【不等式證明的若干方法探究（論文）5800字】

不等式證明的若干方法研究目錄TOC\o"1-3"\h\u16225摘要 摘要在數(shù)學(xué)中，證明不等式的方法有很多種，本文主要圍繞“不等式的若干證明方法”展開討論。在初等數(shù)學(xué)中通常利用比較法、反證法、綜合法、分析法、換元法、判別式法、數(shù)學(xué)歸納法等方法證明不等式。在高等數(shù)學(xué)中又通常利用定積分性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)和中值定理法證明不等式。我們還會利用一些著名不等式：柯西不等式、均值不等式、施瓦茲不等式來證明不等式。通過對這些證明方法的學(xué)習(xí)和探討，有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力、推理論證能力以及問題解決能力的培養(yǎng)。關(guān)鍵詞不等式；函數(shù)；著名不等式第一章引言1.1不等式的發(fā)展歷程1631年，英國著名的代數(shù)學(xué)家哈里奧特在其出版的數(shù)學(xué)著作中，首先創(chuàng)用了“＞”（大于號）及“＜”（小于號），但未被采用；同時期的英國數(shù)學(xué)家奧特雷德也發(fā)明了以“＞”表示大于，以“＜”表示小于的符號，這種符號，至十八世紀(jì)仍被采用REF_Ref25304\r\h[1]。有關(guān)不等式的研究最早出現(xiàn)在東歐國家。Hardy，Littlewood和Plya于1934年出版的著作《Inequality》將不等式從零散的公式歸納整理成了一門系統(tǒng)的學(xué)科REF_Ref24386\r\h[2]。1970年，密特利諾維奇出版的《解析不等式》將不等式的方法和議題擴(kuò)大，在第三部分收集的459個特殊不等式是不等式課題的寶貴來源，其中許多不等式可作為更一般性理論的出發(fā)點REF_Ref24357\r\h[3]。2001年7月9日至14日，在羅馬尼亞UniversityoftheWest舉辦的不等式國際會議INEQUALITIES，讓各國交流了關(guān)于不等式的研究成果，促進(jìn)了不等式理論水平的完善REF_Ref8382\r\h[4]。在我國也存在很多對不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者。上個世紀(jì)80年代楊路教授在幾何不等式方面開展了一系列開創(chuàng)性的研究工作，在不等式的自動推理及其在高科技領(lǐng)域的應(yīng)用方面取得了巨大成果，將我國幾何不等式的研究推向了一個高潮；在代數(shù)不等式方面，王挽瀾教授出版的《建立不等式的方法》是我國第一部系統(tǒng)的論述古現(xiàn)代不等式的建立及其證明方法的著作，此書中介紹了眾多方法，其中有很多凸顯了我國的特色，如機(jī)械化、降維等，直到現(xiàn)在世界上也沒有一部文獻(xiàn)介紹了那么多種方法且盡人如意的專著REF_Ref25477\r\h[5]。對于解析不等式，胡克教授于1981年在《中國科學(xué)》上發(fā)表的論文《一個不等式及其若干應(yīng)用》，針對Holder不等式的缺陷，他提出一個新的不等式，被美國數(shù)學(xué)評論稱為“一個杰出的非凡的新的不等式”，現(xiàn)在稱之為胡克(HK)不等式，胡克教授對這個不等式及其應(yīng)用進(jìn)行了系統(tǒng)而深入的研究REF_Ref24990\r\h[9]。1.2研究不等式的目的和意義在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，將數(shù)學(xué)問題整理為一套系統(tǒng)，可以讓學(xué)生在解題時有清晰的思路。將初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法及一些著名的不等式證明方法進(jìn)行歸納與整理，找出規(guī)律，以此來證明出不等式，并發(fā)現(xiàn)證明不等式方法的應(yīng)用。所以不等式既能幫助學(xué)生掌握解題規(guī)律、加深思維深度，還能幫助學(xué)生解決現(xiàn)實問題。由此可見，研究初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中不等式的證明的應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生更好地掌握不等式證明方面的知識，提高學(xué)生學(xué)習(xí)不等式的興趣，同時能拓大導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍，對掌握數(shù)學(xué)不等式的應(yīng)用有很大幫助。第二章初等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法初等數(shù)學(xué)中，不等式的證明是非常重要的內(nèi)容。在初等數(shù)學(xué)中使用較多的不等式的證明方法有：比較法、分析法、綜合法、反證法、換元法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等。2.1比較法比較法分為作差比較法、作商比較法。比較法是不等式證明方法中最基本、最重要的方法之一。作差比較法：由的符號來判斷兩個實數(shù)a和b的大小，如果，則說明；如果，則說明。步驟為：作差—變形—判斷。通常用因式分解、配方、通分、公式、應(yīng)用已知定理等方法來變形，判斷時注意結(jié)果是正號、負(fù)號還是零REF_Ref24223\r\h[13]。例1：已知a，b為非負(fù)數(shù)，求證證明：因為a，b≥0，所以作商比較法判斷大小的依據(jù)：當(dāng)a，b均為正數(shù)時，如果，則；如果，則。步驟為：作商—變形—判斷。判斷時注意結(jié)果是大于1還是小于1。例2：a>0，b>0，求證：證明：由a>0，b>0知，所以當(dāng)遇到判斷兩個式子的大小關(guān)系的題目時，我們通常使用比較法。又根據(jù)兩個式子的性質(zhì)選擇不同的方法，當(dāng)兩式都是分式或多項式時，用作差比較法來證明；當(dāng)兩式都是冪指數(shù)形式或乘積形式時，用作商比較法來證明。2.2反證法反證法也是數(shù)學(xué)不等式證明中非常重要的一種方法，我們又把它叫做“間接證明法”，如果用直接證明的方法證明不等式比較困難時，利用反證法可能會更加簡單、有效。其步驟：（1）首先否定題中所給不等式的結(jié)論；（2）從否定的結(jié)論逐步倒著推理，直到出現(xiàn)與已知條件矛盾的情況；（3）根據(jù)矛盾的出現(xiàn)，可以判定原假設(shè)“結(jié)論不成立的不等式”是錯誤的；（4）該命題結(jié)論正確。例3：已知，，，求證：，均大于0證明：設(shè)，又則與題設(shè)矛盾當(dāng)時與矛盾因此必有同理可證，b>0，c>0。當(dāng)題目中給出的已知條件很少或根據(jù)已知條件能推出的結(jié)論很少，或者所證結(jié)論是某些定理的逆命題的結(jié)論時，就適合使用反證法來證明不等式，該方法能很好的鍛煉學(xué)生的逆向思維，打破他們死板的學(xué)習(xí)方式。2.3綜合法綜合法是指根據(jù)已知條件，利用不等式的性質(zhì)或其他已知的結(jié)論一步一步的推理，通過推出所要證明的不等式的方法，此過程需要利用到其他已學(xué)知識，所以綜合法的學(xué)習(xí)與利用能夠培養(yǎng)學(xué)生不同定理、公式的綜合運用能力。例4：設(shè)a，b，c∈R+，求證：證明：由于所以得，a，b∈R+同理三式相加得所以我們可以根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，從已知條件入手將原不等式進(jìn)行變形，一步步進(jìn)行推理，最終得到要證不等式。這是綜合法證不等式的過程，我們也可以稱之為“由因?qū)Ч薄?.4分析法分析法的特點是“由果導(dǎo)因”。其過程是先找出使所求不等式成立的條件，然后分析已知條件中是否具備這些條件。如果具備這些條件，可以得到原不等式成立；反之，那么原不等式不成立。分析法是幫助學(xué)生打開證明思路、尋找問題解決路徑的重要方法。例5：已知a，b，c∈R+，且，求證：證明：預(yù)證，由于a，b，c∈R+要證（a+b+c）2≥3原不等式成立。由以上分析可以看出，分析法是從所求結(jié)論出發(fā)，反過來求使它成立的條件，直到與已知條件相通，從而找出解題方法。所以對于已知條件很隱蔽的不等式證明題，很難用綜合法直接證明，此時就需要用到分析法解題。2.5換元法在利用換元法解題時，需要引入一個或多個未知量，用新的未知量來代替原有的未知量，從而證明出原不等式。三角換元法和增量換元法是我們常用的兩種方法。換元法是常用且重要的一種解決數(shù)學(xué)問題的方法，將隱性或復(fù)雜的條件轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜で液唵蔚男问?，將?fù)雜的計算與推導(dǎo)過程簡單化。例6：設(shè)n為大于1的自然數(shù)，試證明證明：由，（n>1），所以令，則需證即證由二項式定理得所以故不等式成立。當(dāng)不等式中存在對稱的式子，或者已知未知數(shù)的大小關(guān)系，如時，我們可以通過換元法來實現(xiàn)減元，讓問題由難變簡單，這就是常用的增量換元法，這種方法相較上面四種難度增加了一些，但是更能鍛煉學(xué)生的思維能力。2.6放縮法放縮法通常是指利用不等式的傳遞性，將式子適當(dāng)?shù)姆糯蠡蛘呖s小，用更完美的不等式來替代原有不等式。利用基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”）；（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”）REF_Ref25402\r\h[15]。推廣：（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”）；當(dāng)a1，a2，...an為正數(shù)時（a1=a2=...=an時取“=”）。例7：已知an=5n-4，證明不等式成立。（mn為任意正整數(shù)）證明：欲證，要證因為，故證即證因為所以命題得證。我們常見的數(shù)列不等式大多與數(shù)列求和或求積有關(guān)，而放縮的前提條件是不等式可求積或求和，所以對于這內(nèi)不等式的證明我們常用放縮法來解決。還要注意的是，在放縮時要把握好放縮的程度，保證恰到好處。2.7數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是從具體到一般，依次推理已知條件的方法，所以我們通常使用數(shù)學(xué)歸納法來證明不等式與自然數(shù)有關(guān)的題目，它是解決數(shù)學(xué)不等式題的基礎(chǔ)方法之一。其步驟：（1）證明當(dāng)n為第一個值時不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*，k≥）時也成立，證明當(dāng)n=k+1時不等式也成立。由（1）（2）知，對于一切n≥的自然數(shù)n都成立。例8：證明不等式證：當(dāng)n=1時，不等式成立假設(shè)n=k時，不等式成立，即那么則n=k+1時不等式成立?？梢缘贸?，不等式對n∈N都成立。所以當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，其關(guān)鍵是由n=k成立，推證n=k+1時也成立。本章中例舉了比較法、分析法、綜合法、放縮法等不等式的證明方法，它們都是比較簡單的證明方法；而換元法需要引入?yún)?shù)與變量，假設(shè)出輔助函數(shù)來證明，相對較為復(fù)雜。反證法、數(shù)學(xué)歸納法等方法則是通過一系列代換、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化等過程來證明不等式。第三章高等數(shù)學(xué)中不等式的證明方法3.1利用定積分性質(zhì)證明不等式在用定積分證明時，常用到的性質(zhì)是它對積分區(qū)間的可加性，這是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。若給定的式子可以看作是某個函數(shù)（假設(shè)具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)）在[a，b]上的增量，則可以利用牛頓—萊布尼茨公式把此增量表示為在[a，b]上的定積分，即，然后依據(jù)在積分區(qū)間[a，b]上所滿足的不等式及定積分的單調(diào)性等可得到所要證明的不等式REF_Ref25209\r\h[11]。例9：設(shè)ａ＞ｂ＞０，ｎ＞１，證明證明：先把看作是冪函數(shù)在閉區(qū)間[b，a]上的增量，即，再把表示為在閉區(qū)間[b，a]上的定積分，即然后利用被積函數(shù)在閉區(qū)間[b，a]上所滿足的不等式，及定積分的單調(diào)性便有可得當(dāng)遇到形如或者與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，并且對定積分掌握熟練時，可使用該方法。3.2利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式3.2.1利用函數(shù)極值與最值證明不等式在不等式證明的各種方法中，是較為簡單的方法是利用函數(shù)極值與最值來證明不等式。極值與最值本是可以轉(zhuǎn)化為不等式的式子，因此我們可以很簡便的應(yīng)用該方法證明不等式。例11：當(dāng)時，證明證明：令，則令，得駐點x=1且當(dāng)x＜1時，；當(dāng)x＞1時，，所以是極大值也是最大值，從而得，即。3.2.2利用函數(shù)凹凸性證明不等式當(dāng)所求證的不等式中出現(xiàn)了形如，的式子時，我們可以考慮根據(jù)函數(shù)凹凸性的一些性質(zhì)來證明REF_Ref21595\r\h[10]。例12：已知，證明：證明：設(shè)函數(shù)，，則，。由引理可知：函數(shù)，是凹函數(shù)。設(shè)，，，則而，且由已知得到，所以，故有。3.3利用中值定理法證明不等式3.3.1利用拉格朗日中值定理證明不等式函數(shù)的增減性是我們在使用拉格朗日中值定理證明不等式時需要考慮的問題，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性始終保持不變，那么我們可以判斷出函數(shù)的增減性，從而求證出不等式。步驟：（1）根據(jù)題目給出的已知條件設(shè)出函數(shù)和區(qū)間；（2）根據(jù)拉格朗日中值定理得REF_Ref16237\r\h[8]；（3）依據(jù)在（a，b）上的增減性，把進(jìn)行一定的放大或縮小，進(jìn)而求證出不等式。例13：若0<b≤a，試證：證明：設(shè)，當(dāng)0<b≤a時，在區(qū)間[b,a]內(nèi)符合拉格朗日中值定理,所以，,而，（0<b≤a），得出。對于不等式中含有形如的題目，這時利用拉格朗日中值定理證明不等式。3.3.2利用積分第一中值定理證明不等式積分第一中值定理：設(shè)函數(shù)在[a，b]連續(xù)，則至少存在一點，使得REF_Ref27581\r\h[12]。例14：設(shè)在[0,1]上連續(xù)，且單調(diào)下降，，求證。證明：因為在[0,1]上連續(xù)，則有積分第一中值定理知，使得，使得，又在[0,1]上單調(diào)下降，，故，從而有，又因為，所以。上面所討論的這些不等式的證明方法，很多是初等數(shù)學(xué)中不等式證明方法的延伸，所以不等式之間都是交相輝映的。通過對這些方法的學(xué)習(xí)，我們可以更簡單、方便的解決相關(guān)問題。第四章利用著名不等式證明不等式的方法4.1利用柯西不等式證明不等式一般形式的柯西不等式是：，等號成立的充要條件為：存在λ，μ（不全為零），使（i=1,2，...n）REF_Ref30592\r\h[6]。例15：設(shè)正數(shù)滿足，求證：，并給出等號成立條件。證明：由得，由柯西不等式得，所以，等號成立的條件為。本題經(jīng)過變形積極創(chuàng)造了柯西不等式中“積和”與“平方和”的形式，非常值得深入研究。4.2利用均值不等式證明不等式一般不等式的證明，通常會考慮綜合法、比較法、分析法，但對于部分不等式問題并不能用這些方法解決，這是就考慮用均值不等式，或均值不等式與綜合法相結(jié)合的方法，這種方法可以在某些方面使問題簡單化，進(jìn)而達(dá)到最終證明的目的。例16：設(shè)是不為的不相等實數(shù)，證明：證明：引入大于參數(shù)由均值不等式知.設(shè)∵得令，解得.當(dāng)時，有最大值.當(dāng)所求不等式中含有根號、平方和時，常利用均值不等式求解不等式。4.3利用施瓦茲不等式證明不等式施瓦茲不等式：，在高等數(shù)學(xué)推廣與應(yīng)用中具有很重要的價值REF_Ref9038\r\h[7]。例17：設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，且，證明對任意的實數(shù)恒有。證明：注意到，由施瓦茲不等式可得上述兩式相加可得要證不等式。第五章結(jié)語不等式的證明與求解是初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，通過實踐學(xué)習(xí)，學(xué)生可以掌握不同的方法和技巧，從根本上培養(yǎng)和提高他們的思維能力、分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力，為他們未來的成長與發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)中教師要明確在講授不等式解法的同時，更重要的是要教會學(xué)生更多的解題思路和技巧，使學(xué)生能夠舉一反三，靈活的掌握各種解題能力。數(shù)學(xué)不等式是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，其廣泛的運用在對數(shù)學(xué)問題的分析與解決中，更是學(xué)生高考的關(guān)注熱點。不等式在日常生活中的應(yīng)用也十分廣泛，如在實踐生活中對花園、迎賓大道等進(jìn)行造型設(shè)計，飲料工廠進(jìn)行新型產(chǎn)品的原料配比與成本分析等，都需要不等式的幫助。參考文獻(xiàn)李良.初等數(shù)學(xué)最值問題的解法探討[J].中學(xué)教學(xué)參考,2021(02):20-22.蘇明剛,陳明.數(shù)學(xué)高考壓軸題中高頻出現(xiàn)的高等數(shù)學(xué)知識點及解題方法[J].遵義師范學(xué)院學(xué)報,20