內(nèi)蒙古巴彥淖爾市烏拉特前旗一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

內(nèi)蒙古巴彥淖爾市烏拉特前旗一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則（）A.0 B.1C. D.22．已知雙曲線C：-＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，若過原點(diǎn)傾斜角為的直線與雙曲線C左右兩支交于M、N兩點(diǎn)，且MF1NF1，則雙曲線C的離心率是（）A.2 B.C. D.3．如圖，已知正方體，點(diǎn)P是棱中點(diǎn)，設(shè)直線為a，直線為b．對(duì)于下列兩個(gè)命題：①過點(diǎn)P有且只有一條直線l與a、b都相交；②過點(diǎn)P有且只有兩條直線l與a、b都成角．以下判斷正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題4．一個(gè)動(dòng)圓與定圓相外切，且與直線相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列中，且滿足，則（）A.2 B.﹣1C. D.6．設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.7．二項(xiàng)式的展開式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是（）A.2 B.8C.16 D.328．對(duì)于兩個(gè)平面、，“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.310．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.20 B.18C.16 D.911．已知函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.212．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校共有學(xué)生480人；現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取80人進(jìn)行體能測(cè)試；若這80人中有30人是男生，則該校女生共有___________.14．如圖，某湖有一半徑為的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測(cè)中心（大小忽略不計(jì)），在其正東方向相距的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備．為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且，．定義：四邊形及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”，設(shè)．則“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值為________15．?dāng)?shù)據(jù)6，8，9，10，7的方差為______16．已知函數(shù)集合，若A中有且僅有4個(gè)元素，則滿足條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線上點(diǎn)都在軸及其右側(cè)，且曲線上的任一點(diǎn)到軸的距離比它到圓的圓心的距離小1（1）求曲線的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線交曲線于點(diǎn)，若,求面積18．（12分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)是2，且離心率為（1）求橢圓E的方程；（2）已知，若直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，是否存在常數(shù)，使恒成立，并說明理由19．（12分）已知命題實(shí)數(shù)滿足不等式，命題實(shí)數(shù)滿足不等式.（1）當(dāng)時(shí)，命題，均為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）年世界人工智能大會(huì)已于年月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務(wù)小組受大會(huì)展示項(xiàng)目的啟發(fā)，會(huì)后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示，、兩個(gè)信號(hào)源相距米，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與直線的夾角為，機(jī)器貓?jiān)谥本€上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡始終滿足：接收到點(diǎn)的信號(hào)比接收到點(diǎn)的信號(hào)晚秒（注：信號(hào)每秒傳播米）.在時(shí)刻時(shí)，測(cè)得機(jī)器鼠距離點(diǎn)為米.（1）以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求時(shí)刻時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；（2）游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線不超過米的區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)？21．（12分）已知橢圓（）的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，直線（）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.證明：是等腰直角三角形.22．（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求，再求模即可.【詳解】由題設(shè)，，故2.故選：D2、C【解析】根據(jù)雙曲線和直線的對(duì)稱性，結(jié)合矩形的性質(zhì)、雙曲線的定義、離心率公式、余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，過原點(diǎn)傾斜角為的直線為，設(shè)M、N分別在第三、第一象限，由雙曲線和直線的對(duì)稱性可知：M、N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而MF1NF1，因此四邊形是矩形，而，所以是等邊三角形，故，因此，因?yàn)?，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性質(zhì)可知：，由雙曲線的定義可知：，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用矩形的性質(zhì)、雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵.3、A【解析】①由正方形的性質(zhì)，可以延伸正方形，再利用兩條平行線確定一個(gè)平面即可；②一組鄰邊與對(duì)角面夾角相等，在平面內(nèi)繞P轉(zhuǎn)動(dòng)，可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示，在側(cè)面正方形和再延伸一個(gè)正方形和，則平面和在同一個(gè)平面內(nèi)，所以過點(diǎn)P，有且只有一條直線l，即與a、b相交，故①為真命題；取中點(diǎn)N，連PN，由于a、b為異面直線，a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面，平面，，所以平面，所以與與b的夾角都為.又因?yàn)槠矫妫耘c與b的夾角都為，而，所以過點(diǎn)P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與b的夾角都為，同理可得，過點(diǎn)P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與的夾角都為；故②為真命題.故選：A4、D【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)之間距離的關(guān)系化簡(jiǎn)即可.【詳解】定圓的圓心，半徑為2，設(shè)動(dòng)圓圓心P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），動(dòng)圓的半徑為r，d為動(dòng)圓圓心到直線的距離，即r，則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，所以，化簡(jiǎn)得：∴動(dòng)圓圓心軌跡方程為故選：D5、C【解析】首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到數(shù)列的周期性，即可得解；【詳解】解：因?yàn)榍遥?，，，所以是周期為的周期?shù)列，所以，故選：C6、C【解析】根據(jù)集合交集和補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，可得，所以.故選：C.7、D【解析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是.故選：D8、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等，當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)不在一條直線上時(shí)，可得；當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.9、D【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，求得，利用拋物線定義，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為聯(lián)立可得，其，設(shè)坐標(biāo)為，顯然，則，，根據(jù)拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考察拋物線中的最值問題，涉及到韋達(dá)定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關(guān)系，以及拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，是解決問題的關(guān)鍵.10、B【解析】根據(jù)橢圓的定義求解【詳解】由橢圓方程知，所以，故選：B11、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接代入即可求值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.12、A【解析】首先求得點(diǎn)的軌跡，再利用圓心距與半徑的關(guān)系，即可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】由條件可知，，化簡(jiǎn)為：，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以兩圓相交.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、人##300【解析】根據(jù)人數(shù)占比直接計(jì)算即可.【詳解】該校女生共有人.故答案為：人.14、【解析】由題意，根據(jù)余弦定理得的值，則四邊形的面積表示為，再代入面積公式化簡(jiǎn)為三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可.【詳解】在中，，，，，，則（其中），當(dāng)時(shí)，取最大值，所以“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積表示為，代入面積公式后化簡(jiǎn)得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.15、2【解析】首先求出數(shù)據(jù)的平均值，再應(yīng)用方差公式求它們的方差.【詳解】由題設(shè)，平均值為，∴方差.故答案為：2.16、32【解析】作出的圖像，由時(shí)，不等式成立，所以，判斷出符合條件的非零整數(shù)根只有三個(gè)，即等價(jià)于時(shí)，；時(shí)，；利用數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行求解.【詳解】作出的圖像如圖所示：因?yàn)闀r(shí)，不等式成立，所以，符合條件的非零整數(shù)根只有三個(gè).由可得：時(shí)，；時(shí)，；所以在y軸左側(cè)，的圖像都在的下方；在y軸右側(cè)，的圖像都在的上方；而，，，，.平移直線，由圖像可知：當(dāng)時(shí)，集合A中除了0只含有1，2，3，符合題意，此時(shí)整數(shù)a可以?。?23，-22，-21……-9.一共15個(gè)；當(dāng)時(shí)，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合題意.當(dāng)時(shí)，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合題意，此時(shí)整數(shù)a可以?。?，6，7……20一共16個(gè).所以整數(shù)a的值一共有15+1+16=32（個(gè)）.故答案為：32【點(diǎn)睛】分離參數(shù)法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題是轉(zhuǎn)化為，分別做出和的圖像，觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．用數(shù)形結(jié)合法解決零點(diǎn)問題常有以下幾種類型：(1)零點(diǎn)個(gè)數(shù)：幾個(gè)零點(diǎn)；(2)幾個(gè)零點(diǎn)的和；(3)幾個(gè)零點(diǎn)的積.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意直接列或根據(jù)拋物線的定義求軌跡方程（2）待定系數(shù)法設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義，利用韋達(dá)定理解出直線方程，再求面積【小問1詳解】解法1：配方法可得圓的方程為，即圓的圓心為，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，化簡(jiǎn)得，曲線的方程為解法2：配方可得圓的方程為，即圓的圓心為，由題意可得上任意一點(diǎn)到直線的距離等于該點(diǎn)到圓心的距離，由拋物線的定義可得知，點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，所以曲線的方程為【小問2詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由，可得的斜率存在，設(shè)為，，過的直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，可得，，由拋物線的定義可得，解得，即直線的方程為，可得到直線的距離為，，所以的面積為18、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】(1)利用離心率，短軸長(zhǎng)求出a，b，即可求得橢圓方程.(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算判定，由M為線段AB中點(diǎn)即可確定存在常數(shù)推理作答.【小問1詳解】因橢圓的短軸長(zhǎng)是2，則，而離心率，解得，所以橢圓方程為.【小問2詳解】存在常數(shù)，使恒成立，

由消去y并整理得：，設(shè)，，則，，又，，，則有，而線段AB的中點(diǎn)為M，于是得，并且有所以存在常數(shù)，使恒成立.19、（1）；（2）.【解析】（1）分別求出命題，均為真命題時(shí)的取值范圍，再求交集即可.（2）利用集合間的關(guān)系求解即可.【詳解】實(shí)數(shù)滿足不等式，即命題實(shí)數(shù)滿足不等式，即（1）當(dāng)時(shí)，命題，均為真命題，則且則實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）若是的充分不必要條件，則是的真子集則且解得故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】判斷充分條件與必要條件應(yīng)注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題；對(duì)于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.20、（1）；（2）沒有.【解析】（1）設(shè)機(jī)器鼠位置為點(diǎn)，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，分析取值，即得解雙曲線的方程，由可得P點(diǎn)坐標(biāo).（2）轉(zhuǎn)化機(jī)器鼠與直線最近的距離為與直線平行的直線與雙曲線相切時(shí)，平行線間的距離，設(shè)的方程為，與雙曲線聯(lián)立，求出的值，再利用平行線間的距離公式，即得解【詳解】（1）設(shè)機(jī)器鼠位置為點(diǎn)，、，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)其方程為：（，），則、、，則的軌跡方程為：（），時(shí)刻時(shí)，，即，可得機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)為；（2）由題意，直線，設(shè)直線的平行線的方程為，聯(lián)立，可得：，，解得，又，∴，∴，即：與雙曲線的右支相切，切點(diǎn)即為雙曲線右支上距離最近的點(diǎn)，此時(shí)與的距離為，即機(jī)器鼠距離最小的距離為，則機(jī)器鼠保持目前運(yùn)動(dòng)軌跡不變，沒有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).21、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）由題知，進(jìn)而結(jié)合求解即可得答案；（2）設(shè)點(diǎn)，，進(jìn)而聯(lián)立并結(jié)合題意得或，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理得，再的中點(diǎn)為，證明，進(jìn)而得，，故，綜合即可得證明.【小問1詳解】解：因?yàn)闄E圓的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)為所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn),所以聯(lián)立方程得，所以有，解得，因?yàn)椋驶蛟O(shè)，所以設(shè)向量，所以，所以，即，設(shè)的中點(diǎn)為，則所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)