查補重難點06 四邊形與特殊四邊形（解析版）

查補重難點06.四邊形與特殊四邊形考點一：平行四邊形1.平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2.平行四邊形的表示：用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。3.平行四邊形的性質：（1）兩組對邊平行且相等；（2）對角相等、鄰角互補；（3）對角線互相平分；（4）平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心。4.平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。5.三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線。6.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。題型1.平行四邊形的性質平行四邊形除邊角對角線的基本性質外，還有下列重要性質：（1）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE。（2）如圖②，已知點E為AD上一點，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。（3）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD。（4）過對角線中點垂直于對角線的直線與一邊的交點到該對角線的兩端點距離相等。（5）一組對邊與過對角線交點的直線所截得線段的中點是對角線的中點。（6）過對角線交點平行于一邊的直線與另一邊的交點到中心O的距離等于被平行變長的一半。例1．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，．利用尺規(guī)在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；作射線交于點．若，則的長為．【答案】【分析】如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到，從而求出HM，CM的長，進而求出BM的長，即可利用勾股定理求出BH的長．【詳解】解：如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質與判定等等，正確求出CH的長是解題的關鍵．變式1．（2024·江蘇·中考模擬預測）如圖，將繞點A逆時針旋轉到的位置，使點落在上，與交于點E，若，則的長為．【答案】【分析】過點C作CM//交于點M，證明求得，根據(jù)AAS證明可求出CM=1，再由CM//證明△，由相似三角形的性質查得結論．【詳解】解：過點C作CM//交于點M，∵平行四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉得到平行四邊形∴，，∴，∴∴∵∴∴∴∠∵∴∵∴∠∵，∴∴∠∴∠在和中，∴∴∵∴△∴∴∴故答案為：．【點睛】此題主要考查了旋轉的性質，平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線構造全等三角形和相似三角形是解答本題的關鍵．變式2．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在中，，若，則的度數(shù)是．【答案】/40度【分析】根據(jù)平行四邊形對邊平行可得，利用平行線的性質可得，因此利用直角三角形兩個銳角互余求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，平行線的性質，三角形內(nèi)角和定理，難度較小，解題的關鍵是能夠綜合運用上述知識．變式3．（2024·江蘇·校聯(lián)考）如圖，的頂點的坐標分別是．則頂點的坐標是．

【答案】【分析】法1：根據(jù)對角線互相平分（即DB與AC同中點），再結合中點坐標公式求的B點坐標；法2：根據(jù)“平行四邊形的對邊平行且相等的性質”得到點的縱坐標與點的縱坐標相等，且，即可得到結果．【詳解】解：法1：在中，對角線互相平分（即DB與AC同中點），；故答案為：．法2：在中，，，，，點的縱坐標與點的縱坐標相等，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和坐標與圖形的性質．題型2.平行四邊形的判定判定平行四邊形時,應嚴格按照平行四邊形的判定定理。錯誤地將下列結論作為平行四邊形的判別方法：錯誤判定（1）一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。錯誤判定（2）一組對邊相等，-組對角相等的四邊形是平行四邊形。例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，B是AC的中點，點D，E在同側，，．(1)求證：≌．(2)連接，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由B是的中點得，結合，，根據(jù)全等三角形的判定定理“”即可證明≌；（2）由（1）中≌得，進一步得，再結合，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．【詳解】（1）解：∵B是的中點，∴．在和中，∴≌（）．（2）如圖所示，∵≌，∴，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法與性質是解題的關鍵．變式1.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，若添加一個條件，使四邊形為平形四邊形，則下列正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A．根據(jù)，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；

B．∵，∴，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；

C．根據(jù)，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；

D．∵，∴，∵∴，∴∴四邊形為平形四邊形，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．變式2．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，點E、F、G、H分別是各邊的中點，連接相交于點M，連接相交于點N．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若的面積為4，求的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質，線段的中點平分線段，推出四邊形，四邊形均為平行四邊形，進而得到：，即可得證；（2）連接，推出，，進而得到，求出，再根據(jù)，即可得解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵點E、F、G、H分別是各邊的中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，同理可得：四邊形為平行四邊形，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：連接，

∵為的中點，∴，∴，∴，∴，同理可得：∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握平行四邊形的性質，以及三角形的中位線定理，證明三角形相似，是解題的關鍵．題型3.平行四邊形的性質與判定綜合壓軸平行四邊形中常用輔助線的添法：（1）連對角線或平移對角線；（2）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形；（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或中位線；（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形；（5）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等。例1.（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預測）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，是的中點，連接．下列結論：①；②平分；③；④．其中結論正確的序號有（

）

A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)，點E是的中點，，可知是等邊三角形，得出，，進而得出，根據(jù)平行四邊形得性質可判斷①，再根據(jù)平行四邊形的性質得，即可說明是否平分，然后說明是的中位線，可判斷和的關系，再根據(jù)點O是的中點，得，由點E是的中點，得，進而得，然后根據(jù)平行四邊形的性質得，即可判斷④，得出答案．【詳解】∵，點E是的中點，∴.∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴是平分．則①②正確；∵點E是的中點，點O是的中點，∴是的中位線，∴，∴．則③正確；∵點O是的中點，∴．∵點E是的中點，∴，∴．由平行四邊形的性質得，∴，即．則④不正確．所以正確的有①②③.故選：C.【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，中位線的性質，求三角形的面積等，弄清各三角形的面積之間的關系是解題的關鍵．變式1．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，平行四邊形中，，，在上，且，是的中點，連接、，交于點，連接，過作于，于，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行四邊形面積，平行線的性質，勾股定理，三角形的面積，含度角的直角三角形的性質，連接，過作于，過作于，由平行四邊形的性質得到，得到，進而可得，設，，根據(jù)題意可得，，由直角三角形的性質可得，，據(jù)此由勾股定理可得，，再根據(jù)勾股定理得到，，最后根據(jù)三角形和平行四邊形的面積公式關系即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：連接，過作于，過作于，則，

∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴設，，∴，∵，是的中點，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，，∴，，∵是的中點，∴，，即，，∴，，∴，，∴，故選：．變式2．（2024·江蘇淮安·一模）如圖，平行四邊形面積為24，其中為銳角．點P是邊上的一動點．(1)如圖1，點P到邊上的距離為；(2)當點A，D同時繞點P按順時針方向旋轉90°得點，①如圖2，當落在射線上時，求的長；②當是直角三角形時，直接寫出的長．【答案】(1)4(2)①；②，，【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的面積等于底乘以高計算即可；（2）①過點作于點，先根據(jù)勾股定理求出的長度，再由三角形全等和三角形相似可得出結論；②分三種情況：以為直角頂點或以為直角頂點或以為直角頂點，分別畫出圖形，利用旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質求解即可．【詳解】（1）解：點P到邊上的距離為，故答案為：4（2）解：過點作于點，如圖，由（1）得，，

作交延長線于點，則，，，，由旋轉知，．設，則，，．，，，，，，，，②由旋轉得，，又，情況一：當以為直角頂點時，如圖．，落在線段延長線上．，，由（1）知，，，．情況二：當以為直角頂點時，如圖，設與射線的交點為，作于點．，，點，同時繞點按逆時針方向旋轉得點，，，，，，，，，，，，．設，則，．，，，，，，化簡得，解得，；情況三：當以為直角頂點時，點落在的延長線上，不符合題意．綜上所述，或．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定，相似三角形的性質與判定，熟練掌握這些知識點是解題的關鍵．題型4.中位線三角形中位線定理的作用：（1）證明位置關系：可以證明兩條直線平行；（2）證明數(shù)量關系：可以證明線段的倍分關系。常用結論：任意一個三角形都有三條中位線，由此有：結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。例1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，在中，平分，點E是的中點，且于點D．若，，則的長為．【答案】【分析】本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質等知識，延長交AB于點，先證明，得出，然后利用三角形中位線定理求解即可．【詳解】解：如圖，延長交于點，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴是的中位線，∴，故答案為：．變式1.（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點B，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點，和交于點O；②以點A為圓心，長為半徑畫弧，交于點D；③分別以點D，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M﹐連接和交于點N，連接若，則的長為（

）

A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】利用三角形中位線定理以及線段的垂直平分線的性質求解．【詳解】解：由作圖可知垂直平分線段，垂直平分線段，∴，∴，∵，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查作圖-基本作圖，三角形中位線定理，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．變式2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：

（1）取，的中點D，E，在邊上作；（2）連接，分別過點D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點D旋轉至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點E旋轉至四邊形的位置；（4）延長，交于點F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結論是正確的：①點Q，A，T在一條直線上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．【任務1】請你對結論①進行證明．【任務2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點，連接．求證：．【任務3】如圖3，有一張四邊形紙，，，，，，小麗分別取，的中點P，Q，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長．【答案】[任務1]見解析；[任務2]見解析；[任務3]【分析】（1）由旋轉的性質得對應角相等，即，，由三角形內(nèi)角和定理得，從而得，即Q，A，T三點共線；（2）梯形中位線的證明問題常轉化為三角形的中位線問題解決，連接并延長，交的延長線于點E，證明，可得，，由三角形中位線定理得；（3）過點D作于點R，由，得，從而得，由【發(fā)現(xiàn)】得，則，，由【任務2】的結論得，由勾股定理得．過點Q作，垂足為H．由及得，從而得，證明，得，從而得．【詳解】[任務1]證法1：由旋轉得，，．在中，，∴，∴點Q，A，T在一條直線上．證法2：由旋轉得，，．∴，．∴點Q，A，T在一條直線上．[任務2]證明：如圖1，連接并延長，交的延長線于點E．∵，∴．∵Q是的中點，∴．在和中，∴．∴，．又∵P是的中點，∴，∴是的中位線，∴，∴．

[任務3]的方法畫出示意圖如圖2所示．由【任務2】可得，．過點D作，垂足為R．在中，，∴．∴，∴，．在中，由勾股定理得．過點Q作，垂足為H．∵Q是的中點，∴．在中，，∴．又由勾股定理得．由，得．又∵，∴．∴，即，∴．∴．【點睛】本題考查了旋轉的性質、三角形的內(nèi)角和定理、三點共線問題的證明、全等三角形的判定與性質、三角形的中位線定理、相似三角形的判定與性質、解直角三角形、勾股定理、梯形的面積計算．考點二：特殊的平行四邊形1.矩形的性質：（1）矩形兩組對邊平行且相等；（2）矩形的四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形?！就普摗吭谥苯侨切沃行边叺闹芯€，等于斜邊的一半。2.矩形的判定：（1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個角是直角的四邊形是矩形。3.菱形的性質：1）具有平行四邊形的所有性質；2）四條邊都相等；3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角；4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。4.菱形的判定：（1）A對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（3）四條邊相等的四邊形是菱形。A5.正方形的性質：（1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質；（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；（3）正方形對邊平行且相等；（4）正方形的對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角；

（5）正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形，正方形對角線與邊的夾角為45°；

（6）正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。6.正方形的判定：（1）平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角為直角；（2）矩形+一組鄰邊相等；（3）矩形+對角線互相垂直；（4）菱形+一個角是直角；（5）菱形+對角線相等.題型1.矩形的性質與判定矩形的判定思路：要證明一個四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對角線相等或有一個角是直角；若不易判斷，則可通過證明有三個角是直角來直接證明。矩形的折疊問題：（1）對折疊前后的圖形進行細致分析，折疊后的圖形與原圖形全等，對應邊、對應角分別相等，找出各相等的邊或角；（2）折痕可看作角平分線（對稱線段所在的直線與折痕的夾角相等）；（3)折痕可看作垂直平分線（互相重合的兩點之間的連線被折痕垂直平分）；（4）選擇一個直角三角形(不找以折痕為邊長的直角三角形)，利用未知數(shù)表示其它直角三角形三邊，通過勾股定理/相似三角形知識求解。例1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在矩形中，，，垂足分別為E、F．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質即可得證．【詳解】證明：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，．【點睛】本題考查了矩形的性質、三角形全等的判定與性質等知識點，熟練掌握矩形的性質是解題關鍵．變式1．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，已知矩形的一邊長為12，點P為邊上一動點，連接，且滿足，則的值可能是（）A．6 B．6.8 C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，含角的直角三角形的性質，矩形的性質，三角形的面積等知識，考慮的兩個臨界點，①如圖1，當點P與點A重合時，最小，此時的值最大；②如圖2，當點P是的中點時，最大，此時最??；分別計算的值，確定的最大值和最小值，可得結論．【詳解】解：①如圖1，當點P與點A重合時，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴此時是滿足題意的最大值；②如圖2，當點P是的中點時，此時最小，此時，過點B作于E，設，則∵，∴，，∴，解得：（舍）或，∴，綜上，，即．故選：B．變式2．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，矩形是一張紙，其中，小天用該紙玩折紙游戲．游戲1

折出對角線，將點B翻折到上的點E處，折痕交于點G．展開后得到圖①，發(fā)現(xiàn)點F恰為的中點．游戲2

在游戲1的基礎上，將點C翻折到上，折痕為；展開后將點B沿過點F的直線翻折到上的點H處；再展開并連接后得到圖②，發(fā)現(xiàn)是一個特定的角．(1)請你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結論；(2)請你猜想游戲2中的度數(shù)，并說明理由．【答案】(1)證明見詳解(2)，理由見解析【分析】（1）由折疊的性質可得，根據(jù)題意可得，再設，然后表示出、，再由銳角三角函數(shù)求出即可；（2）由折疊的性質可知，，從而可得出，進而得到，，由（1）知，可得，在中求出的正切值即可解答．【詳解】（1）證明：由折疊的性質可得，，四邊形是矩形，，，，設，則，，，即，，解得，根據(jù)勾股定理可得，，即，．解得，，，點為的中點．（2）解：，理由如下：連接，如圖：由折疊的性質可知，，，，，，，由（1）知，可得，，設，則，，，，在中，，，，．【點睛】本題考查矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握以上知識是解題關鍵．變式3．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，在中，點D為邊上中點(1)尺規(guī)作圖：作射線，使得，且射線交的延長線于點E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接，若，，，求證：四邊形為矩形【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題考查作等角，三角形全等的判定與性質，矩形的判定：（1）根據(jù)判定畫圖即可得到答案；（2）連接，根據(jù)，得到，證明得到，得到四邊形為平行四邊形，結合即可得到證明；【詳解】（1）解：由題意可得，圖形如圖所示，∴射線為所作射線，且延長交射線于點E；（2）證明：如圖2，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∴四邊形為矩形．題型2.菱形的性質與判定菱形的判定思路：判定一個四邊形是菱形時，可先說明它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或它的對角線互相垂直，也可直接說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分。菱形的面積：S=ah=對角線乘積的一半（其中a為邊長，h為高）；菱形的周長：周長C=4a。例1．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，菱形中，是對角線，分別為邊，的中點，連接，交于點G．(1)求證；(2)若，，則的長為．

【答案】(1)見解析(2)1【分析】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理等知識，熟練掌握三角形中位線定理及菱形的性質是解題的關鍵．（1）連接，由四邊形是菱形得到，E，F(xiàn)分別為邊的中點，由三角形中位線定理得到，即可得到結論；（2）先證明，再證明．．由得到和都是直角三角形，則，即可得到的長．【詳解】（1）證明：連接，∵四邊形是菱形，∴，

∵E，F(xiàn)分別為邊的中點，∴，∴；（2）∵四邊形是菱形，∴，，∴，．∴．∴．∴是等邊三角形，，∴．故答案為：1．變式1．（2021·江蘇無錫·中考真題）如圖，D、E、F分別是各邊中點，則以下說法錯誤的是（

）A．和的面積相等B．四邊形是平行四邊形C．若，則四邊形是菱形D．若，則四邊形是矩形【答案】C【分析】根據(jù)中位線的性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形、菱形、矩形的判定定理逐一判斷各個選項，即可得到答案．【詳解】解：∵點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，∴DE、DF為△ABC得中位線，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四邊形AEDF一定是平行四邊形，故B正確；∴，∴，，∴和的面積相等，故A正確；∵，∴DF＝AB=AE，∴四邊形不一定是菱形，故C錯誤；∵∠A＝90°，則四邊形AEDF是矩形，故D正確；故選：C．【點睛】本題考查三角形中位線性質定理和平行四邊形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握上述性質定理和判定定理是解題的關鍵．變式2．（2024·江蘇南京·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形中，已知，，對角線、交點D．將菱形繞點O逆時針方向旋轉，每次旋轉，則旋轉2次后，點D的坐標是，旋轉2022次后．點D的坐標是．

【答案】【分析】本題考查了菱形的性質、點的坐標變化等知識點，求出點D的坐標，再根據(jù)其周期性變化求出坐標是解本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．先求出點D的坐標，菱形每次逆時針旋轉，相當于對點D每次逆時針旋轉，根據(jù)周期性，可求出點D的坐標．【詳解】解：如下圖所示，作軸交于點E，

∵四邊形是菱形，∴，點D是的中點，∵點A的坐標為，∴，∵，∴，∵軸，∴，，∴，∴點B的坐標為，，∵點D是的中點，∴點D的坐標為，，菱形每次逆時針旋轉，相當于對點D每次逆時針旋轉，根據(jù)圖形變化可得，旋轉1次坐標為，旋轉2次坐標為，旋轉3次坐標為，旋轉4次坐標為，旋轉5次坐標為，旋轉6次坐標為，……，∴旋轉2次后，點D的坐標是，坐標的變化具有周期性，，∴旋轉2022次后．點D的坐標是，故答案為：；．變式3．（2024·江蘇揚州·一模）如圖，平行四邊形中，點E是對角線上一點，連接，且．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖，連接交于，則，證明，則，證明，則，進而結論得證；（2）由，可得，即，由菱形的性質可知，，，由勾股定理得，，可求，則，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接交于，∵平行四邊形，∴，∵，，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵，∴，即，∵四邊形是菱形；∴，，由勾股定理得，，解得，，∴，∴，∴四邊形的面積為．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，正切，菱形的判定與性質，勾股定理等知識．熟練掌握平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，正切，菱形的判定與性質，勾股定理是解題的關鍵．題型3.正方形的性質與判定正方形的判定思路：判定一個四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個角為直角和一組鄰邊相等。例1．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，點E在正方形的邊上，點F在的延長線上，且．

(1)求證：；(2)若，求正方形的邊長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了正方形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，正確掌握相關性質內(nèi)容是解題的關鍵．（1）先由正方形的性質，得出，結合，即可作答．（2）設，結合正方形的性質，得出，再根據(jù)勾股定理列式計算，即可作答．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴；（2）解：設，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴在中，，∴，解得（負值已舍去），∴正方形的邊長為．變式1．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖,P為AB上任意一點,分別以AP、PB為邊在AB同側作正方形APCD、正方形PBEF,設,則為（）

A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，從而即可．【詳解】∵四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，∴AP=CP，PF=PB，，∴，∴∠AFP=∠CBP，又∵，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質，全等三角形的判定方法是解題的關鍵．變式2．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知：如圖，在平行四邊形中，對角線與相交于點，點為的中點，連接，的延長線交的延長線于點，連接．(1)求證：；(2)當滿足時，四邊形為正方形.【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質、正方形的判定方法，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．（1）利用平行四邊形的性質以及全等三角形的性質解決問題即可；（2）證明四邊形是平行四邊形，進而證得，根據(jù)正方形的判定即可得到結論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，點是的中點，，在和中，，，，；（2）解：當滿足時，四邊形是正方形．證明：由（1）知，，又，四邊形是平行四邊形，由（1）知，，，，四邊形是菱形，，，四邊形是正方形．故答案為：．變式3．（2024·江蘇南京·一模）已知：如圖，在平行四邊形中，對角線與相交于點，點為的中點，連接，的延長線交的延長線于點，連接．(1)求證：；(2)當滿足_____時，四邊形為正方形．【答案】(1)證明見詳解(2)，【分析】（1）利用平行四邊形的性質以及全等三角形的性質解決問題即可；（2）證明四邊形是平行四邊形，進而證得，根據(jù)正方形的判定即可得到結論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，點是的中點，，在和中，，，，；（2）當，時，四邊形是正方形．證明：由（1）知，，又，，四邊形是平行四邊形，由（1）知，，，，四邊形是菱形，，，四邊形是正方形．故答案為：，．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質、正方形的判定方法，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．題型4.中點四邊形1、中點四邊形是平行四邊形。2、原四邊形對角線互相垂直的中點四邊形是矩形。3、原四邊形對角線相等的中點四邊形是菱形。4、原四邊形對角線互相垂直且相等的中點四邊形是正方形。例1.（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點分別是邊，的中點，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國數(shù)學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交于點，過點作于點，交于點．∵分別為的中點，∴．（依據(jù)1）

∴．∵，∴．∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．∵，即，∴四邊形是平行四邊形．（依據(jù)2）∴．∵，∴．同理，…任務：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時畫出四邊形的對角線）(3)在圖1中，分別連接得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長與對角線長度的關系，并證明你的結論．

【答案】(1)三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）(2)答案不唯一，見解析(3)平行四邊形的周長等于對角線與長度的和，見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點即可；（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得妯結論．【詳解】（1）解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）（2）解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求

（3）瓦里尼翁平行四邊形的周長等于四邊形的兩條對角線與長度的和，證明如下：∵點分別是邊的中點，∴．∴．同理．∴四邊形的周長．即瓦里尼翁平行四邊形的周長等于對角線與長度的和．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線．熟練掌握三角形中位線定理是解題的關鍵．變式1.（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，為對角線的中點，．動點在線段上，動點在線段上，點同時從點出發(fā)，分別向終點運動，且始終保持．點關于的對稱點為；點關于的對稱點為．在整個過程中，四邊形形狀的變化依次是（

）A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別證明四邊形是菱形，平行四邊形，矩形，即可求解．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，∴，，∵、，∴∵對稱，∴，∴∵對稱，∴，∴，同理，∴∴∴四邊形是平行四邊形，如圖所示，

當三點重合時，，∴即∴四邊形是菱形，如圖所示，當分別為的中點時，設，則，，在中，，連接，，∵，∴是等邊三角形，∵為中點，∴，，∴，根據(jù)對稱性可得，∴，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形是矩形，當分別與重合時，都是等邊三角形，則四邊形是菱形∴在整個過程中，四邊形形狀的變化依次是菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形，故選：A．【點睛】本題考查菱形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，矩形的性質與判定，勾股定理與勾股定理的逆定理，軸對稱的性質，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．課后訓練1．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，四邊形是矩形，分別以點，為圓心，線段，長為半徑畫弧，兩弧相交于點，連接，，．若，，則的正切值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設，交于點，根據(jù)矩形的性質以及以點，為圓心，線段，長為半徑畫弧得到，，設，故，在中求出的值，從而得到，從而得到，即可求得答案．【詳解】解：設，交于點，由題意得，，，四邊形是矩形，，，，，設，故，在中，，即，解得，，，，，．故選：C．

【點睛】本題主要考查矩形的性質，全等三角形的判定與性質，以及正切值的求法，本題中得到是解題的關鍵．2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，已知矩形的邊，，為邊上一點．將沿所在的直線翻折，點恰好落在邊上的點處，過點作，垂足為點，取的中點，連接，則的長為(

)A．3 B． C．-1 D．【答案】D【分析】連接，，可求得為的中點，根據(jù)中位線的性質可得，勾股定理求得即可．【詳解】解：連接，由折疊的性質可得，又∵∴點在線段上，又∵∴∴又∵的中點N∴為的中位線∴在中，∴故選：D．3．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，對角線，相交于點，，分別是，的中點，連接，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質和三角形中位線定理得出，于是得到結論．此題考查菱形的性質，三角形中位線定理，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，點、分別是、的中點，是的中位線，，故選：C．4．（2023·河北·模擬預測）如圖，在矩形中，，分別是，上的點，，分別是，的中點，當點在上從點向點移動，而點保持不動時，下列結論成立的是(

)

A．線段的長逐漸增大 B．線段的長逐漸減小C．線段的長不變 D．線段的長先增大后減小【答案】C【分析】本題考查了三角形中位線定理、矩形的性質、勾股定理，連接，由三角形中位線定理可得，由矩形的性質結合勾股定理可得，由點保持不動可得長度不變，從而可得線段的長不變，熟練掌握三角形中位線定理是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，

，，分別是，的中點，是的中位線，，四邊形為矩形，，，點保持不動，的長度始終不變，的長不變，故選：C．5．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，為的中點．若點在邊上，且，則的長為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點D為的中點，∴，∵，∴，①當點E為的中點時，如圖，∴，

②當點E為的四等分點時，如圖所示：∴，綜上所述：或2；故選D．【點睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質及三角形中位線是解題的關鍵．6．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，在ABCD中，，，點E在AD上，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點B作BF⊥AD于F，由平行四邊形性質求得∠A=75°，從而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，則△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，設BF=EF=x，則BD=2x，DF=，DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，繼而求得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+X2=（8-4）x2，從而求得，再由AB=CD，即可求得答案．【詳解】解：如圖，過點B作BF⊥AD于F，∵ABCD，∴CD=AB，CDAB，∴∠ADC+∠BAD=180°，∵∴∠A=75°，∵∠ABE=60°，∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，∵BF⊥AD，∴∠BFD=90°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴BF=FE，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=75°，∴∠ADB=30°，設BF=EF=x，則BD=2x，由勾股定理，得DF=，∴DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+x2=（8-4）x2，∴∴，∵AB=CD，∴，故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，過點B作BF⊥AD于F，構建直角三角形與等腰直角三角形是解題的關鍵．7．（2023·江蘇泰州·中考真題）菱形的邊長為2，，將該菱形繞頂點A在平面內(nèi)旋轉，則旋轉后的圖形與原圖形重疊部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分兩種情況：①如圖，將該菱形繞頂點A在平面內(nèi)順時針旋轉，連接，相交于點O，與交于點E，根據(jù)菱形的性質推出的長，再根據(jù)菱形的性質推出與的長，再根據(jù)重疊部分的面積求解即可．②將該菱形繞頂點A在平面內(nèi)逆時針旋轉，同①方法可得重疊部分的面積．【詳解】解：①如圖，將該菱形繞頂點A在平面內(nèi)順時針旋轉30°，連接，相交于點O，與交于點E，

∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，，∴，∵菱形繞點A順時針旋轉得到菱形，∴，∴A，，C三點共線，∴，又∵，∴，，∵重疊部分的面積，∴重疊部分的面積；②將該菱形繞頂點A在平面內(nèi)逆時針旋轉，同①方法可得重疊部分的面積，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉的性質，菱形的性質，正確作出圖形是解題的關鍵．8．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，在矩形中，，，點是的中點，連接，平分交于點，連接交于點，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查的是矩形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識，延長交延長線于點，過點作于點，由矩形的性質可得，，，根據(jù)全等三角形的判定與性質可得，，然后利用相似三角形的判定與性質可得答案，熟練掌握以上知識點的應用及正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：延長交延長線于點，過點作于點，在矩形中，，，，∵平分，，，∴，設，則，∵點是的中點，∴，∵，在和中，，∴，∴，，在中，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：．9．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，的頂點、分別在直線，上，，若，，則．【答案】/32度【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得到，再用平行線的性質得到即可解答．【詳解】解：過點作，∴∵，∴，∴，∴，∵在中，∴，∵，∴，∵，∴，答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行四邊形的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵．10．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，分別以A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，過M，N兩點作直線，與BC交于點E，與AD交于點F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長為．【答案】10【分析】根據(jù)作圖可得，且平分，設與的交點為，證明四邊形為菱形，根據(jù)平行線分線段成比例可得為的中線，然后勾股定理求得，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得的長，進而根據(jù)菱形的性質即可求解．【詳解】解：如圖，設與的交點為，根據(jù)作圖可得，且平分，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，四邊形是平行四邊形，垂直平分，，四邊形是菱形，，，，，為的中點，中，，，，，四邊形AECF的周長為．故答案為：．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，菱形的性質與判定，勾股定理，平行線分線段成比例，平行四邊形的性質與判定，綜合運用以上知識是解題的關鍵．11．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面直角坐標系中，正方形如圖所示，點的坐標，點的坐標是，則點的坐標是．

【答案】【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性質得到即可解答．【詳解】解：作軸，軸于點，與交于點，∵點的坐標，點的坐標是，∴，，，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴點，故答案為．

【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，坐標與圖形，正確添加輔助線是解題的關鍵．12．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點E是CD的中點，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點H、G，則BG＝．【答案】1【分析】連接AG，EG，根據(jù)線段垂直平分線性質可得AG=EG，由點E是CD的中點，得CE=4，設BG=x，則CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．【詳解】解：連接AG，EG，如圖，∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，∵正方形ABCD的邊長為8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，∵點E是CD的中點，∴CE=4，設BG=x，則CG=8-x，由勾股定理，得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，∴（8-x）2+42=82+x2，解得：x=1，故答案為：1．【點睛】本題考查正方形的性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理，熟練掌握正方形的性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理及其運用是解題的關鍵．13．（2024·山東·一模）在矩形中，，，點E為中點，將沿折疊，使點B落在矩形內(nèi)的點F處，連接，則的長為．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌握定理和性質是解題的關鍵．取的中點M，連接，根據(jù)矩形的性質和折疊的性質可得：，應用勾股定理可求出，用等面積法求出，利用三角形中位線定理可得，再用勾股定理求，進一步即可求出．【詳解】解：取的中點M，連接，∵矩形中，，，點為中點，將沿折疊，使點落在矩形內(nèi)的點處，∴，，，∴，，，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．14．（2024·江蘇揚州·一模）如圖1，在中，D、E分別為、的中點，延長至點F，使，連接和．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)如圖2，當是等邊三角形且邊長是12時，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由三角形中位線定理得，，再由，得，即可得出結論；（2）過點作于，由等邊三角形的性質得，，則，再由含角的直角三角形的性質得，由勾股定理得，由，即可求解．【詳解】（1）證明：、分別為、的中點，是的中位線，，，，，四邊形是平行四邊形．（2）解：過點作于，如圖2所示：是等邊三角形，為的中點，，，，，，，．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的性質、三角形中位線定理、含角的直角三角形的性質以及勾股定理等知識；熟練掌握三角形中位線定理，證明四邊形為平行四邊形是解題的關鍵．15．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，，．

(1)求出對角線的長；(2)尺規(guī)作圖：將四邊形沿著經(jīng)過點的某條直線翻折，使點落在邊上的點處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)(2)作圖見解析【分析】（1）連接，過作于，如圖所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；（2）連接，根據(jù)軸對稱性質，過點尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，過作于，如圖所示：

在中，，，，，，在中，，，，則；（2）解：如圖所示：【點睛】本題考查平行四邊形背景下求線段長，涉及勾股定理、尺規(guī)作圖作線段垂直平分線，熟練掌握勾股定理求線段長及中垂線的尺規(guī)作圖是解決問題的關鍵．16．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，，點E在BC上，，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．(1)求EF的長；(2)求sin∠CEF的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)先由可求得的長度，再由角度關系可得，即可求得的長;(2)過F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的長度，同時求出的長度，得出答案.【詳解】（1）設，則，∴，在中，，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，由折疊可知，∴，，∴，∴，在中，.（2）過F作FM⊥BC于M，∴∠FME=∠FMC=90°，設EM=a,則EC=3-a，在中，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【點睛】此題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理，矩形的性質，通過添加輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．17．（2023·江蘇·中考真題）對于平面內(nèi)的一個四邊形，若存在點，使得該四邊形的一條對角線繞點旋轉一定角度后能與另一條對角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點是該四邊形的一個“旋點”．例如，在矩形中，對角線、相交于點，則點是矩形的一個“旋點”．

(1)若菱形為“可旋四邊形”，其面積是，則菱形的邊長是_______；(2)如圖1，四邊形為“可旋四邊形”，邊的中點是四邊形的一個“旋點”．求的度數(shù)；(3)如圖2，在四邊形中，，與不平行．四邊形是否為“可旋四邊形”？請說明理由．【答案】(1)(2)(3)是【分析】（1）根據(jù)“可旋四邊形”的性質可得，根據(jù)正方形的判定可得菱形為正方形，根據(jù)正方形四條邊都相等的性質即可求解；（2）連接，根據(jù)“可旋四邊形”的性質和題意可得，，推得，根據(jù)等邊對等角可得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出結果；分別作，的垂直平分線，交于點，連接，，，，根據(jù)垂直平分線的性質可得，，根據(jù)全等三角形的判定和性質可得，求得，即可證明四邊形是“可旋四邊形”．【詳解】（1）解：∵菱形為“可旋四邊形”，則菱形的一條對角線繞點旋轉一定角度后能與另一條對角線重合，即，則菱形為正方形，∵菱形的面積為，∴菱形的邊長是．故答案為：．（2）解：連接，如圖：

∵四邊形為“可旋四邊形”，且點是四邊形的一個“旋點”，∴，∴，∵點是邊的中點，∴，∴，∴，∵，即，∴．（3）解：四邊形是“可旋四邊形”；理由如下：分別作，的垂直平分線，交于點，連接，，，，如圖：

∵點在線段和線段的垂直平分線上，∴，，在和中，，∴，∴，則，即，∴四邊形是“可旋四邊形”．【點睛】本題考查了正方形的判定和性質，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是做輔助線，構建全等三角形．18．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）【感知】（1）小明同學在學習相似三角形時遇到這樣一個問題：如圖①，在中，點D是的中點，點E是的一個三等分點，且．連結，交于點G，求值．小明發(fā)現(xiàn)，過點D作的平行線或過E作的平行線，利用相似三角形的性質即可得到問題的答案．請你根據(jù)小明的提示（或按自己的思路）寫出求解過程【嘗試應用】（2）如圖②，在中，D為上一點，，連結，若，交于點E、F．若，，，則的長為．【拓展提高】（3）如圖③，在平行四邊形中，點E為的中點，點F為上一點，與、分別交于點G、M，若，若的面積為2，則的面積為．【答案】（1）3（2）7（3）10【分析】（1）過點D作交于H，則，而，所以，則，所以，由，得，所以，可證明，得，可推導出，則；（2）取的中點H，連結，由，于點E，得，則，可證明，得，所以，求得，于是得到問題的答案；（3）設的面積為，求出，，過點作交于點，證明，得，，再證明，得，由列式求出的值即可得出的面積【詳解】解：解：如圖①，過點D作交于H，則，

圖①∵D是的中點，∴，∵，∴∴∴，∵E是的一個三等分點，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴的值為3；（2）如圖②，取的中點H，連結，則，∵于點E，，∴，∴為的中點，∴為的中位線，∴∴，∴，∴，∴，∴故答案為：7．（3）如圖③，設的面積為，∴，∵原來的中點，∴且，連接，則∵，∴，過點作交于點，∴，∴∴∴∵∴，又∴∵∴，∴∴，∵，∴，解得：，∴，∴的面積為10，故答案為：10【點睛】本題主要考查等腰三角形的“三線合一”、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理、