2025屆云南省曲靖市富源縣二中數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆云南省曲靖市富源縣二中數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在長(zhǎng)方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.2．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（）A.1 B.2C. D.33．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過點(diǎn)的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．已知p：，q：，那么p是q的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件5．設(shè)雙曲線（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.46．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A B.C. D.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在拋物線上，直線PF交x軸于Q點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為（）A.4 B.5C.6 D.78．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P，滿足圓上存在一點(diǎn)Q使得，則所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.10．已知點(diǎn)在橢圓上，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．中秋節(jié)吃月餅是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗，若一盤中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現(xiàn)從盤中任取3塊，在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）A B.C. D.12．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對(duì)任意，C對(duì)任意， D.對(duì)任意，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射，其反射光線所在直線與圓相切，則反射光線所在的直線方程為____.14．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的漸近線方程為__________15．若，，，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上，則橢圓C的方程為________.16．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C過點(diǎn)，，它與x軸的交點(diǎn)為，，與y軸的交點(diǎn)為，，且.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，直線，從點(diǎn)A發(fā)出的一條光線經(jīng)直線l反射后與圓C有交點(diǎn)，求反射光線所在的直線的斜率的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點(diǎn)（1）若，證明：直線必過坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程19．（12分）已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，都有．若存在，求出r的值，并求此時(shí)△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，，分別為，的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）證明：平面21．（12分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E為AB中點(diǎn)，D為上一點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，求平面ADC與平面所成角的正弦值22．（10分）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求n的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，由線面垂直判定可知平面，則所求角即為，由長(zhǎng)度關(guān)系求得即可.【詳解】在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接.，，，平面，平面，的正弦值即為所求角的正弦值，，，.故選：D.2、D【解析】根據(jù)題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)過焦點(diǎn)的弦垂直于x軸時(shí)，即時(shí)，，即，故選：D3、A【解析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線圓的切線，，，所以由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率故選：A4、C【解析】若p成立則q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要條件.【詳解】因?yàn)?gt;0,<1,所以若p：成立，一定成立,但q：成立，p：不一定成立,所以p是q的充分不必要條件.故選：C.5、B【解析】根據(jù)可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【詳解】因?yàn)榭苫癁椋?，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.7、C【解析】根據(jù)題干條件得到相似，進(jìn)而得到，求出點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離.【詳解】由題意得：，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)椋?，故點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為.故選：C8、D【解析】先找臨界情況當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，進(jìn)而可得滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），即求.【詳解】當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，這種情況為臨界情況，當(dāng)P往外時(shí)無法找到點(diǎn)Q使，當(dāng)P往里時(shí)，可以找到Q使，故滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找出臨界情況時(shí)點(diǎn)所滿足的條件，進(jìn)而即可得到動(dòng)點(diǎn)滿足條件的圖形，問題即可解決.9、A【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的定義求解，然后求解切線的斜率即可【詳解】解：函數(shù)，可得，，可得，即，所以，可得，解得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為故選：A10、B【解析】由，得到，結(jié)合，得到，進(jìn)而求得，得出，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，可得，所以，因?yàn)?，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因?yàn)?，所以，即又由，所以，解?故選：B.11、C【解析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得解.【詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有種情況，取到3塊月餅都是五仁月餅有種情況，所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是.故選：C.12、D【解析】根據(jù)特稱命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對(duì)任意，”.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,即反射光線過點(diǎn),分別討論反射光線的斜率存在與不存在的情況,進(jìn)而求解即可【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,（1）設(shè)反射光線的斜率為,則反射光線的方程為,即,因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切,所以圓心到反射光線的距離,即,解得,所以反射光線方程為:；（2）當(dāng)不存在時(shí),反射光線,此時(shí),也與圓相切,故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查直線在光學(xué)中的應(yīng)用,考查圓的切線方程14、【解析】由題意得雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)，設(shè)一漸近線OM的方程為，則另一漸近線ON的方程為．設(shè)，∵，∴，∴，解得∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又，∴，整理得，∴雙曲線的漸近線方程為答案：點(diǎn)睛：（1）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時(shí)，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程就是雙曲線的兩條漸近線方程（2）求雙曲線的漸進(jìn)線方程的關(guān)鍵是求出的關(guān)系，并根據(jù)焦點(diǎn)的位置確定出漸近線的形式，并進(jìn)一步得到其方程15、【解析】由于，關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn)，C不經(jīng)過點(diǎn)，然后求出a，b，即可得到橢圓的方程.【詳解】解：由于，關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知經(jīng)過，兩點(diǎn)，所以.又由知，不經(jīng)過點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，所以.因此，故方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出，；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在軸上和軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為16、【解析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在處的切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)圓C的一般式方程為：，然后根據(jù)題意列出方程，解出D，E，F(xiàn)的值即可得到圓的方程；（2）先求出點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為，利用直線和圓的位置關(guān)系列出不等式解出k的取值范圍即可.【詳解】（1）設(shè)圓C的一般式方程為：，令，得，所以，令，得，所以，所以有，所以，①又圓C過點(diǎn)，，所以有，②，③由①②③得，，，所以圓C的一般式方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，所以有，解之得，故點(diǎn)，∴反射光線所在直線過點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為：，所以有，所以反射光線所在的直線斜率取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點(diǎn)，即可證明直線必過坐標(biāo)原點(diǎn)（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過定點(diǎn)，從而可得到過定點(diǎn)，進(jìn)而可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，從而可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【小問1詳解】設(shè)，則，即因?yàn)?，，所以因?yàn)椋?，所?同理可證.因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以直線必過坐標(biāo)原點(diǎn)【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，解得?當(dāng)時(shí)，直線的方程為過點(diǎn)A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)?，所以直線的方程為，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.故直線過定點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以過定點(diǎn).因?yàn)榇怪逼椒止蚕遥渣c(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，該圓的半徑，圓心坐標(biāo)為，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．19、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用離心率和橢圓所過點(diǎn)列出方程組，求出，求出橢圓方程；（2）假設(shè)存在，分切線斜率存在和不存在分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積為0求出r的值，表達(dá)出△AOB的面積，利用基本不等式求出的取值范圍，進(jìn)而求出△AOB面積的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓C：的離心率，且過點(diǎn)所以解得所以橢圓C的方程為【小問2詳解】假設(shè)存在⊙O：滿足題意，①切線方程l的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程l：y＝kx＋m與橢圓方程聯(lián)立，消去y得，(*)設(shè)，，由題意知，(*)有兩解所以，即由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以因?yàn)?，所以，即化?jiǎn)得，且，O到直線l的距離所以，又，此時(shí)，所以滿足題意所以存在圓的方程為⊙O：△AOB的面積，又因?yàn)楫?dāng)k≠0時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)又因?yàn)?，所以，所以?dāng)k＝0時(shí)，②斜率不存在時(shí)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)或兩點(diǎn)易知存在圓的方程為⊙O：且綜上，所以【點(diǎn)睛】求解圓錐曲線相關(guān)的三角形或四邊形面積取值范圍問題，需要先設(shè)出變量，表達(dá)出面積，利用基本不等式或者配方，導(dǎo)函數(shù)等求出最值，求出取值范圍，特別注意直線斜率存在和不存在的情況，需要分類討論.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）取中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）利用菱形特點(diǎn)和線面垂直的性質(zhì)可證得，，由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，四邊形為菱形，為中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）連接，四邊形為菱形，，為等邊三角形，又為中點(diǎn)，，平面，平面，，又平面，，平面.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理即證；（2）利用坐標(biāo)法即求.【小問1詳解】∵，E為AB中點(diǎn)，∴，∵平面ABC，平面ABC