全國統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計數(shù)原理11.3二項式定理學(xué)案理含解析北師大版

11.3二項式定理必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.二項式定理二項式定理(a+b)n=(n∈N+)

二項綻開式的通項公式Tr+1=,它表示第項(0≤r≤n,r∈N)

二項式系數(shù)二項綻開式中各項的系數(shù)為Cn02.二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,即

增減性二項式系數(shù)C當(dāng)k<n+12(n∈N+當(dāng)k>n-12(n∈續(xù)表性質(zhì)性質(zhì)描述最大值當(dāng)n為偶數(shù)時,中間的一項Cn當(dāng)n為奇數(shù)時,中間的兩項Cn3.二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)分二項式系數(shù)是指Cn0,Cn1,…,Cnn,它只與各項的項數(shù)有關(guān),而與a,b的值無關(guān);而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項的項數(shù)有關(guān),而且也與a,b的值有關(guān).如(a+bx)n的二項綻開式中,第k+1項的二項式系數(shù)是Cnk,而該項的系數(shù)是1.Cn0+Cn1+C2.Cn0+Cn2+Cn4+考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)(a+b)n的綻開式中的第r項是Cnran-rbr.((2)在二項綻開式中,系數(shù)最大的項為中間的一項或中間的兩項.()(3)在(a+b)n的綻開式中,每一項的二項式系數(shù)都與a,b無關(guān).()(4)通項Tr+1=Cnran-rbr中的a和b不能互換.((5)在(a+b)n的綻開式中,某項的系數(shù)與該項的二項式系數(shù)相同.()2.(2024浙江紹興質(zhì)量調(diào)測)x-1x5的綻開式中的第2項為()A.-5x3 B.-10x C.5x3 D3.已知Cn03n+Cn13n-1+Cn23n-2+…+Cnn-13A.8 B.6 C.4 D.24.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則a0+a2+a4的值為()A.9 B.8 C.7 D.65.若x3+1xn的綻開式的全部二項式系數(shù)之和為128,則n=.

6.(x-1)(3x2+1)3的綻開式中x4的系數(shù)是.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)求二項綻開式中的特定項(或系數(shù))問題(多考向探究)考向1已知二項式求其特定項(或系數(shù))【例1】(1)(2024天津,11)在x+2x25的綻開式中,x(2)(2024云南師大附中高三月考)若(ax-1x)6的綻開式中常數(shù)項等于A.12 B.-12 C.1 D.解題心得求形如(a+b)n(n∈N+)的綻開式中與特定項相關(guān)的量(常數(shù)項、參數(shù)值、特定項等)的步驟(1)利用二項式定理寫出二項綻開式的通項Tr+1=Cnran-rbr,常把字母和系數(shù)分別開來((2)依據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項要求指數(shù)為零,有理項要求指數(shù)為整數(shù))先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組),再解出r;(3)把r代入通項中,即可求出Tr+1,有時還須要先求n,再求r,才能求出Tr+1或者其他量.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2024湖南衡陽八中高三月考)3x-2x5的綻開式中的常數(shù)項為(A.5 B.10 C.40 D.-40(2)已知x-ax5的綻開式中x5的系數(shù)為A,x2的系數(shù)為B,若A+B=11,則a=.

考向2已知兩個因式之積求其特定項(或系數(shù))【例2】(1)(1+x2)1-1x6的綻開式中,常數(shù)項為()A.-15 B.16 C.15 D.-16(2)(2024山東泰安高三一模)已知(2-mx)1-1x3的綻開式中的常數(shù)項為8,則實(shí)數(shù)m=()A.2 B.-2 C.-3 D.3(3)(1-x)8(1+x)5的綻開式中x2的系數(shù)是()A.-5 B.10 C.-15 D.25解題心得求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N+)的綻開式中與特定項相關(guān)的量的步驟(1)依據(jù)二項式定理把(a+b)m與(c+d)n分別綻開,并寫出其通項;(2)依據(jù)特定項的次數(shù),分析特定項可由(a+b)m與(c+d)n的綻開式中的哪些項相乘得到;(3)把相乘后的項合并即可得到所求特定項或相關(guān)量.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(1-x)6(1+x)4的綻開式中x的系數(shù)是()A.-4 B.-3 C.3 D.4(2)已知(x-1)(ax+1)6的綻開式中含x2的項的系數(shù)為0,則正實(shí)數(shù)a=.

考向3已知三項式求其特定項(或系數(shù))【例3】(1)x2+1x+2(2)(x2-x-2)4的綻開式中x2的系數(shù)是.

解題心得求三項綻開式中某些特定項(或系數(shù))的方法:(1)通過變形先把三項式轉(zhuǎn)化為二項式,再用二項式定理求解;(2)兩次利用二項式定理的通項求解;(3)由二項式定理的推證方法知,可用排列、組合的基本原理去求,即把三項式看作幾個因式之積,要得到特定項看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(x2+x+y)5的綻開式中x5y2的系數(shù)為()A.10 B.20 C.30 D.60(2)(1+x+x)4的綻開式中x2的系數(shù)為.

考點(diǎn)二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項系數(shù)的和(多考向探究)考向1二項式系數(shù)的最值問題【例4】已知m為正整數(shù),(x+y)2m的綻開式的二項式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1的綻開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a=7bA.5 B.6 C.7 D.8解題心得二項式系數(shù)最大項的確定方法(1)若n是偶數(shù),則中間一項Tn(2)若n是奇數(shù),則中間兩項Tn+1對點(diǎn)訓(xùn)練4在x+axn(a>0)的二項綻開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,且全部項的系數(shù)和為256,則含x6考向2項的系數(shù)的最值問題【例5】已知(3x+x2)2n的綻開式的二項式系數(shù)和比(3x-1)n的綻開式的二項式系數(shù)和大992,則在2x-1x2n的綻開式中,二項式系數(shù)最大的項為,系數(shù)的解題心得二項綻開式系數(shù)最大項的求法如求(a+bx)n(a,b∈R)的綻開式系數(shù)最大的項,一般是采納待定系數(shù)法,設(shè)綻開式各項系數(shù)分別為A1,A2,…,An+1,且第r項系數(shù)最大,應(yīng)用A對點(diǎn)訓(xùn)練5在x3+1x2n的綻開式中,只有第4項的系數(shù)最大,則綻開式中考向3求二項綻開式中系數(shù)的和【例6】若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,則a0=,a0+a2+…+a8=.

解題心得求二項綻開式系數(shù)和的常用方法是賦值法:(1)“賦值法”普遍適用于恒等式,對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子,求其綻開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對形如(ax+by)n(a,(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則f(x)的綻開式中各項系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2,偶數(shù)項系數(shù)之和為a1對點(diǎn)訓(xùn)練6已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.考點(diǎn)二項式定理的應(yīng)用【例7】(1)設(shè)a∈Z且0≤a<13,若512012+a能被13整除,則a等于()A.0 B.1 C.11 D.12(2)0.996的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是()A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943(3)中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中,對同余除法有較深的探討.設(shè)a,b,m(m>0)為整數(shù),若a和b被m除所得的余數(shù)相同,則稱a和b對模m同余,記為a≡b(modm).若a=C200+C201·2+C202·22+…+C2020·2A.2011 B.2012 C.2013 D.2014解題心得1.整除問題和求近似值是二項式定理中常見的兩類應(yīng)用問題,用二項式定理處理整除問題,通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)與某數(shù)的和或差的形式,再用二項式定理綻開,切記余數(shù)不能為負(fù),求近似值則應(yīng)關(guān)注綻開式的前幾項.2.二項式定理的應(yīng)用的基本思路是正用或逆用二項式定理,留意選擇合適的形式.對點(diǎn)訓(xùn)練7(1)1-90C101+902C102-903C103+…+(-1)r90rC10r+A.-1 B.1 C.-87 D.87(2)1.028≈(小數(shù)點(diǎn)后保留三位小數(shù)).

指引迷津(四)破解解題密碼——排列、組合問題的解題策略排列、組合始終是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),通過我們平常做的練習(xí),不難發(fā)覺排列、組合問題的特點(diǎn)是條件隱晦,不易挖掘,題目多變,解法獨(dú)特,數(shù)字浩大,難以驗證.在高考中極易丟分.策略一特別元素與特別位置優(yōu)先策略考情分析位置分析法和元素分析法是解決排列、組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先支配特別元素,再出來其他元素.若以位置分析為主需先滿意特別位置的要求,再處理其他位置,若多個約束條件,往往是考慮一個約束條件的同時,兼顧其他約束條件.【例1】若從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中選3個數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù),則這樣的三位數(shù)一共有()A.20個 B.48個C.52個 D.120個思路點(diǎn)撥由于0不能在首位數(shù)字,則分2種狀況探討:①若0在個位,此時0肯定不在首位,由排列公式即可得此時三位偶數(shù)的數(shù)目;②若0不在個位,要解除0在首位的可能,由分步乘法計數(shù)原理可得此狀況下三位偶數(shù)的數(shù)目,綜合2種狀況,由分類加法計數(shù)原理計算可得答案.答案C解析依據(jù)題意,分2種狀況探討:①若0在個位,此時只需在1,2,3,4,5中任取2個數(shù)字,作為十位和百位數(shù)字即可,有A52②若0不在個位,此時必需在2或4中任取1個,作為個位數(shù)字,有2種取法,0不能作為百位數(shù)字,則百位數(shù)字有4種取法,十位數(shù)字也有4種取法,此時共有2×4×4=32(個)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù),綜合可得,共有20+32=52(個)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).故選C.解題心得解題須要留意偶數(shù)的末位數(shù)字以及0不能在首位等性質(zhì),對于每一類還要留意分步完成.策略二相鄰元素捆綁策略【例2】明年的今日,同學(xué)們已經(jīng)畢業(yè)離校了,在離校之前,有三位同學(xué)要與語文、數(shù)學(xué)兩位老師合影留念,則這兩位老師必需相鄰且不站兩端的站法種數(shù)為()A.12 B.24 C.36 D.48思路點(diǎn)撥由題意,把兩位老師看出一個元素,采納插空法,即可求解.答案B解析由題意,三位同學(xué)全排列,共有A33把兩位老師看出一個元素,采納插空法,且要求不站在兩端,插到三位同學(xué)構(gòu)成的兩個空隙中,共有A33C21解題心得關(guān)于相鄰問題,要求某幾個元素必需排在一起的問題,可以用捆綁法來解決,即將須要相鄰的元素合并為一個元素,再與其他元素一起排列,同時要留意合并元素內(nèi)部也必需排列.策略三不相鄰問題插空策略【例3】若4名演講競賽獲獎學(xué)生和3名指導(dǎo)老師站在一排拍照,則其中隨意2名老師不相鄰的站法有種.

思路點(diǎn)撥先將4名演講競賽獲獎學(xué)生全排列,再依據(jù)不相鄰問題插空位原則,支配三位指導(dǎo)老師,由分步乘法計數(shù)原理即可求得答案.答案1440解析依據(jù)題意,分兩步分析:先將4名演講競賽獲獎學(xué)生全排列,有A44站好后有5個空位,在其中選三個空位,支配指導(dǎo)老師,有A53=60(種)則有24×60=1440(種)符合題意的站法.故答案為1440.解題心得對于不相鄰問題,可以把沒有位置要求的元素進(jìn)行排列,再把不相鄰的元素插入隊列的中間或兩端的空隙中.策略四定序問題倍縮、空位插入策略【例4】(經(jīng)典例題)7人排隊,其中甲、乙、丙3人依次肯定,共有多少種不同的排法?思路點(diǎn)撥全排列除去依次或把甲乙丙站好,再把剩余4人插入隊列,或放7把椅子,讓其他人坐好,再讓甲乙丙按依次入座.解(方法1)共有A77A(方法2)設(shè)想有7把椅子讓除甲、乙、丙以外的4人坐,共有A74種坐法,其余的三個位置給甲、乙、丙坐,有1種坐法,則坐法種數(shù)為A74=(方法3)先讓甲、乙、丙排隊,有1種排法,再把其余4人分別插入,不同排法的種數(shù)為4×5×6×7=840.故共有840種不同的排法.解題心得對于定序問題可以倍縮法,也可以轉(zhuǎn)化為占為插空模型處理,只要選出有序元素所占的位置即可,相同元素的排列一般也按定序排列的方法處理.策略五重排問題求冪策略【例5】某校科技大樓電子閱覽室在第8層,從下一層到上一層,每層均有2個樓梯,則由一樓上到電子閱覽室的不同走法共有()A.29種 B.28種 C.27種 D.82種思路點(diǎn)撥干脆利用分步乘法計數(shù)原理即可得結(jié)果.答案C解析因為從一樓到二樓有2種走法,從二樓到三樓有2種走法,…,從一樓到八樓分7步進(jìn)行,每步都有2種不同的走法,所以依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得由一樓上到電子閱覽室的不同走法共有27種.故選C.解題心得允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為探討對象,元素不受位置約束,可以逐一支配各個元素的位置,但一個元素只能支配一個位置,且不能同時支配在兩個位置上.一般地,n個不同的元素沒有限制的支配在m個位置上的排列數(shù)為mn種.策略六分排問題直排策略【例6】有兩排座位,前排11個座位,后排12個座位,現(xiàn)支配2人就座,規(guī)定前排中間的3個座位不能坐,并且這兩人不左右相鄰,那么不同的排法種數(shù)是()A.234 B.346C.350 D.363答案B解析(方法1)一共可坐的位子有20個,2個人坐的方法數(shù)為A202,還需解除兩左右相鄰的狀況.把可坐的20個座位排成連續(xù)一行,將其中兩個相鄰座位看成一個整體,則相鄰的坐法有A191A22,還應(yīng)再加上2A2(方法2)因為前排中間的3個座位不能坐,事實(shí)上可坐的位置是前排8個,后排12個,分成以下3種狀況:①甲、乙2人一個前排,一個后排,有C81C121A22種排法;②兩人均在后排,共A1212種排法,還需解除甲、乙2人相鄰的狀況,即A111A22種排法;故有(A1212-A解題心得一般地,對于元素分成多排的排列問題,可先轉(zhuǎn)化成一排考慮,再分排探討.策略七元素相同問題隔板策略隔板法模型的構(gòu)建是解決排列、組合中一類分裝組合問題,它是求相同元素名額安排方案種數(shù)的一種處理策略.【例7】(1)從A,B,C,D4個班級中選10人組成衛(wèi)生檢查小組,每班至少選一人,每班人數(shù)的不同狀況的種數(shù)為()A.42 B.56 C.84 D.168(2)將十個相同的小球裝入編號為1,2,3的三個盒子(每次要把十個球裝完)中,要求每個盒子里的個數(shù)不少于盒子的編號數(shù),則這樣的裝法種數(shù)為()A.9 B.12 C.15 D.18(3)把1995個不加區(qū)分的小球分別放在10個不同的盒子里,使得第i個盒子中至少有i個球(i=1,2,…,10),則不同放法的總數(shù)是()A.C194010 BC.C194910 D(4)8個相同的小球分別放入4個不同的盒子中,每盒可空,共有不同的放法()A.165種 B.56種 C.35種 D.20種答案(1)C(2)C(3)D(4)A解析(1)將10個人排成一排,然后從中間形成的9個空中選3個,分別放入一個隔板,即可將10個人分為4個部分,且每部分至少1個人,由此可得每班人數(shù)的不同狀況有C93=9×(2)依據(jù)題意,先在編號為2,3的三個盒子中分別放入1,2個小球,編號為1的盒子里不放;再將剩下的7個小球放入3個盒子里,每個盒子里至少一個,分析可得,7個小球排好,有6個空位,在6個空位中任選2個,插入擋板,共C62=15(種)放法,即可得符合題目要求的放法共15種.(3)先在第i個盒里放入i個球,i=1,2,…,10,即第1個盒里放1個球,第2個盒里放2個球,…,這時共放了1+2+…+10=55(個)球,還余下1995-55=1940(個)球.故轉(zhuǎn)化為把1940個球隨意放入10個盒子里(允許有的盒子里不放球).把這1940個球用9塊隔板隔開,每一種隔法就是一種球的放法,1940個球連同9塊隔板共占有1949個位置,相當(dāng)于從1949個位置中選9個位置放隔板,有C19499種放法.(4)首先設(shè)想每個盒子內(nèi)放入1個小球,共用去4個小球,(添加4個這樣的小球)將問題轉(zhuǎn)化為把12個相同的小球分裝到4個不同的盒子中求不同的放法的問題,利用隔板法,把12個小球排成一列,在11個空隙中插入3個隔板,即得不同的放法有C113=165(種).解題心得將n個相同的元素分成m份(n,m為整數(shù)),每份至少一個元素,可以用(m-1)個隔板,插入n個元素排成一排形成的(n-1)個空隙中,全部分法為Cn-策略八小集團(tuán)問題先整體后局部策略【例8】身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人,身穿藍(lán)顏色衣服的有一人,現(xiàn)將這五人排成一行,要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰,則不同的排法共有()A.24種 B.28種 C.36種 D.48種思路點(diǎn)撥由題意知先是五個人的全排列,共有A55種結(jié)果,去掉相同顏色衣服的人都相鄰的狀況,再去掉僅穿紅色衣服的人的相鄰和僅穿黃色衣服的人相鄰兩種狀況答案D解析由題意知先是五個人的全排列,共有A55去掉同顏色衣服相的人都相鄰的狀況,再去掉僅穿紅色相鄰和僅穿黃色相鄰的兩種狀況.穿相同顏色衣服的人都相鄰的狀況有A2當(dāng)穿紅色衣服的相鄰,而穿黃色衣服的人不相鄰,共有A22A所以穿相同顏色衣服的人不能相鄰的排法種數(shù)是A55-A22A2解題心得小集團(tuán)排列問題,先整體排列,后局部排列,再結(jié)合其他策略進(jìn)行處理.策略九正難則反總體淘汰策略【例9】用0,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A.243 B.252 C.261 D.279答案B解析由分步乘法計數(shù)原理知,用0,1,…,9十個數(shù)字組成的三位數(shù)(含有重復(fù)數(shù)字的)共有9×10×10=900(個),組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有9×9×8=648(個),因此組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有900-648=252(個).故選B.解題心得有些排列組合問題,正面干脆考慮比較困難,而它的反面往往比較簡潔易求,分類狀況也較簡潔明確,此時可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.策略十排組混合問題先選后排策略【例10】將甲、乙、丙、丁四位老師安排到三個班級,每個班級至少一位老師,則共有安排方案()A.81種 B.256種C.24種 D.36種思路點(diǎn)撥安排的方法分為兩步求解,先將四位老師分為三組,再分到三個班,由分步乘法計數(shù)原理求解即可計算出答案.答案D解析第一步,將4名老師分成三組,不同的分法種數(shù)是C42=6;其次步,分到三個班的不同分法有A33=6(種).故不同的安排方案為6×6=解題心得排列組合的應(yīng)用問題,一般按先選再排,先分組再安排的處理原則.對于安排問題,解題的關(guān)鍵是要搞清晰事務(wù)是否與依次有關(guān),對于平均分組問題更要留意依次,避開計數(shù)的重復(fù)或遺漏.策略十一平均分組除法策略【例11】某高校大一新生中的6名同學(xué)準(zhǔn)備參與學(xué)校組織的“演講團(tuán)”“吉他協(xié)會”等五個社團(tuán),若每名同學(xué)必需參與且只能參與1個社團(tuán)且每個社團(tuán)至多兩人參與,則這6個人中沒有人參與“演講團(tuán)”的不同參與方法種數(shù)為()A.3600 B.1080 C.1440 D.2520思路點(diǎn)撥先分成3組與4組兩類,再分組安排下去,均分問題要除序后再安排.答案C解析因為每位同學(xué)必需參與且只能參與1個社團(tuán)且每個社團(tuán)至多兩人參與,所以可以將問題看成是將6名同學(xué)安排到除“演講團(tuán)”外的四個社團(tuán),或除“演講團(tuán)”外的四個社團(tuán)中的三個社團(tuán),可以分成兩類:第一類,當(dāng)6名同學(xué)分成人數(shù)分別為1,1,2,2四個組時,應(yīng)安排到除“演講團(tuán)”外的四個社團(tuán)中,不同的參與方法種數(shù)為C61其次類,當(dāng)6名同學(xué)分成人數(shù)分別為2,2,2三個組時,應(yīng)安排到除“演講團(tuán)”外的四個社團(tuán)中的三個社團(tuán)中,不同的參與方法種數(shù)為C62C綜上,不同的參與方法種數(shù)為1080+360=1440.故選C.解題心得平均分成的組,不管它依次如何,都是一種狀況,所以分組以后肯定要除以Ann(n為均分組數(shù)),避開策略十二合理分類與分步策略【例12】用五種不同顏色給三棱臺ABC-DEF的六個頂點(diǎn)涂色,要求每個點(diǎn)涂一種顏色,且每條棱的兩個端點(diǎn)涂不同顏色.則不同的涂色方法有種.

思路點(diǎn)撥分兩步來進(jìn)行,先涂A,B,C,再涂D,E,F,然后分若5種顏色都用上、若5種顏色只用4種、若5種顏色只用3種這三種狀況,分別求得結(jié)果,再相加,即可得結(jié)果.答案1920解析分兩步來進(jìn)行,先涂A,B,C,再涂D,E,F.第一類:若5種顏色都用上,先涂A,B,C,方法有A53種,再涂D,E,F中的兩個點(diǎn),方法有A32種,最終剩余的一個點(diǎn)只有2種涂法,故此時方法共有A5其次類:若5種顏色只用4種,首先選出4種顏色,方法有C5先涂A,B,C,方法有A43種,再涂D,E,F中的一個點(diǎn),方法有3種,最終剩余的兩個點(diǎn)只有3種涂法,故此時方法共有C54·A4第三類:若5種顏色只用3種,首先選出3種顏色,方法有C5先涂A,B,C,方法有A33種,再涂D,E,F,方法有2種,故此時方法共有C53·綜上可得,不同涂色方案共有720+1080+120=1920(種),故答案是1920.解題心得解決帶約束條件的排列、組合問題,可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類,按事情發(fā)展的過程進(jìn)行分步,應(yīng)做到標(biāo)準(zhǔn)明確,分步層次清晰,不重不漏,分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于整個解題過程,不要一步一個標(biāo)準(zhǔn).策略十三構(gòu)造模型策略【例13】(1)方程x+y+z=10的正整數(shù)解的組數(shù)為()A.9 B.12 C.15 D.18(2)某棟樓從2樓到3樓共10個臺階,上樓可以一步上一個臺階,也可以一步上兩個臺階,若規(guī)定從2樓到3樓8步走完,則上樓方法種數(shù)為()A.14 B.16 C.21 D.28答案(1)C(2)D解析(1)設(shè)方程x+y+z=10的正整數(shù)解依次為x1,x2,x3,則x1+x2+x3=10(x1≥1,x2≥2,x3≥3).記y1=x1,y2=x2-1,y3=x3-2,則y1+y2+y3=7(y1≥1,y2≥1,y3≥1).于是,問題轉(zhuǎn)化為求方程y1+y2+y3=7的正整數(shù)解的組數(shù).進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為將7個相同的小球裝入3個編號分別為1,2,3的盒子內(nèi),每個盒子中至少一個的問題,由隔板法易知其組數(shù)為C62=15.(2)(方法1)由于10÷8的余數(shù)為2,所以可以判定一步1個臺階共6次,一步2個臺階共2次.選定在這8步中一步1個臺階的位置或一步2個臺階的位置,則上樓的方法有C86=(方法2)從結(jié)果入手,設(shè)計“插入法模型”,構(gòu)建組合數(shù)求解.問題就是將6個1和2個2組合,不同的組合方案就構(gòu)成了不同的走法,可分類完成.①若2個2不相鄰,則先排6個1構(gòu)成7個空位,在7個空位中選出2個插入2,有C72種方法;②若2個2相鄰,則先排6個1構(gòu)成7個空位,在7個空位中選出1個插入兩個2,共有C71種方法,因此上樓的方法共有C7解題心得一些不易理解的排列、組合問題,假如能轉(zhuǎn)化成特別熟識的模型,如占位填空模型、組數(shù)模型、排隊模型、裝盒模型,相鄰模型等可使問題直觀,簡潔解決.策略十四實(shí)際操作窮舉策略【例14】(1)將15個顏色、大小完全相同的球全部放入編號為1,2和3的三個盒子里,使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號數(shù),則不同的放球方法有()A.15種 B.182種C.91種 D.120種(2)有紅、黃、藍(lán)色的球各5只,分別標(biāo)有A,B,C,D,E五個字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有不同的取法()A.150種 B.180種C.120種 D.100種答案(1)C(2)A解析(1)先放1,2,3的話,那么還剩下9個球,9個球放到3個不同的盒子里,狀況有:0,0,9,分別在1,2,3號盒子中的隨意一個中放9個,共3種狀況;0,1,8,分別在1,2,3號盒子中的隨意兩個中放8個和1個,共6種狀況;0,2,7,分別在1,2,3號盒子中的隨意兩個中放2個和7個,共6種狀況;1,1,7分別在1,2,3號盒子中的隨意兩個中放一個,共3種狀況;依次探討可得還有以下幾種狀況1,2,6;1,3,5;1,4,4;2,2,5;2,3,4;2,5,2;2,6,1;3,3,3;3,6,0;….所以共有91種.故選C.(2)紅111223黃123121藍(lán)321211取法CCCCCC共有C51C解題心得對于條件比較困難的排列組合問題,不易用公式進(jìn)行運(yùn)算,往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果,一些困難的分類選取題,要滿意的條件比較多,無從入手,常常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的狀況,用表格法,則分類明確,能保證題中須滿意的條件,能達(dá)到好的效果.策略十五分解與合成策略【例15】30030能被多少個不同的偶數(shù)整除?解先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5×7×11×13.依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積,全部的偶因數(shù)有C50+解題心得分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個困難問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個比較困難的問題都要用到這種解題策略.策略十六化歸策略【例16】25人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種?解將這個問題轉(zhuǎn)化成9人排成3×3方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少種選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉,如此接著下去.從3×3方隊中選3人的方法有C31C21C11種.再從5×5方陣選出3×3方陣便可解決問題.從5×5方隊中選取3行3列有解題心得處理困難的排列組合問題時可以把一個問題轉(zhuǎn)化成一個簡要的問題,通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法,從而進(jìn)一步解決原來的問題.策略十七數(shù)字排序問題查字典策略【例17】由0,1,2,3,4,5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)?解可以組成沒有重復(fù)的比324105大的數(shù)的個數(shù)為N=2A55+2A4解題心得數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數(shù),依據(jù)分類加法計數(shù)原理求出其總數(shù).11.3二項式定理必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理1.Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnran-rbrCnran-rbr2.Cn考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2.A因為x-1x5的綻開式的通項為Tr+1=C5rx5-r·-1xr=(-1)rC5rx5-2r,令r=1,則可得x-1x5的綻開式中的第2項為(-1)×C51x3=-53.BCn03n+Cn13n-1+…+Cnn-13+Cnn=Cn03n10+Cn13n-111+…+Cnn-1311n-1+Cnn301n=4.B令x=1,則a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,則a0-a1+a2-a3+a4=16,兩式相加得a0+a2+a4=8..5.7由題意,可知2n=128,解得n=7.6.-27(x-1)(3x2+1)3綻開式中x4的系數(shù),x-1中的x與(3x2+1)3綻開式中x3項相乘,但(3x2+1)3綻開式中沒有x3項,x-1中的-1與(3x2+1)3綻開式中x4項相乘,C31(3x2)2=27x4,所以x4的系數(shù)是-關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)10(2)C(1)x+2x25=(x+2·x-2)5,綻開式通項Tr+1=C5rx5-r(2x-2)r=2rC5rx5-3∴x2的系數(shù)為21·C51=2×5=(2)∵(ax-1x)6的綻開式的通項為Tr+1=C6r(-1)ra6-rx6-r-r=C6r(-1)ra6-rx6-2r,令6-2r=0得r=3,可得常數(shù)項為C6對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)C(2)±1(1)3x-2x5的綻開式的通項為Tr+1=C5r(3x)5-r·-2xr=依據(jù)題意,得10-5r=0,r=2,因此,常數(shù)項為(-2)2C52=(2)x-ax5的綻開式的通項為Tr+1=C5rx5-r·-axr=C5由5-32r=5,得r=0,由5-32r=2,得r=2,所以A=C50×(-a)0=1,B=C52×(-a)2=10a2,則由1+10a例2(1)B(2)A(3)A(1)因為(1+x2)1-1x6=(1+x2)1-6x+15x2-20x3+15x4(2)1-1x3的綻開式的通項為Tr+1=C3r·13-r-1xr=C3r·(-1)rx則(2-mx)1-1x3的綻開式中的常數(shù)項為2×C30+(-m)×C31×(-1)1=2+3m,由題知2+3m=8,則(3)(1-x)8(1+x)5=(1-x)3[(1-x)(1+x)]5=(1-x)3(1-x)5,(1-x)3的通項為C3r(-x)r,其中r=(1-x)5的通項為C5r(-x)r,其中r=所以綻開式中x2的系數(shù)是C30(-1)0×C52(-1)2+C32(-1)2×C51(-1)對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)B(2)25(1)(方法1)(1-x)6的綻開式的通項為C6m·(-x)m=C6m(-1)mxm2,(1+x)4的綻開式的通項為C4n·(x)n=C4nxn2.令m2+n2=1,得m+n=2,于是(1-x)6(1+x)4的綻開式中x的系數(shù)等于C60×(-1)(方法2)(1-x)6(1+x)4=[(1-x)(1+x)]4(1-x)2=(1-x)4(1-2x+x).于是(1-x)6(1+x)4的綻開式中x的系數(shù)為C40×1+C41×(-1)1×(2)(ax+1)6的綻開式中含x2的項的系數(shù)為C64a2,含x的項的系數(shù)為C65a,由(x-1)(ax+1)6的綻開式中含x2的項的系數(shù)為0,可得-C64a2+C65a=例3(1)6322(2)-8(1)原式=x2+22x+22x5=132x5·[(求原綻開式中的常數(shù)項,轉(zhuǎn)化為求(x+2)10的綻開式中含x5的項的系數(shù),即C105·(2)5.所以所求的常數(shù)項為(2)由題意知,(x2-x-2)4=(x-2)4(x+1)4,(x-2)4的通項為Tr1+1=C

4r1x4-r1(-2)r1,(x+1)4的通項為Tr2+1=C

4r2x4-r21r2,當(dāng)r1=2,r2=4時,系數(shù)為24;當(dāng)r1=3,r2=對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)C(2)19(1)(方法1)(x2+x+y)5的綻開式的通項為Tr+1=C5r(x2+x)5-r·yr,令r=2,則T3=C52(x2+x)3y2,又因為(x2+x)3的綻開式的通項為Tr+1=C3r(x2)3-r·xr=C3rx6-r,令6-r=5,則r=1,所以(x2+x+y)5的(方法2)(x2+x+y)5表示5個x2+x+y之積.所以x5y2可從其中5個因式中,兩個取x2,剩余的3個因式中一個取x,其余因式取y,因此x5y2的系數(shù)為C52C(2)由于x2=x2·(x)0,x2=x·(x)2,x2=x0·(x)4,據(jù)此結(jié)合排列、組合的性質(zhì)可得x2的系數(shù)為C42C20C22+C4例4B由題意可知,a=C2mm,∵13a=7b,∴13·(2m)!m!m!=7·(2對點(diǎn)訓(xùn)練48因為只有第