2015年廣東省梅州市中考真題數(shù)學(xué)試題（解析版）

初中學(xué)業(yè)水平考試試題PAGEPAGE12015年廣東省梅州市中考數(shù)學(xué)真題一、選擇題：每小題3分，共21分，每小題給出四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的.1．（3分）的相反數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．（3分）如圖所示幾何體的左視圖為（）A． B． C． D．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．x+x2=x3 B．x2?x3=x6 C．（x3）2=x6 D．x9÷x3=x34．（3分）下列說法正確的是（）A．?dāng)S一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動后，6點(diǎn)朝上是必然事件B．甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績平均數(shù)相同，方差分別是S甲2=0.4，S乙2=0.6，則甲的射擊成績較穩(wěn)定C．“明天降雨的概率為”，表示明天有半天都在降雨D．了解一批電視機(jī)的使用壽命，適合用普查的方式5．（3分）下列命題正確的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形B．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形C．對角線相等的四邊形是矩形D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形6．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切線，A為切點(diǎn)，BC經(jīng)過圓心．若∠B=20°，則∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°7．（3分）對于二次函數(shù)y=﹣x2+2x．有下列四個(gè)結(jié)論：①它的對稱軸是直線x=1；②設(shè)y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，則當(dāng)x2＞x1時(shí)，有y2＞y1；③它的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（0，0）和（2，0）；④當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y＞0．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：每小題3分，共24分．8．（3分）函數(shù)y=﹣1中，自變量x的取值范圍是．9．（3分）分解因式：m3﹣m=．10．（3分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2014年我市常住人口約為4320000人，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．11．（3分）一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組有4名女生，6名男生，現(xiàn)要從這10名學(xué)生中選出一人擔(dān)任組長，則女生當(dāng)選組長的概率是．12．（3分）已知：△ABC中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，若以A，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則需要增加的一個(gè)條件是．（寫出一個(gè)即可）13．（3分）如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，則?ABCD的周長等于．14．（3分）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF，若AB=4，BC=2，那么線段EF的長為．15．（3分）若=+，對任意自然數(shù)n都成立，則a=，b=；計(jì)算：m=+++…+=．三、解答下列各題：本大題有9小題，共75分，解答應(yīng)寫文字說明、推理過程或演算步驟.16．（7分）在“全民讀書月”活動中，小明調(diào)查了班級里40名同學(xué)本學(xué)期計(jì)劃購買課外書的花費(fèi)情況，并將結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（直接填寫結(jié)果）（1）本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是；（2）這次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；（3）若該校共有學(xué)生1000人，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)本學(xué)期計(jì)劃購買課外書花費(fèi)50元的學(xué)生有人．17．（7分）計(jì)算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．18．（7分）已知a+b=﹣，求代數(shù)式（a﹣1）2+b（2a+b）+2a的值．19．（7分）已知關(guān)于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根．20．（9分）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：①以A為圓心，AB長為半徑畫??；②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D；③連接BD，與AC交于點(diǎn)E，連接AD，CD．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長．21．（9分）九年級數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，得到某種運(yùn)動服每月的銷量與售價(jià)的相關(guān)信息如下表：售價(jià)（元/件）100110120130…月銷量（件）200180160140…已知該運(yùn)動服的進(jìn)價(jià)為每件60元，設(shè)售價(jià)為x元．（1）請用含x的式子表示：①銷售該運(yùn)動服每件的利潤是（）元；②月銷量是（）件；（直接寫出結(jié)果）（2）設(shè)銷售該運(yùn)動服的月利潤為y元，那么售價(jià)為多少時(shí)，當(dāng)月的利潤最大，最大利潤是多少？22．（9分）如圖，直線l經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（0，3）．（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；（2）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線l相切時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．23．（10分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P．（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，線段BD1的長等于，線段CE1的長等于；（直接填寫結(jié)果）（2）如圖2，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）①設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則線段PM的長為；②點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為．（直接填寫結(jié)果）24．（10分）如圖，過原點(diǎn)的直線y=k1x和y=k2x與反比例函數(shù)y=的圖象分別交于兩點(diǎn)A，C和B，D，連接AB，BC，CD，DA．（1）四邊形ABCD一定是四邊形；（直接填寫結(jié)果）（2）四邊形ABCD可能是矩形嗎？若可能，試求此時(shí)k1，k2之間的關(guān)系式；若不能，說明理由；（3）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函數(shù)y=圖象上的任意兩點(diǎn)，a=，b=，試判斷a，b的大小關(guān)系，并說明理由．

——★參*考*答*案★——一、選擇題：每小題3分，共21分，每小題給出四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的.1．D『解析』的相反數(shù)是﹣．故選D．2．A『解析』從左邊看第一層一個(gè)小正方形，第二層一個(gè)小正方形，第三層一個(gè)小正方形，故選：A．3．C『解析』A.原式不能合并，錯(cuò)誤；B.原式=x5，錯(cuò)誤；C.原式=x6，正確；D.原式=x6，錯(cuò)誤．故選C．4．B『解析』A.擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動后，6點(diǎn)朝上是可能事件，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績平均數(shù)相同，方差分別是S甲2=0.4，S乙2=0.6，則甲的射擊成績較穩(wěn)定，此選項(xiàng)正確；C.“明天降雨的概率為”，表示明天有可能降雨，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.解一批電視機(jī)的使用壽命，適合用抽查的方式，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B．5．D『解析』A.對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.對角線相等的四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故本選項(xiàng)正確．故選D．6．D『解析』如圖，連接OA，∵AC是⊙O的切線，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=20°，∴∠AOC=40°，∴∠C=50°．故選：D．7．C『解析』y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的對稱軸是直線x=1，正確；②∵直線x=1兩旁部分增減性不一樣，∴設(shè)y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，則當(dāng)x2＞x1時(shí)，有y2＞y1或y2＜y1，錯(cuò)誤；③當(dāng)y=0，則x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，故它的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（0，0）和（2，0），正確；④∵a=﹣1＜0，∴拋物線開口向下，∵它的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（0，0）和（2，0），∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y＞0，正確．故選：C．二、填空題：每小題3分，共24分．8．x≥0『解析』根據(jù)題意，得x≥0．故答案為：x≥0．9．m（m+1）（m﹣1）『解析』m3﹣m，=m（m2﹣1），=m（m+1）（m﹣1）．10．4.32×106『解析』4320000=4.32×106，故答案為：4.32×106．11．『解析』女生當(dāng)選組長的概率是：4÷10=．故答案為：．12．AF=AC或∠AFE=∠ABC『解析』分兩種情況：①∵△AEF∽△ABC，∴AE：AB=AF：AC，即1：2=AF：AC，∴AF=AC；②∵△AFE∽△ACB，∴∠AFE=∠ABC．∴要使以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則AF=AC或∠AFE=∠ABC．故答案為：AF=AC或∠AFE=∠ABC．13．20『解析』∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴?ABCD的周長=4+4+6+6=20，故答案為：20．14．『解析』如圖所示，AC交EF于點(diǎn)O，由勾股定理知AC=2，又∵折疊矩形使C與A重合時(shí)有EF⊥AC，則Rt△AOE∽Rt△ABC，∴，∴OE=故EF=2OE=．故答案為：．15．﹣『解析』=+=，可得2n（a+b）+a﹣b=1，即，解得：a=，b=﹣；m=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，故答案為：；﹣；．三、解答下列各題：本大題有9小題，共75分，解答應(yīng)寫文字說明、推理過程或演算步驟.16．解：（1）眾數(shù)是：30元，故答案是：30元；（2）中位數(shù)是：50元，故答案是：50元；（3）調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：6+12+10+8+4=40（人），則估計(jì)本學(xué)期計(jì)劃購買課外書花費(fèi)50元的學(xué)生有：1000×=250（人）．故答案是：250．17．解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．18．解：原式=a2﹣2a+1+2ab+b2+2a=（a+b）2+1，把a(bǔ)+b=﹣代入得：原式=2+1=3．19．解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范圍是a＜3；（2）設(shè)方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，解得：，則a的值是﹣1，該方程的另一根為﹣3．20．（1）證明：在△ABC與△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）解：設(shè)BE=x，∵∠BAC=30°，∴∠ABE=60°，∴AE=tan60°?x=x，∵△ABC≌△ADC，∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，∵∠BCA=45°，∴∠BCA=∠DCA=45°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CE=BE=x，∴x+x=4，∴x=2﹣2，∴BE=2﹣2．21．解：（1）①銷售該運(yùn)動服每件的利潤是（x﹣60）元；②設(shè)月銷量W與x的關(guān)系式為w=kx+b，由題意得，，解得，，∴W=﹣2x+400；（2）由題意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）=﹣2x2+520x﹣24000=﹣2（x﹣130）2+9800，∴售價(jià)為130元時(shí)，當(dāng)月的利潤最大，最大利潤是9800元．22．解：方法一：（1）∵A（4，0），B（0，3），∴直線l的解析式為：y=﹣x+3；（2）作MH⊥AB，垂足為H，∵M(jìn)在y軸上，∴設(shè)M（0，t），2S△ABM=BM×AO=AB×MH，∴|3﹣t|×4=5×2，∴t1=，t2=，∴M1（0，），M2（0，）．方法二：（1）∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（0，3），∴設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，∴∴．∴直線l的解析式為：y=﹣x+3；（2）設(shè)M坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），即OM=m，若M在B點(diǎn)下邊時(shí)，BM=3﹣m，∵∠MBN′=∠ABO，∠MN′B=∠BOA=90°，∴△MBN′∽△ABO，∴=，即=，解得：m=，此時(shí)M（0，）；若M在B點(diǎn)上邊時(shí)，BM=m﹣3，同理△BMN∽△BAO，則有=，即=，解得：m=．此時(shí)M（0，）．23．解：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴AE=AD=2，∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），∴當(dāng)α=90°時(shí)，AE1=2，∠E1AE=90°，∴BD1==2，E1C==2；故答案為：2，2；（2）證明：當(dāng)α=135°時(shí)，如圖2，∵Rt△AD1E是由Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到，∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，在△D1AB和△E1AC中∵，∴△D1AB≌△E1AC（SAS），∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，記直線BD1與AC交于點(diǎn)F，∴∠BFA=∠CFP，∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD1⊥CE1；（3）解：①如圖2，∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中點(diǎn)為M，∴PM=BC，∴PM==2，故答案為：2；②如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G，∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時(shí)，直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則BD1==2，故∠ABP=30°，則PB=2+2，故點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+．故答案為：1+．24．解：（1）∵直線y=k1x和y=k2x與反比例函數(shù)y=的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；故答案為：平行；（2）解：∵正比例函