2025屆廣東省百校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆廣東省百校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列是等差數(shù)列,下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為()①②③A.0 B.1C.2 D.32.定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足:對(duì)恒成立,其中為的導(dǎo)函數(shù),則A.B.C.D.3.在等比數(shù)列中,,是方程的兩個(gè)實(shí)根,則()A.-1 B.1C.-3 D.34.已知點(diǎn),,若直線過點(diǎn)且與線段相交,則直線的斜率的取值范圍是()A. B.C. D.5.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn),且它們的離心率之積為1,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.6.設(shè)等差數(shù)列的公差為d,且,則()A.12 B.4C.6 D.87.已知四面體,所有棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱AB,CD的中點(diǎn),則()A.1 B.2C.-1 D.-28.已知直線,,若,則實(shí)數(shù)()A. B.C.1 D.29.已知分別是橢圓的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M是橢圓C上的一點(diǎn),且的面積為1,則橢圓C的短軸長(zhǎng)為()A.1 B.2C. D.410.《米老鼠和唐老鴨》這部動(dòng)畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶,令我們印象深刻.如圖所示,有人用3個(gè)圓構(gòu)成米奇的簡(jiǎn)筆畫形象.已知3個(gè)圓方程分別為:圓圓,圓若過原點(diǎn)的直線與圓、均相切,則截圓所得的弦長(zhǎng)為()A. B.C. D.11.過拋物線的焦點(diǎn)作直線l,交拋物線與A、B兩點(diǎn),若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,則等于()A.10 B.8C.6 D.412.已知向量為平面的法向量,點(diǎn)在內(nèi),點(diǎn)在外,則點(diǎn)到平面的距離為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,且,則_____________14.已知點(diǎn),則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.15.過點(diǎn),且周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______16.已知拋物線的頂點(diǎn)為O,焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)B在C上,若點(diǎn)B,O,F(xiàn)構(gòu)成一個(gè)斜三角形,則______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的兩焦點(diǎn)為、,P為橢圓上一點(diǎn),且(1)求此橢圓的方程;(2)若點(diǎn)P在第二象限,,求的面積18.(12分)已知拋物線C的方程是.(1)求C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)直線l過拋物線C的焦點(diǎn)且傾斜角為,與拋物線C的交點(diǎn)為A,B,求的長(zhǎng)度.19.(12分)若雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和,且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3,1)(1)求雙曲線的方程;(2)若F是雙曲線的右焦點(diǎn),Q是雙曲線上的一點(diǎn),過點(diǎn)F,Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M,且,求直線l的斜率20.(12分)已知函數(shù)(1)證明;(2)設(shè),證明:若一定有零點(diǎn),并判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)21.(12分)某地區(qū)2021年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為50%,通過模擬實(shí)驗(yàn)的方法來計(jì)算該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率.用隨機(jī)數(shù)x(,且)表示是否下雨:當(dāng)時(shí)表示該地區(qū)下雨,當(dāng)時(shí),表示該地區(qū)不下雨,從隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)取得20組數(shù)如下:332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719(1)求出m的值,并根據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率;(2)從2012年到2020年該地區(qū)清明節(jié)當(dāng)天降雨量(單位:)如表:(其中降雨量為0表示沒有下雨).時(shí)間2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年年份t123456789降雨量y292826272523242221經(jīng)研究表明:從2012年至2021年,該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量y與年份t成線性回歸,求回歸直線方程,并計(jì)算如果該地區(qū)2021年()清明節(jié)有降雨的話,降雨量為多少?(精確到0.01)參考公式:,參考數(shù)據(jù):,,,22.(10分)某快遞公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(1)求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù);(2)在這60天中包裹件數(shù)在和的兩組中,用分層抽樣的方法抽取30件,求在這兩組中應(yīng)分別抽取多少件?

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差為,則,是等差數(shù)列,,是常數(shù)列,也是等差數(shù)列,若,則不是等差數(shù)列,故選:C2、D【解析】分別構(gòu)造函數(shù),,,,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出【詳解】令,,,,恒成立,,,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,令,,,,恒成立,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,,.綜上可得:,故選:D【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,本題考查的是利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題,通過題目中給定的不等式,分別構(gòu)造兩個(gè)不同的函數(shù)求導(dǎo)判出單調(diào)性從而比較函數(shù)值得大小關(guān)系.在討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí),必須堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則.對(duì)于函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題,注意挖掘隱含在實(shí)際中的條件,避免忽略實(shí)際意義對(duì)定義域的影響3、B【解析】由韋達(dá)定理可知,結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出.【詳解】解:在等比數(shù)列中,由題意知:,,所以,,所以且,即.故選:B.4、B【解析】直接利用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)公式和直線的斜率的關(guān)系求出結(jié)果【詳解】解:直線過點(diǎn)且斜率為,與連接兩點(diǎn),的線段有公共點(diǎn),由圖,可知,,當(dāng)時(shí),直線與線段有交點(diǎn)故選:B5、A【解析】計(jì)算雙曲線的焦點(diǎn)為,離心率,得到橢圓的焦點(diǎn)為,離心率,計(jì)算得到答案.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為,離心率,故橢圓的焦點(diǎn)為,離心率,即.解得,故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率,焦點(diǎn),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、B【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求出公差.【詳解】,所以.故選:B7、D【解析】在四面體中,取定一組基底向量,表示出,,再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】四面體所有棱長(zhǎng)均為2,則向量不共面,兩兩夾角都為,則,因點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱AB,CD的中點(diǎn),則,,,所以.故選:D8、D【解析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€,,且,所以,故選:D.9、B【解析】首先分別設(shè),,再根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列出等式,即可求解橢圓的短軸長(zhǎng).【詳解】設(shè),,所以,即,即,得,短軸長(zhǎng)為.故選:B10、A【解析】設(shè)直線,利用直線與圓相切,求得斜率,再利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線.由直線與圓、圓均相切,得解得(1).設(shè)點(diǎn)到直線的距離為則(2).又圓的半徑直線截圓所得弦長(zhǎng)結(jié)合(1)(2)兩式,解得11、B【解析】根據(jù)拋物線的定義求解【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為,設(shè),則,所以,故選:B12、A【解析】先求出向量,再利用空間向量中點(diǎn)到平面的距離公式即可求解.【詳解】解:由題知,點(diǎn)在內(nèi),點(diǎn)在外,所以又向量為平面的法向量所以點(diǎn)到平面的距離為:故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】由共線向量得,解方程即可.【詳解】因?yàn)椋?,解?故答案為:214、【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式可得的中點(diǎn)和直線斜率,由垂直關(guān)系可得垂直平分線的斜率,由點(diǎn)斜式可得直線方程,化為一般式即可【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,的中點(diǎn)為,可得直線的斜率為,由垂直關(guān)系可得其垂直平分線的斜率為,故可得所求直線的方程為:,化為一般式可得故答案為:15、【解析】方法一:根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí),圓周長(zhǎng)最小,由線段的中點(diǎn)為圓心,其長(zhǎng)一半為半徑求解;方法二:根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí),圓周長(zhǎng)最小,根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一:當(dāng)線段為圓的直徑時(shí),過點(diǎn),的圓的半徑最小,從而周長(zhǎng)最小,即圓心為線段的中點(diǎn),半徑則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二:當(dāng)線段為圓的直徑時(shí),過點(diǎn),的圓的半徑最小,從而周長(zhǎng)最小又,,故所求圓的方程為,整理得,所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為16、2【解析】畫出簡(jiǎn)單示意圖,令,根據(jù)拋物線定義可得,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及B在C上,求目標(biāo)式的值.【詳解】如下圖,令,直線為拋物線準(zhǔn)線,軸,由拋物線定義知:,又且,所以,故,又,故.故答案為:2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:應(yīng)用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為,再由三角函數(shù)的定義及點(diǎn)在拋物線上求值.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)由題可得,根據(jù)橢圓的定義,求得,進(jìn)而求得的值,即可求解;(2)由題可得直線方程為,聯(lián)立橢圓方程可得點(diǎn)P,利用三角形的面積公式,即求.【小問1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,焦距為,由題可得,,所以,可得,即,則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,,,∵,∴所在的直線方程為,則解方程組,可得,∴.18、(1)焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程:(2)【解析】(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,焦點(diǎn)在軸上,開口向右,,即可求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)現(xiàn)根據(jù)題意給出直線的方程,代入拋物線,求出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和,然后利用焦半徑公式求解即可【小問1詳解】(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是,焦點(diǎn)在軸上,開口向右,,∴,∴焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程:.【小問2詳解】∵直線l過拋物線C的焦點(diǎn)且傾斜角為,,∴直線L的方程為,代入拋物線化簡(jiǎn)得,設(shè),則,所以故所求的弦長(zhǎng)為1219、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)題意列方程組求解(2)待定系數(shù)法設(shè)直線后,由條件求出坐標(biāo)后代入雙曲線方程求解【小問1詳解】,解得,故雙曲線方程為【小問2詳解】,故設(shè)直線方程為則,由得:故,點(diǎn)在雙曲線上,則,解得直線l的斜率為20、(1)證明見解析;(2)證明見解析,1個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)同分化簡(jiǎn),構(gòu)造新函數(shù)判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可;(2)令g(x)=0,化簡(jiǎn)方程,將問題轉(zhuǎn)化為討論方程解的個(gè)數(shù)問題.【小問1詳解】,設(shè),則,時(shí),遞減,時(shí),遞增,而,所以時(shí),,所以;小問2詳解】有零點(diǎn),則有解,即有解,又,則只要,因?yàn)?,方程可以化為,現(xiàn)在證明有解,令,則,可知在遞減,在遞增,所以,因?yàn)?,所以,在?nèi)恒有,而在遞增,當(dāng)x=時(shí),h()=,故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知在存在唯一零點(diǎn).所以有且只有一個(gè)零點(diǎn),所以有零點(diǎn),有一個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是是將方程零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題,通過討論單調(diào)性和最值(極值)的正負(fù)即可判斷零點(diǎn)的有無和個(gè)數(shù).21、(1),;(2);該地區(qū)2020年清明節(jié)有降雨的話,降雨量為20.2mm【解析】(1)利用概率模擬求概率;(2)套用公式求回歸直線方程即可.【詳解】解:(1)由題意可知,,解得,即表示下雨,表示不下雨,所給的20組數(shù)據(jù)中714,740,491,272,073,445,435,027,共8組表示3天中恰有兩天下雨,故所求的概率為;(2)由題中所給的數(shù)據(jù)可得,,所以,,所以回歸方程為,當(dāng)時(shí),,所以該地區(qū)2020年清明節(jié)有降雨的話,降雨量為20.2mm【點(diǎn)睛】求線性回歸方程的步驟:①求出;②套公式求出

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