2.2 二次函數(shù)y=ax²的圖像與性質(zhì)（B卷能力拓展） -2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊同步分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

2.2二次函數(shù)y=ax2的圖像與性質(zhì)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________B（能力拓展）一、選擇題1．（2021·山西九年級二模）已知點Ax1,y1，Bx2A．y1<y2C．y1<y2【答案】A【分析】結(jié)合題意，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】∵點Ax1,y1，Bx2∴y<0∴選項B、C錯誤；∵x1∴y∴選項D錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，從而完成求解．2．（2021·洛陽外國語學(xué)校九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+m的圖象經(jīng)過邊長為的正方形ABCD的三個頂點A、B、C，則m的值為（）A． B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出點A的坐標(biāo)即可．【詳解】∵四邊形是正方形，∴是等腰直角三角形，在等腰中，，則，即．代入二次函數(shù)y＝﹣x2+m得，，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和求二次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是熟練運用正方形的性質(zhì)求出點的坐標(biāo)．3．（2021·山東東營九年級期末）如圖，平行于x軸的直線AC分別交函數(shù)y1＝x2（x≥0）與y2＝x2（x≥0）的圖象于B，C兩點，過點C作y軸的平行線交y1＝x2（x≥0）的圖象于點D，直線DE∥AC，交y2＝x2（x≥0）的圖象于點E，則＝（）A． B． C． D．3﹣【答案】B【分析】設(shè)A點坐標(biāo)為（0，a），利用兩個函數(shù)解析式求出點B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)CD∥y軸，利用y1的解析式求出D點的坐標(biāo)，然后利用y2求出點E的坐標(biāo)，從而得到DE的長度，然后求出比值即可得解．【詳解】解：設(shè)A點坐標(biāo)為（0，a），（a＞0），則x2＝a，解得x＝，∴點B（，a），把y＝a代入y2＝x2（x≥0）得x2＝a，則x＝，∴點C（，a），∵CD∥y軸，∴點D的橫坐標(biāo)與點C的橫坐標(biāo)相同，為，∴y1＝（）2＝3a，∴點D的坐標(biāo)為（，3a），∵DE∥AC，∴點E的縱坐標(biāo)為3a，∴x2＝3a，∴x＝，∴點E的坐標(biāo)為（，3a），∴DE＝﹣，．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)平行于x軸的點的縱坐標(biāo)相同，平行于y軸的點的橫坐標(biāo)相同，用點A的縱坐標(biāo)表示出各點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·內(nèi)蒙古東勝九年級二模）如圖1，在平行四邊形中，，；動點P以每秒1個單位的速度從點A出發(fā)沿線段運動到點B，同時動點Q以每秒4個單位的速度從點B出發(fā)，沿折線運動到點D．圖2是點P、Q運動時，的面積S隨運動時間t變化關(guān)系的圖象，則a的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意計算得；再結(jié)合題意，得當(dāng)動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)二次函數(shù)關(guān)系；當(dāng)動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)一次函數(shù)關(guān)系，從而得a對應(yīng)動點Q和點C重合；通過計算，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，得時到達點B∵動點P以每秒1個單位的速度從點A出發(fā)沿線段運動到點B∴∴結(jié)合題意，當(dāng)動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)二次函數(shù)關(guān)系當(dāng)動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)一次函數(shù)關(guān)系∴a對應(yīng)動點Q和點C重合，如下圖：∵動點Q以每秒4個單位的速度從點B出發(fā)∴∴∴∴如圖，過點A作，交于點M∵，∴,∴∴，即故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形、二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．5．（山東淄博中考真題）如圖，Rt△OAB的頂點A（－2，4）在拋物線上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：∵Rt△OAB的頂點A（﹣2，4）在拋物線上，∴，解得：a=1∴拋物線解析式為y=x2．∵Rt△OAB的頂點A（﹣2，4），∴OB=OD=2．∵Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，∴CD∥x軸．∴點D和點P的縱坐標(biāo)均為2．∴令y=2，得2=x2，解得：．∵點P在第一象限，∴點P的坐標(biāo)為：（，2）．故選C．二、填空題6．（2021·重慶巴蜀中學(xué)九年級月考）如圖，正方形OABC的面積為18，OC與y軸的正半軸的夾角為15°，點B在拋物線y＝ax2（a＞0）的圖象上，則a的值為______．【答案】【分析】連接OB，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角線及正方形的面積為18可得∠BOC=45°，OB=6，過點B作BD⊥y軸于D，然后求出∠BOD=60°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得OD=OB，再利用勾股定理列式求出BD，從而得到點B的坐標(biāo)，再把點B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可．【詳解】解：如圖，連接OB，過點B作BD⊥y軸于D，∵正方形的面積為18，∴∠BOC=45°，OB=6，∵OC與y軸正半軸的夾角為15°，∴∠BOD=45°+15°=60°，∴∠OBD=30°，∴OD=OB=3，∴BD=，∴點B的坐標(biāo)為（，3），∵點B在拋物線y=ax2（a＞0）的圖象上，∴a（）2=3，解得a=．故答案為：．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟記正方形性質(zhì)并求出點B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·吉林長春市九年級一模）如圖，正方形的頂點在拋物線的第一象限的圖象上，若點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于6，則對角線的長為______．【答案】【分析】根據(jù)點B在拋物線y=x2的第一象限部分，可設(shè)B點坐標(biāo)為（x，x2），則x＞0．根據(jù)B點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于6，列出方程x+x2=6，解方程求出x的值，再求出OB的長即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OB，如圖，∵正方形OABC的頂點B在拋物線y=x2的第一象限部分，∴可設(shè)B點坐標(biāo)為（x，x2），且x＞0．∵B點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和等于6，∴x+x2=6，解得x1=2，x2=-3（不合題意舍去），∴B（2，4），∴OB2=22+42=20，∴∵四邊形OABC是正方形，∴．故答案為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，求出B點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·湖北黃岡九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上，過點A作y軸的垂線，交拋物線于另一點B，點C、D在線段AB上，分別過點C、D作x軸的垂線交拋物線于E、F兩點．當(dāng)四邊形CDFE為正方形時，線段CD的長為_________．

【答案】【分析】點代入拋物線中求出解析式為，再設(shè)CD=2x，進而求得E點坐標(biāo)為(x,4-2x)，代入中即可求解．【詳解】解：將點代入拋物線中，解得，∴拋物線解析式為，設(shè)CD、EF分別與軸交于點M和點N，

當(dāng)四邊形CDFE為正方形時，設(shè)CD=2x，則CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，此時E點坐標(biāo)為(x,4-2x)，代入拋物線中，得到：，解得，(負(fù)值舍去)，∴，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)及正方形邊長相等等知識點，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．9．（2021·黑龍江齊齊哈爾中考真題）如圖，拋物線的解析式為，點的坐標(biāo)為，連接：過A1作，分別交y軸、拋物線于點、：過作，分別交y軸、拋物線于點、；過作，分別交y軸、拋物線于點、…：按照如此規(guī)律進行下去，則點（n為正整數(shù)）的坐標(biāo)是_________．【答案】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法分別求出直線、、、……的解析式，即可求得、P2、P3……的坐標(biāo)，得出規(guī)律，從而求得點Pn的坐標(biāo)．【詳解】解：∵點的坐標(biāo)為，∴直線的解析式為，∵，∴，∴，設(shè)的解析式為，∴，解得，所以直線的解析式為，解，求得，∵，設(shè)的解析式為，∴，∴，∴，解求得，設(shè)的解析式為，∴，∴，∴，．．．∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2021·河北天津九年級月考）如圖，平行于軸的直線分別交拋物線與于、兩點過點作軸的平行線交于點的，直線，交于點，則______．【答案】##【分析】設(shè)，根據(jù)已知求得：，，，，，，，，從而，，即可得．【詳解】解：設(shè)，∵平行于軸，∴點的縱坐標(biāo)與點的縱坐標(biāo)相同，都是又∵點在上，在中，令得（負(fù)值舍去），，，，又∵點的縱坐標(biāo)與點的縱坐標(biāo)相同，都是，點在上，∵∴（負(fù)值舍去），即有，∵平行于軸，∴點的橫坐標(biāo)與點的橫坐標(biāo)相同，都是∴在中，令得，即有，，∵平行于軸，∴點的縱坐標(biāo)與點的縱坐標(biāo)相同，都是∵點在上∴在中，令得（負(fù)值舍去），，，，，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點坐標(biāo)的特征，用含的代數(shù)式表示和的長度是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2021·浙江湖州九年級月考）已知，如圖：直線過x軸上的點，且與拋物線相交于B，C兩點，點B的坐標(biāo)為．（1）求直線和拋物線的函數(shù)解析式；（2）如果拋物線上有一點D，使得，求點D的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）【分析】（1）設(shè)直線的解析式為，根據(jù)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)函數(shù)的解析式即可，將點的坐標(biāo)代入即可求得的值，進而求得拋物線的函數(shù)解析式；（2）聯(lián)立直線和拋物線解析式，求得的坐標(biāo)，進而求得，根據(jù)題意，進而求得的坐標(biāo)，【詳解】（1）設(shè)直線的解析式為，解得直線的解析式為，拋物線過點拋物線的函數(shù)解析式為；（2）直線與拋物線相交于B，C兩點，，即解得當(dāng)時，直線令，得所以當(dāng)時，【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．12．（2019·廣西環(huán)江九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，……，和，，，……，均在拋物線上，點，，，……，在軸的正半軸上，若四邊形，四邊形，四邊形，……，四邊形都是正方形.（1）分別寫出點，，的坐標(biāo)；（2）分別求出正方形和正方形的面積.【答案】（1）(1，1)，(0，2)，(-1，1)（2），．【分析】（1）直接根據(jù)圖象以及二次函數(shù)的解析式求出點的坐標(biāo)即可；（2）表示出正方形所在的直線解析式，求出每一個正方形的面積，找出規(guī)律即可；【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形且關(guān)于y軸對稱，∴∠=45°，又∵點在二次函數(shù)圖象上，設(shè)(x，x)，∴且x＞0，∴x=1即點(1，1)，∴=，，∴(1，1)，(0，2)，(-1，1)；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，與軸的夾角為45°，故直線解析式為，∵(0，2)，求得直線的解析式為，進而求得(2，4)，(-2，4)，(0，6)，同時求得(0，12)，于是，，，正方形面積=，正方形面積=，正方形面積=，正方形的面積=；【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，正方形的性質(zhì)，表示出正方形所在的直線解析式，求出每一個正方形的面積，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵；13．（2021·江蘇泰州市九年級一模）如圖，點是軸負(fù)半軸上的一點，經(jīng)過點作直線，與拋物線交于、兩點（點在點的左側(cè)），連接、，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．（1）若點的坐標(biāo)為，求點的坐標(biāo)；（2）若，，求的值，并證明：；（3）若，問“”這一結(jié)論還成立嗎？試說明理由．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）成立，理由見解析．【分析】（1）先將A點坐標(biāo)代入解析式求得a，然后再求C即可；（2）設(shè)、然后再求直線AC的解析式，再結(jié)合AC2：BC2=1:4列式求得a，再確定C點坐標(biāo)，然確定A、B的坐標(biāo)，最后運用勾股定理逆定理解答即可；（3）由可得，進而求得a，然再確定C點坐標(biāo)，然確定A、B的坐標(biāo)，最后運用勾股定理逆定理解答即可．【詳解】解：（1）當(dāng)A（-4，-2）時，A在上，∴，即a=-∴；（2）設(shè)、∴A（-1，a），C（0，a），設(shè)AC的解析式為y=kx+b則，解得∴AC的解析式為∵AC：BC=1:2∴∴∴B（-2m，4am2），A（2，4a）