重難點14 奔馳定理與四心問題（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點14奔馳定理與四心問題【五大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1奔馳定理】 3【題型2重心問題】 6【題型3垂心問題】 9【題型4內(nèi)心問題】 12【題型5外心問題】 151、奔馳定理與四心問題奔馳定理是平面向量中的重要定理，這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題有著重要作用；四心問題是平面向量中的重要問題，是高考的熱點內(nèi)容，在高考復習中，要掌握奔馳定理并能靈活運用，對于四心問題要學會靈活求解.【知識點1奔馳定理】1．奔馳定理如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點，且滿足，則有△APB、△APC、△BPC的面積之比為.由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，所以我們把它稱為“奔馳定理”.這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.【知識點2四心問題】1．四心的概念及向量表示(1)重心的概念及向量表示①重心的概念：三角形各邊中線的交點叫做重心，重心將中線長度分成2:1.②重心的向量表示：如圖，在△ABC中，點P為△ABC重心.③重心坐標公式：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，則△ABC的重心坐標為P.(2)垂心的概念及向量表示①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點叫做垂心.②垂心的向量表示：如圖，在△ABC中，點P為△ABC垂心.(3)內(nèi)心的概念及向量表示①內(nèi)心的概念：三角形各角平分線的交點叫做內(nèi)心，內(nèi)心也為三角形內(nèi)切圓的圓心.②內(nèi)心的向量表示：如圖，在△ABC中，三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上，點P為△ABC內(nèi)心.(4)外心的概念及向量表示①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點叫做外心，外心也為外接圓的圓心，外心到三角形各頂點的距離相等.②外心的向量表示：如圖，在△ABC中，點P為△ABC外心.2．三角形的四心與奔馳定理的關(guān)系(1)O是△ABC的重心：.(2)O是△ABC的垂心：.(3)O是△ABC的內(nèi)心：.(4)O是△ABC的外心：.【題型1奔馳定理】【例1】（2024高三·全國·專題練習）已知點A，B，C，P在同一平面內(nèi)，PQ=13PA，QR=13QB，RP=13RC，則S△ABC:A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6【解題思路】先根據(jù)向量的線性運算得到4PA【解答過程】由QR=13整理可得：PR=由RP=13RC可得所以?12PC由奔馳定理可得：S△ABC故選：B.【變式1-1】（23-24高一下·廣西南寧·期末）已知O為△ABC內(nèi)一點，且滿足3OA+4OB+5OCA．25 B．14 C．34【解題思路】由題意可得4OA+5OB+3OC=0，方法一：延長CO【解答過程】因為3OA所以3OA即4OA方法1：∴4OA+5OB延長CO至H點，令OH=49則S△AOB方法2：由奔馳定理，SBOC:S故選B.【變式1-2】（23-24高一下·湖北·期中）奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SA．25 B．12 C．16【解題思路】直接根據(jù)向量的基本運算得到3OA【解答過程】解：∵O為三角形ABC內(nèi)一點，且滿足OA+2∴OA+2∵S∴S△AOB故選：D．【變式1-3】（23-24高三上·河南南陽·期中）奔馳定理：已知O是ΔABC內(nèi)的一點，ΔBOC，ΔAOC，ΔAOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SC?OC=0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若A．sinB．cosC．tanD．sin【解題思路】利用已知條件得到O為垂心，再根據(jù)四邊形內(nèi)角為2π及對頂角相等，得到∠AOB=π?C，再根據(jù)數(shù)量積的定義、投影的定義、比例關(guān)系得到|OA|:|OB【解答過程】如圖，因為OA?所以O(shè)B?(OA?OC)=0?所以O(shè)為ΔABC的垂心。因為四邊形DOEC的對角互補，所以∠AOB=π?C，∴OA?同理，∴OB∴OC∴|OA∴|OA∴|OA又SSS∴SA:由奔馳定理得tanA?故選C．【題型2重心問題】【例2】（2024·貴州六盤水·三模）已知點O為△ABC的重心，AC=λOA+μA．?3 B．?2 C．1 D．6【解題思路】作出圖形，將OA,OB作為基底，先把AC用OA,OB,BC表示，再將BC也用【解答過程】根據(jù)向量加法三角形運算法知AC=F為BC中點，則BC=2點O為△ABC的重心，則OF=代入（??）得到，BC=2(代入（?）得到，AC=結(jié)合AC=λOA+μOB，可得故選：A.【變式2-1】（2024·陜西西安·一模）已知點P是△ABC的重心，則（

）A．AP=16C．AP=23【解題思路】利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運算，即可求得答案.【解答過程】設(shè)BC的中點為D，連接AD，點P是△ABC的重心，則P在AD上，且AP=2由此可知A，B，C錯誤，D正確，故選：D.【變式2-2】（23-24高一下·四川巴中·階段練習）已知點G為△ABC的重心，D,E分別是AB,AC邊上一點，D,G,E三點共線，F(xiàn)為BC的中點，若AF=λAD+μAE，則A．6 B．7 C．92 D．【解題思路】根據(jù)重心性質(zhì)可得AF=32【解答過程】由點G為△ABC的重心，F(xiàn)為BC的中點知，AF=所以AG=因為D,G,E三點共線，D,E分別是AB,AC邊上一點，所以2λ3+2μ4λ當且僅當4μλ=λ故選：A.【變式2-3】（2024高一下·上?！ｎ}練習）設(shè)點O是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法錯誤的是（

）A．若OA+OB+OC=B．若(OA+OB)?ABC．若(AB|ABD．若OA+2OB+3OC=0，則△【解題思路】利用向量數(shù)乘運算和三角形重心定義判斷選項A；利用向量數(shù)量積運算和三角形垂心定義判斷選項B；利用向量數(shù)量積運算和等邊三角形定義判斷選項C；求得△BOC與△ABC的面積之比判斷選項D.【解答過程】對于A，如圖，取AB邊中點D，連接AB邊上的中線CD，則OA+又∵OA+OB+OC=∴O為△ABC的重心，故選項A正確；

對于B，如圖，取AB邊中點D，BC邊中點E，連接OD，OE，則OA+OB=2∵OA+∴2OD∴OD?AB=OE?∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD，OE分別是AB，BC邊上的垂直平分線，∴OA=OB=OC，O為△ABC的外心，故選項B錯誤；

對于C，作角A的內(nèi)角平分線AE與BC邊交于點E，∵ABAB為AB方向的單位向量，ACAC為∴ABAB+AC∴ABAB+AC∴AE⊥BC，∴AE⊥BC，∴AC=AB，又∵BABA?BCBC=∴△ABC為等邊三角形，故選項C正確；

對于D，設(shè)OB′=2由OA+2OB+3則由選項A可知，O為△AB′C′的重心，設(shè)∴S△AO又∵OB=12O∴S△AOC=13S∴S△ABC∴S△BOC

故選：B.【題型3垂心問題】【例3】（23-24高一下·上海浦東新·期中）O是平面上一定點，A，B，C平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA+λABABcos∠ABC+ACA．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解題思路】利用向量的數(shù)量積的定義式結(jié)合三角函數(shù)誘導公式化簡已知等式，再由向量的數(shù)量積為零推出向量垂直即可.【解答過程】如圖所示，過點A作AD⊥BC，垂足為D點．則BC·同理BC·∵動點P滿足OP=OA+λ∴AP=λABAB∴AP·∴AP⊥因此P的軌跡一定通過△ABC的垂心．故選：D．【變式3-1】（23-24高一下·廣東東莞·期末）已知在△ABC中，O是△ABC的垂心，點P滿足：3OP=12OAA．23 B．34 C．35【解題思路】根據(jù)向量加法可得12OA+12【解答過程】如圖，設(shè)AB的中點為M，則12故由3OP=12OA+12OB+2OC所以結(jié)合圖形可得S△ABP故選:A.【變式3-2】（23-24高一下·山東·期中）設(shè)H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HCA．?3010 B．?55 C．【解題思路】根據(jù)題意，由垂心的向量表達式可得HA?HB=【解答過程】因為H是△ABC的垂心，所以HA?HB?同理可得HB?HA?所以HA?設(shè)HA?因為3HA+4HB所以HB=?2x,x<0所以cos∠AHB=故選：C.【變式3-3】（2024高三下·全國·專題練習）如圖，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=A．1:2:3 B．1:2:4C．2:3:4 D．2:3:6【解題思路】延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點P，M，N，利用同底的兩個三角形面積比推得tan∠BAC:【解答過程】O是△ABC的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點P，M，N，如圖，則CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP=∠BAC，∠AOP=∠ABC，因此，S△BOC同理S△BOC于是得tan∠BAC:又OA由“奔馳定理”有S即S△BOC:S故選：A.【題型4內(nèi)心問題】【例4】（2024·四川南充·三模）已知點P在△ABC所在平面內(nèi)，若PA?(AC|AC|?ABA．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心【解題思路】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的定義可得AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，結(jié)合三角形內(nèi)心定義判斷即得.【解答過程】在△ABC中，由PA?(AC|即AP?AC|AC|顯然AP≠0，即P與A不重合，否則cos∠ABC=1則|AP|cos∠PAC=|AP于是AP平分∠BAC，同理BP平分∠ABC，所以點P是△ABC的內(nèi)心.故選：D.【變式4-1】（23-24高一下·四川成都·期末）已知點O是△ABC的內(nèi)心，AB=4,AC=3，CB=λCA+μCO，則A．43 B．53 C．2 【解題思路】連接AO并延長交BC于點D，連接CO，則由角平分線定理得到CB,CD的長度關(guān)系，再由平面向量基本定理，利用A,O,D三點共線，得到關(guān)系式，比較系數(shù)可得答案.【解答過程】連接AO并延長交BC于點D，連接CO，因為O是△ABC的內(nèi)心，所以AD為∠BAC的平分線，所以根據(jù)角平分線定理可得BDCD所以CB=因為A,O,D三點共線，所以設(shè)CD=t則CB=因為CB=λ所以λ+μ=7t故選：D.【變式4-2】（2023高三·全國·專題練習）在△ABC中，若sin∠BAC?PA+sin∠ABC?PB+A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心【解題思路】根據(jù)“奔馳定理”列方程，整理后判斷出P是△ABC的內(nèi)心.【解答過程】過點P分別作BC，CA，AB的垂線PD，PE，PF，其垂足依次為D,E,F，如圖所示，由于sin∠BAC?PA+根據(jù)奔馳定理就有：S△BPC即12因此PD=PE=PF，故點P是△ABC的內(nèi)心，B選項正確.故選：B.【變式4-3】（2024高三·全國·專題練習）在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O是△ABC的內(nèi)心，且AO=λABA．910 B．710 C．89【解題思路】根據(jù)引理證明定理3，即可定理3的結(jié)論求解.【解答過程】先證明：引理（“奔馳”定理）如圖1，O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC證明

如圖3，延長AO，與BC邊相交于點D，則BDDC記BDDC=λ，則BD=λ所以?1+λ又OD=?ODOA從而SA接下來證明定理3

O是△ABC的內(nèi)心?aOA+bOB+cOC證明

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，O是△ABC的內(nèi)心，則S△BOC根據(jù)引理得，O是△ABC的內(nèi)心?aOA由AO=λAB+μ即1?λOA因為O為△ABC的內(nèi)心，AB=2，AC=3，根據(jù)定理3，可知1?λ4=λ?μ3=μ2故選:D．【題型5外心問題】【例5】（23-24高一下·天津北辰·期中）O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足(OA+OB)?BA=(OBA．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解題思路】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律計算判斷得解.【解答過程】依題意，(OA(OB(OC則|OA|2所以O(shè)是△ABC的外心.故選：B.【變式5-1】（23-24高三下·新疆·階段練習）在△ABC中，AC=27，O是△ABC的外心，M為BC的中點，AB?AO=8，N是直線OM上異于M、O的任意一點，則A．3 B．6 C．7 D．9【解題思路】根據(jù)外心的性質(zhì)得到OM⊥BC，設(shè)ON=λOM，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到AN?【解答過程】因為O是△ABC的外心，M為BC的中點，設(shè)AC的中點為D，連接OD，

所以O(shè)M⊥BC，OD⊥AC，設(shè)ON=λ則AN==AO?BA又O是△ABC的外心，所以AO=1所以AN?故選：B.【變式5-2】（2024高三·江蘇·專題練習）已知O為△ABC的外心，若A(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120°,且AO=λABA．23 B．2 C．1 D．【解題思路】由圖形在坐標平面內(nèi)的位置，求出C點和O點的坐標，得AO,AB,AC的坐標，由AO=λ【解答過程】解法一：若A(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120°，則有設(shè)△ABC的外心Ox,y，由OA=OB，得x由OA=OC，得12得O1,23又AC=?1由AO=λAB+μ得2λ?12μ=1故λ+μ=13方法二：過點A作AG⊥BC于G，過點O作OH⊥BC于H，過點O作EF//BC交AC的延長線于E，交AB的延長線于因為A(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120°,由余弦定理，CB2=A而三角形△ABC的外接圓的半徑為7sin所以O(shè)H=21且S△ABC=1所以ACAE=AB故AO=λ由于O,E,F三點共線，有6λ13+6μ故選：D.【變式5-3】（2024·遼寧撫順·模擬預測）在銳角三角形ABC中，A=60°，AB>AC，H為△ABC的垂心，AH?AC=20，O為△ABC的外心，且AH?AOA．9 B．8 C．7 D．6【解題思路】作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，利用向量數(shù)量積可求得bc=40，再由O為△ABC的外心，可得∠BAO=90°?C，從而可得∠OAH=C?∠ABC，解方程組cosC?∠ABC=7198與【解答過程】

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，如圖，延長BH交AC于D，延長AH交BC于E，所以BD⊥AC，所以AH?AC=又O為△ABC的外心，所以∠AOB=2C，即∠BAO=90°?C，又在△ABE中，∠BAE=90°?∠ABC，故∠OAH=90°?∠ABC?90°?C=C?∠ABC所以cosC?∠ABC=cos∠OAH=AH所以由正弦定理得bcsinCsin∠ABC=故選：C.一、單選題1．（2024·全國·二模）點O,P是△ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足OP=OA+OB+OC，則直線A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解題思路】根據(jù)向量的運算，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析，即可判斷.【解答過程】設(shè)BC的中點為點D，所以O(shè)B+則OP?若A,P,O,D四點共線時，即點O,P都在中線AD上，所以O(shè)P經(jīng)過三角形的重心，若A,P,O,D四點不共線時，AP//OD，且AP=2OD，連結(jié)AD,OP，交于點G，如圖，AGGD=APOD=2，即點G綜上可知，OP經(jīng)過△ABC的重心.故選：A.2．（23-24高一下·河南安陽·期末）已知O是△ABC內(nèi)的一點，若△BOC,△AOC,△AOB的面積分別記為S1,S2,S3，則S1?OA+S2A．1:2:3 B．1:2:4 C．2:3:4 D．2:3:6【解題思路】延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點P，M，N，利用同底的兩個三角形面積比推得tan∠BAC:【解答過程】O是△ABC的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點P，M，N，如圖，則CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC，∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC，因此，S1S2于是得tan∠BAC:又OA+2OB+3OC=則OC=?S1S3?OA?S2S所以tan∠BAC:故選：A.3．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習）點P是銳角△ABC內(nèi)一點，且存在λ∈R，使AP=λ(AB+AC)A．點P是△ABC的垂心 B．點P是△ABC的重心C．點P是△ABC的外心 D．點P是△ABC的內(nèi)心【解題思路】由已知判斷點P在直線AD上，結(jié)合垂心、重心、外心、內(nèi)心的定義逐一判斷即可.【解答過程】記BC的中點為D，則AP=λ(所以，點P在直線AD上.A選項：若點P是△ABC的垂心，則AD⊥BC，所以AB=AC，所以△ABC為等腰三角形，A正確；B選項：若點P是△ABC的重心，則點P在BC邊的中線上，無法推出AD⊥BC，B錯誤；C選項：若點P是△ABC的外心，則點P在BC邊的中垂線上，所以AD⊥BC，所以△ABC為等腰三角形，C正確；D選項：若點P是△ABC的內(nèi)心，則AD為∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，又S△ABD=S故AB=AC，D正確.故選：B.4．（2024·安徽·三模）平面上有△ABC及其內(nèi)一點O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將△OAB，△OBC，△OCA的面積分別記作Sc，Sa，Sb，則有關(guān)系式Sa?OA+Sb?OB+Sc?OC=0．因圖形和奔馳車的logo很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知△ABC的內(nèi)角A，A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解題思路】根據(jù)平面向量基本定理可得SbSa=ba，ScSa=ca，延長CO交AB于E，延長BO交AC于F，根據(jù)面積比推出【解答過程】由Sa?OA由a?OA+b?OB根據(jù)平面向量基本定理可得?SbS所以SbSa延長CO交AB于E，延長BO交AC于F，則SbSa=|AE||BE|，又所以CE為∠ACB的平分線，同理可得BF是∠ABC的平分線，所以O(shè)為△ABC的內(nèi)心.故選：B.5．（23-24高一下·上海奉賢·期中）設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點，滿足OA+2OB+2OC=0，則A．6 B．83 C．127 【解題思路】延長OB到D，使OB=BD，延長OC到E，使OC=CE，連接AD,DE,AE，則由已知條件可得O為△ADE的重心，由重心的性質(zhì)可得S△AOD=S△AOE=【解答過程】解：延長OB到D，使OB=BD，延長OC到E，使OC=CE，連接AD,DE,AE，因為OA+2OB+2所以O(shè)為△ADE的重心，所以設(shè)S△AOD=S△AOE=所以S△ABC所以S△ABC故選：D.6．（23-24高一下·甘肅·期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA，SB，SC，且SA?MA+SB?MB

A．?63 B．?66 C．【解題思路】根據(jù)SA?MA+SB?MB+SC?MC=0和【解答過程】

如圖，延長AM交BC于點D，延長BM交AC于點F，延長CM交AB于點E.由M為△ABC的垂心，3MA+4MB得SA:S又S△ABC=SA+SB設(shè)MD=x，MF=y，則AM=3x，BM=2y，所以cos∠BMD=x2y=cos所以cos∠BMD=所以cos∠AMB=故選：B.7．（23-24高三上·遼寧沈陽·階段練習）已知△ABC，I是其內(nèi)心，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別a,b,c，則（

）A．AI=13C．AI=bAB【解題思路】結(jié)合平面向量線性運算以及正弦定理等知識求得正確答案.【解答過程】延長AI,BI,CI，分別交BC,AC,AB于D,E,F.內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點.在三角形ABD和三角形ACD中，由正弦定理得：BDsin由于sin∠ADB=sin∠ADC，所以BD同理可得cBD=AIAI=c?AD所以AD=b則AI=故選：C.8．（23-24高一上·安徽黃山·期末）O為三角形內(nèi)部一點，a?b?c均為大于1的正實數(shù)，且滿足aOA+bOB+cOC=CB，若SΔOAB?SΔOAC?SΔOBC分別表示A．(c+1):(b?1):a B．c:b:a C．1a:1【解題思路】利用已知條件，結(jié)合三角形的面積的比，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答過程】解：由aOA∴a∴a∴a如圖設(shè)O∴OA1+O∴∴∴SΔOAB=1∴所以SΔOAB故選：A．二、多選題9．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習）數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點O、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點，則（

）A．OH=OA+C．AH=3OM 【解題思路】利用平面向量的線性運算證明選項ABD正確，證明選項C錯誤即可.【解答過程】A.∵OG=1所以O(shè)A?所以O(shè)G=所以O(shè)H=B.S△BCG由于G是重心，所以?1=1同理S△ABG=1所以該選項正確.C.AH=D.OH=3所以AB+故選：ABD.

10．（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA

A．若SA:SB:B．若M為△ABC的內(nèi)心，則BC?C．若M為△ABC的外心，則MAD．若M為△ABC的垂心，3MA+4【解題思路】對于A，根據(jù)已知條件及奔馳定理，結(jié)合三角形重心的性質(zhì)即可求解；對于B，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)及三角形的面積公式，結(jié)合奔馳定理即可求解；對于C，利用三角形外心的定義及向量的線性運算即可求解；對于D，利用三角形的垂心的定義及三角形的面積公式，結(jié)合奔馳定理及銳角三角函數(shù)即可求解.【解答過程】對于A，取BC的中點D，連接MD,AM,如圖所示

由SA:S所以2MD所以A,M,D三點共線，且AM=設(shè)E,F分別為AB,AC得中點，同理可得CM=所以M為△AMC的重心，故A正確；對于B，由M為△ABC的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，如圖所示

則SA所以12即BC?MA對于C，如圖所示

因為M為△ABC的外心，所以MA=MB=MC,所以MA2=MB2，即所以MB+同理可得，MB所以MA+對于D，延長AM交BC于點D，延長BM交AC于點F，延長CM交AB于點E，如圖所示，

由M為△ABC的垂心，3MA+4MB又S△ABC=S設(shè)MD=x，MF=y，則所以cos∠BMD=x2y所以cos∠BMD=66故選：ABC.11．（23-24高一下·山東棗莊·期中）點O在△ABC所在的平面內(nèi)，（

）A．若動點P滿足OP=OA+λABABB．若動點P滿足OP=OA+λABABC．若2OA+OB+3OC=0，S△AOCD．已知△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a?OA+b?OB+c?OC【解題思路】對于A，設(shè)BC的中點為D，連AD，利用正弦定理推出AP與AD共線，可判斷A；對于B，根據(jù)A可判斷B；對于C，設(shè)AC、BC的中點分別為E、F，由2OA+OB對于D，延長CO交AB于D，由a?OA+b?OB+c?OC=0得到a?DA+b?DB=?(a+b)OD?c?OC，根據(jù)共線向量定理可得【解答過程】對于A，設(shè)BC的中點為D，連AD，如圖：

因為|AB|sin所以AP=λ|AB|sinB所以動點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心，故A不正確；對于B，由A可知，只有當|AB|cosB=|AC對于C，因為2OA+OB設(shè)AC、BC的中點分別為E、F，則2OE

所以S△AOC對于D，延長CO交AB于D，

因為a?OA+b?OB所以a?DA設(shè)DA=xDB，OD=y因為DB與OC不共線，所以ax+b=0，ay+by+c=0，所以x=?ba，即DA=?ba所以CO為∠ACB的平分線，同理得OA為∠BAC的平分線，OB為∠ABC的平分線，所以O(shè)為△ABC的內(nèi)心.故D正確.故選：CD.三、填空題12．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知O是平面上一個定點，A，B，C是平面上三個不共線的點，動點P滿足條件OP=OA+λ(ABAB+ACAC)(λ∈【解題思路】AB|AB|,AC|AC【解答過程】AB|AB|令AB|AB|則OP?即AP=λ(又|e1|=|e2所以點P在角平分線上所以動點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.故答案為：內(nèi).13．（2024·四川成都·一模）已知G為ΔABC的重心，過點G的直線與邊AB,AC分別相交于點P,Q，若AP=35AB,則ΔABC與ΔAPQ的面積之比為【解題思路】設(shè)AQ=xAC，AG=λAP+1?λAQ，利用三角形重心的性質(zhì)以及平面向量的運算法則可得1【解答過程】

設(shè)AQ=x∵P,G,Q三點共線，∴可設(shè)AG=λ∴AG∵G為ΔABC的重心，∴AG∴1∴13=∴AQSΔABC故答案為20914．（2024高一下·四川宜賓·競賽）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”Mercedes-Benz的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理）.“奔馳定理”的內(nèi)容如下：如圖，已知O是△ABC內(nèi)一點，△BOC,△AOC,△AOB的面積分別為SA,SB,SC，則SA?OA+SB?OB+SC?OC①O是△ABC的外心；②∠BOC+A=π③OA:OB【解題思路】由OA?OB=OB?OC=OC?【解答過程】對①，因為OA同理OB⊥CA,OC⊥AB,故O為△ABC的垂心，故①錯誤；對②，因為∠OBC+∠C=π2,∠OCB+∠B=又因為∠OBC+∠OCB+∠BOC=π，所以∠BOC=∠C+∠B又因為∠A+∠B+∠C=π，所以∠BOC+A=對③，延長CO交AB于點P，如圖，則cosA:同理可得cosA:cosC=OA:OC對④，S=tan同理可得SA:S又因為SA?OA故答案為：②③④.四、解答題15．（2024高三·全國·專題練習）根據(jù)“奔馳定理”，解決以下問題：(1)點O為△ABC內(nèi)一點，若S△AOB:S△BOC:S△AOC(2)若O為△ABC的外心，證明：sin2A【解題思路】（1）利用奔馳定理和平面向量的線性運算即可求解；（2）設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，利用奔馳定理即可求解.【解答過程】（1）根據(jù)“奔馳定理”，得3OA+2OB+4OC因為AB與AC不共線，所以由平面向量基本定理得λ=29，（2）證明：若O為△ABC的外心，則可設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，∠BOC=2A，∠AOC=2B，∠AOB=2C，故S△BOC同理S△AOC=1根據(jù)“奔馳定理”，S△BOC即12所以sin2A?16．（23-24高一下·山西大同·期中）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,H是△ABC內(nèi)的一點，且AH=(1)若H是△ABC的垂心，證明：7c(2)若H是△ABC的外心，求∠BAC．【解題思路】（1）由垂心的概念及向量的數(shù)量積結(jié)合余弦定理化簡即可；（2）根據(jù)外心的性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積計算得出cos∠BAC=【解答過程】（1）∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，即AH?BC=由余弦定理可得上式等價于4abcos化簡得7c（2）

如圖所示，取AB、AC中點分別為E、F，∵H是△ABC的外心，∴EH⊥AB,FH⊥AC，即EH?故4bcos同理，F(xiàn)H?聯(lián)立可得cos∵∠BAC∈0,π17．（23-24高二上·上海閔行·期中）在ΔABC中，AC=2，BC=6，∠ACB=60°，點O為ΔABC所在平面上一點，滿足OC=mOA+nOB（（1）證明：CO=（2）若點O為ΔABC的重心，求m、n的值；（3）若點O為ΔABC的外心，求m、n的值．【解題思路】（1）根據(jù)條件OC=m（2）根據(jù)重心的向量表示為OA+OB+OC=（3）根據(jù)點O為ΔABC的外心,求得CO?CB=12|CB|2,CO?CA【解答過程】（1）CO=m=m即CO所以CO則1?m?n所以CO=（2）若點O為ΔABC