2021年九年級中考數學第三輪解答題沖刺專題復習:四邊形 綜合練習(含答案)_第1頁
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文檔簡介

2021年中考數學第三輪解答題沖刺專題復習:四邊形綜合練習

1、如圖,^ABC中,D是BC邊上一點,E是AD的中點,過點A作BC的平行線

交BE的延長線于F,且AF=CD,連接CF.

(1)求證:△AEFgADEB;

(2)若AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結論.

2、如圖,在Rt^ABC中,ZACB=90°,D、E分別是AB、AC的中點,連接CD,

過E作EF〃DC交BC的延長線于F.

(1)證明:四邊形CDEF是平行四邊形;

(2)若四邊形CDEF的周長是25cm,AC的長為5cm,求線段AB的長度.

3、如圖,正方形ABCD的對角線交于點0,點E、F分別在AB、BC±(AE<BE),

且/E0F=90°,0E、DA的延長線交于點M,OF、AB的延長線交于點N,連接MN.

(1)求證:0M=0N.

(2)若正方形ABCD的邊長為4,E為0M的中點,求MN的長.

4、如圖,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,點F是DE的中點,AB與

AG關于AE對稱,AE與AF關于AG對稱.

(1)求證:4AEF是等邊三角形;

(2)若AB=2,求4AFD的面積.

5、已知:如圖,正方形ABCD中,P是邊BC上一點,BE±AP,DF1AP,垂足分

別是點E、F.

(1)求證:EF=AE-BE;

(2)聯結BF,如課處=邁.求證:EF=EP.

BFAD

6、如圖,在矩形ABCD中,AD=4,點E在邊AD上,連接CE,以CE為邊向右上

方作正方形CEFG,作FHJ_AD,垂足為H,連接AF.

(1)求證:FH=ED;

(2)當AE為何值時,^AEF的面積最大?

7、如圖,在口ABCD中,DC>AD,四個角的平分線AE,DE,BF,CF的交點分別是

E,F,過點E,F分別作DC與AB間的垂線MM'與NN',在DC與AB上的垂足分別

是M,N與M',N',連接EF.

(1)求證:四邊形EFNM是矩形;

(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的長.

8、如圖,在矩形ABCD中,AB—2,AD=?,P是BC邊上的一點,且BP=2CP.

(1)用尺規(guī)在圖①中作出CD邊上的中點E,連接AE、BE(保留作圖痕跡,不寫

作法);

(2)如圖②,在(1)的條體下,判斷EB是否平分NAEC,并說明理由;

(3)如圖③,在(2)的條件下,連接EP并廷長交AB的廷長線于點F,連接AP,

不添加輔助線,能否由都經過P點的兩次變換與4PAE組成一個等腰三角

形?如果能,說明理由,并寫出兩種方法(指出對稱軸、旋轉中心、旋轉方向和

平移距離)

9、已知:A、B兩點在直線1的同一側,線段AO,BM均是直線1的垂線段,且

BM在A0的右邊,A0=2BM,將BM沿直線1向右平移,在平移過程中,始終保持

ZABP=90°不變,BP邊與直線1相交于點P.

(1)當P與0重合時(如圖2所示),設點C是A0的中點,連接BC.求證:

四邊形OCBM是正方形;

(2)請利用如圖1所示的情形,求證:嶇=變;

PBBM

(3)若A0=2&,且當M0=2P0時,請直接寫出AB和PB的長.

10、如圖1,點E是正方形ABCD邊CD上任意一點,以DE為邊作正方形DEFG,

連接BF,點M是線段BF中點,射線EM與BC交于點H,連接CM.

(1)請直接寫出CM和EM的數量關系和位置關系;

(2)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉45°,此時點F恰好落在線段

CD上,如圖2,其他條件不變,(1)中的結論是否成立,請說明理由;

(3)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉90°,此時點E、G恰好分別落

在線段AD、CD上,如圖3,其他條件不變,(1)中的結論是否成立,請說明理

由.

11、如圖1,以QABCD的較短邊CD為一邊作菱形CDEF,使點F落在邊AD上,連

接BE,交AF于點G.

(1)猜想BG與EG的數量關系,并說明理由;

(2)延長DE、BA交于點H,其他條件不變:

①如圖2,若NADC=60°,求效的值;

BH

②如圖3,若/ADC=a(0°<a<90°),直接寫出理?的值(用含a的三角函

BH

數表示)

12、如圖,將矩形ABCD沿AF折疊,使點D落在BC邊的點E處,過點E作EG〃

CD交AF于點G,連接DG.

(1)求證:四邊形EFDG是菱形;

(2)探究線段EG、GF、AF之間的數量關系,并說明理由;

(3)若AG=6,EG=2泥,求BE的長.

13、如圖1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,動點P從點A出發(fā),以3cm/s

的速度向點0運動,直到點0為止;動點Q同時從點C出發(fā),以2cm/s的速度向

點B運動,與點P同時結束運動.

(1)點P到達終點0的運動時間是s,此時點Q的運動距離是cm;

(2)當運動時間為2s時,P、Q兩點的距離為cm;

(3)請你計算出發(fā)多久時,點P和點Q之間的距離是10cm;

(4)如圖2,以點0為坐標原點,0C所在直線為x軸,OA所在直線為y軸,1cm

長為單位長度建立平面直角坐標系,連結AC,與PQ相交于點D,若雙曲線y=K

X

過點D,問k的值是否會變化?若會變化,說明理由;若不會變化,請求出k的

值.

14、對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作:先沿CE折疊,使點B落在CD

邊上(如圖①),再沿CH折疊,這時發(fā)現點E恰好與點D重合(如圖②)

(1)根據以上操作和發(fā)現,求段的值;

(2)將該矩形紙片展開.

①如圖③,折疊該矩形紙片,使點C與點H重合,折痕與AB相交于點P,再將

該矩形紙片展開.求證:ZHPC=90°;

②不借助工具,利用圖④探索一種新的折疊方法,找出與圖③中位置相同的P

點,要求只有一條折痕,且點P在折痕上,請簡要說明折疊方法.(不需說明理

由)

15、如圖,在矩形ABCD中,AB=2cm,ZADB=30°.P,Q兩點分別從A,B同時

出發(fā),點P沿折線AB-BC運動,在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2T

cm/s;點Q在BD上以2cm/s的速度向終點D運動,過點P作PNLAD,垂足為點

N.連接PQ,以PQ,PN為鄰邊作。PQMN.設運動的時間為x(s),中QMN與矩形

ABCD重疊部分的圖形面積為y(cm2)

(1)當PQ_LAB時,x=;

(2)求y關于x的函數解析式,并寫出x的取值范圍;

(3)直線AM將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分時,直接寫出x的值.

16、在菱形ABCO中,乙48c=60°,點P是射線80上一動點,以AP為邊向右側

作等邊△/PE,

點E的位置隨點P的位置變化而變化.

(1)如圖1,當點E在菱形ABCO內部或邊上時,連接CE,BP與CE的數量關系

是,

CE與/£)的位置關系是;

(2)當點E在菱形4BCD外部時,(1)中的結論是否還成立?若成立,請予以證

明;若不成立,請說明理由(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理).

⑶如圖4,當點P在線段BO的延長線上時,連接BE,若=2遮,BE=2719,

求四邊形4DPE的面積.

參考答案

2021年中考數學第三輪壓軸題沖刺專題復習:四邊形綜合練習題

1、如圖,AABC中,D是BC邊上一點,E是AD的中點,過點A作BC的平行線

交BE的延長線于F,且AF=CD,連接CF.

(1)求證:△AEFgADEB;

(2)若AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結論.

【解答】證明:(1)是AD的中點,

/.AE=DE,

?.?AF〃BC,

AZAFE=ZDBE,NEAF=NEDB,

?.?AF〃CD,AF=CD,

四邊形ADCF是平行四邊形,

VAAEF^ADEB,

,BE=FE,

VAE=DE,

,四邊形ABDF是平行四邊形,

,DF=AB,

VAB=AC,

.,.DF=AC,

,四邊形ADCF是矩形.

2、如圖,在RtaABC中,ZACB=90°,D、E分別是AB、AC的中點,連接CD,

過E作EF〃DC交BC的延長線于F.

(1)證明:四邊形CDEF是平行四邊形;

(2)若四邊形CDEF的周長是25cm,AC的長為5cm,求線段AB的長度.

【解答】(1)證明::D、E分別是AB、AC的中點,F是BC延長線上的一點,

AED^RtAABC的中位線,

;.ED〃FC.BC=2DE,

又EF〃DC,

...四邊形CDEF是平行四邊形;

(2)解:?.?四邊形CDEF是平行四邊形;

/.DC=EF,

VDC是RtAABC斜邊AB上的中線,

,AB=2DC,

二四邊形DCFE的周長=AB+BC,

,/四邊形DCFE的周長為25cm,AC的長5cm,

,BC=25-AB,

?.?在RtAABC中,ZACB=90°,

.".AB2=BC2+AC2,即AB2=(25-AB)2+52,

解得,AB=13cm,

3、如圖,正方形ABCD的對角線交于點0,點E、F分別在AB、BC±(AE<BE),

且NE0F=90°,0E、DA的延長線交于點M,OF、AB的延長線交于點N,連接MN.

(1)求證:OM=ON.

(2)若正方形ABCD的邊長為4,E為0M的中點,求MN的長.

【解答】解:(1)???四邊形ABCD是正方形,

.,.OA=OB,ZDA0=45°,Z0BA=45°,

:.Z0AM=Z0BN=135°,

VZE0F=90°,ZA0B=90°,

ZAOM=ZBON,

...△OAM四△OBN(ASA),

.-.OM=ON;

(2)如圖,過點0作OH_LAD于點H,

?.?正方形的邊長為4,

/.0H=HA=2,

???E為0M的中點,

貝U0M=^22+42=275,

.?.MN=?0M=2/.

4、如圖,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,點F是DE的中點,AB與

AG關于AE對稱,AE與AF關于AG對稱.

(1)求證:4AEF是等邊三角形;

(2)若AB=2,求4AFD的面積.

AD

【解答】解:(1)??.AB與AG關于AE對稱,

AAEIBC,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

,AD〃BC,

/.AE±AD,即NDAE=90°,

?.?點F是DE的中點,即AF是RtAADE的中線,

,-.AF=EF=DF,

VAE與AF關于AG對稱,

;.AE=AF,

則AE=AF=EF,

/.△AEF是等邊三角形;

(2)記AG、EF交點為H,

,/AAEF是等邊三角形,且AE與AF關于AG對稱,

.*.ZEAG=30o,AG_LEF,

TAB與AG關于AE對稱,

.,.ZBAE=ZGAE=30°,ZAEB=90°,

VAB=2,

;.BE=1、DF=AF=AE=V3-

則EH=LAE=2SS、AH=a,

222

SAADF=-XX—=.

224

5、已知:如圖,正方形ABCD中,P是邊BC上一點,BE±AP,DF±AP,垂足分

別是點E、F.

(1)求證:EF=AE-BE;

(2)聯結BF,如課空=更.求證:EF=EP.

BFAD

【解答】證明:(1)?四邊形ABCD為正方形,

/.AB=AD,ZBAD=90°,

VBE1AP,DF1AP,

.,.ZBEA=ZAFD=90°,

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=90°,

:.Z1=Z3,

在AABE和ZXDAF中

"ZBEA=ZAFD

<Z1=Z2,

,AB=DA

/.△ABE^ADAF,

,BE=AF,

.\EF=AE-AF=AE-BE;

(2)如圖,?.?更=更,

BFAD

而AF=BE,

?BE=DF

*,BFAD,

?BE=BF

,,DFAD)

ARtABEF^RtADFA,

/.Z4=Z3,

而N1=N3,

/.Z4=Z1,

VZ5=Z1,

.".Z4=Z5,

即BE平分NFBP,

而BE±EP,

,EF=EP.

6、如圖,在矩形ABCD中,AD=4,點E在邊AD上,連接CE,以CE為邊向右上

方作正方形CEFG,作FH_LAD,垂足為H,連接AF.

(1)求證:FH=ED;

(2)當AE為何值時,AAEF的面積最大?

【解答】解:(1)證明:

?.?四邊形CEFG是正方形,

/.CE=EF,

VZFEC=ZFEH+ZCED=90°,ZDCE+ZCED=90°,

ZFEH=ZDCE,

在△FEH和AECD中

rEF=CE

<NFEH=NDCE,

NFHE=ND

.,.△FEH^AECD,

.?.FH=ED;

(2)設AE=a,則ED=FH=4-a,

??.SwLAE?FH」a(4-a),

22

=-1(a-2)2+2,

2

當AE=2時,△AEF的面積最大.

7、如圖,在口ABCD中,DOAD,四個角的平分線AE,DE,BF,CF的交點分別是

E,F,過點E,F分別作DC與AB間的垂線MM'與NN',在DC與AB上的垂足分別

是M,N與M',N',連接EF.

(1)求證:四邊形EFNM是矩形;

(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的長.

【解答】解:(1)證明:過點E、F分別作AD、BC的垂線,垂足分別是G、H.

VZ3=Z4,Z1=Z2,EG±AD,EM±CD,EM'±AB

/.EG=ME,EG=EM/

.\EG=ME=ME,=1MMZ

2

同理可證:FH=NF=N'F=LNN'

2

?.,CD〃AB,MM'1CD,NN'±CD,

...MM'=NN'

;.ME=NF=EG=FH

又'.'MM'〃NN',MM'±CD

...四邊形EFNM是矩形.

(2)..?DC〃AB,

/.ZCDA+ZDAB=180°,

Z3^CDA*Z2=1ZDAB

/.Z3+Z2=90°

在RtaDEA,VAE=4,DE=3,

:四邊形ABCD是平行四邊形,

/.ZDAB=ZDCB,

又?.?/2=LNDAB,Z5=1ZDCB,

22

,Z2=Z5

由⑴知GE=NF

在RtAGEA和RtACNF中

,Z2=Z5

<ZEGA=ZFNC=90°

GE=NF

.,.△GEA^ACNF

/.AG=CN

在RtADME和RtADGE中

VDE=DE,ME=EG

.,.△DME^ADGE

.\DG=DM

/.DM+CN=DG+AG=AB=5

.\MN=CD-DM-CN=9-5=4.

?.?四邊形EFNM是矩形.

;.EF=MN=4

8、如圖,在矩形ABCD中,AB—2,AD=F,P是BC邊上的一點,且BP=2CP.

(1)用尺規(guī)在圖①中作出CD邊上的中點E,連接AE、BE(保留作圖痕跡,不寫

作法);

(2)如圖②,在(1)的條體下,判斷EB是否平分NAEC,并說明理由;

(3)如圖③,在(2)的條件下,連接EP并廷長交AB的廷長線于點F,連接AP,

不添加輔助線,4PFB能否由都經過P點的兩次變換與4PAE組成一個等腰三角

形?如果能,說明理由,并寫出兩種方法(指出對稱軸、旋轉中心、旋轉方向和

平移距離)

【解答】解:(1)依題意作出圖形如圖①所示,

(2)EB是平分NAEC,理由:

?.?四邊形ABCD是矩形,

.,.ZC=ZD=90°,CD=AB=2,BC=AD=?,

?.?點E是CD的中點,

.,.DE=CE=1CD=1,

2

'AD=BC

在4ADE和4BCE中,?ZC=ZD=90°,

DE=CE

.?.△ADE^ABCE,

ZAED=ZBEC,

在RtZiADE中,AD=V3,DE=1,

/.tanZAED=—=A/3,

DE

AZAED=60°,

AZBCE=ZAED=60°,

ZAEB=180°-ZAED-ZBEC=60°=NBEC,

,BE平分NAEC;

(3)VBP=2CP,BC=“,

.?.CP=返,BP」立,

33

在RSCEP中,tanNCEP=里逅,

CE3

ZCEP=30°,

/.ZBEP=30o,

/.ZAEP=90°,

?.?CD〃AB,

/.ZF=ZCEP=30°,

在RSABP中,tan/BAP?=返,

AB3

/.ZPAB=30°,

/.ZEAP=30o=NF=NPAB,

VCB1AF,

.\AP=FP,

.".△AEP^AFBP,

.??△PFB能由都經過P點的兩次變換與APAE組成一個等腰三角形,

變換的方法為:將4BPF繞點B順時針旋轉120°和4EPA重合,①沿PF折疊,

②沿AE折疊.

9、已知:A、B兩點在直線1的同一側,線段AO,BM均是直線1的垂線段,且

BM在AO的右邊,AO=2BM,將BM沿直線1向右平移,在平移過程中,始終保持

ZABP=90°不變,BP邊與直線1相交于點P.

(1)當P與0重合時(如圖2所示),設點C是AO的中點,連接BC.求證:

四邊形OCBM是正方形;

(2)請利用如圖1所示的情形,求證:嶇=史;

PBBM

(3)若A0=2依,且當MO=2PO時,請直接寫出AB和PB的長.

【解答】解:(1)V2BM=A0,2C0=A0

/.BM=CO,

VA0/7BM,

四邊形OCBM是平行四邊形,

VZBM0=90°,

.?.□OCBM是矩形,

VZABP=90°,C是A0的中點,

.,.OC=BC,

,矩形OCBM是正方形.

(2)連接AP、0B,

VZABP=ZA0P=90°,

:.A、B、0、P四點共圓,

由圓周角定理可知:ZAPB=ZA0B,

VAO/yBM,

二ZA0B=Z0BM,

ZAPB=Z0BM,

.,.△APB^AOBM,

.AB_0M

(3)當點P在0的左側時,如圖所示,

過點B作BD±AO于點D,

易證△PEOs^BED,

???P-0=--0E

BDDE

易證:四邊形DBMO是矩形,

.\BD=MO,OD=BM

/.M0=2P0=BD,

??OE—1,

DE2

?.?AO=2BM=2加,

;.BM=加,

...OE=返,DE=2^,

33

易證△ADBSAABE,

.,.AB2=AD?AE,

VAD=D0=DM=V6?

,AE=AD+DE=^^

3

.*.AB=VTO,

由勾股定理可知:BE=空運,

3

易證:△PEOS^PBM,

?BE0M=2

"PBrPMT

?,.PB=V15

當點P在0的右側時,如圖所示,

過點B作BDLOA于點D,

VM0=2P0,

.?.點P是0M的中點,

設PM=x,BD=2x,

VZA0M=ZABP=90°,

...A、0、P、B四點共圓,

二四邊形AOPB是圓內接四邊形,

,NBPM=NA,

.AD「PM

"BEF^BH'

又易證四邊形ODBM是矩形,A0=2BM,

,AD=BM=近,

?V6-x

??--,

2xV6

解得:x=?,

?*.BD=2x=2^/3

由勾股定理可知:AB=3圾,BM=3

10、如圖1,點E是正方形ABCD邊CD上任意一點,以DE為邊作正方形DEFG,

連接BF,點M是線段BF中點,射線EM與BC交于點H,連接CM.

(1)請直接寫出CM和EM的數量關系和位置關系;

(2)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉45°,此時點F恰好落在線段

CD上,如圖2,其他條件不變,(1)中的結論是否成立,請說明理由;

(3)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉90°,此時點E、G恰好分別落

在線段AD、CD上,如圖3,其他條件不變,(1)中的結論是否成立,請說明理

由.

【解答】解:(1)如圖1,結論:CM=EM,CM±EM.

圖1

理由:;AD〃EF,AD〃BC,,BC〃EF,AZEFM=ZHBM.在AFME和ABMH中,

'NEFM=/MBH

,FM=BM,/.AFME^ABMH,.*.HM=EM,EF=BH.

ZFME=ZBMH

VCD=BC,.,.CE=CH\1ZHCE=9O°,HM=EM,.*.CM=ME,CM±EM.

(2如圖2,連接AE,

???四邊形ABCD和四邊形EDGF是正方形,,NFDE=45°,ZCBD=45°,.?.點B、

E、D在同一條直線上.

ZBCF=90°,ZBEF=90°,M為AF的中點,.\CM=1AF,EM=1AF,Z.CM=ME.

22

VZEFD=45°,,NEFC=135°.

:CM=FM=ME,/.ZMCF=ZMFC,ZMFE=ZMEF,/.ZMCF+ZMEF=135°,:.Z

fDE=DG

在aEDM和△GDM中,(NMDE=NMDG,???△EDM絲△GDM,,ME=MG,ZMED=ZMGD.

DM=DM

OM為BF的中點,FG〃MN〃BC,,GN=NC,又MNJ_CD,;.MC=MG,,MD=ME,ZMCG=

ZMGC.

VZMGC+ZMGD=180°,/.ZMCG+ZMED=180°,/.ZCME+ZCDE=180°.

VZCDE=90°,ZCME=90°,/.(1)中的結論成立.

11、如圖1,以QABCD的較短邊CD為一邊作菱形CDEF,使點F落在邊AD上,連

接BE,交AF于點G.

(1)猜想BG與EG的數量關系,并說明理由;

(2)延長DE、BA交于點H,其他條件不變:

①如圖2,若/ADC=60°,求理?的值;

BH

②如圖3,若NADC=a(00<a<90°),直接寫出地的值(用含a的三角函

BH

數表示)

【解答】解:(1)BG=EG,理由是:

如圖1,?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

/.AB=CD,AB〃CD,

?.?四邊形CFED是菱形,

.,.EF=CD,EF〃CD,

.?.AB=EF,AB〃EF,

,ZA=ZGFE,

,/ZAGB=ZFGE,

.,.△BAG^AEFG,

.*.BG=EG;

(2)①如圖2,設AG=a,CD=b,則DF=AB=b,

由(1)知:ABAG^AEFG,

.\FG=AG=a,

/.ZHAD=ZADC=60o,

VZADE=60°,

:.ZAHD=ZHAD=ZADE=60°,

:.AADH是等邊三角形,

/.AD=AH=2a+b,

.DG=FG+DF=a+b=1.

..俞AB+AHb+2a+bT

②如圖3,連接EC交DF于0,

?.?四邊形CFED是菱形,

/.EC±AD,FD=2F0,

設FG=a,AB=b,則FG=a,EF=ED=CD=b,

RSEFO中,cosa

EF

OF=bcosa,

?*.DG=a+2bcosa,

過H作HM±AD于M,

VZADC=ZHAD=ZADH=a,

.\AH=AD,

AM=—AD=—(2a+2bcosa)=a+bcosa,

22

RtZ\AHM中,cosa=幽,

AH

.?.AH=q+bcosa

cosa

.DG_a+2bcosa=cosa

.BH-a+bcosd

b+-----——

cosa

12、如圖,將矩形ABCD沿AF折疊,使點D落在BC邊的點E處,過點E作EG〃

CD交AF于點G,連接DG.

(1)求證:四邊形EFDG是菱形;

(2)探究線段EG、GF、AF之間的數量關系,并說明理由;

(3)若AG=6,EG=2旄,求BE的長.

【解答】解:(1)證明::GE〃DF,

/.ZEGF=ZDFG.

?.,由翻折的性質可知:GD=GE,DF=EF,NDGF=NEGF,

,ZDGF=ZDFG.

/.GD=DF.

.*.DG=GE=DF=EF.

四邊形EFDG為菱形.

(2)EG2=1GF-AF.

2

理由:如圖1所示:連接DE交AF于點0.

a--------------D

?.?四邊形EFDG為菱形,

/.GF±DE,OG=OF=1GF.

2

VZD0F=ZADF=90°,ZOFD=ZDFA,

.,.△DOF^AADF.

...更勿,即DF』O?AF.

AFDF

VFO=1GF,DF=EG,

2

.,.EG2=1GF?AF.

2

(3)如圖2所示:過點G作GHLDC,垂足為H.

VEG2=1GF*AF,AG=6,EG=2加,

.\20=1FG(FG+6),整理得:FG2+6FG-40=0.

2

解得:FG=4,FG=-10(舍去).

?.?DF=GE=2逐,AF=10,

AD=VAF2-DF2=4A^?

VGH1DC,AD±DC,

;.GH〃AD.

/.△FGH^AFAD.

.?.史F,即粵

ADAF4A/510

.?.GH&L

5__

.\BE=AD-GH=4泥-色反=絲匡.

55

13、如圖1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,動點P從點A出發(fā),以3cm/s

的速度向點0運動,直到點0為止;動點Q同時從點C出發(fā),以2cm/s的速度向

點B運動,與點P同時結束運動.

(1)點P到達終點0的運動時間是工s,此時點Q的運動距離是絲cm;

一J_――且一

(2)當運動時間為2s時,P、Q兩點的距離為」至_cm;

(3)請你計算出發(fā)多久時,點P和點Q之間的距離是10cm;

(4)如圖2,以點0為坐標原點,0C所在直線為x軸,0A所在直線為y軸,1cm

長為單位長度建立平面直角坐標系,連結AC,與PQ相交于點D,若雙曲線y=K

X

過點D,問k的值是否會變化?若會變化,說明理由;若不會變化,請求出k的

值.

/.0A=BC=16,

???動點P從點A出發(fā),以3cm/s的速度向點0運動,

:.t=—,此時,點Q的運動距離是紅X2=^cm,

333

故答案為也,32;

33

(2)如圖1,由運動知,AP=3X2=6cm,CQ=2X2=4cm,

過點P作PE±BC于E,過點Q作QF±OA于F,

...四邊形APEB是矩形,

;.PE=AB=6,BE=6,

.\EQ=BC-BE-CQ=16-6-4=6,

根據勾股定理得,PQ=6^,

故答案為6我;

(3)設運動時間為t秒時,

由運動知,AP=3t,CQ=2t,

同(2)的方法得,PE=6,EQ=16-3t-2t=16-5t,

?.?點P和點Q之間的距離是10cm,

.?.6,(16-5t)2=100,

t=—t=—;

55

(4)k的值是不會變化,

理由:?.?四邊形AOCB是矩形,

,0C=AB=6,0A=16,

AC(6,0),A(0,16),

...直線AC的解析式為y=-Bx+16①,

3

設運動時間為t,

;.AP=3t,CQ=2t,

.*.0P=16-3t,

:.P(0,16-3t),Q(6,2t),

APQ解析式為y=5tzl6.x+16-3t②,

6

聯立①②解得,x=E,y=絲,

55

AD(里絲),

55

.?.k=lix絲=不是定值.

14、對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作:先沿CE折疊,使點B落在CD

邊上(如圖①),再沿CH折疊,這時發(fā)現點E恰好與點D重合(如圖②)

(1)根據以上操作和發(fā)現,求端的值;

AD

(2)將該矩形紙片展開.

①如圖③,折疊該矩形紙片,使點C與點H重合,折痕與AB相交于點P,再將

該矩形紙片展開.求證:ZHPC=90°;

②不借助工具,利用圖④探索一種新的折疊方法,找出與圖③中位置相同的P

點,要求只有一條折痕,且點P在折痕上,請簡要說明折疊方法.(不需說明理

由)

【解答】解:(1)由圖①,可得NBCE=*NBCD=45°,

XVZB=90°,

.,.△BCE是等腰直角三角形,

.,.新cos45。=返,EPCE=V2BC,

EC2

由圖②,可得CE=CD,而AD=BC,

/.CD=V2AD,

(2)①設AD=BC=a,則AB=CD=^a,BE=a,

.\AE=(V2-1)a,

如圖③,連接EH,則NCEH=NCDH=90°,

VZBEC=45°,ZA=90°,

AZAEH=45°=ZAHE,

/.AH=AE=(V2-1)a,

設AP=x,貝ljBP=0a-x,由翻折可得,PH=PC,BPPH2=PC\

.-.AH2+AP2=BP2+BC2,

即[(V2-1)a]2+x2=(亞a-x)2+a2,

解得x=a,即AP=BC,

又?.,PH=CP,ZA=ZB=90°,

ARtAAPH^RtABCP(HL),

,ZAPH=ZBCP,

又?.,RtZ\BCP中,ZBCP+ZBPC=90°,

/.ZAPH+ZBPC=90o,

ZCPH=90°;

②折法:如圖,由AP=BC=AD,可得4ADP是等腰直角三角形,PD平分/ADC,

故沿著過D的直線翻折,使點A落在CD邊上,此時折痕與AB的交點即為P;

A10

B圖④C

折法:如圖,由NBCE=NPCH=45°,可得NBCP=NECH,

由NDCE=NPCH=45°,可得NPCE=NDCH,

又?.?NDCH=NECH,

ZBCP=ZPCE,即CP平分NBCE,

故沿著過點C的直線折疊,使點B落在CE上,此時,折痕與AB的交點即為P.

15、如圖,在矩形ABCD中,AB=2cm,ZADB=30°.P,Q兩點分別從A,B同時

出發(fā),點P沿折線AB-BC運動,在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2丑

cm/s;點Q在BD上以2cm/s的速度向終點D運動,過點P作PNLAD,垂足為點

N.連接PQ,以PQ,PN為鄰邊作口PQMN.設運動的時間為x(s),口PQMN與矩形

ABCD重疊部分的圖形面積為y(cm2)

(1)當PQ_LAB時,x=2s;

-3-

(2)求y關于x的函數解析式,并寫出x的取值范圍;

(3)直線AM將矩形ABCD的面積分成1:3兩部分時,直接寫出x的值.

DD

【解答】解:(1)當PQ_LAB時,BQ=2PB,

.\2x=2(2-2x),

.".x=—s.

3

故答案為Zs.

3

(2)①如圖1中,當OVxWZ時,重疊部分是四邊形PQMN.

3

y=2xX遮x=2bx2.

②如圖②中,當2<xWl時,重疊部分是四邊形PQEN.

3

圖2

y=A-(2-x+2txX遭X=^X2+V3X

③如圖3中,當l〈x<2時,重疊部分是四邊形PNEQ.

(x-1)]=^-x:!-3丑x+4

y=—(2-x+2)X[A/3X-2A/3

/

2V3X2(0<X<Y)

o

2

綜上所述,y=1^X+V3X(4<X<:L).

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