專(zhuān)項(xiàng)11-角度計(jì)算中的經(jīng)典模型-重難點(diǎn)題型

角度計(jì)算中的經(jīng)典模型-重難點(diǎn)題型【題型1雙垂直模型】【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.【例1】（鐵西區(qū)期中）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，求證：∠ACD＝∠B；（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判斷△ADE的形狀？并說(shuō)明理由？（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，點(diǎn)C，B，E在同一直線(xiàn)上，若AB⊥BD，AB＝BD，則CE與AC，DE有什么等量關(guān)系，并證明．【變式1-1】（鹽城期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)，連接AF交CE于點(diǎn)G，∠CGF＝∠CFG．求證：AF平分∠BAC．【變式1-2】（豐城市期中）（1）如圖①，△ABC是銳角三角形，高BD，CE相交于點(diǎn)H，找出∠BHC和∠A之間存在何種等量關(guān)系；并證明你的結(jié)論（2）如圖②，若△ABC是鈍角三角形，∠A＞90°，高BD，CE所在的直線(xiàn)相交于點(diǎn)H，請(qǐng)你判斷此時(shí)（1）中的等量關(guān)系是否仍然成立？并說(shuō)明理由．【變式1-3】（廬江縣期末）如圖1，AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數(shù)是（直接寫(xiě)出答案即可）；（3）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交∠BAE的平分線(xiàn)AF于點(diǎn)G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內(nèi)角和等于180°）【題型2A字模型】【條件】△ADE與△ABC.【結(jié)論】∠AED+∠ADE=∠B+C.【證明】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證.【例2】（資中縣月考）如圖所示，△ABC中，∠C＝75°，若沿圖中虛線(xiàn)截去∠C，則∠1+∠2等于多少度？【變式2-1】（長(zhǎng)沙縣校級(jí)期中）如圖，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)．【變式2-2】（常州期中）如圖，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上．連接DE，∠DEB＝42°．（1）求∠A的度數(shù)；（2）判斷DE與AC之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式2-3】（新野縣期末）舊知新意：我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究：（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？初步應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CDE，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，則∠2﹣∠C＝；（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫(xiě)出答案．【題型38字模型】【條件】AD、BC相交于點(diǎn)O.【結(jié)論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)【證明】在△ABO中，由內(nèi)角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對(duì)頂角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.【例3】（慶陽(yáng)期中）【問(wèn)題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)明∠A+∠B＝∠C+∠D；【問(wèn)題探究】（2）如圖2，直線(xiàn)AP平分△BAO的外角∠FAD，CP平分△OCD的外角∠BCE，若∠ABC＝32°，∠ADC＝22°，求∠P的度數(shù)．【變式3-1】（江陰市校級(jí)月考）如圖1，已知線(xiàn)段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱(chēng)為“8字型”．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如圖2，若∠CAB和∠BDC的平分線(xiàn)AP和DP相交于點(diǎn)P，與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N．①以線(xiàn)段AC為邊的“8字型”有個(gè)，以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有個(gè)；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)；③若角平分線(xiàn)中角的關(guān)系改為“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，試探究∠P與∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．【變式3-2】（侯馬市期末）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，試說(shuō)明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如圖②，AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數(shù)．（3）如圖（3），直線(xiàn)AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是；（4）如圖（4），直線(xiàn)AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是．【變式3-3】（高新區(qū)校級(jí)月考）（1）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問(wèn)題：（①）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數(shù)．（②）如圖3，直線(xiàn)AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，請(qǐng)猜想∠P的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（③）如圖4中，直線(xiàn)AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需說(shuō)明理由．【題型4飛鏢模型】【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.【結(jié)論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個(gè)內(nèi)角和)【證明】如上右圖，連接AD并延長(zhǎng)到E，則：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質(zhì)為兩個(gè)三角形外角和定理證明.【例4】（汝陽(yáng)縣期末）閱讀下列材料，然后解答后面的問(wèn)題．（1）定義：把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線(xiàn)的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．如圖1，四邊形ABCD為凹四邊形．（2）性質(zhì)探究：請(qǐng)完成凹四邊形一個(gè)性質(zhì)的證明．已知：如圖2，四邊形ABCD是凹四邊形．求證：∠BCD＝∠B+∠A+∠D．（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，在凹四邊形ABCD中，∠BAD的角平分線(xiàn)與∠BCD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，若∠ADC＝140°，∠AEC＝102°，則∠B＝°．【變式4-1】（白銀期末）（1）探究：如圖1，求證：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）應(yīng)用：如圖2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度數(shù)．【變式4-2】（黃石港區(qū)校級(jí)期中）如圖，（1）求證：∠ABC＝∠A+∠C+∠ADC；（2）若∠A＝52°，∠C＝20°，BE、DE分別平分∠ABC和∠ADC，交于點(diǎn)E，求∠E的度數(shù)．【變式4-3】（福山區(qū)期中）直線(xiàn)在同一平面內(nèi)有平行和相交兩種位置關(guān)系，線(xiàn)段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關(guān)系，今天我們就來(lái)探究一下這些奇妙的圖形吧！【問(wèn)題探究】（1）如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；（2）將圖1變形為圖2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的結(jié)果如何？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）將圖1變形為圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果如何？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【變式拓展】（4）將圖3變形為圖4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是．【題型5風(fēng)箏模型】【條件】四邊形ABPC，分別延長(zhǎng)AB、AC于點(diǎn)D、E，如上左圖所示.【結(jié)論】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【證明】如上右圖，連接AP，則：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得證.【例5】（灌云縣期中）如圖，將△ABC的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)一點(diǎn)（1）若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠C的度數(shù)；（2）試通過(guò)第（1）問(wèn)，直接寫(xiě)出∠1、∠2、∠C三者之間的關(guān)系．【變式5-1】（路北區(qū)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上一點(diǎn)，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上．若∠A＝55°，求∠1+∠2+∠3+∠4四個(gè)角和的度數(shù)？【變式5-2】（遷安市期末）動(dòng)手操作：一個(gè)三角形的紙片ABC，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)Aˊ處．觀察猜想（1）如圖1，若∠A＝40°，則∠1+∠2＝°；若∠A＝55°，則∠1+∠2＝°；若∠A＝n°，則∠1+∠2＝°．探索證明：（2）利用圖1，探索∠1、∠2與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展應(yīng)用（3）如圖2，把△ABC折疊后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中結(jié)論求∠BA′C的度數(shù)．【變式5-3】（高郵市校級(jí)期末）直角△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，如圖1所示，且∠α＝50°，則∠1+∠2＝；（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)P在斜邊BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（CE＜CD），請(qǐng)寫(xiě)出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系式．【題型6兩內(nèi)角角平分線(xiàn)模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，且相交于點(diǎn)I.【結(jié)論】【證明】∵BI是∠ABC平分線(xiàn)，∴∵CI是∠ACB平分線(xiàn)，∴由A→B→I→C→A的飛鏢模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.【例6】（興化市月考）如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BD、CE相交于點(diǎn)P．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，則∠A＝°；（2）若∠A＝80°，試求∠BPC的度數(shù)；（3）試直接寫(xiě)出∠DPC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系：∠DPC＝．【變式6-1】（硚口區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AP平分∠BAC交BD于點(diǎn)P，∠BDC＝58°，求∠BAP的度數(shù)．【變式6-2】（浦東新區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、B分別在射線(xiàn)ON、OM上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線(xiàn)，BC延長(zhǎng)線(xiàn)交ON于點(diǎn)G．（1）若∠MON＝60°，則∠ACB＝°；若∠MON＝90°，則∠ACB＝°；（2）若∠MON＝n°．請(qǐng)求出∠ACG的度數(shù)；（用含n的代數(shù)式表示）【變式6-3】（南崗區(qū)期末）已知在△ABC中，∠A＝100°，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部連接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD．（1）如圖1，求∠BDC的度數(shù)；（2）如圖2，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)F，若∠AED﹣∠AFD＝12°，求∠ACF的度數(shù)．【題型7兩外角角平分線(xiàn)模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線(xiàn)，且相交于點(diǎn)O.【結(jié)論】.【證明】∵BO是∠EBC平分線(xiàn)，∴，∵CO是∠FCB平分線(xiàn)，∴由△BCO中內(nèi)角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===.【例7】（浦東新區(qū)期末）已知：如圖，△ABC的兩個(gè)外角的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度數(shù)．【變式7-1】（鄂倫春自治旗月考）如圖，△ABC中，分別延長(zhǎng)△ABC的邊AB、AC到D、E，∠CBD與∠BCE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在寫(xiě)作業(yè)的時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：（1）若∠A＝60°，則∠P＝°；（2）若∠A＝40°，則∠P＝°；（3）若∠A＝100°，則∠P＝°；（4）請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納∠A與∠P的關(guān)系．【變式7-2】（石城縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，連接CE，且CE交AD于點(diǎn)F，∠EAD和∠ECD的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P．（1）①直接寫(xiě)出AB和CD的位置關(guān)系：；②求證：12∠EAD+12∠ECD（2）若∠B＝70°，∠E＝60°，求∠APC的度數(shù)；（3）若∠APC＝m°，∠EFD＝n°，請(qǐng)你探究m和n之間的數(shù)量關(guān)系．【變式7-3】（東坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如圖1，若α+β＝120°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；（2）如圖1，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD＝30°，請(qǐng)寫(xiě)出α、β所滿(mǎn)足的等量關(guān)系式；（3）如圖2，若α＝β，判斷BE、DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【題型8內(nèi)外角角平分線(xiàn)模型】【條件】△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線(xiàn)，且相交于點(diǎn)P.【結(jié)論】【證明】∵BP是∠ABC平分線(xiàn)，∴∵CP是∠ACE平分線(xiàn)，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①對(duì)①式兩邊同時(shí)除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比較②③式子可知：.==.【例8】（靖江市校級(jí)月考）如圖①，△ABC中，BD平分∠ABC，且與△ABC的外角∠ACE的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，求∠D的度數(shù)；（2）若把∠A截去，得到四邊形MNCB，如圖②，猜想∠D、∠M、∠N的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式8-1】（興化市期中）（1）思考探究：如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線(xiàn)與外角∠ACD的平分線(xiàn)相交于P點(diǎn)，已知∠ABC＝70°，∠ACD＝100°．求∠A和∠P的度數(shù)；（2）類(lèi)比探究：如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線(xiàn)與外角∠ACD的平分線(xiàn)相交于P點(diǎn)，已知∠P＝n°．求∠A的度數(shù)（用含n的式子表示）；（3）拓展遷移：已知，在四邊形ABCD中，四邊形ABCD的內(nèi)角∠ABC與外角∠DCE的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)相交于點(diǎn)P，∠P＝n°，請(qǐng)畫(huà)出圖形；并探究出∠A+∠D的度數(shù)（用含n的式子表示）．【變式8-2】（平輿縣期中）已知：如圖，∠MON＝90°，點(diǎn)A、B分別在射線(xiàn)OM、ON上移動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC平分∠MAB，AC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與∠ABO的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D．（1）當(dāng)∠ABO＝70°時(shí)、∠D的度數(shù)是多少？（2）隨著點(diǎn)A、B的移動(dòng)，試問(wèn)∠D的大小是否變化？請(qǐng)說(shuō)出你的理由．【變式8-3】（惠安縣期末）在△ABC中，∠ACB的平分線(xiàn)CD與外角∠EAC的平分線(xiàn)AF所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)D．（1）如圖1，若∠B＝60°，求∠D的度數(shù)；（2）如圖2，把△ACD沿AC翻折，點(diǎn)D落在D′處．①當(dāng)AD′⊥AD時(shí)，求∠BAC的度數(shù)；②試確定∠DAD′與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

角度計(jì)算中的經(jīng)典模型-重難點(diǎn)題型（解析版）【題型1雙垂直模型】【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.【例1】（鐵西區(qū)期中）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，求證：∠ACD＝∠B；（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判斷△ADE的形狀？并說(shuō)明理由？（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，點(diǎn)C，B，E在同一直線(xiàn)上，若AB⊥BD，AB＝BD，則CE與AC，DE有什么等量關(guān)系，并證明．【解題思路】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可；（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可．【解答過(guò)程】證明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）△ADE是直角三角形．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A為公共角，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴△ADE是直角三角形；（3）CE＝AC+DE，理由如下：∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠A＝∠DBE，∠ABC＝∠BDE，在△ABC與△BDE中∠A=∠DBEAB=BD∴△ABC≌△BDE（ASA），∴CB＝DE，BE＝AC，∴CE＝BC+BE＝AC+DE；【變式1-1】（鹽城期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)，連接AF交CE于點(diǎn)G，∠CGF＝∠CFG．求證：AF平分∠BAC．【解題思路】由三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合垂直的定義可求得∠CAF+∠CFG＝90°，∠AGE+∠FAE＝90°，進(jìn)而可得∠CAF＝∠FAE，即可證明結(jié)論．【解答過(guò)程】解：∵∠ACB＝90°，∠CAF+∠ACB+∠CFG＝180°，∴∠CAF+∠CFG＝90°，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵∠AEC+∠AGE+∠FAE＝180°，∴∠AGE+∠FAE＝90°，∵∠AGE＝∠CGF＝∠CFG，∴∠CAF＝∠FAE，∴AF平分∠BAC．【變式1-2】（豐城市期中）（1）如圖①，△ABC是銳角三角形，高BD，CE相交于點(diǎn)H，找出∠BHC和∠A之間存在何種等量關(guān)系；并證明你的結(jié)論（2）如圖②，若△ABC是鈍角三角形，∠A＞90°，高BD，CE所在的直線(xiàn)相交于點(diǎn)H，請(qǐng)你判斷此時(shí)（1）中的等量關(guān)系是否仍然成立？并說(shuō)明理由．【解題思路】（1）根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，可得∠BHC與∠EHD的關(guān)系，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理，可得答案；（2）根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，可得∠BHC與∠EHD的關(guān)系，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理，可得答案．【解答過(guò)程】解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵∠A+∠ADB+∠AEC+∠DHE＝360°，∴∠DHE＝360﹣（∠A+∠ADB+∠AEC）＝360﹣（∠A+90+90）＝180﹣∠A∴∠BHC＝∠DHE＝180﹣∠A（2）∵BD⊥AC，∴∠ADH＝90°∵CE⊥AB，∴∠AEH＝90°∵∠DAE+∠ADH+∠AEH+∠BHC＝360∴∠BHC＝360﹣（∠DAE+∠ADH+∠AEH）＝360﹣（∠DAE+90+90）＝180﹣∠DAE∴∠BHC＝180﹣∠A【變式1-3】（廬江縣期末）如圖1，AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數(shù)是（直接寫(xiě)出答案即可）；（3）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交∠BAE的平分線(xiàn)AF于點(diǎn)G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內(nèi)角和等于180°）【解題思路】（1）根據(jù)垂直得到直角三角形，由直角三角形兩銳角互余利用等量代換證明結(jié)論；（2）通過(guò)作FM∥AB∥CD可證∠DFA＝∠CDF+∠BAF，因?yàn)椤螩DE+∠BAE＝90°和角平分線(xiàn)的定義可得∠F=12（∠CDE+∠（3）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得∠CEH＝∠DEH＝∠GEB＝∠BAG＝∠EAF，由于∠B＝90°，∠BAE+∠BEA＝90°，在△AEG中，可證得∠EAG+∠AEG＝90°，從而證得結(jié)論．【解答過(guò)程】（1）證明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED．（2）解：答案為45°；過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB，如圖，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∵∠C＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAE+∠CDE＝90°，∵AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，∴∠CDF=12∠CDE，∠BAF=1∴∠CDF+∠BAF=12（∠BAE+∠∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．（3）∵EH平分∠CED，∴∠CEH=12∠∴∠BEG=12∠∵AF平分∠BAE，∴∠BAG=12∠∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠BEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF．【題型2A字模型】【條件】△ADE與△ABC.【結(jié)論】∠AED+∠ADE=∠B+C.【證明】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證.【例2】（資中縣月考）如圖所示，△ABC中，∠C＝75°，若沿圖中虛線(xiàn)截去∠C，則∠1+∠2等于多少度？【解題思路】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠B，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出即可．【解答過(guò)程】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C，∵∠C＝75°，∴∠A+∠B＝180°﹣75°＝105°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B），∴∠1+∠2＝360°﹣105°＝255°．【變式2-1】（長(zhǎng)沙縣校級(jí)期中）如圖，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)．【解題思路】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理分別求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后結(jié)果．【解答過(guò)程】解：∵∠A＝40°，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝180°﹣∠A＝140°．∴∠1+∠2+∠3+∠4＝280°．【變式2-2】（常州期中）如圖，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上．連接DE，∠DEB＝42°．（1）求∠A的度數(shù)；（2）判斷DE與AC之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解題思路】（1）設(shè)∠C的度數(shù)為x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列出方程解答即可；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的判定解答即可．【解答過(guò)程】解：（1）設(shè)∠C的度數(shù)為x°，則∠A的度數(shù)為（x+28）°，△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝68°，可得：x+x+28+68＝180，解得：x＝42，所以∠C＝42°，∠A＝70°，（2）∵∠DEB＝42°，∠C＝42°，∴∠DEB＝∠C，∴DE∥AC．【變式2-3】（新野縣期末）舊知新意：我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？嘗試探究：（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？初步應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CDE，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，則∠2﹣∠C＝；（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫(xiě)出答案．【解題思路】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論整理計(jì)算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；【解答過(guò)程】解：（1）∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，∴130°+∠2＝180°+∠C，∴∠2﹣∠C＝50°；（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）=1在△PBC中，∠P＝180°?12（180°+∠A）＝90°?1即∠P＝90°?12∠故答案為：50°，∠P＝90°?12∠【題型38字模型】【條件】AD、BC相交于點(diǎn)O.【結(jié)論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)【證明】在△ABO中，由內(nèi)角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對(duì)頂角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.【例3】（慶陽(yáng)期中）【問(wèn)題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)明∠A+∠B＝∠C+∠D；【問(wèn)題探究】（2）如圖2，直線(xiàn)AP平分△BAO的外角∠FAD，CP平分△OCD的外角∠BCE，若∠ABC＝32°，∠ADC＝22°，求∠P的度數(shù)．【解題思路】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明．（2）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，推出2∠P＝∠B+∠D，即可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】（1）證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖2，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，∴2∠P＝∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）【變式3-1】（江陰市校級(jí)月考）如圖1，已知線(xiàn)段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱(chēng)為“8字型”．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如圖2，若∠CAB和∠BDC的平分線(xiàn)AP和DP相交于點(diǎn)P，與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N．①以線(xiàn)段AC為邊的“8字型”有個(gè)，以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有個(gè)；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)；③若角平分線(xiàn)中角的關(guān)系改為“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，試探究∠P與∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．【解題思路】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）①以線(xiàn)段AC為邊的”8字型“有3個(gè)，以點(diǎn)O為交點(diǎn)的”8字型“有4個(gè)；②根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再由”8字型“得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P=12（∠C+∠B），最后把∠C＝120°，∠③與②的證明方法一樣得到3∠P＝∠B+2∠C．【解答過(guò)程】解：（1）證明：在圖1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）解：①3；4；故答案為：3，4；②以M為交點(diǎn)”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N為交點(diǎn)”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P=12（∠B+∠C）③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP，∴∠BAP=23∠CAB，∠BDP=2以M為交點(diǎn)”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N為交點(diǎn)”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP=13（∠CDB﹣∠∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP=23（∠CDB﹣∠∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B．∴3∠P＝∠B+2∠C．【變式3-2】（侯馬市期末）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，試說(shuō)明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如圖②，AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數(shù)．（3）如圖（3），直線(xiàn)AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是；（4）如圖（4），直線(xiàn)AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是．【解題思路】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得證；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出整理即可得解；（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出等式并整理即可得解；（4）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，然后整理即可得解．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）∵AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的結(jié)論得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴∠P＝26°．（3）∵直線(xiàn)AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+12（∠B+∠故答案為：∠P＝90°+12（∠B+∠（4）∵直線(xiàn)AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠FAP＝∠PAO，∠PCE＝∠PCB，在四邊形APCB中，（180°﹣∠FAP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，在四邊形APCD中，∠PAD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，∴∠P＝180°?12（∠B+∠故答案為：∠P＝180°?12（∠B+∠【變式3-3】（高新區(qū)校級(jí)月考）（1）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問(wèn)題：（①）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數(shù)．（②）如圖3，直線(xiàn)AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，請(qǐng)猜想∠P的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（③）如圖4中，直線(xiàn)AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需說(shuō)明理由．【解題思路】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得證；（2）①根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出整理即可得解；②表示出∠PAD和∠PCD，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出等式并整理即可得解；③根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，然后整理即可得解．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）①如圖2：∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）的結(jié)論得：∠P+∠3＝∠2+∠B①，∠P+∠1＝∠4+∠D②，①+②，得2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠B+∠D，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴∠P=12（∠B+∠②∠P＝26°．如圖3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）的結(jié)論得：∠PAD+∠P＝∠PCD+∠D①，∠PAB+∠P＝∠PCB+∠B②，∵∠PAB＝∠1，∠1＝∠2，∴∠PAB＝∠2，∴∠2+∠P＝∠3+∠B③，①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P＝∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°＝∠B+∠D+180°，∴∠P=12（∠B+∠③如圖4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B＝（180°﹣2∠4）+∠D，在四邊形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，在四邊形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，∴2∠P+∠B+∠D＝360°，∴∠P＝180°?12（∠B+∠【題型4飛鏢模型】【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.【結(jié)論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個(gè)內(nèi)角和)【證明】如上右圖，連接AD并延長(zhǎng)到E，則：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質(zhì)為兩個(gè)三角形外角和定理證明.【例4】（汝陽(yáng)縣期末）閱讀下列材料，然后解答后面的問(wèn)題．（1）定義：把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線(xiàn)的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．如圖1，四邊形ABCD為凹四邊形．（2）性質(zhì)探究：請(qǐng)完成凹四邊形一個(gè)性質(zhì)的證明．已知：如圖2，四邊形ABCD是凹四邊形．求證：∠BCD＝∠B+∠A+∠D．（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，在凹四邊形ABCD中，∠BAD的角平分線(xiàn)與∠BCD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，若∠ADC＝140°，∠AEC＝102°，則∠B＝°．【解題思路】（2）延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)M，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（3）利用（2）中結(jié)論如圖3中，設(shè)∠B＝x，∠ECB＝∠ECD＝α，∠EAD＝∠EAB＝β，列出方程組即可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】解：（2）延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)M∵∠BCD是△CDM的外角，∴∠BCD＝∠CMD+∠D，同理∠CMD是△ABM的外角，∴∠CMD＝∠A+∠B，∴∠BCD＝∠A+∠B+∠D；（3）如圖3中，設(shè)∠B＝x，∠ECB＝∠ECD＝α，∠EAD＝∠EAB＝β．由（2）可知，102+α+β=140x+α+β=102解得x＝64°故答案為64．【變式4-1】（白銀期末）（1）探究：如圖1，求證：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）應(yīng)用：如圖2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度數(shù)．【解題思路】（1）作射線(xiàn)OA，由三角形外角的性質(zhì)可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，兩式相加即可得出結(jié)論；（2）連接AD，由（1）的結(jié)論可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，兩式相加即可得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：（1）作射線(xiàn)OA，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）連接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．【變式4-2】（黃石港區(qū)校級(jí)期中）如圖，（1）求證：∠ABC＝∠A+∠C+∠ADC；（2）若∠A＝52°，∠C＝20°，BE、DE分別平分∠ABC和∠ADC，交于點(diǎn)E，求∠E的度數(shù)．【解題思路】（1）連接DB，延長(zhǎng)DB到T．利用三角形的外角的性質(zhì)證明即可．（2）利用（1）中結(jié)論，以及“8字型”的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【解答過(guò)程】（1）證明：連接DB，延長(zhǎng)DB到T．∵∠ABT＝∠A+∠ADB，∠CBT＝∠C+∠CDB，∴∠ABC＝∠ABT+∠CBT＝∠A+∠ADB+∠CDB+∠C＝∠A+∠ADC+∠C．（2）解：設(shè)DE交AB于點(diǎn)O．∵∠ABC＝∠A+∠ADC+∠C，BE平分∠ABC，∴∠OBE=12∠ABC=12（∠A+∠∵∠A+∠ADO＝∠E+∠OBE，∴∠E＝∠A+∠ADO﹣∠OBE，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=12∠∴∠E＝∠A+12∠ADC?12（∠A+∠ADC+∠C）=1【變式4-3】（福山區(qū)期中）直線(xiàn)在同一平面內(nèi)有平行和相交兩種位置關(guān)系，線(xiàn)段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關(guān)系，今天我們就來(lái)探究一下這些奇妙的圖形吧！【問(wèn)題探究】（1）如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；（2）將圖1變形為圖2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的結(jié)果如何？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（3）將圖1變形為圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果如何？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【變式拓展】（4）將圖3變形為圖4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是．【解題思路】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°即可求解．（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，即可證明此結(jié)論．（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，即可證明此結(jié)論；（4）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，即可得到結(jié)論．【解答過(guò)程】（1）解：如圖1，∵∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠B+∠D＝180°，故答案為：180°；（2）證明：∵∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，∠ABE+∠DBE+∠DBC＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°∴將圖①變形成圖②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然為180°；（3）證明：∵在△FGD中，∠DFG+∠FGD+∠D＝180°，∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，∴將圖①變形成圖③，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E還為180°；（4）解：∵∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∴∠B+∠D+∠F＝160°，∵∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，∴∠A+∠C+∠E＝160°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝320°，故答案為：320°．【題型5風(fēng)箏模型】【條件】四邊形ABPC，分別延長(zhǎng)AB、AC于點(diǎn)D、E，如上左圖所示.【結(jié)論】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【證明】如上右圖，連接AP，則：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得證.【例5】（灌云縣期中）如圖，將△ABC的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)一點(diǎn)（1）若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠C的度數(shù)；（2）試通過(guò)第（1）問(wèn)，直接寫(xiě)出∠1、∠2、∠C三者之間的關(guān)系．【解題思路】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到，∠C′DE＝∠CDE，∠C′ED＝∠CED，根據(jù)平角定義得出∠1+∠C′DC＝180°，∠2+∠C′EC＝180°，求出∠C′DC+∠C′EC，在四邊形C′DCE中，根據(jù)內(nèi)角和定理求出即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果即可得出答案．【解答過(guò)程】解：（1）∵△C′DE是由△CDE折疊而成，∴∠C＝∠C′，∠C′DE＝∠CDE，∠C′ED＝∠CED，又∠1+∠C′DC＝180°，∠2+∠C′EC＝180°，∴∠C′DC+∠C′EC＝360°﹣（∠1+∠2）＝290°，又四邊形C′DCE的內(nèi)角和為360°，∴∠C′+∠C＝70°，∴∠C＝35°．（2）2∠C＝1+∠2，理由是：∵△C′DE是由△CDE折疊而成，∴∠C＝∠C′，∠C′DE＝∠CDE，∠C′ED＝∠CED，又∠1+∠C′DC＝180°，∠2+∠C′EC＝180°，∴∠C′DC+∠C′EC＝360°﹣（∠1+∠2），又四邊形C′DCE的內(nèi)角和為360°，∴∠C′+∠C＝360°﹣[360°﹣（∠1+∠2）]，即∠C′+∠C＝∠1+∠2，∵∠C′＝∠C∴2∠C＝∠1+∠2．【變式5-1】（路北區(qū)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上一點(diǎn)，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上．若∠A＝55°，求∠1+∠2+∠3+∠4四個(gè)角和的度數(shù)？【解題思路】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C＝125°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)．【解答過(guò)程】解：∵∠A＝55°，∴△ABC中，∠B+∠C＝125°，又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣125°＝235°．【變式5-2】（遷安市期末）動(dòng)手操作：一個(gè)三角形的紙片ABC，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)Aˊ處．觀察猜想（1）如圖1，若∠A＝40°，則∠1+∠2＝°；若∠A＝55°，則∠1+∠2＝°；若∠A＝n°，則∠1+∠2＝°．探索證明：（2）利用圖1，探索∠1、∠2與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展應(yīng)用（3）如圖2，把△ABC折疊后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中結(jié)論求∠BA′C的度數(shù)．【解題思路】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，據(jù)此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，繼而可得答案；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根據(jù)BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=12（∠ABC+∠ACB）＝90°?12∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠【解答過(guò)程】解：（1）∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE=12（180°﹣∠1），∠AED在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴40°+12（180°﹣∠1）整理得∠1+∠2＝80°；同理∠A＝55°，則∠1+∠2＝110°；∠A＝n°，則∠1+∠2＝2n°；故答案為：80°；110°；2n°；（2）∠1+∠2＝2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，∴∠A＝54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB=12（∠ABC+∠=12（180°﹣∠＝90°?12∠∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°?12∠＝90°+12＝90°+1＝117°．【變式5-3】（高郵市校級(jí)期末）直角△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，如圖1所示，且∠α＝50°，則∠1+∠2＝；（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)P在斜邊BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（CE＜CD），請(qǐng)寫(xiě)出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系式．【解題思路】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義得出∠1+∠2＝∠C+∠α，進(jìn)而得出即可；（2）利用（1）中所求得出答案即可；（3）利用三角外角的性質(zhì)分三種情況討論即可．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，∴∠1+∠2＝∠C+∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1+∠2＝140°；（2）由（1）得出：∠α+∠C＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝90°+α．（3）如圖，分三種情況：在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)P，連接EP、DP，如圖1，由三角形的外角性質(zhì)，∠2＝∠C+∠1+∠α，∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；如圖2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；如圖3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．【題型6兩內(nèi)角角平分線(xiàn)模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，且相交于點(diǎn)I.【結(jié)論】【證明】∵BI是∠ABC平分線(xiàn)，∴∵CI是∠ACB平分線(xiàn)，∴由A→B→I→C→A的飛鏢模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.【例6】（興化市月考）如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BD、CE相交于點(diǎn)P．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，則∠A＝°；（2）若∠A＝80°，試求∠BPC的度數(shù)；（3）試直接寫(xiě)出∠DPC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系：∠DPC＝．【解題思路】先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°?12（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，易得∠【解答過(guò)程】解：∵∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∴∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°?12∠ABC?12∠ACB＝180°?1∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BPC＝180°?12（180°﹣∠A）＝90°+1（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故答案為60．（2）∵∠A＝80°，∴∠BPC＝90°+1（3）∵∠BPC＝90°+12∠∴∠DPC＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°?1故答案為：90°?12∠【變式6-1】（硚口區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AP平分∠BAC交BD于點(diǎn)P，∠BDC＝58°，求∠BAP的度數(shù)．【解題思路】先利用三角形內(nèi)角和定理的推論，得出∠DBC＝32°，再由角平分線(xiàn)的定義得到∠ABD＝∠DBC＝32°，求出∠ABC，再求出∠CAB即可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】解：∵∠BDC＝58°，∠C＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝32°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝32°，∴∠ABC＝2∠ABD＝64°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝26°，∵PA平分∠BAC，∴∠BAP=12∠【變式6-2】（浦東新區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、B分別在射線(xiàn)ON、OM上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線(xiàn)，BC延長(zhǎng)線(xiàn)交ON于點(diǎn)G．（1）若∠MON＝60°，則∠ACB＝°；若∠MON＝90°，則∠ACB＝°；（2）若∠MON＝n°．請(qǐng)求出∠ACG的度數(shù)；（用含n的代數(shù)式表示）【解題思路】（1）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的定義即可得到結(jié)論；（2）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的定義即可得到結(jié)論．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠MON＝60°，∴∠OBA+∠OAB＝120°，∵∠OBA、∠OAB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)C，∴∠ABC+∠BAC=1∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠MON＝90°，∴∠OBA+∠OAB＝90°，∵∠OBA、∠OAB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)C，∴∠ABC+∠BAC=1∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n°，∵∠OBA、∠OAB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)C，∴∠ABC+∠BAC=12（∠OBA+∠OAB）=1即∠ABC+∠BAC＝90°?12∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°?12n°）＝90°+∴∠ACG＝180°﹣（90°+12n°）＝90°?故答案為：120，135．【變式6-3】（南崗區(qū)期末）已知在△ABC中，∠A＝100°，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部連接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD．（1）如圖1，求∠BDC的度數(shù)；（2）如圖2，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)F，若∠AED﹣∠AFD＝12°，求∠ACF的度數(shù)．【解題思路】（1）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線(xiàn)的定義，即可得到∠BDC的度數(shù)；（2）設(shè)∠ACF＝α，則∠BCD＝α，∠CBD＝40°﹣α＝∠ABD，依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠AED＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF，再根據(jù)∠AED﹣∠AFD＝12°，即可得到α的值．【解答過(guò)程】解：（1）∵∠A＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝80°，又∵∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD=1∴∠CBD+∠BCD=12（∠ABC+∠∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°；（2）設(shè)∠ACF＝α，則∠BCD＝α，∵∠BDC＝140°，∴∠CBD＝40°﹣α＝∠ABD，∵∠AED是△DCE的外角，∠AFD是△BDF的外角，∴∠AED＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF，∴∠AED﹣∠AFD＝∠ACF+∠CDF﹣∠ABE﹣∠BDE＝α﹣（40°﹣α）＝12°，解得α＝26°，∴∠ACF＝26°．【題型7兩外角角平分線(xiàn)模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線(xiàn)，且相交于點(diǎn)O.【結(jié)論】.【證明】∵BO是∠EBC平分線(xiàn)，∴，∵CO是∠FCB平分線(xiàn)，∴由△BCO中內(nèi)角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===.【例7】（浦東新區(qū)期末）已知：如圖，△ABC的兩個(gè)外角的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度數(shù)．【解題思路】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答過(guò)程】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，∵BP、CP是△ABC的外角平分線(xiàn)，∴∠PBC=12∠EBC，∠PCB=1∴∠PBC+∠PCB=12（∠EBC+∠∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．【變式7-1】（鄂倫春自治旗月考）如圖，△ABC中，分別延長(zhǎng)△ABC的邊AB、AC到D、E，∠CBD與∠BCE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在寫(xiě)作業(yè)的時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：（1）若∠A＝60°，則∠P＝°；（2）若∠A＝40°，則∠P＝°；（3）若∠A＝100°，則∠P＝°；（4）請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納∠A與∠P的關(guān)系．【解題思路】（1）若∠A＝60°，則有∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC+∠BCE＝360°﹣120°＝240°，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可以求得∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠P的度數(shù)．（2）（3）和（1）的解題步驟相似．（4）利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可求出∠BCP=12（∠A+∠ABC），∠CBP=12（∠A+∠ACB）；再利用三角形內(nèi)角和定理便可求出∠【解答過(guò)程】解：（1）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∠DBC+∠BCE＝360°﹣120°＝240°，又∵∠CBD與∠BCE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，∴∠PBC=12∠DBC，∠PCB=1∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠∴∠P＝60°．同理得：（2）70°；（3）40°（4）∠P＝90°?12∠∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，∴∠DBC＝2∠CBP，∠BCE＝2∠BCP又∵∠DBC＝∠A+∠ACB∠BCE＝∠A+∠ABC，∴2∠CBP＝∠A+∠ACB，2∠BCP＝∠A+∠ABC，∴2∠CBP+2∠BCP＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∴∠CBP+∠BCP＝90°+12又∵∠CBP+∠BCP+∠P＝180°，∴∠P＝90°?12∠故答案為：60，70，40，90°?12∠【變式7-2】（石城縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，連接CE，且CE交AD于點(diǎn)F，∠EAD和∠ECD的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P．（1）①直接寫(xiě)出AB和CD的位置關(guān)系：；②求證：12∠EAD+12∠ECD（2）若∠B＝70°，∠E＝60°，求∠APC的度數(shù)；（3）若∠APC＝m°，∠EFD＝n°，請(qǐng)你探究m和n之間的數(shù)量關(guān)系．【解題思路】（1）①根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定解答即可；②過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，則∠EAP＝∠APQ，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)證明即可；（2）由AD∥BC，AB∥CD，可得∠EAD＝∠B＝70°，∠ECD＝∠E＝60°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系解答即可．【解答過(guò)程】解：（1）①∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，∴AB∥CD；故答案為：AB∥CD；②證明：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，則∠EAP＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠DCP＝∠CPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠DCP＝∠CPQ，∵∠EAP=12∠EAD，∠DCP=1∴12∠EAD+12∠ECD（2）由（1）知AD∥BC，AB∥CD，∴∠EAD＝∠B＝70°，∠ECD＝∠E＝60°，由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，∴∠APC=1（3）過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，則∠EAD＝∠AFH，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠ECD＝∠CFH，∴∠EAD+∠ECD＝∠AFH+∠CFH＝∠AFC＝∠EFD，由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，∴∠EFD＝2∠APC，∵∠APC＝m°，∠EFD＝n°，∴m=12【變式7-3】（東坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如圖1，若α+β＝120°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；（2）如圖1，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD＝30°，請(qǐng)寫(xiě)出α、β所滿(mǎn)足的等量關(guān)系式；（3）如圖2，若α＝β，判斷BE、DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解題思路】（1）∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β）＝240°，則∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝α+β＝120°．（2）連接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，則∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）=12（α+β），在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，則12（α（3）由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，則∠CBE+∠CDH=12（α+β），∠CBE+β﹣∠DHB=12（α+β），根據(jù)α＝β，則有∠CBE+β﹣∠DHB=12（β+β）＝β，∠CBE＝∠【解答過(guò)程】解：（1）∵∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β）＝240°，∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝α+β＝120°．（2）β﹣α＝60°理由：如圖1，連接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=1∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，∴12（α+β）+180°﹣β∴β﹣α＝60°，（3）平行，理由：如圖2，延長(zhǎng)BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=12∠MBC，∠CDH=1∴∠CBE+∠CDH=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12（α+∵α＝β，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12（β+β）＝∴∠CBE＝∠DHB，∴BE∥DF．【題型8內(nèi)外角角平分線(xiàn)模型】【條件】△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線(xiàn)，且相交于點(diǎn)P.【結(jié)論】【證明】∵BP是∠ABC平分線(xiàn)，∴∵CP是∠ACE平分線(xiàn)，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①對(duì)①式兩邊同時(shí)除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比較②③式子可知：.==.【例8】（靖江市校級(jí)月考）如圖①，△ABC中，BD平分∠ABC，且與△ABC的外角∠ACE的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，求∠D的度數(shù)；（2）若把∠A截去，得到四邊形MNCB