2024-2025學年重慶一中高三（上）月考數(shù)學試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年重慶一中高三（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|0<x<10,x∈Z}，B={x|x?Z,x∈A}，則?A.{1,4,9} B.{1,2,3} C.{4,5,6,7,8,9} D.{2,3,5,6,7,8}2.復數(shù)z=2i+1(i是虛數(shù)單位)，則zA.?1+3i B.?1?3i C.?1?i D.?1+i3.下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在(0,+∞)上單調遞增的是(

)A.y=x B.y=tanx C.y=x3+cosx4.日常生活中的飲用水是經(jīng)過凈化的，隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加.已知將1噸水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位；元)為c(x)=5284100?x(80<x<100)，則凈化到純凈度為99%左右時凈化費用的變化率大約是凈化到純凈度為90%左右時凈化費用變化率的A.10倍 B.25倍 C.50倍 D.100倍5.已知向量a,b,c滿足：|b|=|A.1 B.2 C.2 D.6.已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=2A.22 B.3 C.4 7.關于x的方程2sinx4=sin4xcosx4?A.1 B.2 C.3 D.78.已知β∈(?π2,0)，3sin(π?α)+cos(α?β)sinA.34 B.?34 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的有(

)A.若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S3，S6，S9也成等差數(shù)列

B.數(shù)列{(a+1)n}(a∈R)可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列

C.若等比數(shù)列{an}滿足：a2a6+a10.已知函數(shù)f(x)=x+2?ln(kx)，下列說法正確的是(

)A.當k=?1時，f(x)在區(qū)間(?∞,?1)內(nèi)有唯一零點

B.當k>0時，f(x)在點(3,f(3))處的切線斜率為23

C.當k=1時，若f(x1)=f(x2)(x1≠x11.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+2π3)(ω>0)在[0,π]上有且僅有A.f(x)的圖象向左平移必須超過π4個單位才可能使其關于y軸對稱

B.f(x)在區(qū)間(π2,5π7)上有可能單調遞增

C.f(x)在三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知點A(1,0)，點B(?3,1)，向量m=(k,5)，若AB//m，則實數(shù)k13.在△ABC中內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A=π6,a=1,c=3，則14.在分形藝術中會有下面的操作：將一長度為1的線段均分為三段，去掉中間一段，記為第1次操作：將剩下的線段分別又均分為三段，并各自去掉中間一段，記為第2次操作；…，每次操作都在上一次操作的基礎上，將剩下的線段分別均分為三段，同樣各自去掉中間的一段；操作過程不斷進行下去.設第n次操作去掉的線段總長為Dn，若kn=n2D四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知數(shù)列{an}滿足：an+1=2an+1，a1=1，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且2Sn=n2+log2(an+1)．16.(本小題15分)

連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子n(n∈N?)次.第k(k≤n,k∈N?)次拋擲落地時朝上的點數(shù)記為ak，且ak∈{1,2,3,4,5,6}，

(1)記事件A為“a1+a2≤5”，事件B為“|a117.(本小題15分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ACD=π2，若E是AD上一點，CD=CE，AC=mAE．

(1)證明：cos2∠ADC+sin∠ACE=0；

(2)若AB=1，BC=3，∠ACE=π6．

①求m的值；

18.(本小題17分)

已知O為坐標原點，雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的焦距是實軸長的5倍，過C上一點P作C的兩條漸近線的平行線，分別交y軸于S，T兩點，且|OS|?|OT|=4．

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)過雙曲線C的右焦點F的直線l1與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，點Q是線段AB的中點，過點F且與l1垂直的直線19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx．

(1)證明：當x>1時，f(x)>1?1x；

(2)若f(1+x)+sinx?ax≤0恒成立，求實數(shù)a的值；

(3)證明：sin1n參考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.A

6.C

7.D

8.D

9.BCD

10.ABC

11.ABD

12.?20

13.12或?14.5

15.解：(1)由an+1=2an+1，a1=1，可得an+1+1=2(an+1)，

即有數(shù)列{an}是首項和公比均為2的等比數(shù)列，則an+1=2n，即an=2n?1；

由2Sn=n2+log2(an+1)，可得2Sn=n2+n，

即Sn=116.解：(1)將事件A用有序數(shù)對(a1,a2)表示，則滿足a1+a2≤5事件A可以為：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10種，

即n(A)=10，

若滿足|a1?a2|=3的事件B為(1,4)，(4,1)，共2種，

即n(B)=2，

所以可得P(B|A)=n(AB)n(A)=210=15；

(2)依題意事件C為“ai≤ai+1(i=1,2,3)，需先確定n=4時骰子上出現(xiàn)的點數(shù)的數(shù)字個數(shù)，然后再從小到大排序即可，

則事件C包含以下4種情況：

第一種：拋擲4次出現(xiàn)的點數(shù)完全相同，共有C61=6種，

第二種：拋擲4次出現(xiàn)的點數(shù)有2個數(shù)字，共有C52=15種，

以出現(xiàn)的數(shù)字為1，2為例，則有1，1，1，2；1，1，2，2；1，2，2，2，共3種排序方式，

所以共有3C62=45，

第三種：拋擲4次出現(xiàn)的點數(shù)有3個數(shù)字，共有C53=20種，

以出現(xiàn)的數(shù)字為1，2，3為例，則有1，1，2，3；17.(1)證明：∵在△CDE中，CD=CE，

∴∠CED=∠ADC，可得∠DCE=π?(∠CED+ADC)=π?2∠ADC．

又∵∠ACD=π2，

∴∠ACE+∠DCE=∠ACE+π?2∠ADC=π2，整理得2∠ADC=∠ACE+π2，

∴cos2∠ADC=cos(∠ACE+π2)=?sin∠ACE，可得cos2∠ADC+sin∠ACE=0．

(2)解：①∵∠ACE=π6，∴∠DEC=π2?∠ACE=π3，

又∵△CDE中，CD=CE，∴△CDE是等邊三角形，可得∠CED=π3．

∴∠AEC=π?∠CED=2π3，

∴在△ACE中，由正弦定理得ACsin2π3=AEsinπ6，可得ACAE=sin2π3sinπ6=3，即m=3．

②設∠ABC=θ，

在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2?2AB?BC?18.解：(1)設P(x0,y0)，則x02a2?y02b2=1，即y02=b2a2x02?b2，

過點P作C的兩條漸近線的平行線方程分別為：y?y0=ba(x?x0)，

y?y0=ba(x?x0),y?y0=?ba(x?x0)，

則不妨取S(0,y0?bax0)，S(0,y0?bax0),T(0,y0+bax0)，T(0,y0+bax0)，

于是|OS|?|OT|=|y0?bax0|?|y0+bax0|=|y02?bax02|=b2=4，

又c=5a，且a2+b2=c2，

可得a2=1，c2=5，

所以雙曲線方程為x219.(1)證明：令函數(shù)m(x)=f(x)?1+1x=lnx?1+1x，則m′(x)=1x?1x2=x?1x2，

當x>1時，m′(x)>0，所以m(x)在(1,+∞)上單調遞增，則m(x)>m(1)=0，

所以f(x)>1?1x，證畢．

(2)解：f(1+x)+sinx?ax≤0恒成立，即ln(1+x)+sinx?ax≤0恒成立，

記n(x)=ln(1+x)+sinx?ax，則n′(x)=cosx+1x+1?a,x>?1，

若a>2，因此n′(0)=2?a<0，

當?aa+1<x<0時，由n′(?aa+1)=cosaa+1+1>0，

故存在s∈(?1,0)，使得n′(s)=0且任意的x∈(s,0)，總有n′(x)<0，

故n(x)在(s,0)上為減函數(shù)，故任意的x∈(s,0)，總有n(x)>n(0)=0，這與題設不合，舍；

故a=2，此時n′(x)=cosx+1x+1?2,x>?1，

當x∈(0,+∞)時，n′(x)<1+1?2=0，故n(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)；