《弧度制》教材分析

高中數(shù)學精選資源2/2《弧度制》教材分析一、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)框圖二、重點、難點重點：弧度制，弧度與角度的互換.難點：弧度的概念，用集合表示終邊相同的角.三、教科書編寫意圖及教學建議周期性變化現(xiàn)象隨處可見，圓周運動是研究這種現(xiàn)象的變化規(guī)律的理想載體.教科書單刀直入地提出問題：如何刻畫圓周上一點的位置變化？通過分析，得出“可以借助角的大小變化刻畫”.容易發(fā)現(xiàn)，在點的運動過程中，角的范圍將超出～，就有必要推廣角的概念.利用幾何直觀有利于抽象概念的理解.教科書充分利用單位圓，引導學生了解任意角及弧度制概念，同時，還利用直角坐標系建立象限角的概念，使任意角的討論有了一個統(tǒng)一的“標準”.教學中，要特別注意利用單位圓、直角坐標系等工具，引導學生數(shù)形結(jié)合地認識與刻畫周期現(xiàn)象.使用信息技術(shù)可以動態(tài)地表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程，有利于學生觀察角的大小變化與終邊位置的關系，因此要注意用信息技術(shù)幫助學生了解任意角和弧度的概念.弧度制教科書首先通過類比引出用不同的單位制度量角的問題，在初中已有的弧長公式的基礎上，先討論弧長與弧所在圓的半徑的關系，給出用弧長與半徑的比值度量圓心角的弧度制；然后通過探究得到弧度與角度的換算方法，再通過具體例子，鞏固所學概念和公式，進一步認識引入弧度制的必要性；最后強調(diào)了引進弧度制后，角的集合與實數(shù)集形成-一對應關系，為學習任意角的三角函數(shù)奠定基礎，與以往教科書比較，這里加強了用初中已學的弧長與半徑的關系解釋弧度制定義的合理性.1.為什么要引入弧度制第三章中學習了用集合語言和對應關系描述的函數(shù)定義，函數(shù)是兩個實數(shù)集之間的對應關系，而實數(shù)采用的進位制是十進制.為了研究周期性變化現(xiàn)象，我們需要建立任意角的三角函數(shù).若沿用銳角三角函數(shù)的做法，角的度量采用六十進制的角度制，則與函數(shù)定義的要求不符.因此，我們需要引入新的度量制，它必須是十進制，它的單位應與實數(shù)的單位一致，從而使三角函數(shù)的自變量、函數(shù)值都是實數(shù).也許有人認為，把上述因素作為引入弧度制的理由并不充分，因為就像銳角三角函數(shù)一樣，在角度制下研究三角函數(shù)也是可以的.我們要指出的是：盡管在角度制下也可以定義三角函數(shù)概念，但在后續(xù)研究中，自變量與函數(shù)值的度量單位不統(tǒng)一會引起很多麻煩.另外，周期性變化現(xiàn)象中的自變量不一定是角，像簡諧振動、潮汐現(xiàn)象等的自變量是時間，所以，引進弧度制可以使三角函數(shù)在刻畫現(xiàn)實世界中的周期現(xiàn)象時變得更好用.在解決實際問題時，有時需要同時應用幾種不同類型的函數(shù)，有時需要進行自變量的值與函數(shù)值的運算，例如圓的漸開線的參數(shù)方程：它實際上是由兩個函數(shù)和確定的，其中是圓的半徑，是圓心角.如果只有角度制，那么，的意義就不得而知了.事實上，隨著數(shù)學學習的不斷深入，弧度制的必要性會越來越顯著.例如微積分中的重要極限，如果自變量是六十進制的角度，那就沒有意義了.總之，從滿足函數(shù)定義的要求、三角函數(shù)的可用性，以及有利于數(shù)學的后續(xù)發(fā)展需要等方面看，引入弧度制都有基本的重要性.2.弧度制的引入弧度制的本質(zhì)是用線段長度度量角的大小，具體而言就是定義弧長等于半徑的圓心角的大小為1弧度.教科書首先通過類比長度、質(zhì)量的不同度量制，使學生體會一個量可以用不同的單位制來度量，而且不同的單位制各有優(yōu)點；然后，利用初中學過的弧長公式，探索圓心角、所對弧長與半徑之間的關系，發(fā)現(xiàn)圓心角所對的弧長與半徑的比值隨的確定而唯一確定，從而使學生體會利用圓的弧長與半徑的關系度量圓心角的合理性；最后給出定義、幾何表示和代數(shù)表示.這里，弧度制的建構(gòu)過程是背景（引入弧度制的必要性、如何定義是合理的）—定義—表示.其中，必要性只能有限涉及；合理性從“如此度量角的大小是唯一確定的”給出，這里可以提示學生注意數(shù)學中度量一個量的大小的方法；“表示”給出了幾何表示和代數(shù)表示，即借助單位圓給出1弧度角的大小示意圖，半徑為的圓中弧長為的弧所對的圓心角為弧度，則，的正負由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定.3.弧度制的教學理解1弧度的含義，即把握弧度制的單位，是了解弧度制并能進行弧度與角度換算的關鍵.在引進弧度制后，可以引導學生利用單位圓中的圓心角與所對弧的關系理解弧度制的本質(zhì).角的范圍推廣后，圓心角與弧的概念也隨之推廣：圓心角有正角、零角、負角，相應地，弧也就有正弧、零弧、負弧；圓心角、弧的正負與角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向相對應，逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負.在直角坐標系中，如果以單位圓與軸的交點（1，0）為起點，圓心角的終邊與單位圓的交點為終點，那么圓心角與弧是一一對應的.這樣，在單位圓中，用圓心角所對應弧的大小（注意，弧的大小的取值范圍是）刻畫角大小的完備性和純粹性兼?zhèn)?對于用等于半徑的弧所對的圓心角作為弧度制的度量單位的合理性，教學中可以利用信息技術(shù)幫助學生認識.如圖5-4（1），先用信息技術(shù)畫一個圓，并在圓上截取等于半徑，再作射線，便得到一個圓心角，這個角就是1弧度的角.按此方法再畫一個與上述圓半徑不同的圓（圖5-4（2）），同樣可得到另一個圓心角.測量，.圖5-4另外，分別在圖5-4的兩個圓內(nèi)取兩個同樣大小的圓心角，可測得它們所對的弧與各自半徑的比值相等.這就說明，當圓心角一定時，它所對弧長與半徑的比值是一定的，與所取圓的半徑大小無關.因此，用圓心角所對弧長與半徑的比值來度量這個圓心角是合理的.這樣，教學時就可以引入單位圓，讓學生直觀地認識到，在單位圓中可以用大小為1的弧所對的圓心角作為角的度量單位.引入弧度制后，應與角度制進行對比，使學生明確：第一，弧度制以線段長度來度量角，角度制是“以角量角”；第二，弧度制是十進制，角度制是六十進制；第三，1弧度是等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，而的角是周角的；第四，無論是以“弧度”還是以“度”為單位，角的大小都是一個與半徑大小無關的定值，由此借助單位圓理解角的度量制很方便；等等.教學中要注意防止出現(xiàn)角的兩種度量制混用的現(xiàn)象.寫出與角終邊相同的角（連同角在內(nèi)）時，要根據(jù)角的單位來決定后一項的單位.也就是說，兩項所采用的單位制必須一致，寫成或是不規(guī)范的.4.弧度與角度的換算（1）換算問題的提出關于單位換算，學生在義務教育階段學過同一度量制下兩種單位的換算，例如米、厘米、毫米之間的換算，平方米、平方厘米的換算，克、千克、噸的換算，度、分、秒的換算等；兩種不同度量制的換算，只學過公頃與平方米的換算.弧度與角度的換算是兩種不同度量制之間的換算，教科書通過探究欄目提出問題：“角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間應該可以換算.如何換算呢？”教學時要提醒學生注意這里的問題是如何發(fā)現(xiàn)的.實際上這是在告訴學生，同一個數(shù)學對象從不同角度去刻畫它，所得到的結(jié)論一定有內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)這種內(nèi)在聯(lián)系是數(shù)學研究的一個基本任務.（2）探究換算公式，關鍵是找到聯(lián)系兩種度量制的橋梁.教學時可以問學生：“你認為聯(lián)系兩種度量制的橋梁是什么？”因為單位圓的周長是，所以周角的弧度數(shù)是；學生已知周角的度數(shù)是360，于是就有rad.接下來只要單位化就可以得出換算公式了，這里可以利用計算器.教學時可以引導學生通過寫出，，，，，，，等特殊角的弧度數(shù)，來熟悉度角度與弧度的換算公式，并要讓學生記住.當然，記住rad是最重要的.（3）角的度量制，除了角度制、弧度制外，軍事上還常用密位制.密位制的單位是“密位".1密位就是圓周的所對的圓心角（或這條?。┑拇笮?因為密位，所以密位，1密位.密位的寫法是在百位上的數(shù)與十位上的數(shù)之間畫一條短線，例如7密位寫成0-07，讀作“零，零七”，478密位寫成4-78，讀作“四，七八”，密位不屬于我國法定計量單位，所以不必在課內(nèi)介紹.5.例題（1）例1和例2都是角度與弧度的換算.教學時要提醒學生注意，“度”的單位“”“”“”不能省略，“孤度”的單位“rad”先不要省略，并且不要用“rad”的中文名稱“弧度”作為單位寫在數(shù)據(jù)的后面.這兩道例題在角度與弧度轉(zhuǎn)化之后，都使用計算器進行了計算.在學生熟悉了弧度與角度的換算后，一般可以讓學生直接用計算器來完成換算.例2后面列出的對應表，不僅要求學生會換算，而且要讓學生