數(shù)學自我小測：綜合法和分析法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1設a、b∈R＋，A＝eq\r(a）＋eq\r（b），B＝eq\r（a＋b），則A、B的大小關系是________．2設a、b、c∈R＋,若a＋b＋c＝1，則eq\f(1，a）＋eq\f(1，b)＋eq\f(1,c）≥________.3下列四個不等式:①a＜0＜b；②b＜a＜0;③b＜0＜a;④0＜b＜a，其中能使eq\f（1，a）＜eq\f(1，b)成立的充分條件有________．4給出下列四個命題：①若a＞b＞0,則eq\f(1,a）＞eq\f(1，b)；②若a＞b＞0,則a－eq\f（1，a）＞b－eq\f(1,b）;③若a＞b＞0，則eq\f（2a＋b,a＋2b）＞eq\f(a，b);④設a，b是互不相等的正數(shù)，則｜a－b|＋eq\f（1,a－b)≥2。其中正確命題的序號是________．5證明對任意實數(shù)x、y，有x4＋y4≥eq\f（1,2）xy(x＋y）2。6設x、y都是正數(shù)，求證：eq\f(1，2）（x＋y)2＋eq\f(1,4）（x＋y）≥xeq\r(y)＋yeq\r(x）.7已知x，y∈R，且1≤x2＋y2≤2，z＝x2＋xy＋y2，則z的取值范圍是________．8已知a，b,m都是正數(shù)，在空白處填上適當?shù)牟坏忍?（1）當a________b時，eq\f（a,b)＞eq\f(a＋m，b＋m）;(2）當a________b時,eq\f（a，b）≤eq\f(a＋m，b＋m）.9已知實數(shù)a、b、c＞0，求證：a3＋b3＋c3≥eq\f(1,3)(a2＋b2＋c2)·(a＋b＋c）．10已知:a、b是不相等的正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2.求證：1＜a＋b＜eq\f(4,3）.

參考答案1．A＞B解析：∵(eq\r（a)＋eq\r（b））2＝a＋2eq\r(ab)＋b，∴A2－B2＝2eq\r（ab）.∴A2－B2＞0.又A＞0，B＞0,∴A＞B。2．93．①②④解析：①a＜0＜b?eq\f（1,a）＜0，eq\f（1，b)＞0?eq\f(1，a）＜eq\f(1，b）；②b＜a＜0?eq\f(1,a)＜eq\f（1，b）；③b＜0＜a?eq\f（1，a）＞eq\f（1,b);④0＜b＜a?eq\f（1,a）＜eq\f（1,b）。故選①②④。4．②解析：①a＞b＞0,則eq\f（1，a)＜eq\f（1，b),故①錯；②a＞b＞0，則－eq\f(1，a)＞－eq\f（1,b），故②對;③中eq\f(2a＋b,a＋2b）－eq\f(a,b)＝eq\f((2a＋b)b－(a＋2b）a,b(a＋2b）)＝eq\f(b2－a2，b（a＋2b）)＜0，故③錯；④因為a－b不能確定為正數(shù)，故④錯．5．證明:要證x4＋y4≥eq\f(1,2）xy(x＋y)2。只需證2(x4＋y4)≥x3y＋xy3＋2x2y2.只需證eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x4＋y4≥x3y＋xy3,①，x4＋y4≥2x2y2。②））不等式②顯然成立，下面證明不等式①。(x4＋y4)－（x3y＋xy3)＝(x－y)(x3－y3）．∵x－y與x3－y3同號．∴(x－y）(x3－y3)≥0，即x4＋y4≥x3y＋xy3?！鄕4＋y4≥eq\f（1,2)xy（x＋y)2.6．證明：原不等式?2（x＋y)2＋（x＋y）≥4xeq\r（y）＋4yeq\r（x）?(x＋y)［2(x＋y)＋1]≥2eq\r(xy)（2eq\r(x)＋2eq\r（y)）．∵x＋y≥2eq\r(xy)＞0,∴只需證2(x＋y）＋1≥2eq\r（x)＋2eq\r（y),即證eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（1,4))）＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（y＋\f（1，4)）)≥eq\r(x)＋eq\r(y），而x＋eq\f(1,4)≥2eq\r(\f（x,4))＝eq\r（x)，y＋eq\f(1,4）≥2eq\r(\f（y,4）)＝eq\r（y），當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(1,4)時,等號成立．∴eq\f（1,2)(x＋y)2＋eq\f（1,4)（x＋y)≥xeq\r（y)＋yeq\r（x).7．eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，3))解析:∵－eq\f(x2＋y2，2)≤xy≤eq\f（x2＋y2，2）?！鄀q\f(1，2）(x2＋y2)≤x2＋xy＋y2≤eq\f（3,2）（x2＋y2)．又∵1≤x2＋y2≤2.∴eq\f（1，2)≤z≤3。8．（1）＞(2）≤解析：（1）eq\f（a,b）＞eq\f(a＋m,b＋m)?ab＋am＞ab＋bm?am＞bm?a＞b；(2)eq\f(a，b）≤eq\f（a＋m，b＋m)?a（b＋m）≤b(a＋m）?am≤bm?a≤b。9．證明：∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2）（a＋b）≥2ab(a＋b），即a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac將三式相加，得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac∴3（a3＋b3＋c3）≥(a3＋a2b＋a2c)＋（b3＋b2a＋b2c）＋(c3＋c2a＋＝（a＋b＋c）(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥eq\f(1,3）(a2＋b2＋c2）（a＋b＋c)．10．證明：∵a、b是不相等的正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2.∴a2＋ab＋b2＝a＋b.∴(a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b。∴a＋b＞1。要證a＋b＜eq\f（4,3），只需證3（a＋b)＜4。只需證3