2025屆下關第一中學高二上數學期末質量檢測模擬試題含解析

2025屆下關第一中學高二上數學期末質量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數是定義在上的函數的導函數，有，若，，則，，的大小關系是（）A. B.C. D.2．直線在y軸上的截距是A. B.C. D.3．已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取2次，則在兩次取得小球中，標號最大值是3的概率為（）A. B.C. D.5．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的體積為（）A. B.C. D.6．在棱長均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.67．我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》是明代數學家程大位（1533-1606年）所著.該書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”.其意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且下一層燈數是上一層的2倍，則可得塔的最頂層共有燈幾盞？”.若改為“求塔的最底層幾盞燈？”，則最底層有（）盞.A.192 B.128C.3 D.18．圓與圓的位置關系為（）A.內切 B.外切C.相交 D.相離9．命題p：存在一個實數﹐它的絕對值不是正數.則下列結論正確的是（）A.：任意實數，它的絕對值是正數，為假命題B.：任意實數，它的絕對值不是正數，為假命題C.：存在一個實數，它的絕對值是正數，為真命題D.：存在一個實數，它的絕對值是負數，為真命題10．過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=011．曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“”模式即語文、數學、英語必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在思想政治、地理、化學、生物中選擇2門，一名同學隨機選擇3門功課，則該同學選到歷史、地理兩門功課的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線在處的切線方程為，則________14．已知數列{}的通項公式為，前n項和為，當取得最小值時，n的值為___________.15．若點到點的距離比它到定直線的距離小1，則點滿足的方程為_____________16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，則的面積為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓上的點到橢圓焦點的最大距離為3，最小距離為1（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，分別是橢圓的左右頂點，是橢圓上異于，的任意一點，直線，分別交軸于點，，求的值18．（12分）已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值.19．（12分）已知圓：，過圓外一點作圓的兩條切線，，，為切點，設為圓上的一個動點.（1）求的取值范圍；（2）求直線的方程.20．（12分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點，且離心率為.（1）橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，求的面積.21．（12分）已知點關于直線的對稱點為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點，且（1）求圓Q的方程；（2）過坐標原點O任作一直線交圓Q于C，D兩點，求證：為定值22．（10分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名中學生，將他們的期中考試數學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六段：，，…，所得到如圖所示的頻率分布直圖（1）求圖中實數的值；（2）若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數；（3）若從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，求這2名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設，求導分析的單調性，又，，，即可得出答案【詳解】解：設，則，又因為，所以，所以在上單調遞增，又，，，因為，所以，所以.故選：C2、D【解析】在y軸上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【詳解】令x=0，則y=-2，即直線在y周上的截距為-2，故選D.3、A【解析】先根據雙曲線的離心率得到，然后由，得，即為所求的漸近線方程，進而可得結果【詳解】∵雙曲線的離心率，∴又由，得，即雙曲線（）的漸近線方程為，∴雙曲線的漸近線方程為故選：A4、C【解析】求出兩次取球都沒有取到3的概率，再利用對立事件的概率公式計算作答.【詳解】依題意，每次取到標號為3的球的事件為A，則，且每次取球是相互獨立的，在兩次取得小球中，標號最大值是3的事件M，其對立事件是兩次都沒有取到標號為3的球的事件，，則有，所以在兩次取得小球中，標號最大值是3的概率為.故選：C5、A【解析】可由三視圖還原原幾何體，然后根據題意的邊角關系，完成體積的求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖：其中平面，，則該四面體的體積為.故選：A.6、C【解析】設，，，利用結合數量積的運算即可得到答案.【詳解】設，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C7、A【解析】根據題意，轉化為等比數列，利用通項公式和求和公式進行求解.【詳解】設這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數列的前7項和為381，所以，解得，所以這個塔的最底層有盞燈.故選：A.8、B【解析】求出兩圓的圓心距與半徑之和、半徑之差比較大小即可得出正確答案.【詳解】由可得圓心為，半徑，由可得圓心為，半徑，所以圓心距為，所以兩圓相外切，故選：B.9、A【解析】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷，再利用特殊值判斷命題的真假；【詳解】解：因為命題p“存在一個實數﹐它的絕對值不是正數”為存在量詞命題，其否定為“任意實數，它的絕對值是正數”，因為，所以為假命題；故選：A10、A【解析】設出直線方程，利用待定系數法得到結果.【詳解】設與直線平行的直線方程為，將點代入直線方程可得，解得則所求直線方程為．故A正確【點睛】本題主要考查兩直線的平行問題，屬容易題．兩直線平行傾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以與直線平行的直線方程可設為11、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設，，，∴離心率.故選：C.12、A【解析】先由列舉法計算出基本事件的總數，然后再求出該同學選到歷史、地理兩門功課的基本事件的個數，基本事件個數比即為所求概率.【詳解】由題意，記物理、歷史分別為、，從中選擇1門；記思想政治、地理、化學、生物為、、、，從中選擇2門；則該同學隨機選擇3門功課，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個基本事件；該同學選到歷史、地理兩門功課所包含的基本事件有：，，共個基本事件；該同學選到物理、地理兩門功課的概率為.故選：A.【點睛】本題考查求古典概型的概率，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】先求導，由，代入即得解【詳解】由題意，故答案為：114、7【解析】首先求出數列的正負項，再判斷取得最小值時n的值.【詳解】當，，解得：，當和時，，所以取得最小值時，.故答案為：715、【解析】根據拋物線的定義可得動點的軌跡方程【詳解】點到點的距離比它到直線的距離少1，所以點到點的距離與到直線的距離相等，所以其軌跡為拋物線，焦點為，準線為，所以方程為，故答案為：16、3【解析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：3三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）-1.【解析】（1）根據橢圓的性質進行求解即可；（2）根據直線的方程，結合平面向量數量積的坐標表示公式進行求解即可.【小問1詳解】由題意得，，，所以，橢圓.【小問2詳解】由題意可知，，設，則，直線，直線分別令得，，，.【點睛】關鍵點睛：運用平面向量數量積的坐標表示公式進行求解是解題的關鍵.18、（1）；（2）.【解析】（1）設圓的方程為：，由已知列出方程組，解之可得圓的方程；（2）由已知得四邊形的面積為，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根據點到直線的距離公式可求得答案.【詳解】解：（1）設圓方程為：，根據題意得，故所求圓M的方程為：；（2）如圖，四邊形的面積為，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即為點到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為.19、（1）（2）【解析】(1)求出PM，就可以求PQ的范圍；(2)使用待定系數法求出切線的方程，再求求切點的坐標，從而可以求切點的連線的方程.【小問1詳解】如下圖所示，因為圓的方程可化為，所以圓心，半徑，且，所以，故取值范圍為.【小問2詳解】可知切線，中至少一條的斜率存在，設為，則此切線為即，由圓心到此切線的距離等于半徑，即，得所以兩條切線的方程為和，于是由聯(lián)立方程組得兩切點的坐標為和所以故直線的方程為即20、（1）（2）【解析】（1）由題意求出即可求解；（2）由橢圓的定義和三角形面積公式求解即可【小問1詳解】因為橢圓C與橢圓有相同的焦點，所以橢圓C的焦點，，，又，所以，，所以橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】由，，得，，而，所以，所以21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出點坐標，然后根據圓心到直線的距離公式及的值求出半徑即可求得圓的方程.（2）設出直線方程，聯(lián)立圓和直線方程利用韋達定理來求解.【小問1詳解】解：點關于直線的對稱點Q為由Q到直線的距離，所以所以圓的方程為【小問2詳解】當直線CD斜率不存在時，，所以.當直線CD斜率存在時，設為k，則直線為，記，聯(lián)立，得所以，綜上，為定值522、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根據圖中所有小矩形的面積之和等于1求解.

（2）根據頻率分布直方圖，得到成績不低于60分的頻率，再根據該校高一年級共有學生640人求解.

（3）由頻率分布直方圖得到成績在[40，50)和[90，100]分數段內的人數，先列舉出從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生的基本事件總數，再得到兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”的基本事件數，代入古典概型概率求解.【詳解】（1）∵圖中所有小矩形的面積之和等于1，∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.

（2）根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1?10×(0.005+0.01)=0.85，

∵該校高一年級共有學生640人，

∴由樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級數學成績不低于60分的人數約為640×0.85=544人.

（3）成績在[40，50)分數段內的人數為40×0.05=2人，分別記為A，B，

成績在[90，100]分數段內的人數為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F(xiàn).

若從數學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，

則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，

(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共15種.

如果兩名學生的數學成績都在[40，5