2021年九年級中考數(shù)學(xué)第三輪解答題沖刺專題復(fù)習(xí)：四邊形 綜合練習(xí)（含答案）

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪解答題沖刺專題復(fù)習(xí)：四邊形綜合練習(xí)

1、如圖，^ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線

交BE的延長線于F,且AF=CD,連接CF.

(1)求證：△AEFgADEB；

(2)若AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

2、如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,D、E分別是AB、AC的中點，連接CD,

過E作EF〃DC交BC的延長線于F.

(1)證明：四邊形CDEF是平行四邊形；

(2)若四邊形CDEF的周長是25cm,AC的長為5cm,求線段AB的長度.

3、如圖，正方形ABCD的對角線交于點0,點E、F分別在AB、BC±(AE<BE),

且/E0F=90°,0E、DA的延長線交于點M,OF、AB的延長線交于點N,連接MN.

(1)求證：0M=0N.

(2)若正方形ABCD的邊長為4,E為0M的中點，求MN的長.

4、如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，點F是DE的中點，AB與

AG關(guān)于AE對稱，AE與AF關(guān)于AG對稱.

(1)求證：4AEF是等邊三角形；

(2)若AB=2,求4AFD的面積.

5、已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點，BE±AP,DF1AP,垂足分

別是點E、F.

(1)求證:EF=AE-BE；

(2)聯(lián)結(jié)BF,如課處=邁.求證：EF=EP.

BFAD

6、如圖，在矩形ABCD中，AD=4,點E在邊AD上，連接CE,以CE為邊向右上

方作正方形CEFG,作FHJ_AD,垂足為H,連接AF.

(1)求證：FH=ED；

(2)當AE為何值時，^AEF的面積最大？

7、如圖，在口ABCD中，DC>AD,四個角的平分線AE,DE,BF,CF的交點分別是

E,F,過點E,F分別作DC與AB間的垂線MM'與NN',在DC與AB上的垂足分別

是M,N與M',N',連接EF.

（1）求證：四邊形EFNM是矩形；

（2）已知：AE=4,DE=3,DC=9,求EF的長.

8、如圖，在矩形ABCD中，AB—2,AD=?,P是BC邊上的一點，且BP=2CP.

（1）用尺規(guī)在圖①中作出CD邊上的中點E,連接AE、BE（保留作圖痕跡，不寫

作法）；

（2）如圖②，在（1）的條體下，判斷EB是否平分NAEC,并說明理由；

（3）如圖③，在（2）的條件下，連接EP并廷長交AB的廷長線于點F,連接AP,

不添加輔助線，能否由都經(jīng)過P點的兩次變換與4PAE組成一個等腰三角

形？如果能，說明理由，并寫出兩種方法（指出對稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和

平移距離）

9、已知：A、B兩點在直線1的同一側(cè)，線段AO,BM均是直線1的垂線段，且

BM在A0的右邊，A0=2BM,將BM沿直線1向右平移，在平移過程中，始終保持

ZABP=90°不變，BP邊與直線1相交于點P.

（1）當P與0重合時（如圖2所示）,設(shè)點C是A0的中點，連接BC.求證:

四邊形OCBM是正方形；

（2）請利用如圖1所示的情形，求證：嶇=變；

PBBM

（3）若A0=2&,且當M0=2P0時，請直接寫出AB和PB的長.

10、如圖1,點E是正方形ABCD邊CD上任意一點，以DE為邊作正方形DEFG,

連接BF,點M是線段BF中點，射線EM與BC交于點H,連接CM.

（1）請直接寫出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

（2）把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45°,此時點F恰好落在線段

CD上，如圖2,其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由；

（3）把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°,此時點E、G恰好分別落

在線段AD、CD上，如圖3,其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理

由.

11、如圖1,以QABCD的較短邊CD為一邊作菱形CDEF,使點F落在邊AD上，連

接BE,交AF于點G.

（1）猜想BG與EG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）延長DE、BA交于點H,其他條件不變：

①如圖2,若NADC=60°,求效的值；

BH

②如圖3,若/ADC=a(0°<a<90°)，直接寫出理?的值(用含a的三角函

BH

數(shù)表示)

12、如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG〃

CD交AF于點G,連接DG.

(1)求證：四邊形EFDG是菱形；

(2)探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)若AG=6,EG=2泥，求BE的長.

13、如圖1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,動點P從點A出發(fā)，以3cm/s

的速度向點0運動，直到點0為止；動點Q同時從點C出發(fā)，以2cm/s的速度向

點B運動，與點P同時結(jié)束運動.

(1)點P到達終點0的運動時間是s,此時點Q的運動距離是cm；

(2)當運動時間為2s時，P、Q兩點的距離為cm；

(3)請你計算出發(fā)多久時，點P和點Q之間的距離是10cm；

(4)如圖2,以點0為坐標原點，0C所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，1cm

長為單位長度建立平面直角坐標系，連結(jié)AC,與PQ相交于點D,若雙曲線y=K

X

過點D,問k的值是否會變化？若會變化，說明理由；若不會變化，請求出k的

值.

14、對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作：先沿CE折疊，使點B落在CD

邊上(如圖①)，再沿CH折疊，這時發(fā)現(xiàn)點E恰好與點D重合(如圖②)

(1)根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求段的值；

(2)將該矩形紙片展開.

①如圖③，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB相交于點P,再將

該矩形紙片展開.求證：ZHPC=90°；

②不借助工具，利用圖④探索一種新的折疊方法，找出與圖③中位置相同的P

點，要求只有一條折痕，且點P在折痕上，請簡要說明折疊方法.(不需說明理

由)

15、如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm,ZADB=30°.P,Q兩點分別從A,B同時

出發(fā)，點P沿折線AB-BC運動，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2T

cm/s；點Q在BD上以2cm/s的速度向終點D運動，過點P作PNLAD,垂足為點

N.連接PQ,以PQ,PN為鄰邊作。PQMN.設(shè)運動的時間為x(s),中QMN與矩形

ABCD重疊部分的圖形面積為y(cm2)

(1)當PQ_LAB時，x=；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分時，直接寫出x的值.

16、在菱形ABCO中，乙48c=60°,點P是射線80上一動點，以AP為邊向右側(cè)

作等邊△/PE,

點E的位置隨點P的位置變化而變化.

（1）如圖1,當點E在菱形ABCO內(nèi)部或邊上時，連接CE,BP與CE的數(shù)量關(guān)系

是，

CE與/￡）的位置關(guān)系是；

（2）當點E在菱形4BCD外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證

明；若不成立，請說明理由（選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理）.

⑶如圖4,當點P在線段BO的延長線上時，連接BE,若=2遮，BE=2719,

求四邊形4DPE的面積.

參考答案

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題沖刺專題復(fù)習(xí)：四邊形綜合練習(xí)題

1、如圖，AABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線

交BE的延長線于F,且AF=CD,連接CF.

(1)求證：△AEFgADEB；

(2)若AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

【解答】證明：（1）是AD的中點,

/.AE=DE,

?.?AF〃BC,

AZAFE=ZDBE,NEAF=NEDB,

?.?AF〃CD,AF=CD,

四邊形ADCF是平行四邊形,

VAAEF^ADEB,

，BE=FE,

VAE=DE,

，四邊形ABDF是平行四邊形,

，DF=AB,

VAB=AC,

.,.DF=AC,

，四邊形ADCF是矩形.

2、如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,D、E分別是AB、AC的中點，連接CD,

過E作EF〃DC交BC的延長線于F.

(1)證明：四邊形CDEF是平行四邊形；

(2)若四邊形CDEF的周長是25cm,AC的長為5cm,求線段AB的長度.

【解答】(1)證明：:D、E分別是AB、AC的中點，F(xiàn)是BC延長線上的一點,

AED^RtAABC的中位線，

；.ED〃FC.BC=2DE,

又EF〃DC,

...四邊形CDEF是平行四邊形；

(2)解：?.?四邊形CDEF是平行四邊形；

/.DC=EF,

VDC是RtAABC斜邊AB上的中線，

，AB=2DC,

二四邊形DCFE的周長=AB+BC,

,/四邊形DCFE的周長為25cm,AC的長5cm,

，BC=25-AB,

?.?在RtAABC中，ZACB=90°,

.".AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,

解得，AB=13cm,

3、如圖，正方形ABCD的對角線交于點0,點E、F分別在AB、BC±(AE<BE),

且NE0F=90°,0E、DA的延長線交于點M,OF、AB的延長線交于點N,連接MN.

(1)求證：OM=ON.

(2)若正方形ABCD的邊長為4,E為0M的中點，求MN的長.

【解答】解:(1)???四邊形ABCD是正方形,

.,.OA=OB,ZDA0=45°,Z0BA=45°,

：.Z0AM=Z0BN=135°,

VZE0F=90°,ZA0B=90°,

ZAOM=ZBON,

...△OAM四△OBN(ASA),

.-.OM=ON；

(2)如圖，過點0作OH_LAD于點H,

?.?正方形的邊長為4,

/.0H=HA=2,

???E為0M的中點,

貝U0M=^22+42=275,

.?.MN=?0M=2/.

4、如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，點F是DE的中點，AB與

AG關(guān)于AE對稱，AE與AF關(guān)于AG對稱.

(1)求證：4AEF是等邊三角形；

(2)若AB=2,求4AFD的面積.

AD

【解答】解:(1)??.AB與AG關(guān)于AE對稱，

AAEIBC,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,

/.AE±AD,即NDAE=90°,

?.?點F是DE的中點，即AF是RtAADE的中線,

,-.AF=EF=DF,

VAE與AF關(guān)于AG對稱,

；.AE=AF,

則AE=AF=EF,

/.△AEF是等邊三角形；

(2)記AG、EF交點為H,

,/AAEF是等邊三角形，且AE與AF關(guān)于AG對稱,

.*.ZEAG=30o,AG_LEF,

TAB與AG關(guān)于AE對稱,

.,.ZBAE=ZGAE=30°,ZAEB=90°,

VAB=2,

；.BE=1、DF=AF=AE=V3-

則EH=LAE=2SS、AH=a,

222

SAADF=-XX—=.

224

5、已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點，BE±AP,DF±AP,垂足分

別是點E、F.

(1)求證:EF=AE-BE；

(2)聯(lián)結(jié)BF,如課空=更.求證：EF=EP.

BFAD

【解答】證明：(1)?四邊形ABCD為正方形,

/.AB=AD,ZBAD=90°,

VBE1AP,DF1AP,

.,.ZBEA=ZAFD=90°,

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=90°,

：.Z1=Z3,

在AABE和ZXDAF中

"ZBEA=ZAFD

<Z1=Z2，

,AB=DA

/.△ABE^ADAF,

，BE=AF,

.\EF=AE-AF=AE-BE；

(2)如圖，?.?更=更，

BFAD

而AF=BE,

?BE=DF

*,BFAD，

?BE=BF

,，DFAD)

ARtABEF^RtADFA,

/.Z4=Z3,

而N1=N3,

/.Z4=Z1,

VZ5=Z1,

.".Z4=Z5,

即BE平分NFBP,

而BE±EP,

，EF=EP.

6、如圖，在矩形ABCD中，AD=4,點E在邊AD上，連接CE,以CE為邊向右上

方作正方形CEFG,作FH_LAD,垂足為H,連接AF.

（1）求證:FH=ED；

（2）當AE為何值時，AAEF的面積最大？

【解答】解：（1）證明:

?.?四邊形CEFG是正方形,

/.CE=EF,

VZFEC=ZFEH+ZCED=90°,ZDCE+ZCED=90°,

ZFEH=ZDCE,

在△FEH和AECD中

rEF=CE

<NFEH=NDCE，

NFHE=ND

.,.△FEH^AECD,

.?.FH=ED；

(2)設(shè)AE=a,則ED=FH=4-a,

??.SwLAE?FH」a(4-a),

22

=-1(a-2)2+2,

2

當AE=2時，△AEF的面積最大.

7、如圖，在口ABCD中，DOAD,四個角的平分線AE,DE,BF,CF的交點分別是

E,F,過點E,F分別作DC與AB間的垂線MM'與NN',在DC與AB上的垂足分別

是M,N與M',N',連接EF.

(1)求證：四邊形EFNM是矩形；

(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的長.

【解答】解：(1)證明：過點E、F分別作AD、BC的垂線，垂足分別是G、H.

VZ3=Z4,Z1=Z2,EG±AD,EM±CD,EM'±AB

/.EG=ME,EG=EM/

.\EG=ME=ME,=1MMZ

2

同理可證：FH=NF=N'F=LNN'

2

?.，CD〃AB,MM'1CD,NN'±CD,

...MM'=NN'

；.ME=NF=EG=FH

又'.'MM'〃NN',MM'±CD

...四邊形EFNM是矩形.

(2)..?DC〃AB,

/.ZCDA+ZDAB=180°,

Z3^CDA*Z2=1ZDAB

/.Z3+Z2=90°

在RtaDEA,VAE=4,DE=3,

：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ZDAB=ZDCB,

又?.?/2=LNDAB,Z5=1ZDCB,

22

，Z2=Z5

由⑴知GE=NF

在RtAGEA和RtACNF中

，Z2=Z5

<ZEGA=ZFNC=90°

GE=NF

.,.△GEA^ACNF

/.AG=CN

在RtADME和RtADGE中

VDE=DE,ME=EG

.,.△DME^ADGE

.\DG=DM

/.DM+CN=DG+AG=AB=5

.\MN=CD-DM-CN=9-5=4.

?.?四邊形EFNM是矩形.

；.EF=MN=4

8、如圖，在矩形ABCD中，AB—2,AD=F，P是BC邊上的一點，且BP=2CP.

(1)用尺規(guī)在圖①中作出CD邊上的中點E,連接AE、BE(保留作圖痕跡，不寫

作法)；

(2)如圖②，在(1)的條體下，判斷EB是否平分NAEC,并說明理由；

（3）如圖③，在（2）的條件下，連接EP并廷長交AB的廷長線于點F,連接AP,

不添加輔助線，4PFB能否由都經(jīng)過P點的兩次變換與4PAE組成一個等腰三角

形？如果能，說明理由，并寫出兩種方法（指出對稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和

平移距離）

【解答】解：（1）依題意作出圖形如圖①所示,

(2)EB是平分NAEC,理由：

?.?四邊形ABCD是矩形，

.,.ZC=ZD=90°,CD=AB=2,BC=AD=?,

?.?點E是CD的中點，

.,.DE=CE=1CD=1,

2

'AD=BC

在4ADE和4BCE中，?ZC=ZD=90°,

DE=CE

.?.△ADE^ABCE,

ZAED=ZBEC,

在RtZiADE中，AD=V3，DE=1,

/.tanZAED=—=A/3，

DE

AZAED=60°,

AZBCE=ZAED=60°,

ZAEB=180°-ZAED-ZBEC=60°=NBEC,

，BE平分NAEC；

(3)VBP=2CP,BC=“,

.?.CP=返，BP」立,

33

在RSCEP中，tanNCEP=里逅，

CE3

ZCEP=30°,

/.ZBEP=30o,

/.ZAEP=90°,

?.?CD〃AB,

/.ZF=ZCEP=30°,

在RSABP中，tan/BAP?=返，

AB3

/.ZPAB=30°,

/.ZEAP=30o=NF=NPAB,

VCB1AF,

.\AP=FP,

.".△AEP^AFBP,

.??△PFB能由都經(jīng)過P點的兩次變換與APAE組成一個等腰三角形，

變換的方法為：將4BPF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°和4EPA重合，①沿PF折疊,

②沿AE折疊.

9、已知：A、B兩點在直線1的同一側(cè)，線段AO,BM均是直線1的垂線段，且

BM在AO的右邊，AO=2BM,將BM沿直線1向右平移，在平移過程中，始終保持

ZABP=90°不變，BP邊與直線1相交于點P.

（1）當P與0重合時（如圖2所示），設(shè)點C是AO的中點，連接BC.求證：

四邊形OCBM是正方形；

（2）請利用如圖1所示的情形，求證：嶇=史；

PBBM

（3）若A0=2依，且當MO=2PO時，請直接寫出AB和PB的長.

【解答】解：（1）V2BM=A0,2C0=A0

/.BM=CO,

VA0/7BM,

四邊形OCBM是平行四邊形，

VZBM0=90°,

.?.□OCBM是矩形，

VZABP=90°,C是A0的中點,

.,.OC=BC,

，矩形OCBM是正方形.

（2）連接AP、0B,

VZABP=ZA0P=90°,

：.A、B、0、P四點共圓，

由圓周角定理可知：ZAPB=ZA0B,

VAO/yBM,

二ZA0B=Z0BM,

ZAPB=Z0BM,

.,.△APB^AOBM,

.AB_0M

（3）當點P在0的左側(cè)時，如圖所示,

過點B作BD±AO于點D,

易證△PEOs^BED,

???P-0=--0E

BDDE

易證：四邊形DBMO是矩形，

.\BD=MO,OD=BM

/.M0=2P0=BD,

??OE—1,

DE2

?.?AO=2BM=2加，

；.BM=加,

...OE=返，DE=2^,

33

易證△ADBSAABE,

.,.AB2=AD?AE,

VAD=D0=DM=V6?

，AE=AD+DE=^^

3

.*.AB=VTO，

由勾股定理可知：BE=空運，

3

易證：△PEOS^PBM,

?BE0M=2

"PBrPMT

?,.PB=V15

當點P在0的右側(cè)時，如圖所示，

過點B作BDLOA于點D,

VM0=2P0,

.?.點P是0M的中點,

設(shè)PM=x,BD=2x,

VZA0M=ZABP=90°,

...A、0、P、B四點共圓，

二四邊形AOPB是圓內(nèi)接四邊形，

，NBPM=NA,

.AD「PM

"BEF^BH'

又易證四邊形ODBM是矩形，A0=2BM,

，AD=BM=近，

?V6-x

??--，

2xV6

解得:x=?,

?*.BD=2x=2^/3

由勾股定理可知：AB=3圾，BM=3

10、如圖1,點E是正方形ABCD邊CD上任意一點，以DE為邊作正方形DEFG,

連接BF,點M是線段BF中點，射線EM與BC交于點H,連接CM.

（1）請直接寫出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

（2）把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45°,此時點F恰好落在線段

CD上，如圖2,其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由；

（3）把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°,此時點E、G恰好分別落

在線段AD、CD上，如圖3,其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理

由.

【解答】解:（1）如圖1,結(jié)論:CM=EM,CM±EM.

圖1

理由：；AD〃EF,AD〃BC,，BC〃EF,AZEFM=ZHBM.在AFME和ABMH中，

'NEFM=/MBH

,FM=BM，/.AFME^ABMH,.*.HM=EM,EF=BH.

ZFME=ZBMH

VCD=BC,.,.CE=CH\1ZHCE=9O°，HM=EM,.*.CM=ME,CM±EM.

(2如圖2,連接AE,

???四邊形ABCD和四邊形EDGF是正方形，，NFDE=45°,ZCBD=45°,.?.點B、

E、D在同一條直線上.

ZBCF=90°,ZBEF=90°,M為AF的中點,.\CM=1AF,EM=1AF,Z.CM=ME.

22

VZEFD=45°,，NEFC=135°.

：CM=FM=ME,/.ZMCF=ZMFC,ZMFE=ZMEF,/.ZMCF+ZMEF=135°，：.Z

fDE=DG

在aEDM和△GDM中，（NMDE=NMDG，???△EDM絲△GDM,，ME=MG,ZMED=ZMGD.

DM=DM

OM為BF的中點,FG〃MN〃BC,，GN=NC,又MNJ_CD,；.MC=MG,，MD=ME,ZMCG=

ZMGC.

VZMGC+ZMGD=180°，/.ZMCG+ZMED=180°，/.ZCME+ZCDE=180°.

VZCDE=90°,ZCME=90°,/.(1)中的結(jié)論成立.

11、如圖1,以QABCD的較短邊CD為一邊作菱形CDEF,使點F落在邊AD上，連

接BE,交AF于點G.

(1)猜想BG與EG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)延長DE、BA交于點H,其他條件不變：

①如圖2,若/ADC=60°,求理?的值;

BH

②如圖3,若NADC=a(00<a<90°)，直接寫出地的值（用含a的三角函

BH

數(shù)表示）

【解答】解：（1）BG=EG,理由是：

如圖1,?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

/.AB=CD,AB〃CD,

?.?四邊形CFED是菱形,

.,.EF=CD,EF〃CD,

.?.AB=EF,AB〃EF,

，ZA=ZGFE,

,/ZAGB=ZFGE,

.,.△BAG^AEFG,

.*.BG=EG；

(2)①如圖2,設(shè)AG=a,CD=b,則DF=AB=b,

由(1)知：ABAG^AEFG,

.\FG=AG=a,

/.ZHAD=ZADC=60o,

VZADE=60°,

：.ZAHD=ZHAD=ZADE=60°,

：.AADH是等邊三角形，

/.AD=AH=2a+b,

.DG=FG+DF=a+b=1.

..俞AB+AHb+2a+bT

②如圖3,連接EC交DF于0,

?.?四邊形CFED是菱形，

/.EC±AD,FD=2F0,

設(shè)FG=a,AB=b,則FG=a,EF=ED=CD=b,

RSEFO中，cosa

EF

OF=bcosa,

?*.DG=a+2bcosa,

過H作HM±AD于M,

VZADC=ZHAD=ZADH=a,

.\AH=AD,

AM=—AD=—(2a+2bcosa)=a+bcosa,

22

RtZ\AHM中,cosa=幽，

AH

.?.AH=q+bcosa

cosa

.DG_a+2bcosa=cosa

.BH-a+bcosd

b+-----——

cosa

12、如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG〃

CD交AF于點G,連接DG.

(1)求證：四邊形EFDG是菱形；

(2)探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)若AG=6,EG=2旄，求BE的長.

【解答】解：（1）證明：：GE〃DF,

/.ZEGF=ZDFG.

?.,由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE,DF=EF,NDGF=NEGF,

，ZDGF=ZDFG.

/.GD=DF.

.*.DG=GE=DF=EF.

四邊形EFDG為菱形.

（2）EG2=1GF-AF.

2

理由：如圖1所示：連接DE交AF于點0.

a--------------D

?.?四邊形EFDG為菱形,

/.GF±DE,OG=OF=1GF.

2

VZD0F=ZADF=90°,ZOFD=ZDFA,

.,.△DOF^AADF.

...更勿，即DF』O?AF.

AFDF

VFO=1GF,DF=EG,

2

.,.EG2=1GF?AF.

2

（3）如圖2所示：過點G作GHLDC,垂足為H.

VEG2=1GF*AF,AG=6,EG=2加，

.\20=1FG(FG+6),整理得：FG2+6FG-40=0.

2

解得：FG=4,FG=-10(舍去).

?.?DF=GE=2逐，AF=10,

AD=VAF2-DF2=4A^?

VGH1DC,AD±DC,

；.GH〃AD.

/.△FGH^AFAD.

.?.史F,即粵

ADAF4A/510

.?.GH&L

5__

.\BE=AD-GH=4泥-色反=絲匡.

55

13、如圖1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,動點P從點A出發(fā)，以3cm/s

的速度向點0運動，直到點0為止；動點Q同時從點C出發(fā)，以2cm/s的速度向

點B運動，與點P同時結(jié)束運動.

(1)點P到達終點0的運動時間是工s,此時點Q的運動距離是絲cm；

一J_――且一

(2)當運動時間為2s時，P、Q兩點的距離為」至_cm；

(3)請你計算出發(fā)多久時，點P和點Q之間的距離是10cm；

(4)如圖2,以點0為坐標原點，0C所在直線為x軸，0A所在直線為y軸，1cm

長為單位長度建立平面直角坐標系，連結(jié)AC,與PQ相交于點D,若雙曲線y=K

X

過點D,問k的值是否會變化？若會變化，說明理由；若不會變化，請求出k的

值.

/.0A=BC=16,

???動點P從點A出發(fā)，以3cm/s的速度向點0運動,

：.t=—,此時，點Q的運動距離是紅X2=^cm,

333

故答案為也，32；

33

(2)如圖1,由運動知，AP=3X2=6cm,CQ=2X2=4cm,

過點P作PE±BC于E,過點Q作QF±OA于F,

...四邊形APEB是矩形，

；.PE=AB=6,BE=6,

.\EQ=BC-BE-CQ=16-6-4=6,

根據(jù)勾股定理得，PQ=6^,

故答案為6我；

(3)設(shè)運動時間為t秒時，

由運動知，AP=3t,CQ=2t,

同(2)的方法得，PE=6,EQ=16-3t-2t=16-5t,

?.?點P和點Q之間的距離是10cm,

.?.6,(16-5t)2=100,

t=—t=—；

55

（4）k的值是不會變化，

理由：?.?四邊形AOCB是矩形,

，0C=AB=6,0A=16,

AC(6,0),A(0,16),

...直線AC的解析式為y=-Bx+16①,

3

設(shè)運動時間為t,

；.AP=3t,CQ=2t,

.*.0P=16-3t,

：.P(0,16-3t),Q(6,2t),

APQ解析式為y=5tzl6.x+16-3t②，

6

聯(lián)立①②解得，x=E,y=絲，

55

AD(里絲)，

55

.?.k=lix絲=不是定值.

14、對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作：先沿CE折疊，使點B落在CD

邊上（如圖①），再沿CH折疊，這時發(fā)現(xiàn)點E恰好與點D重合（如圖②）

（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求端的值；

AD

（2）將該矩形紙片展開.

①如圖③，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB相交于點P,再將

該矩形紙片展開.求證：ZHPC=90°；

②不借助工具，利用圖④探索一種新的折疊方法，找出與圖③中位置相同的P

點，要求只有一條折痕，且點P在折痕上，請簡要說明折疊方法.（不需說明理

由）

【解答】解：(1)由圖①，可得NBCE=*NBCD=45°,

XVZB=90°，

.,.△BCE是等腰直角三角形，

.,.新cos45。=返，EPCE=V2BC,

EC2

由圖②，可得CE=CD,而AD=BC,

/.CD=V2AD,

（2）①設(shè)AD=BC=a,則AB=CD=^a,BE=a,

.\AE=（V2-1）a,

如圖③，連接EH,則NCEH=NCDH=90°，

VZBEC=45°,ZA=90°,

AZAEH=45°=ZAHE,

/.AH=AE=（V2-1）a,

設(shè)AP=x,貝ljBP=0a-x,由翻折可得，PH=PC,BPPH2=PC\

.-.AH2+AP2=BP2+BC2,

即[（V2-1）a]2+x2=（亞a-x）2+a2,

解得x=a,即AP=BC,

又?.,PH=CP,ZA=ZB=90°,

ARtAAPH^RtABCP（HL），

，ZAPH=ZBCP,

又?.,RtZ\BCP中，ZBCP+ZBPC=90°,

/.ZAPH+ZBPC=90o,

ZCPH=90°；

②折法：如圖，由AP=BC=AD,可得4ADP是等腰直角三角形，PD平分/ADC,

故沿著過D的直線翻折，使點A落在CD邊上，此時折痕與AB的交點即為P；

A10

B圖④C

折法：如圖，由NBCE=NPCH=45°,可得NBCP=NECH,

由NDCE=NPCH=45°,可得NPCE=NDCH,

又?.?NDCH=NECH,

ZBCP=ZPCE,即CP平分NBCE,

故沿著過點C的直線折疊，使點B落在CE上，此時，折痕與AB的交點即為P.

15、如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm,ZADB=30°.P,Q兩點分別從A,B同時

出發(fā)，點P沿折線AB-BC運動，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2丑

cm/s；點Q在BD上以2cm/s的速度向終點D運動，過點P作PNLAD,垂足為點

N.連接PQ,以PQ,PN為鄰邊作口PQMN.設(shè)運動的時間為x(s),口PQMN與矩形

ABCD重疊部分的圖形面積為y(cm2)

(1)當PQ_LAB時，x=2s；

-3-

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

(3)直線AM將矩形ABCD的面積分成1：3兩部分時，直接寫出x的值.

DD

【解答】解:(1)當PQ_LAB時,BQ=2PB,

.\2x=2(2-2x),

.".x=—s.

3

故答案為Zs.

3

(2)①如圖1中，當OVxWZ時，重疊部分是四邊形PQMN.

3

y=2xX遮x=2bx2.

②如圖②中，當2<xWl時，重疊部分是四邊形PQEN.

3

圖2

y=A-(2-x+2txX遭X=^X2+V3X

③如圖3中，當l〈x<2時，重疊部分是四邊形PNEQ.

(x-1)]=^-x:!-3丑x+4

y=—(2-x+2)X[A/3X-2A/3

/

2V3X2(0<X<Y)

o

2

綜上所述，y=1^X+V3X(4<X<：L).