重難點(diǎn)13 極化恒等式與等和（高）線定理（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）VIP

重難點(diǎn)13極化恒等式與等和（高）線定理【四大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用極化恒等式求值】 3【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】 4【題型3利用等和線求基底系數(shù)和的值】 4【題型4利用等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）】 51、極化恒等式與等和（高）線定理極化恒等式是平面向量中的重要等式，是解決平面向量的數(shù)量積問(wèn)題的重要工具，有平行四邊形模型和三角形模型兩大重要模型，可以建立起向量與幾何長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系；等和（高）線定理是平面向量中的重要定理，由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)得出，在求基底系數(shù)和的值、最值（范圍）中有著重要作用.【知識(shí)點(diǎn)1極化恒等式】1．極化恒等式的證明過(guò)程與幾何意義(1)平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：.證明：不妨設(shè)，則，，①，②，①②兩式相加得：.(2)極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式平行四邊形模式：.2．幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角線長(zhǎng)”平方差的，即(如圖).(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差，即(M為BC的中點(diǎn))(如圖).極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來(lái)表示，可以建立起向量與幾何長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系.【知識(shí)點(diǎn)2等和(高)線定理】1．等和(高)線定理(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若(λ,μ∈R)，則λ+μ=1，由△OAB與△OA'B'相似，必存在一個(gè)常數(shù)k,k∈R，使得，則，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. (2)平面內(nèi)一個(gè)基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若點(diǎn)P'在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ+μ=k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=1；②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0,1)；③當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈(1,+∞)；④當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)，k=0；⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比.【題型1利用極化恒等式求值】【例1】（2024·貴州畢節(jié)·三模）如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若BA?CA=7，BE?CE=2，則BF?CF=（

）A．?2 B．?1 C．1 D．2【變式1-1】（23-24高三上·福建廈門·期末）如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，BF=2FO，則FD?A．?34 B．?89 C．【變式1-2】（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，且OA＝3，OC＝5.若AB?AD=－7，則BC【變式1-3】（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點(diǎn)，則EF?FG+【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】【例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）半徑為2的圓O上有三點(diǎn)A、B、C滿足OA+AB+AC=0，點(diǎn)A．[?4，14) B．[0，4) C．[4，14] D．[4，16]【變式2-1】（23-24高一下·江蘇南通·期中）正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D在邊AB上，且BD=2DA，三角形ABC的外接圓的一條弦MN過(guò)點(diǎn)D，點(diǎn)P為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最短時(shí)，PM?A．[?1,5] B．[?1,7]C．[0,2] D．[1,5]【變式2-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知△OAB的面積為1,AB=2，動(dòng)點(diǎn)P,Q在線段AB上滑動(dòng)，且PQ=1，則OP?OQ【變式2-3】（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）在面積為2的平行四邊形中ABCD中，∠DAB=π6，點(diǎn)P是AD所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則【題型3利用等和線求基底系數(shù)和的值】【例3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE=23BC，DF=34A．32 B．?112 C．1【變式3-1】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中BE=12EC,BF=12BA+BC，點(diǎn)A．0 B．14 C．12 【變式3-2】（23-24高一上·江蘇常州·期末）在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段DC上，且CF=2DF．若AC=λAE+μAF，λ,μ均為實(shí)數(shù)，則【變式3-3】（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）如圖，在矩形ABCD中，M，N分別為線段BC，CD的中點(diǎn)，若MN=λ1AM+λ2【題型4利用等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）】【例4】（2024·山東煙臺(tái)·三模）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)，若AP=xAB+yAC，則A．83 B．2 C．43【變式4-1】（23-24高三上·河北滄州·期中）如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2，點(diǎn)P是區(qū)域ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），且AP=λAB+μACλ,μ∈R

A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．0,4【變式4-2】（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）在△ABC中，M為BC邊上任意一點(diǎn)，N為線段AM上任意一點(diǎn)，若AN=λAB+μAC（λ，μ∈R），則【變式4-3】（23-24高一下·廣西桂林·期末）已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且4OA+8OB+5OC=0，點(diǎn)M在△OBC一、單選題1．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）如圖，在△ABC中，AF=BF=6,EF=5，則EA?EB=A．?11 B．?13 C．?15 D．152．（2024·陜西西安·一模）在△ABC中，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，且CD=DA，AP=23A．16 B．13 C．233．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且AE=13AD，AF=2AE，AB?AC=6A．?1 B．2 C．?12 4．（2024·陜西榆林·三模）在△ABC中，E在邊BC上，且EC=3BE,D是邊AB上任意一點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)P，若CP=xCA+yCB，則A．34 B．?34 5．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一，即如圖所示，a?b=14AD2?BC2，我們稱為極化恒等式.已知在△ABC中，M是BC中點(diǎn)，AM=3A．?16 B．16 C．?8 D．86．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AN=tNC(t>0)，BP=λPN(λ>0)，若A．7 B．6 C．5 D．47．（23-24高三上·山東濰坊·期末）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，MN是它的內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，PM?PN的取值范圍是（A．[0，1] B．0,C．[1，2] D．?1,18．（2024·河北滄州·三模）對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊△ABC中，AB=2，以三條邊為直徑向外作三個(gè)半圓，M是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若BM=λAB+μAC，則A．12 B．33 C．1 二、多選題9．（23-24高一下·江蘇南京·期中）在△ABC中，點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，若存在λ,μ∈R使BM=λAB+μACA．λ=?35,μ=C．λ=?910,μ=10．（23-24高一下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，M為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，若BM=λBE+μBD，則A．32 B．12 C．1 11．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）（多選）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且AD=λBCλ∈A．AB·BC=9 B．實(shí)數(shù)C．四邊形ABCD是梯形 D．若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且MN=1，則DM?三、填空題12．（2024·新疆·二模）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若AE.13．（23-24高一下·黑龍江大慶·期末）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)BA?CA=5，BF?CF14．（23-24高三·廣東陽(yáng)江·階段練習(xí)）在面積為2的平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P為直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則PB?PC+四、解答題15．（23-24高一下·甘肅白銀·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O．E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F．(1)用AB，AD方表示AE；(2)若AF=λAB+μ16．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）閱讀一下一段文字：a+b2=a2+2a?b+b2，a?b(1)若AD＝6，BC＝4，求AB?(2)若AB?AC=4，F(xiàn)B17．（23-24高一上·遼寧大連·期末）在三角形ABC中，AB=a，AC=b，BE=2EC，D為線段AC上任意一點(diǎn)，

(1)若CD=2①用a，b表示AE；②若AO=λAE，求(2)若BO=xBA+y18．（23-2