物線方程得，所以拋物線方程是【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，，直線AB方程為，聯(lián)立拋物線整理得：，，∴，，有，由A在第一象限，則，即，∴，可得，又O到AB的距離，∴，而，∴，，當(dāng)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；∴的最小值為,此時，.19、（1）;（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上的點(diǎn)，利用橢圓的定義求出a，再由關(guān)系求b，即可得解；（2）分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，利用斜率公式計(jì)算出，根據(jù)等差中項(xiàng)計(jì)算，即可證明成等差數(shù)列.【小問1詳解】∵橢圓的焦距，橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)在橢圓上，，即.該橢圓方程為.【小問2詳解】設(shè).當(dāng)直線l的斜率為0時，其方程為，代入，可得.不妨取，則，成等差數(shù)列.當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)其方程為，由，消去x得.即，成等差數(shù)列，綜上可得，，成等差數(shù)列.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，可知，可得，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，由此即可求出離心率；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到，，再根據(jù)弦長公式，建立方程，即可求出的值，進(jìn)而求出橢圓方程.【小問1詳解】解：由題意可知，橢圓上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，∴，即，則又，∴，所以橢圓的離心率；【小問2詳解】解：設(shè)，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿足，∴，∴橢圓C的方程為21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可.【小問1詳解】在直三棱柱中，，且四邊形平行四邊形，又，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故，即：，且平面，平面，所以平面；【小問2詳解】在直三棱柱中，平面，平面，則，且，，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以，又在平行四邊形中，，則四邊形菱形，所以，且，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?22、（1）（2）1【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)