云南省彝良縣民族中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題含解析

云南省彝良縣民族中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某研究所計(jì)劃建設(shè)n個(gè)實(shí)驗(yàn)室，從第1實(shí)驗(yàn)室到第n實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用依次構(gòu)成等差數(shù)列，已知第7實(shí)驗(yàn)室比第2實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用多15萬元，第3實(shí)驗(yàn)室和第6實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用共為61萬元.現(xiàn)在總共有建設(shè)費(fèi)用438萬元，則該研究所最多可以建設(shè)的實(shí)驗(yàn)室個(gè)數(shù)是（）A.10 B.11C.12 D.132．過拋物線的焦點(diǎn)引斜率為1的直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，則（）A.4 B.6C.8 D.103．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．已知直線與垂直，則為（）A.2 B.C.-2 D.5．已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.6．一組“城市平安建設(shè)”的滿意度測評(píng)結(jié)果，，…，的平均數(shù)為116分，則，，…，，116的（）A.平均數(shù)變小 B.平均數(shù)不變C.標(biāo)準(zhǔn)差不變 D.標(biāo)準(zhǔn)差變大7．已知圓M與直線與都相切，且圓心在上，則圓M的方程為（）A. B.C. D.8．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．9．圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A. B.C. D.10．在直三棱柱中，側(cè)面是邊長為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.11．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，頭部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若該金杖從頭到尾每一尺重量構(gòu)成等差數(shù)列，其中重量為，則的值為（）A.4 B.12C.15 D.1812．閱讀如圖所示程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.30二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______14．若過點(diǎn)和的直線與直線平行，則_______15．如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，分別為的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)到平面的距離為__________.16．已知圓C，直線l：，若圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1.則b的取值范圍為___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的長軸長是6，離心率是.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.18．（12分）已知橢圓的短軸長是2，且離心率為（1）求橢圓E的方程；（2）已知，若直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，是否存在常數(shù)，使恒成立，并說明理由19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積，數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且焦點(diǎn)在軸上，拋物線：，若拋物線的焦點(diǎn)在橢圓上，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率存在且不為零的直線滿足：與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、，與直線相交于點(diǎn).若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足：，，且存在點(diǎn)，使得恒為定值，求的值.21．（12分）已知函數(shù)，若函數(shù)處取得極值（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值22．（10分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，列出方程組，求出的值，進(jìn)而求出令根據(jù)題意令，即可求解.【詳解】設(shè)第n實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)費(fèi)用為萬元，其中，則為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則由題意可得，解得，則.令，即，解得，又，所以，，所以最多可以建設(shè)12個(gè)實(shí)驗(yàn)室.故選：C.2、C【解析】由題意可得，的方程為，設(shè)、，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，利用拋物線的定義計(jì)算即可求解.【詳解】由上可得：焦點(diǎn)，直線的方程為，設(shè)，，由，可得，則有，由拋物線的定義可得：，故選：C.3、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線的離心率，根據(jù)離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線的漸近線方程為故選：C4、A【解析】利用一般式中直線垂直的系數(shù)關(guān)系列式求解.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，故選：A.5、A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)椋呻p曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.6、B【解析】利用平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)直接求出，，…，，116的平均數(shù)、方差從而可得答案.【詳解】，，…，的平均數(shù)為116分，則，，…，，116的平均數(shù)為設(shè)，，…，的方差為則所以則，，…，，116的方差為所以，，…，，116的平均數(shù)不變，方差變小.標(biāo)準(zhǔn)差變小.故選：B7、A【解析】由題可設(shè)，結(jié)合條件可得，即求.【詳解】∵圓心在上，∴可設(shè)圓心，又圓M與直線與都相切，∴，解得，∴，即圓的半徑為1，圓M的方程為.故選：A.8、D【解析】由題可知：，，，故選；D9、A【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線，其方程為，即；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問題；處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，往往結(jié)合平面幾何知識(shí)（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過兩圓的圓心的直線方程）可減小運(yùn)算量.10、C【解析】分析得出，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因?yàn)?，，則，，因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.11、C【解析】先求出公差，再利用公式可求總重量.【詳解】設(shè)頭部一尺重量為，其后每尺重量依次為，由題設(shè)有，，故公差為.故中間一尺的重量為所以這5項(xiàng)和為.故選：C.12、C【解析】模擬運(yùn)行程序，直到得出輸出的S的值.【詳解】運(yùn)行程序框圖，，，；，，；，，；，輸出.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)如圖所示：根據(jù)平移知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最小值為5.故答案為：5.14、【解析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)和的直線與直線平行，所以，解得，故答案為：315、【解析】利用轉(zhuǎn)化法，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積等積性進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，因?yàn)槠矫?，所以，，于是有，底面為矩形，所以有，，因?yàn)槠矫?，所以，于是有：，由余弦定理可知：cos∠PEC=所以，因此，，因?yàn)?，所以，故答案為?6、【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】圓C：的半徑為3，圓心坐標(biāo)為：設(shè)圓心到直線l：的距離為，要想圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，只需，即，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長短半軸長即可代入計(jì)算作答.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、向量數(shù)量積運(yùn)算，推理計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意，，半焦距為c，則離心率，即，有，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，則，，，，，，要使為定值，必有，解得，此時(shí)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性不妨令，，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的任意直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，恒有，所以存在滿足條件.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值18、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】(1)利用離心率，短軸長求出a，b，即可求得橢圓方程.(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算判定，由M為線段AB中點(diǎn)即可確定存在常數(shù)推理作答.【小問1詳解】因橢圓的短軸長是2，則，而離心率，解得，所以橢圓方程為.【小問2詳解】存在常數(shù)，使恒成立，

由消去y并整理得：，設(shè)，，則，，又，，，則有，而線段AB的中點(diǎn)為M，于是得，并且有所以存在常數(shù)，使恒成立.19、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得.【小問1詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，所以，兩式相除得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，即，所以數(shù)列的公差為，所以，所以，【小問2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.20、（1）（2）【解析】（1）先求得橢圓的，代入公式即可求得橢圓的方程；（2）以設(shè)而不求的方法得到兩根和，再由條件，得到四邊形為平行四邊形，并以向量方式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再與恒為定值進(jìn)行聯(lián)系，即可求得的值.【小問1詳解】由條件可設(shè)橢圓：，因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)為，所以，解得因?yàn)闄E圓離心率為，所以，則，故橢圓的方程為【小問2詳解】設(shè)直線：，，，把直線的方程代入橢圓的方程，可得，所以，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，得，即，得由在橢圓上可得，，即因?yàn)?，又所以，所以將代入得，所以，?【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。21、（1）；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由即可解得；（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可以求出函數(shù)的最值.【詳解】解：（1