查補(bǔ)重難點08 解直角三角形及其應(yīng)用（解析版）

查補(bǔ)重難點08.解直角三角形及其應(yīng)用考點一：解直角三角形及其性質(zhì)1.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)0°＜∠A＜90°時，sinA隨∠A的增大而增大；cosA隨∠A的增大而減小；tanA隨∠A的增大而增大。2.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形。3.在解直角三角形的過程中，常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1。4.三角函數(shù)特殊值（熟記）：sin30°=；sin45°=；sin60°=；cos30°=；cos45°=；cos60°=；tan30°=；tan45°=1；tan60°=題型1.求銳角三角函數(shù)值在求銳角的三角函數(shù)值時，首先要明確是求銳角的正弦值，余弦值還是正切值，其次要弄清是哪兩條邊的比，但最重要的還是要以記清三角函數(shù)特殊角的函數(shù)值為前提。根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形。例1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，，點D在邊AB上，連接CD．若，，則．

【答案】/【分析】由題意可設(shè)，則，，在中求得，在中求出答案即可．【詳解】解：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，在中，．【點睛】本題考查求銳角三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)比值設(shè)未知數(shù)，表示出邊長從而求出銳角三角函數(shù)值．變式1．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在中，，分別為的對邊，若，則的值為．【答案】【詳解】解：如圖所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案為：．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念及勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．在中，，，．變式2．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”．由邊長為的正方形可以制作一副如圖所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在拼成如圖所示的造型恰好放入矩形中其中點，，，都在矩形邊上，若，則的正切值為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形；在圖1中，根據(jù)正方形的性質(zhì)求得正方形的對角線長為4，再根據(jù)七巧板的構(gòu)造求出有關(guān)的線段的長，于是在圖2中，即可求得，，再證明，得，進(jìn)而證明，則，得，，由，得，所以，可求得，再由求出的正切值即可．【詳解】解：如圖1，四邊形是矩形為的正方形，，，，由七巧板的構(gòu)造可知，圖形①、②、③、④、⑤都是等腰直角三角形，圖形⑥是正方形，，，，如圖2，四邊形是矩形，，，由圖1可知，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．題型2.網(wǎng)格圖與銳角三角函數(shù)在網(wǎng)格中求銳角三角形函數(shù)值，關(guān)鍵是利用銳角邊上的格點找到直角三角形或構(gòu)造直角三角形來進(jìn)行求解。當(dāng)銳角所在的三角形是直角三角形時，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義就可以直接求解;若銳角所在的三角形是非直角三角形時，常需要通過作垂線、平移線段等方式構(gòu)造直角三角形，并輔以等積法求關(guān)鍵線段來解決。例1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則．

【答案】【分析】取的中點，連接，先根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，然后根據(jù)正弦的定義即可得．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，

，，又點是的中點，，，故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形三線合一、正弦，熟練掌握正弦求解方法是解題關(guān)鍵．變式1．（2024·江蘇連云港·一模）如圖是的網(wǎng)格，每個格子都為正方形．點A，B，C，D，E均為格點，線段交于點O．則．【答案】/【分析】本題考查銳角三角函數(shù)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，通過平行線的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化成，再構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“兩條直線平行，同位角相等”得出，再連接，構(gòu)造直角三角形求解即可．【詳解】解：由題可得，，∴，連接，則，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故答案為：．變式2．（2023·江蘇連云港·二模）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點O，A，B，C都在格點上，若，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理,通過添加輔助線將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．連結(jié)，，根據(jù)勾股定理及其逆定理,證明，得到，在中，，得到，可得，再計算的值，即得答案．【詳解】如圖，連結(jié)，，由已知得，，，，，，在中，，，，，在中，，，．故答案為：1．題型3.解直角三角形解直角三角形的基本策略：1）有“弦”用“弦”；2）無“弦”用“切”；3）寧“乘”毋“除”；4）化“斜”為“直”；5）取“原”避“中”。注意：當(dāng)已知條件為斜三角形的邊和角時，往往需要通過適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造出直角三角形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。例1.（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長可以是(

)A．1 B．2 C．6 D．8【答案】C【分析】如圖，作，，則，，，，由是銳角三角形，可得，即，然后作答即可．【詳解】解：如圖，作，，交的延長線于點E

∴，，∴，，∵是銳角三角形，∴，即，∴滿足條件的長可以是6，故選：C．【點睛】本題考查了余弦，銳角三角形．解題的關(guān)鍵在于確定的取值范圍．變式1．（2023·江蘇蘇州·一模）如圖，點O是正五邊形的中心，于點H．則（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了正多邊形與圓，連接，根據(jù)題意可得，結(jié)合一個角的余弦值的定義可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：連接，∵點O是正五邊形的中心，∴，∵于點H，∴，，∵，∴，故選：C．變式2.（2023年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點在邊上，若，，則．

【答案】【分析】過點A作于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，再根據(jù)，可得，從而可得，利用銳角三角函數(shù)求得，再由，求得，即可求得結(jié)果．【詳解】解：過點A作于H，∵是等邊三角形，∴，，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．題型4.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)0°＜∠A＜90°時，sinA隨∠A的增大而增大；cosA隨∠A的增大而減??；tanA隨∠A的增大而增大。例1.（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，則下列說法不正確的是（

）A．隨的增大而增大B．cos隨的減小而減小C．tan隨的增大而增大D．0<sin<1【答案】B【分析】如圖，作半徑為的，均為直徑，都在上，利用銳角三角函數(shù)的定義分析可得答案．【詳解】解：如圖，作半徑為的，均為直徑，都在上，由顯然，＜，而＜，所以當(dāng)時，隨的增大而增大，故A正確；同理可得：當(dāng)時，cos隨的減小而增大，故B錯誤；當(dāng)時，tan隨的增大而增大，故C正確；當(dāng)，當(dāng)點逐漸向移動，邊逐漸接近，逐漸接近當(dāng)時，0<sin<1，故D正確；故選B．【點睛】本題考查的是銳角的正弦，余弦，正切的增減性，掌握利用輔助圓理解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·四川成都·?？寄M預(yù)測）比較大?。海ㄌ睢啊薄啊保敬鸢浮俊痉治觥堪延嘞一烧?再通過角度大小比較正弦值的大小即可．【詳解】∵．在銳角范圍內(nèi)，隨的增大而增大，∴，∴．故答案為：＜．【點睛】本題考查三角函數(shù)值的大小比較，利用正弦余弦的關(guān)系進(jìn)行大小比較即可．變式2．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【答案】B【分析】，，由此判斷得到正確答案．【詳解】解：∵，，∴∴故選：【點睛】本題考查根據(jù)銳角三角函數(shù)的數(shù)值，判斷角度的取值范圍，牢記特殊三角函數(shù)值是關(guān)鍵．題型5.新定義問題銳角三角函數(shù)新定義問題主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數(shù)學(xué)知識證明。若無特殊說明，一般認(rèn)為△ABC的3個角∠A、∠B、∠C，分別對應(yīng)邊a、b、c；1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。圖1圖22）余弦定理：如圖2，；；．3）正弦面積公式：如圖2，.4）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1.（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進(jìn)行變形解題即可．【詳解】解：∵，，∴即，，，故選：A．【點睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡，熟悉是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．【答案】【分析】先由求出，把變?yōu)椋儆捎嬎慵纯桑驹斀狻拷猓喝鐖D，在中，∵，∴．

∵，∴．∵為銳角，∴．∵∴．故答案為：．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的運(yùn)算，正確理解所給計算公式是解答本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點作于點，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．(1)證明：如圖2，過點作于點，在中，，在中，，，；(2)解：如圖3，過點作于點，，，，在中，又，即，，．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．考點二：銳角三角形函數(shù)的實際應(yīng)用1.測量物體的高度（距離）的常見模型：（1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）解題方法：（已知條件：，求高m）這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解。（2）測量底部可以到達(dá)的物體高度解題方法：1）已知測量儀高m，水平距離n，角α，求高h(yuǎn)；2）已知水平距離n，角α，角β，求高h(yuǎn)=h1+h2；這兩種模型種可結(jié)合水平距離和相應(yīng)角度，用正切值解題。（3）測量底部不可到達(dá)的物體的高度注意：1）在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素（至少有一條邊），可求出其余的三個未知元素（知二求三）；2）已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定。2.解直角三角形實際應(yīng)用的一般步驟：（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．題型1.與視角相關(guān)的實際應(yīng)用視角：視線與水平線的夾角叫做視角。仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角。俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角。例1．（2023·江蘇·中考真題）根據(jù)以下材料，完成項目任務(wù)，項目測量古塔的高度及古塔底面圓的半徑測量工具測角儀、皮尺等測量

說明：點為古塔底面圓圓心，測角儀高度，在處分別測得古塔頂端的仰角為，測角儀所在位置與古塔底部邊緣距離．點在同一條直線上．參考數(shù)據(jù)項目任務(wù)（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圓的半徑．【答案】（1）古塔的高度為；（2）古塔底面圓的半徑為．【分析】（1）延長交于點，則四邊形是矩形，設(shè)，則，根據(jù)，解方程，即可求古塔的高度；（2）根據(jù)，，即可求得古塔底面圓的半徑．【詳解】解：（1）如圖所示，延長交于點，則四邊形是矩形，∴，

依題意，，，設(shè)，則，在中，，解得：，∴古塔的高度為．（2），，∴．答：古塔的高度為，古塔底面圓的半徑為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—俯角仰角問題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，從航拍無人機(jī)看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，無人機(jī)與樓的水平距離為，則這棟樓的高度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，垂足為，根據(jù)題意可得，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，根據(jù)題意可得，在中，，，在中，，，．故則這棟樓的高度為．故選：B．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題目的已知條件作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇連云港·中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點處測得阿育王塔最高點的仰角，再沿正對阿育王塔方向前進(jìn)至處測得最高點的仰角，；小亮在點處豎立標(biāo)桿，小亮的所在位置點、標(biāo)桿頂、最高點在一條直線上，，．（注：結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）在中，∵，∴．∵，∴．在中，由，得，解得．經(jīng)檢驗是方程的解答：阿育王塔的高度約為．（2）由題意知，∴，即，∴．經(jīng)檢驗是方程的解答：小亮與阿育王塔之間的距離約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．題型2.與方位角相關(guān)的實際應(yīng)用方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角。例1.（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，燈塔位于港口的北偏東方向，且、之間的距離為，燈塔位于燈塔的正東方向，且、之間的距離為，一艘輪船從港口出發(fā)，沿正南方向航行到達(dá)處，測得燈塔位于北偏東方向上，這時，處距離港口有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】處距離港口約【分析】過點作的延長線于點，在中，求得，在中，求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：過點作的延長線于點，在中，，∵，，，∴，在中，∵，，∴∴∴處距離港口約．

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）如圖，一艘輪船在處測得燈塔在北偏西的方向上，該輪船又從處向正東方向行駛100海里到達(dá)處，測得燈塔在北偏西的方向上，則輪船在處時與燈塔之間的距離（即的長）為海里．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題．過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出和的長，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，由題意得：，，，在中，海里，（海里），（海里），在中，（海里），海里，輪船在處時與燈塔之間的距離（即的長）為海里，故答案為：．變式2.（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東方向．一艘勘測船從海島C沿北偏西方向往燈塔B行駛，沿線勘測石油資源，勘測發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東方向的D處石油資源豐富．若規(guī)劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結(jié)果保留根號）

【答案】千米【分析】過點作于點，由垂線段最短可得的長即為所求，先求出，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，然后在中，解直角三角形可得的長，從而可得的長，最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，由垂線段最短可知，的長即為所求，

由題意得：，千米，，，，，是等腰直角三角形，，在中，千米，千米，千米，在中，千米，答：輸油管道的最短長度是千米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、垂線段最短、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．題型3.與坡角相關(guān)的實際應(yīng)用坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．例1．（2023·江蘇連云港·中考真題）漁灣是國家“AAAA”級風(fēng)景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋處出發(fā)，沿著坡角為的山坡向上走了到達(dá)處的三龍?zhí)镀俨?，再沿坡角為的山坡向上走了到達(dá)處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌奶幍木趴讟虻教幍亩執(zhí)镀俨忌仙母叨葹槎嗌倜?？（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】【分析】過點作，垂足為，在中，根據(jù)求出，過點作，垂足為，在中，根據(jù)求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】過點作，垂足為．在中，，∴．過點作，垂足為．

在中，，∴．∵，∴．答：從處的九孔橋到處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨燃s為．【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，熟練利用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式1．（2023年湖北省中考數(shù)學(xué)真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】斜坡的長約為10米【分析】過點作于點，在中，利用正弦函數(shù)求得，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過點作于點，則四邊形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的長約為10米．【點睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．變式2．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識測量河對岸大樹的高度，他在點處測得大樹頂端的仰角為，再從點出發(fā)沿斜坡走米到達(dá)斜坡上點，在點處測得樹頂端的仰角為，若斜坡的坡比為（點在同一水平線上）．(1)求從點到點的過程中上升的高度；(2)求大樹的高度（結(jié)果保留根號）．【答案】(1)從點到點的過程中上升的高度為米(2)大樹的高度為米【分析】（1）過點作，如圖所示，由坡度比，設(shè)，，根據(jù)勾股定理列方程求解即可得到答案；（2）過點作，如圖所示，在和中，由三角函數(shù)定義列方程求得相關(guān)線段關(guān)系，再由數(shù)形結(jié)合，根據(jù)代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：過點作，如圖所示：斜坡的坡比為（點在同一水平線上），，設(shè)，，從點出發(fā)沿斜坡走米到達(dá)斜坡上點，，在中，，解得，從點到點的過程中上升的高度為米；（2）解：過點作，如圖所示：四邊形是矩形，則，在中，，，則，解得；在中，，，則，解得；由（1）知，，，則，，，，即，解得，大樹的高度為米．【點睛】本題考查測高問題，涉及坡比定義、勾股定理、矩形判定與性質(zhì)、正切函數(shù)值定義、俯角仰角定義、解直角三角形及二次根式運(yùn)算等知識，熟記相關(guān)定義，數(shù)形結(jié)合，掌握解直角三角形的實際運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵．題型4.其他的實際應(yīng)用問題例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）小磊安裝了一個連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一個端點固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個端點分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，分別表示門框和門所在位置，M，N分別是上的定點，，的長度固定，的大小可變．

(1)圖2是門完全打開時的俯視圖，此時，，，求的度數(shù)．(2)圖1中的門在開合過程中的某一時刻，點F的位置如圖3所示，請在圖3中作出此時門的位置．（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(3)在門開合的過程中，的最大值為______．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）在中，利用銳角三角函數(shù)求得結(jié)果；（2）以點O為圓心、的長為半徑畫弧，與以點F為圓心、的長為半徑的弧交于點，連接得出門的位置；（3）當(dāng)最大時，的值最大，過點O作MN的垂線段，當(dāng)這條垂線段最大時，最大，即當(dāng)垂線段為OM即垂足為M時，最大，故的最大值為．【詳解】（1）解：在中，，∴．∴．（2）門的位置如圖1中或所示．（畫出其中一條即可）

（3）如圖2，連接，過點O作，交的延長線于點H．∵在門的開合過程中，在不斷變化，∴當(dāng)最大時，的值最大．由圖2可知，當(dāng)與重合時，取得最大值，此時最大，∴的最大值為．故答案為：【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)、尺規(guī)作圖、銳角三角函數(shù)等知識，準(zhǔn)確作圖，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇蘇州·中考真題）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問題．如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，為長度固定的支架，支架在處與立柱連接（垂直于，垂足為），在處與籃板連接（所在直線垂直于），是可以調(diào)節(jié)長度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點處的螺栓改變的長度，使得支架繞點旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）．已知，測得時，點離地面的高度為．調(diào)節(jié)伸縮臂，將由調(diào)節(jié)為，判斷點離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】點離地面的高度升高了，升高了．【分析】如圖，延長與底面交于點，過作于，則四邊形為矩形，可得，證明四邊形是平行四邊形，可得，當(dāng)時，則，此時，，，當(dāng)時，則，，從而可得答案．【詳解】解：如圖，延長與底面交于點，過作于，則四邊形為矩形，∴，

∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，當(dāng)時，則，此時，，∴，當(dāng)時，則，∴，而，，∴點離地面的高度升高了，升高了．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實際應(yīng)用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，高為．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑、以及、組成的軸對稱圖形，直線為對稱軸，點、分別是、的中點，如圖2，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角，發(fā)現(xiàn)并證明了點在上．請你繼續(xù)完成長的計算．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】42cm【分析】連接，交于點．設(shè)直線交于點，根據(jù)圓周角定理可得，解，得出，進(jìn)而求得的長，即可求解．【詳解】解：連接，交于點．設(shè)直線交于點．∵是的中點，點在上，∴．在中，∵，，∴，．∵直線是對稱軸，∴，，，∴．∴．∴，．在中，，即，則．∵，即，則．∴．∵該圖形為軸對稱圖形，張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，,∴．∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形的實際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練：1．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，所對的邊分別為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和，含角的直角三角形的特征，三角形函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)三角形內(nèi)結(jié)合題意可得，再根據(jù)，得到，利用角的正弦即可得出結(jié)論．【詳解】解：，又，即，可得，所對的邊分別為，，，，，，故選：B．2．（2023·上海靜安·?？家荒＃┤绻敲磁c的差（

）．A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定【答案】D【分析】利用銳角三角函數(shù)的增減性分類討論，即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)時，，，，；當(dāng)時，，，，；當(dāng)，，，，，綜上所述，與的差不能確定，故選：D．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是掌握在之間（不包括和），角度變大，正弦值、正切值也隨之變大，余弦值隨之變?。⒁夥诸愑懻摚?．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要應(yīng)用．我們已經(jīng)知道，，角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在來求的值：如圖，在中，，延長使，連接，得．設(shè)，則，AB=，所以，類比這種方法，計算的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正切值的求解勾股定理，在中，，延長使，連接，得，設(shè)，則，根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，在中，，延長使，連接，得，設(shè)，則，，在中，，故選：B．4．（2023·浙江溫州·中考真題）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個直角三角形組合而成．作菱形，使點D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，過點E作于點H．當(dāng)，，時，的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)和解直角三角形求出，，繼而求出再根據(jù)，即可求．【詳解】解：∵在菱形中，，，∴，又∵，∴，，∴，，∴，，∴∵，∴在中，，∵，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了解直角三角形、菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形性質(zhì)和解直角三角形求出、、是解題關(guān)鍵．5．（2023·江蘇無錫·二模）如圖，在點處，看建筑物頂端的仰角為，向前走了6米到達(dá)點即米，在點處看點的仰角為，則的長用三角函數(shù)表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題目條件，利用外角的性質(zhì)，得出是等腰三角形，在中，利用的正弦即可表示出的長度．【詳解】解：，，，，由題可知，為直角三角形，在中，，即：，，故選：D．【點睛】本題考查三角形的外角，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是利用三角形的外角得出是等腰三角形．6．（2023·浙江·一模）圖1是一地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，雙翼展開時示意圖如圖2所示，它是一個軸對稱圖形，，則雙翼邊緣端點C與D之間的距離為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】作輔助線如圖，由題意可得，，解直角三角形求出，然后根據(jù)即可得出答案.【詳解】解：如圖，作直線，交雙翼閘機(jī)于點E、F，則，由題意可得，，在直角三角形中，∵，∴，∴；故選：D.【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握銳角三角函數(shù)的知識是解題的關(guān)鍵.7．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知△ABC內(nèi)接于半徑為1的⊙O，∠BAC=θ（θ是銳角），則△ABC的面積的最大值為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】要使△ABC的面積S=BC?h的最大，則h要最大，當(dāng)高經(jīng)過圓心時最大．【詳解】解：當(dāng)△ABC的高AD經(jīng)過圓的圓心時，此時△ABC的面積最大，如圖所示，∵AD⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，在Rt△BOD中，sinθ=，cosθ=，∴BD=sinθ，OD=cosθ，∴BC=2BD=2sinθ，AD=AO+OD=1+cosθ，∴S△ABC=AD?BC=?2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．故選：D．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用與三角形面積的求法．8．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，與斜坡垂直的太陽光線照射立柱（與水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，則立柱的高為米（結(jié)果精確到米）．

科學(xué)計算器按鍵順序計算結(jié)果（已取近似值）

【答案】19.2米【分析】如圖，過點D作，垂足為H，過點C作，垂足為G，則四邊形為矩形，可得米，，．于是．解，得，從而（米），解中，（米）．于是（米）．【詳解】解：如圖，過點D作，垂足為H，過點C作，垂足為G，則四邊形為矩形，∴米，．∴．∴．

中，，（米）．∴（米）．中，，∴（米）．∴（米）．故答案為：19.2米．【點睛】本題考查解直角三角形；添加輔助線，構(gòu)造直角三角形、矩形，從而運(yùn)用三角函數(shù)求解線段是解題的關(guān)鍵．9．（2023·湖南株洲·校聯(lián)考三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，是的外接圓，點A，B，O在網(wǎng)格線的交點上，則的值是．【答案】/【分析】本題主要考查解直角三角形，勾股定理，圓的概念及性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．連接并延長交于點，連接，則，利用勾股定理求解的長，再解直角三角形可求解．【詳解】解：連接并延長交于點，連接，則，故答案為：．10．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）國際數(shù)學(xué)大會是全世界數(shù)學(xué)家的大聚會．如圖是某次大會的會徽，選定的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國在數(shù)學(xué)方面的成就，也弘揚(yáng)了我國古代的數(shù)學(xué)文化．如圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形中較小的銳角為θ，那么的值等于．

【答案】【分析】根據(jù)已知可得大正方形的邊長和小正方形的邊長，再設(shè)三角形的長直角邊為a,短直角邊為b,從而可得a與b的關(guān)系式，進(jìn)而可得a與b的長度，最后利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴大正方形的邊長是5，小正方形的邊長是1，設(shè)三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，由題意得：解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)學(xué)常識，勾股定理的證明，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．（2023·重慶·中考模擬預(yù)測）在直角中，，，的角平分線交于點，且，斜邊的值是______．【答案】【分析】CD平分∠ACB，過點D作DE⊥AC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，由此可證明四邊形CEDF為正方形，再利用，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理得到，求出的值即可．【詳解】解：如圖，CD平分∠ACB，過點D作DE⊥AC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，∴DE＝DF，，又，∴四邊形CEDF為正方形，，，在中，，∵，，，，，，即，又，，∵在中，，∴，∵在中，，∴，，，，即（舍負(fù)），故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．12．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點E在矩形的邊上，將沿折疊，點D恰好落在邊上的點F處，若．，則．

【答案】5【分析】利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得，，可得，，設(shè)，則，利用勾股定理可得，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據(jù)折疊可知，可知，，則，在中，，則，∴，則，設(shè)，則，在中，，即：，解得：，即：，故答案為：5．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形，靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)得到相等線段是解決問題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖1，位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2，線段表示“鐵軍”雕塑的高，點，，在同一條直線上，且，，，則線段的長約為m.（計算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】【分析】由，可得，可推得，由三角函數(shù)求出即可．【詳解】∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴解得，故答案為：．【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出的長是解題關(guān)鍵．14．（2023·江蘇南通·二模）如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔海里的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處，此時處與處的距離為海里(結(jié)果保留根號)．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；根據(jù)題意得出，從而知，由，根據(jù)，即可求出，．【詳解】解：過作，垂足為，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔海里的處，，海里，，．在中，由勾股定理，得海里，海里，海里，故答案為：．15．（23-24八年級上·浙江溫州·期中）圖1為手機(jī)支架實物圖，圖2為它的側(cè)面示意圖，“型”托架用于放置手機(jī)，支架兩端分別與托架和底座（其厚度忽略不計）相連，支架端可調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度，已知，，支架調(diào)整到圖2位置時，，．因?qū)嶋H需要，現(xiàn)將支架端角度調(diào)整為，如圖3所示，則點的位置較原來的位置上升高度為．【答案】【分析】本題主要考查解直角三角形的實際應(yīng)用，如圖2，過點作交于點，過點作交于點，過點作于點，如圖3，延長交于點,在和中分別算出和，求出點到的距離為，再在中，算出，再作差即可求得．【詳解】解：如圖2，過點作交于點，過點作交于點，過點作于點，如圖3，延長交于點旋轉(zhuǎn)前如圖3：∵，，，∴，∵,，∴，∵，∴在和中，，，故點到的距離為：，旋轉(zhuǎn)后如圖3：∵，∴，∵，∴，在中，，故，點的位置較原來的位置上升高度為:，故答案為：16．（2023年四川廣元中考真題數(shù)學(xué)試題）“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬戶．某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測量風(fēng)葉的長度進(jìn)行了實地測量．如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風(fēng)葉的視角．(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：，請利用公式計算；(2)求風(fēng)葉的長度．

【答案】(1)(2)風(fēng)葉的長度為米【分析】（1）根據(jù)題中公式計算即可；（2）過點A作，連接，，先根據(jù)題意求出，再根據(jù)等腰對等邊證明，結(jié)合第一問的結(jié)論用三角函數(shù)即可求，再證明四邊形是矩形，即可求出．【詳解】（1）解：由題意可得：，∴；（2）解：過點A作，連接，，如圖所示，

由題意得：米，，∴米，，∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，∴，∴，又∵，∴，∴，∴米，∵，，∴，由（1）得：，∴米，∴米，∵，，，∴四邊形是矩形，∴米，∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，且三片風(fēng)葉長度相等，∴，∴米，∴風(fēng)葉的長度為米．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，正確理解題意和作出輔助線是關(guān)鍵．17．（2024·江蘇徐州·一模）如圖1所示的是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分組成，圖是它的簡易平面圖．小明想知道燈管距地面的高度，他在地面處測得燈管的仰角為，在地面處測得在燈管仰角為，并測得，已知點、、在同一條直線上，請你幫小明算出燈管距地面的高度(結(jié)果精確到,參考數(shù)據(jù)：，，)【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過點作于點，設(shè)，在中，得出，，根據(jù)列出方程，解方程，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，設(shè)，∵在中，∴，∵∴在中，∴解得：（經(jīng)檢驗是原方程的解）答：燈管距地面的高度約為18．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計，結(jié)果精確到）

【答案】堤壩高為8米，山高為20米．【分析】過B作于H，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，過B作于F，則，設(shè)，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：過B作于H，

∵坡度i為，∴設(shè)，，∴，∴，∴，過B作于F，則，設(shè)，∵．∴，∴，∵坡度i為，∴，∴，∴（米），∴（米），答：堤壩高為8米，山高為20米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-俯角仰角，解直角三角形的應(yīng)用-坡角坡度，正