5.4.1+正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第五章三角函數(shù)5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像教學(xué)目標(biāo)

掌握五點(diǎn)作圖法畫正余弦函數(shù)圖象（重點(diǎn)）01

能用五點(diǎn)作圖法做出簡單的正弦曲線和余弦曲線（重點(diǎn)）02

理解正弦曲線和余弦曲線之間的聯(lián)系（難點(diǎn)）03正余弦函數(shù)的圖象學(xué)科素養(yǎng)

了解利用單位圓正弦函數(shù)的概念畫正弦曲線的方法.;

數(shù)學(xué)抽象

掌握"五點(diǎn)法"畫正弦曲線和余弦曲線的步驟和方法直觀想象

理解正弦曲線與余弦曲線之間的聯(lián)系；邏輯推理

數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)建模正余弦函數(shù)的圖象01知識(shí)回顧RetrospectiveKnowledge誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號(hào)看象限誘導(dǎo)公式02知識(shí)精講

ExquisiteKnowledge

前面給出了三角函數(shù)的定義，如何從定義出發(fā)研究這個(gè)函數(shù)呢?類比已有的研究方法，可以先畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象的特征，獲得函數(shù)性質(zhì)的一些結(jié)論．我們知道，單位圓上任意一點(diǎn)在圓周上旋轉(zhuǎn)一周就回到原來的位置，這一現(xiàn)象可以用公式sin(x±2π)=sinx，cos(x±2π)=cosx來表示．這說明，自變量每增加(減少)2π，正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn).利用這一特性，就可以簡化正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究過程．下面先研究函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象，從畫函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象開始.BAMx0T(x0,sinx0

)x0y0xy

在[0,2π]上取一個(gè)值x0，如何利用正弦函數(shù)的定義，確定正弦函數(shù)值sinx0，并畫出點(diǎn)T(x0，sinx0)？

若把x軸上從0到2π這一段分成12等份，使x的值分別為0，，，，…，2π，它們所對應(yīng)的角的終邊與單位圓的交點(diǎn)將圓周12等分，再按上述畫點(diǎn)T(x0，sinx0)的方法，就可畫出自變量取這些值時(shí)對應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn)．

利用信息技術(shù)取到足夠多的點(diǎn)，再將這些點(diǎn)用光滑的曲線連起來，就可以得到比較精確的函數(shù)y=sinx，x∈[0,2π]的圖像．正余弦函數(shù)的圖象

由誘導(dǎo)公式一，可知函數(shù)y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的圖象與y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象形狀完全一致．因此將函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象不斷向左、向右平移(每次移動(dòng)2π個(gè)單位長度)，就可以得到正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象．正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．x6yo--12345-2-3-41

根據(jù)函數(shù)y＝sinx,x∈[0,2π]的圖象，你能想象正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象嗎？依據(jù)是什么？請你畫出該函數(shù)的圖象．在函數(shù)y＝sinx，[0，2π]的圖象上，以下五個(gè)點(diǎn)：在確定圖象形狀時(shí)起關(guān)鍵作用．

因此，在精確度要求不高時(shí)，通常描出這五個(gè)點(diǎn)，按照正弦函數(shù)圖象的走勢，并用光滑的曲線將之連接就可以畫出函數(shù)的簡圖，稱之為“五點(diǎn)法”．正余弦函數(shù)的圖象

在確定正弦函數(shù)的圖象形狀時(shí)，應(yīng)該抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？

?五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):與x軸的交點(diǎn)圖像的最高點(diǎn)圖像的最低點(diǎn)正余弦函數(shù)的圖象

由三角函數(shù)的定義可知，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一對有密切關(guān)聯(lián)的函數(shù)．下面我們利用這種關(guān)系，借助正弦函數(shù)圖象畫出余弦函數(shù)的圖象．

誘導(dǎo)公式表明，余弦函數(shù)和正弦函數(shù)可以互化．所以我們可以通過對正弦函數(shù)圖象進(jìn)行變換得到余弦函數(shù)的圖象．正余弦函數(shù)的圖象

你認(rèn)為應(yīng)該利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的哪些關(guān)系，通過怎樣的圖形變換，才能將正弦函數(shù)的圖象變換為余弦函數(shù)的圖象？對于函數(shù)

，由誘導(dǎo)公式，得到：而函數(shù)的圖像可以通過正弦函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度得到．所以，將正弦函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，就得到余弦函數(shù)的圖像，如圖．正余弦函數(shù)的圖象x1-1yo

正弦函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，就得到函數(shù)，即的圖象(紅色)．

余弦函數(shù)的圖像叫做余弦曲線，它和正弦曲線有相同形狀“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．正余弦函數(shù)的圖象xcosx

類似于用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)圖象，如何做出余弦函數(shù)的簡圖？余弦函數(shù)在區(qū)間[－π，π]上相應(yīng)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是哪些？請將它們的坐標(biāo)填入下表，然后作出y＝cosx，x∈[－π，π]的簡圖．xcosxo1-1xy（1）y＝1＋sinx，x∈［0，2π］；

（2）y＝－cosx，x∈［0，2π］．xsinx1＋sinx【例1】先用五點(diǎn)法畫出下列函數(shù)的圖象，然后再說明如何經(jīng)過圖象變換得到下列函數(shù)的圖象：【解析】（1）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：0π2π010－1012101正余弦函數(shù)的圖象xyoy＝1＋sinx，x∈［0，2π］y=sinx，x[0,2]【解析】如圖，描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來．

將函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象向上平移一個(gè)單位長度，可得y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的圖象；正余弦函數(shù)的圖象（1）y＝1＋sinx，x∈[0，2π]；

（2）y＝－cosx，x∈[0，2π]．【解析】（2）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：xcosx－cosx【例1】先用五點(diǎn)法畫出下列函數(shù)的圖象，然后再說明如何經(jīng)過圖象變換得到下列函數(shù)的圖象：0π2π10－101－1010－1正余弦函數(shù)的圖象將函數(shù)y＝cosx，x∈［0，2π］的圖象關(guān)于x軸對稱可得．【解析】如圖，描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來．

y＝cosx正余弦函數(shù)的圖象03拓展提升ExpansionAndPromotion【例3】思考函數(shù)y＝sinx和函數(shù)y＝|sinx|的關(guān)系，并畫出函數(shù)y＝|sinx|的圖像.【解析】把函數(shù)y＝sinx的圖像，保持x軸上方部分的圖像不變，將在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，就可以得到函數(shù)的圖像(藍(lán)色部分)，如圖.

04歸納總