重難點06 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷、證明或討論零點的個數(shù)】 2【題型2零點問題之唯一零點問題】 3【題型3零點問題之雙零點問題】 3【題型4根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍】 4【題型5函數(shù)零點的證明問題】 5【題型6多零點的和、差、積與大小關(guān)系問題】 6【題型7隱零點問題】 7【題型8三角函數(shù)的零點問題】 8【題型9與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題】 81、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點（方程的根）問題在高考中占有很重要的地位，主要涉及判斷函數(shù)零點的個數(shù)或范圍.高考?？疾槿魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)的零點問題，以及函數(shù)零點與其他知識的交匯問題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大.【知識點1導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點問題的解題策略】1．函數(shù)零點（個數(shù)）問題的的常用方法(1)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點的個數(shù).(2)函數(shù)零點存在定理：利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個零點.(3)數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖象的幾何直觀求解.2．導(dǎo)數(shù)中的含參函數(shù)零點（個數(shù)）問題利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點（個數(shù)）問題主要有兩種方法：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值，轉(zhuǎn)化為f(x)圖象與x軸的交點問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點問題.3．與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題的解題策略與函數(shù)零點（方程的根）有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點判斷函數(shù)的大致圖象，進而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點情況.【知識點2隱零點問題】1．隱零點問題隱零點問題是指函數(shù)的零點存在但無法直接求解出來的問題，在函數(shù)不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合題目中常會遇到涉及隱零點的問題，處理隱零點問題的基本策路是判斷單調(diào)性，合理取點判斷符號，再結(jié)合函數(shù)零點存在定理處理.2．隱零點問題的解題策略在求解函數(shù)問題時，很多時候都需要求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的零點，但所述情形都難以求出其準(zhǔn)確值，導(dǎo)致解題過程無法繼續(xù)進行時，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在唯一的零點(例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間I的兩個端點的函數(shù)值異號時就可證明存在唯一的零點)，這時可設(shè)出其零點是x0.因為x0不易求出(當(dāng)然，有時是可以求出但無需求出)，所以把零點x0叫做隱零點；若x0容易求出，就叫做顯零點，而后解答就可繼續(xù)進行，實際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.【題型1判斷、證明或討論零點的個數(shù)】【例1】（2024·四川涼山·二模）若fx=xsinx+cosx?1，x∈?π2,π，則函數(shù)fx的零點個數(shù)為（

A．0 B．1 C．2 D．3【變式1-1】（2024·北京房山·一模）若函數(shù)f(x)=ln(1?x),x∈?∞,0A．1 B．2 C．1或2 D．1或3【變式1-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=12時，求(2)當(dāng)a=1時，判斷fx【變式1-3】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若關(guān)于x的不等式fx≤2x?2e在【題型2零點問題之唯一零點問題】【例2】（2024·四川成都·三模）若函數(shù)fx=ex?kA．4 B．2e C．e2 【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2x?kx?b恰有一個零點x0，且A．?∞,1?ln2ln2 B．【變式2-2】（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)f(x)=x(e(1)若曲線y=f(x)在x=?1處的切線與y(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求【變式2-3】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=3x2+msinx(x>0)(1)當(dāng)m=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程，(2)若函數(shù)gx=fx?mxcos【題型3零點問題之雙零點問題】【例3】（2024·四川內(nèi)江·三模）若函數(shù)f(x)=lnxx?xA．(0,e) B．(e,+∞)【變式3-1】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=xlnx?x+x?aA．?1e,0C．?2e,0【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=xe1x?a(x>0)，且(1)求實數(shù)a的取值范圍．(2)證明：x1【變式3-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x2ln(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)求證：t<1；(3)比較t與2e及2m+【題型4根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍】【例4】（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）已知a>1，若函數(shù)fx=axlnA．e,+∞ B．1,e C．2【變式4-1】（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)f(x)=?x3?3x2?2x,x≤0A．(14,1e) B．(?2,0]∪{【變式4-2】（2024·貴州貴陽·一模）已知函數(shù)fx=a+ex,x>0eA．?∞,e B．?∞,?e【變式4-3】（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x3+2x2A．?∞,?1∪C．?∞,0∪【題型5函數(shù)零點的證明問題】【例5】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若fx≤0恒成立，求(2)若fx有兩個不同的零點x1,【變式5-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=a(ln(1)求證：1+xln(2)若x1,x2是【變式5-2】（2024·遼寧·三模）已知fx(1)討論函數(shù)fx(2)當(dāng)a>0時，證明：函數(shù)fx有且僅有兩個零點x1,【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=x2?(2+a)x+a(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)=exx?f(x)+x2?(a+1)x?2a+(a?1)lnx（i）證明：2a>e（ii）證明：x2【題型6多零點的和、差、積與大小關(guān)系問題】【例6】（2023·四川成都·三模）已知函數(shù)f(x)=x?1x?alnx有三個零點xA．(1,+∞) B．2，+∞ 【變式6-1】（2023·四川南充·一模）已知函數(shù)f(x)=lnx?2x+2?m（0<m<3）有兩個不同的零點x1，x2（①x2x1<e2m

②xA．1 B．2 C．3 D．4【變式6-2】（2023·四川成都·一模）已知函數(shù)fx=lnx2?a2xlnx+aeA．?1e2?e,0 B．?【變式6-3】（2023·四川南充·一模）已知函數(shù)f(x)=lnx?2x+2?m（0<m<3）有兩個不同的零點x1，x2（①x2x1<e2mA．0 B．1 C．2 D．3【題型7隱零點問題】【例7】（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知fx(1)討論函數(shù)fx(2)當(dāng)a=0時，判定函數(shù)gx【變式7-1】（23-24高三上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ln（1）若直線y=2x與函數(shù)fx的圖象相切，求實數(shù)a（2）當(dāng)a=?1時，求證：fx【變式7-2】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=xe(1)求fx在區(qū)間?1,1(2)當(dāng)a≥1時，求證：fx【變式7-3】（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)f(x)=ae(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))(2)證明：當(dāng)a>1時，f(x)沒有零點．【題型8三角函數(shù)的零點問題】【例8】（2023·江西上饒·一模）已知函數(shù)fx=sin2x+2sinx?1，則A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【變式8-1】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ex+x,x<0A．94,134 B．94,【變式8-2】（2024·廣西欽州·三模）已知函數(shù)fx(1)若a=0，求曲線y=fx在點0,f(2)若a>?1，證明：fx在?【變式8-3】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知fx=xsin(1)討論fx在?(2)令?x=x2?4x【題型9與函數(shù)零點相關(guān)的綜合問題】【例9】（2024·廣東廣州·二模）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若fx存在兩個極值點，記x0為fx的極大值點，x1為【變式9-1】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x?1(1)當(dāng)x∈1,+∞時，fx(2)若a<?2，證明：fx有三個零點x1，x2，x3（x1<x【變式9-2】（2024·北京朝陽·二模）已知函數(shù)f(1)求曲線y=fx在點0,f(2)若fx≥0恒成立，求(3)若fx有兩個不同的零點x1,x2【變式9-3】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)fx=e(1)當(dāng)b=e時，求函數(shù)g(2)已知實數(shù)a∈0,①求證：函數(shù)fx②設(shè)該零點為x0，若fx圖象上有且只有一對點Ax1,y1一、單選題1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=lnA．0,22 B．22,1 C．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=x3?3x+a在區(qū)間0,2A．0,2 B．2,+∞ C．0,1 D．3．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=ex?kx?b恰好有一零點x0，且A．(?∞,0) B．(0,1) C．(?∞4．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知ω>0，若函數(shù)fx=lnx?xA．43,73 B．43,5．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）定義在0,+∞上的單調(diào)函數(shù)fx，對任意的x∈0,+∞有ffx?A．?∞,1 B．0,1 C．0,1 6．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx+1?ax有兩個零點x1A．a(chǎn)>1 B．xC．x1?x7．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=3?2x+1,x>0,(x+2)2eA．0,1 B．1,4 C．1,4 D．1,+8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=e2x?2a+1xA．?a∈R，使函數(shù)fx恰有B．?a∈R，使函數(shù)fxC．?a∈R，使函數(shù)fx沒有D．若函數(shù)fx有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為二、多選題9．（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知方程ax?2xlnx=x2+3（a∈R）有兩個不同的根x1，A．a(chǎn)∈4,+∞ C．lnx1+10．（2024·重慶·三模）已知函數(shù)f(x)=e2x?ax2A．當(dāng)a=1時，f(x)在(0,f(0))處的切線方程為2x?y+1=0B．若f(x)有3個零點，則a的取值范圍為eC．當(dāng)a=e2時，x=1是D．當(dāng)a=12時，f(x)有唯一零點x11．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)fx=aex+a?x有兩個零點A．a(chǎn)的值可以取14 B．a(chǎn)的值可以取C．x1?x2的值關(guān)于a三、填空題12．（2024·四川成都·三模）若函數(shù)fx=ex?kx213．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=x3?x,x≤0lnx,x>0，若F(x)=f(f(x)?t)14．（2023·福建福州·二模）已知函數(shù)fx=x2e2x?a+1四、解答題15．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若x=?2是函數(shù)fx的極值點，求a(2)若函數(shù)fx在13,316．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=2sin(1)當(dāng)a=