專項13-軸對稱-重難點題型VIP

軸對稱-重難點題型【知識點1軸對稱與軸對稱圖形】（1）軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．【題型1軸對稱圖形的識別】【例1】（炎陵縣期末）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式1-1】（雙峰縣期末）如圖四個圖形分別是綠色食品、節(jié)水、節(jié)能和回收標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式1-2】（鹽湖區(qū)校級期末）剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的是（）A．B． C． D．【變式1-3】（黃島區(qū)一模）第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月在我國北京市和張家口市聯(lián)合舉行，在會徽的圖案設計中，設計者常常利用對稱性進行設計，下列四個圖案是歷屆會徽圖案上的一部分圖形，其中不是軸對稱圖形的是（）A．B． C． D．【題型2生活中的軸對稱現(xiàn)象】【例2】（淮南期中）如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔，若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），則該球最后落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【變式2-1】（兗州區(qū)期末）如圖，彈性小球從點P出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到長方形的邊時反彈，反彈時入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球從P點出發(fā)第1次碰到長方形邊上的點記為A點，第2次碰到長方形邊上的點記為B點，……第2020次碰到長方形邊上的點為圖中的（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【變式2-2】（沙坪壩區(qū)校級期中）小明從鏡子中看到電子鐘顯示的時間是20：51，那么實際時間為．【變式2-3】（吉安縣期末）室內(nèi)墻壁上掛一平面鏡，明敏在平面鏡內(nèi)看到他背后墻上的時鐘如圖，則這時的實際時間是．【知識點2軸對稱的性質(zhì)】（1）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱；②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．【題型3利用軸對稱的性質(zhì)求角度】【例3】（沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，則∠ADC＝°．【變式3-1】（漢臺區(qū)期末）如圖，∠MON內(nèi)有一點P，點P關(guān)于OM的軸對稱點是G，點P關(guān)于ON的軸對稱點是H，GH分別交OM、ON于A、B點，若∠MON＝35°，則∠GOH＝．【變式3-2】（雁塔區(qū)校級期末）如圖，點P為∠AOB內(nèi)一點，分別作出P點關(guān)于OB、OA的對稱點P1，P2，連接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，則∠MPN的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．120° D．140°【變式3-3】（射陽縣校級模擬）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點B關(guān)于AC的對稱點B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．60° D．80°【題型4利用軸對稱的性質(zhì)求線段】【例4】（深圳模擬）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，點A與點E關(guān)于直線CD對稱．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，則△DBE的周長為（）A．9 B．10 C．11 D．12【變式4-1】（?？谄谀┤鐖D所示，點P關(guān)于直線OA、OB的對稱點分別為C、D，連接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周長為8cm，則CD為cm．【變式4-2】（驛城區(qū)期末）如圖，點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，則線段QR的長為．【變式4-3】（雙流區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，動點P在邊AB上運動（不與端點重合），點P關(guān)于直線AC，BC對稱的點分別為P1，P2．則在點P的運動過程中，線段P1P2的長的最小值是．【題型5利用軸對稱的性質(zhì)解折疊問題】【例5】（錦江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一點，連接BD，將△BDA沿BD對折得到△BDE，若BE恰好經(jīng)過點C，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD C．∠BDE﹣∠ABD＝90° D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE【變式5-1】（于洪區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿著一條直線折疊后，使點A與點C重合（如圖②）（1）在圖①中畫出折痕所在的直線l，問直線l是線段AC的中垂線；（2）設直線l與AB、AC分別相交于點M、N，連接CM，若△CMB的周長是21cm，AB＝14cm，求BC的長．【變式5-2】（啟東市開學）如圖，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=12∠DAB．試猜想DE，BF，【變式5-3】（建鄴區(qū)期末）ABCD是長方形紙片的四個頂點，點E、F、H分別邊AD、BC、AD上的三點，連接EF、FH．（1）將長方形紙片的ABCD按如圖①所示的方式折疊，F(xiàn)E、FH為折痕，點B、C、D折疊后的對應點分別為B′、C′、D′，點B′在FC′上，則∠EFH的度數(shù)為；（2）將長方形紙片的ABCD按如圖②所示的方式折疊，F(xiàn)E、FH為折痕，點B、C、D折疊后的對應點分別為B′、C′、D'（B′、C′的位置如圖所示），若∠B'FC′＝16°，求∠EFH的度數(shù)；（3）將長方形紙片的ABCD按如圖③所示的方式折疊，F(xiàn)E、FH為折痕，點B、C、D折疊后的對應點分別為B′、C′，D′（B′、C′的位置如圖所示）．若∠EFH＝n°，則∠B′FC′的度數(shù)為．【題型6剪紙問題】【例6】（門頭溝區(qū)二模）有一正方形卡紙，如圖①，沿虛線向上翻折，得到圖②，再沿虛線向右翻折得到圖③，沿虛線將一角剪掉后展開，得到的圖形是（）A． B． C． D．【變式6-1】（恩施市期末）將一張正方形按圖1，圖2方式折疊，然后用剪刀沿圖3中虛線剪掉一角，再將紙片展開鋪平后得到的圖形是（）A． B． C． D．【變式6-2】（石景山區(qū)期末）剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)．如圖①，②將一張紙片進行兩次對折后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應該是（）A． B． C． D．【變式6-3】（邢臺三模）一張正方形紙片按圖1、圖2箭頭方向依次對折后，再沿圖3虛線裁剪得到圖4，把圖4展開鋪平的圖案應是（）A． B． C． D．

軸對稱-重難點題型【知識點1軸對稱與軸對稱圖形】（1）軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．【題型1軸對稱圖形的識別】【例1】（炎陵縣期末）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，利用軸對稱圖形的定義進行解答即可．【解答】解：選項A、B、C均不能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項D能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：D．【變式1-1】（雙峰縣期末）如圖四個圖形分別是綠色食品、節(jié)水、節(jié)能和回收標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【解答】解：選項A的標志內(nèi)找到這樣的一條直線，使這個圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；選項B、C、D中的標志內(nèi)不能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以它們不是軸對稱圖形；故選：A．【變式1-2】（鹽湖區(qū)校級期末）剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的是（）A．B． C． D．【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．【解答】解：觀察圖形可知，選項D是軸對稱圖形，A，B，C選項不是軸對稱圖形．故選：D．【變式1-3】（黃島區(qū)一模）第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月在我國北京市和張家口市聯(lián)合舉行，在會徽的圖案設計中，設計者常常利用對稱性進行設計，下列四個圖案是歷屆會徽圖案上的一部分圖形，其中不是軸對稱圖形的是（）A．B． C． D．【分析】結(jié)合軸對稱圖形的概念進行求解即可．【解答】解：A、是軸對稱圖形，本選項不合題意；B、是軸對稱圖形，本選項不合題意；C、是軸對稱圖形，本選項不合題意；D、不是軸對稱圖形，本選項符合題意．故選：D．【題型2生活中的軸對稱現(xiàn)象】【例2】（淮南期中）如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔，若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），則該球最后落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【分析】利用軸對稱畫出圖形即可．【解答】解：如圖所示：，該球最后落入的球袋是4號袋，故選：D．【變式2-1】（兗州區(qū)期末）如圖，彈性小球從點P出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到長方形的邊時反彈，反彈時入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球從P點出發(fā)第1次碰到長方形邊上的點記為A點，第2次碰到長方形邊上的點記為B點，……第2020次碰到長方形邊上的點為圖中的（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【分析】根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2020除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對應的點的坐標即可．【解答】解：如圖所示，經(jīng)過6次反彈后動點回到出發(fā)點P，∵2020÷6＝336…4，∴當點P第2020次碰到長方形的邊時為第337個循環(huán)組的第4次反彈，∴第2020次碰到長方形的邊時的點為圖中的點D，故選：D．【變式2-2】（沙坪壩區(qū)校級期中）小明從鏡子中看到電子鐘顯示的時間是20：51，那么實際時間為．【分析】用鏡面對稱的性質(zhì)求解．鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時刻與20：51成軸對稱，所以此時實際時刻為12：05．故答案為：12：05．【變式2-3】（吉安縣期末）室內(nèi)墻壁上掛一平面鏡，明敏在平面鏡內(nèi)看到他背后墻上的時鐘如圖，則這時的實際時間是．【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右顛倒，且關(guān)于鏡面對稱，分析并作答．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的時刻與3：40成軸對稱，所以此時實際時刻為：3：40．故答案為：3：40．【知識點2軸對稱的性質(zhì)】（1）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱；②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．【題型3利用軸對稱的性質(zhì)求角度】【例3】（沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，則∠ADC＝°．【分析】根據(jù)∠ADC＝∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．【解答】解：∵△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，故答案為：72．【變式3-1】（漢臺區(qū)期末）如圖，∠MON內(nèi)有一點P，點P關(guān)于OM的軸對稱點是G，點P關(guān)于ON的軸對稱點是H，GH分別交OM、ON于A、B點，若∠MON＝35°，則∠GOH＝．【分析】連接OP，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【解答】解：如圖，連接OP，∵P點關(guān)于OM的軸對稱點是G，P點關(guān)于ON的軸對稱點是H，∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，∵∠MON＝35°，∴∠GOH＝2×35°＝70°．故答案為：70°．【變式3-2】（雁塔區(qū)校級期末）如圖，點P為∠AOB內(nèi)一點，分別作出P點關(guān)于OB、OA的對稱點P1，P2，連接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，則∠MPN的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．120° D．140°【分析】首先證明∠P1+∠P2＝40°，可得∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，推出∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，可得結(jié)論．【解答】解：∵P點關(guān)于OB的對稱點是P1，P點關(guān)于OA的對稱點是P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM，∵∠AOB＝40°，∴∠P2PP1＝140°，∴∠P1+∠P2＝40°，∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°，故選：B．【變式3-3】（射陽縣校級模擬）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點B關(guān)于AC的對稱點B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．60° D．80°【分析】連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，依據(jù)∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE=12∠BAD，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°?1【解答】解：如圖，連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，∵點B關(guān)于AC的對稱點B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE=12∠又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠ACB'＝40°，故選：A．【題型4利用軸對稱的性質(zhì)求線段】【例4】（深圳模擬）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，點A與點E關(guān)于直線CD對稱．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，則△DBE的周長為（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到：AD＝DE，AC＝CE，結(jié)合已知條件和三角形周長公式解答．【解答】解：∵點A與點E關(guān)于直線CD對稱，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周長＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故選：B．【變式4-1】（?？谄谀┤鐖D所示，點P關(guān)于直線OA、OB的對稱點分別為C、D，連接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周長為8cm，則CD為cm．【分析】由軸對稱的性質(zhì)可知PM＝CM，PN＝DN，再由△PMN的周長為8cm，即可求得CD的長度．【解答】解：∵點P關(guān)于直線OA、OB的對稱點分別為C、D，∴PM＝CM，PN＝DN，∴PN+PN+MN＝CM+DN+MN，∴△PMN的周長＝CD，∵△PMN的周長為8cm，∴CD＝8cm，故答案為：8．【變式4-2】（驛城區(qū)期末）如圖，點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，則線段QR的長為．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，則利用線段垂直平分線的性質(zhì)得QM＝PM＝3cm，RN＝PN＝4cm，然后計算QN，再計算QN+RN即可．【解答】解：∵點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，∴OA垂直平分PQ，∴QM＝PM＝3cm，∴QN＝MN﹣QM＝4.5cm﹣3cm＝1.5cm，∵點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延長線上，∴OB垂直平分PR，∴RN＝PN＝4cm，∴QR＝QN+RN＝1.5cm+4cm＝5.5cm．故答案為5.5cm．【變式4-3】（雙流區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，動點P在邊AB上運動（不與端點重合），點P關(guān)于直線AC，BC對稱的點分別為P1，P2．則在點P的運動過程中，線段P1P2的長的最小值是．【分析】連接CP，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到線段P1P2的長等于2CP，依據(jù)CP的最小值即可得出線段P1P2的長的最小值．【解答】解：如圖，連接CP，∵點P關(guān)于直線AC，BC對稱的點分別為P1，P2，∴P1C＝PC＝P2C，∴線段P1P2的長等于2CP，如圖所示，當CP⊥AB時，CP的長最小，此時線段P1P2的長最小，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴CP=AC×BC∴線段P1P2的長的最小值是9.6，故答案為：9.6．【題型5利用軸對稱的性質(zhì)解折疊問題】【例5】（錦江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一點，連接BD，將△BDA沿BD對折得到△BDE，若BE恰好經(jīng)過點C，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD C．∠BDE﹣∠ABD＝90° D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE【分析】由折疊的性質(zhì)直接判斷A；由折疊的性質(zhì)得到△ABC≌△EBF及△FBD≌△CBD，進而得出BC＝BF，∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可判斷B；根據(jù)角的和差判斷C；再根據(jù)三角形的面積公式判斷D．【解答】解：如圖，延長ED交AB于點F，∵△BDA沿BD對折得到△BDE，∴△BDA≌△BDE，∴∠ABD＝∠DBE，DA＝DE，故A正確，不符合題意；由△BDA≌△BDE可知，∠A＝∠E，AB＝BE，在△ABC和△EBF中，∠A=∠EAB=EB∴△ABC≌△EBF（ASA），∴BC＝BF，在△FBD和△CBD中，BF=BC∠DBF=∠DBC∴△FBD≌△CBD（SAS），∴∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠CDE＝2∠ABD，故B正確，不符合題意；∵∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝∠BDC+2∠ABD，∴∠BDE﹣∠ABD＝∠BDC+2∠ABD﹣∠ABD＝∠BDC+∠ABD＝∠BDC+∠DBC＝90°，故C正確，不符合題意；S△ABD=12?AB?DF，S△CDE=12?∴S△ABD故D錯誤，符合題意；故選：D．【變式5-1】（于洪區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿著一條直線折疊后，使點A與點C重合（如圖②）（1）在圖①中畫出折痕所在的直線l，問直線l是線段AC的中垂線；（2）設直線l與AB、AC分別相交于點M、N，連接CM，若△CMB的周長是21cm，AB＝14cm，求BC的長．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AN＝NC，∠ANM＝∠CNM＝90°，即直線l是線段AC的中垂線；（2）由折疊的性質(zhì)可得AM＝CM，即可求BC的長．【解答】解：（1）如圖①，∵將△ABC沿著一條直線折疊后，使點A與點C重合，∴AN＝NC，∠ANM＝∠CNM＝90°，∴直線l是線段AC的中垂線，故答案為：中垂；（2）∵將△ABC沿著一條直線折疊后，使點A與點C重合，∴AM＝CM，∵△CMB的周長是21cm，AB＝14cm，∴21＝CM+BM+BC＝AM+BM+CB＝AB+BC＝14+BC，∴BC＝7cm．【變式5-2】（啟東市開學）如圖，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=12∠DAB．試猜想DE，BF，【分析】通過延長CF，將DE和BF放在一起，便于尋找等量關(guān)系，通過兩次三角形全等證明，得出結(jié)論．【解答】猜想：DE+BF＝EF．證明：延長CF，作∠4＝∠1，如圖：∵將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=12∠∴∠1+∠2＝∠3+∠5，∠2+∠3＝∠1+∠5，∵∠4＝∠1，∴∠2+∠3＝∠4+∠5，∴∠GAF＝∠FAE，在△AGB和△AED中，∠4=∠1AB=AD∴△AGB≌△AED（ASA），∴AG＝AE，BG＝DE，在△AGF和△AEF中，AG=AE∠GAF=∠EAF∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF＝EF，∴DE+BF＝EF．證畢．【變式5-3】（建鄴區(qū)期末）ABCD是長方形紙片的四個頂點，點E、F、H分別邊AD、BC、AD上的三點，連接EF、FH．（1）將長方形紙片的ABCD按如圖①所示的方式折疊，F(xiàn)E、FH為折痕，點B、C、D折疊后的對應點分別為B′、C′、D′，點B′在FC′上，則∠EFH的度數(shù)為；（2）將長方形紙片的ABCD按如圖②所示的方式折疊，F(xiàn)E、FH為折痕，點B、C、D折疊后的對應點分別為B′、C′、D'（B′、C′的位置如圖所示），若∠B'FC′＝16°，求∠EFH的度數(shù)；（3）將長方形紙片的ABCD按如圖③所示的方式折疊，F(xiàn)E、FH為折痕，點B、C、D折疊后的對應點分別為B′、C′，D′（B′、C′的位置如圖所示）．若∠EFH＝n°，則∠B′FC′的度數(shù)為．【分析】（1）由折疊可得∠BFE＝∠B′FE，∠CFH＝∠C′FH，進而得出∴∠EFH=12（∠B′FB+∠C′（2）可設∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y(tǒng)，根據(jù)2x+16°+2y＝180°，得出x+y＝82°，進而得到∠EFH＝x+16°+y＝16°+82°＝98°；（3）可設∠BFE＝∠B′FE＝x，∠CFH＝∠C′FH＝y(tǒng)，即可得到x+y＝180°﹣n°，再根據(jù)∠EFH＝∠B′FE+∠C′FH﹣∠B′FC′＝x+y﹣∠B′FC′，即可得到∠B′FC′＝x+y﹣∠EFH＝180°﹣n°﹣n°＝180°﹣2n°．【解答】解：（1）∵沿EF、FH折疊，∴∠BFE＝∠B′FE，∠CFH＝∠C′FH，∵點B′在C′