19.2.3 證明舉例-證明平行與線段之間數(shù)量關系 同步練習

19.2.3證明舉例—證明平行與線段之間數(shù)量關系一、解答題1．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在中，是的角平分線，，求證：．2．（2021·寧夏·固原市原州區(qū)三營中學八年級階段練習）如圖，點A、F、C、D在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求證：BC∥EF．3．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在中，，，是角平分線，在上截取．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．]4．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在等邊三角形中，點、分別是、延長線上的點，且．求證：．5．（2019·全國·八年級課時練習）已知：如圖，B、C、E三點在同一條直線上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B，求證：BC=DE；6．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，，，，直線過點交于，交于點．求證：．7．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在中，，，是上的一點，且的延長線交于，又平分，求證：．8．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在中，，點在邊上，使，過點作，分別交于點，交的延長線于點．求證：．9．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在正方形中，，為，的上點且．求證：．10．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在中，已知是的中點，，求證：．11．（2020·四川·富順第三中學校八年級期中）如圖，在中，已知是邊上的中線，是上一點，且，延長交于點，求證：．

19.2.3證明舉例—證明平行與線段之間數(shù)量關系（解析版）一、解答題1．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在中，是的角平分線，，求證：．【答案】詳見解析【分析】在BC上取一點E使得，易證≌，可得，再根據三角形的外角可得，所以，可得，通過等量代換可得出.【詳解】解：如圖，在上找到點，使得，在和中，，∴≌（SAS）．∴．∵，，∴．∴．∵，∴【點睛】本題考查利用截長補短的輔助線結合全等解題；本題的解題關鍵是看到三條線段之間和或者差的關系，要利用截長方法在較長線段上截取與其中一條較短線段相等的線段，構造全等三角形，或者利用補短的方法，將其中一條較短線段延長，構造全等三角形.2．（2021·寧夏·固原市原州區(qū)三營中學八年級階段練習）如圖，點A、F、C、D在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求證：BC∥EF．【答案】見解析【分析】由全等三角形的性質判定，則對應角，故證得結論．【詳解】解：證明：，，，．在與中，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考?？碱}型．3．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在中，，，是角平分線，在上截取．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）證明△ACD≌△FCD，得∠CDF=∠ADC=75°，AD=DF，再結合條件可求得∠BDF=30°=∠B可得出結論；（2）結合（1）可證得△ADE為等邊三角形，再結合條件可證明△EDF為等腰直角三角形，可求得∠CFE．【詳解】（1）∵，，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴，．∴．∴．（2）∵，，∴為等邊三角形．∴．∴，．∵，∴為等腰直角三角形．∴．∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，充分利用條件找到可能全等的三角形是解題的關鍵．4．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在等邊三角形中，點、分別是、延長線上的點，且．求證：．【答案】詳見解析【分析】根據等邊三角形的性質可推出一組對應角相等和一組邊相等，又因為DB＝EC，即可證明△DBC≌△ECA，故即可證明．【詳解】∵是等邊三角形，∴，．∴．在與中，，∴≌．∴【點睛】本題主要考查了學生對等邊三角形的性質及全等三角形的判定與性質的綜合運用．5．（2019·全國·八年級課時練習）已知：如圖，B、C、E三點在同一條直線上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B，求證：BC=DE；【答案】見解析【分析】先根據平行線的性質和已知條件得出∠ACB=∠E，∠B=∠D，再利用AAS即可證明△ACB≌△CED，進而可得結論.【詳解】證明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠D，∠ACB=∠E，∵∠ACD=∠B，∴∠B=∠D，在△ACB和△ECD中，∴△ACB≌△CED(AAS).∴BC=DE.【點睛】本題考查了平行線的性質和全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是證明的關鍵.6．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，，，，直線過點交于，交于點．求證：．【答案】詳見解析【分析】在線段上取，連接，易證≌，可得，因為得，∠D+∠C=180°，再根據鄰補角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可證≌，可得BC=BF，再進行等量代換即可得出答案.【詳解】解：在線段上取，連接，在與中，，∴≌（SAS）．∴．由又可得，∴．又，∴．在與中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．【點睛】本題考查全等三角形證明中輔助線其中一種截長補短的方法，在遇到兩條線段和等于第三條線段的時候可用截長補短構造全等三角形，即在較長的線段上截取某條較短線段長度，或者延長一條較短線段長度使之等于另一條線段長度.7．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在中，，，是上的一點，且的延長線交于，又平分，求證：．【答案】詳見解析【分析】延長，交于點，根據在Rt△BEF中，∠EBF+∠F=90°，在Rt△ACF中∠FAC+∠F=90°，可得∠EBF=∠FAC，進而可證≌，可得，易證≌，可得，即，所以.【詳解】解：延長，交于點，∵，，，∴．∵在和中，，∴≌（ASA）．∴．∵在和中，，∴≌（ASA）．∴，即．∴．【點睛】本題考查全等三角形證明中與等腰三角形三線合一相關的輔助線，如果一個題目中一條線段既是高線又是角平分線，那么我們可以將這個高線和角平分線所在的三角形補全，即可證得等腰三角形，就可以利用這些條件構造全等.8．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在中，，點在邊上，使，過點作，分別交于點，交的延長線于點．求證：．【答案】詳見解析【分析】根據得出，再根據，故，證明≌即可證明.【詳解】∵，∴．∵，∴．在和中，，∴≌（AAS），∴．【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余以及三角形全等的判定和性質，熟練掌握直角三角形兩銳角互余以及三角形全等的判定和性質是解題的關鍵.9．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在正方形中，，為，的上點且．求證：．【答案】證明見解析【分析】將逆時針旋轉得到，則有，；進一步說明，易證≌，得到，即可完成證明.【詳解】證明：如圖，逆時針旋轉得到∴，．∵，∴．∴．在和中，∴≌（SAS）∴．即∴．【點睛】本題考查了正方形和全等三角形的判定與性質，熟記并靈活應用它們的性質并利用旋轉作輔助線、構造出全等三角形是解題的關鍵.10．（2019·全國·八年級課時練習）如圖，在中，已知是的中點，，求證：．【答案】證明見解析【分析】延長FD到M使MD=DF，連接BM，EM.構造出兩三角形全等，可得MD=DF，三角形EFM中，ED⊥MF，MD=FD，那么ED就是MF的垂直平分線，可得EM=EF，最后根據三角形三邊的關系即可證明.【詳解】證明：延長FD到M使MD=DF，連接BM，EM.∵是的中點，∴．在與中，，∴≌（SAS）∴．在中，．又∵，，∴．∴，即．【點睛】本題考查了全等三角形和三角形三邊關系；做輔助線構造全等三角形是解答本題的關鍵.11．（2020·四川·富順第三中學校八年級期中）如圖，在中，已知是邊上的中線，是上一點，且，延長交于點，求證：．【答案】證明見解析【分析】延長AD到點G，使得，連接，結合D是BC的中點，易證△ADC和