重難點02 函數(shù)性質(zhì)的靈活運用（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點02函數(shù)性質(zhì)的靈活運用【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】 ④函數(shù)或函數(shù)．2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.【知識點3函數(shù)的周期性與對稱性的常用結(jié)論】1．函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；(4)若f(x+a)=，則T=2a；(5)若f(x+a)=，則T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);2．對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱.3．函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(2)若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(3)若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．【知識點4抽象函數(shù)的解題策略】1．抽象函數(shù)及其求解方法我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，一般用y=f(x)表示，抽象函數(shù)問題可以全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象集于一身，是考查函數(shù)的良好載體.解決這類問題一般采用賦值法解決.【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】【例1】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx定義域為R，且函數(shù)fx與fx+1均為偶函數(shù)，當(dāng)x∈0,1時，fx是減函數(shù)，設(shè)a=f38，b=f92，c=flog1612，則a，b，c的大小關(guān)系為（A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．b>a>c【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)fx是周期為2的函數(shù)，則可得b=f12【解答過程】因為函數(shù)fx是偶函數(shù)，則f又函數(shù)fx+1為偶函數(shù)，則f即fx=f2+x則b=f92=f且當(dāng)x∈0,1時，f由14<38<故選：C.【變式1-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域為R，對任意實數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)?1，當(dāng)x>0時，f(x)>1，且f(2)=5，則關(guān)于x的不等式f(x)+f(4?3x)<6的解集為（

A．1,+∞ B．2,+∞ C．?∞，【解題思路】根據(jù)題意利用定義證明函數(shù)在R上單調(diào)遞增，繼而轉(zhuǎn)化不等式，求解即可.【解答過程】任取x1從而f(=f(x因為x2?x所以f(x則fx在R不等式f(x)+f(4?3x)<6等價于不等式f(x)+f(4?3x)?1<5，即f(x+4?3x)<f(2)．因為fx在R所以4?2x<2，解得x>1．故選：A.【變式1-2】（2024·山東·二模）已知函數(shù)fx=2x2?mx+1在區(qū)間?1,+A．7,+∞ B．C．?∞,7 【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得解得m≤?4，再由f1=3?m，進(jìn)而求得【解答過程】由函數(shù)fx=2x因為函數(shù)在區(qū)間?1,+∞上是增函數(shù)，所以m4≤?1又因為f1=3?m，因此3?m≥7，所以f1故選：A．【變式1-3】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知定義在區(qū)間(?m,m)(m>0)上，值域為R的函數(shù)f(x)滿足：①當(dāng)0<x<m時，f(x)>0；②對于定義域內(nèi)任意的實數(shù)a、b均滿足：f(a+b)=f(a)+f(b)1?f(a)f(b)．則（A．f(0)=1B．?C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,m)上單調(diào)遞減D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(?m,m)上單調(diào)遞增【解題思路】賦值：令a=b=0代入可得f(0)=0，令a=x,b=?x代入可得函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義可以證明函數(shù)在(?m,m)的單調(diào)性.【解答過程】對A，令a=b=0，則f(0)=2f(0)f(0)?f3(0)=2f(0)故f(0)=0，所以A不正確；對B，取a=x,b=?x代入：f(0)=f(a)+f(b)即f(x)=?f(?x)，即f(x)在(?m,m)上為奇函數(shù)，設(shè)?x所以f(x2?故：f(=f(即：f(x對C，由B知函數(shù)在0,m上單調(diào)遞增，故C錯誤；對D，由C結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)且f(0)=0，所以f(x)在(?m,m)上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.【題型2函數(shù)的最值問題】【例2】（2024·安徽淮北·二模）當(dāng)實數(shù)t變化時，函數(shù)fx=xA．2 B．4 C．6 D．8【解題思路】先對內(nèi)函數(shù)y=x2+t對應(yīng)的方程的根的情況分類討論，得出t≥0【解答過程】若△=?4t≤0，即t≥0時，f(x)=x2+t，其對稱軸為x=0此時，因t≥0，故g(t)=t+16的最小值為16；若t<0，由y=x2+t=0（Ⅰ）如圖1，當(dāng)?t≤4時，即?16≤t<0時，fx=在[??t在[0,?t]上遞減，在[?t①當(dāng)?16≤t≤?8時，t+16≤?t，故fxmax=?t，而g(t)=?t減，則此時，g(t)②當(dāng)?8<t<0時，t+16>?t，故fxmax=t+16，而?(t)=t+16遞增，則此時，g(t)>?(?8)=8.（Ⅱ）如圖2，當(dāng)?t>4，即t<?16時，fx=x2則此時fxmax=f(0)=|t|=?t，而φ(t)=?t在(?綜上，函數(shù)fx故選：D.【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知x>0，y>0且x+y=1，則x21+xA．15 B．25 C．35【解題思路】由基本不等式和x+y=1可得0<xy≤14，化簡可得11+【解答過程】因為x+y=1，所以x+y=1≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=所以0<xy≤1因為11+x2令t=3?2xy，則t∈52,3所以11+由對勾函數(shù)y=x+5x在[5所以當(dāng)t=52時，所以x2故選：B．【變式2-2】（2024·江西鷹潭·三模）若fx=x+2+3x?aA．6或?18 B．?6或18C．6或18 D．?6或?18【解題思路】分a>?6，a<?6，a=?6三種情況，得出每種情況下fx的最小值，令其為4，解出a【解答過程】當(dāng)a>?6時，fx∴fxmix當(dāng)a<?6時，fx∴fxmix當(dāng)a=?6時，fx=4x+2故選：A.【變式2-3】（2024·全國·三模）已知函數(shù)fx=bx?b+3x3在?1,1上的最小值為?3A．?∞,?4 B．9,+∞ C．?4,9【解題思路】由已知可得當(dāng)?1≤x<1時，可得bx【解答過程】因為f1=?3，函數(shù)fx=bx?b+3所以對?x∈?1,1，f所以bx?b+3x3當(dāng)x=1時，b∈R當(dāng)?1≤x<1當(dāng)x=0或x=當(dāng)0<x<1時，b≥?3因為x2+x∈0,2，所以1x2所以b≥?9當(dāng)?1<x<0時，b≤?31+因為x2+x∈?14,0，所以所以b≤9.綜上可得，實數(shù)b的取值范圍是?9故選：D.【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】【例3】（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)gx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx，gA．ff2>fC．gg2>g【解題思路】根據(jù)題意，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，判斷各選項的正負(fù)，即可求解.【解答過程】因為fx，gx在0,+∞上單調(diào)遞減，f所以gx在R上單調(diào)遞減，fx在對于A中，由f2>f3對于B中，因為gx是定義在R上的奇函數(shù)，可得g又因為gx在0,+∞上單調(diào)遞減，可得因為fx在0,+∞上單調(diào)遞減，且fx為偶函數(shù)，所以f所以fg對于C中，由g2>g3，gx在對于D中，由f2>f3，gx在故選：D.【變式3-1】（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)fx滿足：對任意實數(shù)x，y，都有ffx+y=fxA．fx+1為奇函數(shù) B．fC．fx+1為偶函數(shù) D．f(x)?1【解題思路】由題意令x=y=0，可得f1=2，令y=?x，可得2=fx+f?x【解答過程】令x=y=0，則ff0=f0+f令y=?x，則ff即f1=fx所以y=f(x)關(guān)于(0,1)對稱，所以fx+1關(guān)于(?1,1)f(x)+1關(guān)于(0,2)對稱，故B不正確；由A可知|fx+1|關(guān)于由A可知f(x)?1關(guān)于(0,0)對稱，故f(x)?1為奇函數(shù)，所以|f(x)?1|為偶數(shù)，故D正確.故選：D.【變式3-2】（2024·遼寧沈陽·三模）已知fx是定義在R上的函數(shù)，且f2x?1為偶函數(shù)，fx?2是奇函數(shù)，當(dāng)x∈0,1時，fxA．?1 B．?12 C．1【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到fx=f?x?2，再由奇函數(shù)的性質(zhì)得到f【解答過程】因為f2x?1為偶函數(shù)，所以f即fx?1所以fx又fx?2是奇函數(shù)，所以f即fx=?fx?2則fx+4所以fx是以4又當(dāng)x∈0,1時，fx=則f?1所以f7故選：A.【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的m<n<0，都有(m?n)(f(m)?f(n))<0，且f(?2)=0，則不等式f(x+1)?f(?x?1)x≥0的解集為（A．[?3,?1]∪[0,1] B．[?2,2]C．(?∞,?3)∪(?2,0)∪(2,+∞【解題思路】由對任意的m<n<0，都有(m?n)(f(m)?f(n))<0，得fx在(?∞,0)上單調(diào)遞減，由函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)得f(?2)=?f(2)=0，f(0)=0，fx【解答過程】對任意的m<n<0，都有(m?n)?(f(m)?f(n))<0，所以fx在(?因為函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，f(?2)=?f(2)=0，f(0)=0所以fx在(0,+∞)

所以f(x+1)?f(?x?1)x則f(x+1)≥0x>0或f(x+1)≤0x<0或即x≤?3或?1≤x≤1x>0或?3≤x≤?1解得x∈[?3,?1]∪(0,1]，故選：D．【題型4函數(shù)的對稱性及其應(yīng)用】【例4】（2024·四川·三模）定義在R上的函數(shù)y=fx與y=gx的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且函數(shù)y=g2x?1+1為奇函數(shù)，則函數(shù)A．?1,?1 B．?1,1 C．3,1 D．3,?1【解題思路】先根據(jù)條件得到gx的對稱中心，再根據(jù)對稱得到y(tǒng)=f【解答過程】因為y=g2x?1+1為奇函數(shù)，所以即g?2x?1故gx的對稱中心為?2x?1+2x?12,?1由于函數(shù)y=fx與y=gx的圖象關(guān)于直線且?1,?1關(guān)于x=1的對稱點為3,?1，故y=fx的對稱中心為3,?1故選：D.【變式4-1】（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)fx=2A．函數(shù)fx單調(diào)遞增 B．函數(shù)fxC．函數(shù)fx的圖象關(guān)于0,1對稱 D．函數(shù)fx的圖象關(guān)于【解題思路】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對稱性的定義，f2?x與f【解答過程】fx函數(shù)y=2?2t，t=2又內(nèi)層函數(shù)t=2x?1+1在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)y=2?所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)fx因為2x?1+1>1，所以0<2所以函數(shù)fx的值域為0,2f2?x=2所以函數(shù)fx關(guān)于點1,1故選：C.【變式4-2】（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)fx、gx的定義域均為R，函數(shù)f(2x?1)+1的圖象關(guān)于原點對稱，函數(shù)g(x+1)的圖象關(guān)于y軸對稱，f(x+2)+g(x+1)=?1,f(?4)=0，則f(2030)?g(2017)=A．?4 B．?3 C．3 D．4【解題思路】利用題設(shè)得到fx+f?2?x=?2①和g?x+1=gx+1②，又由f(x+2)+g(x+1)=?1，結(jié)合①式，推得g(x)的周期為12，利用f(?4)=0【解答過程】由函數(shù)f(2x?1)+1的圖象關(guān)于原點對稱，f?2x?1即f(?x?1)=?2?f(x?1)，即fx由函數(shù)g(x+1)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得g?x+1由fx+2+gx+1=?1可得兩式相加，fx+f?2?x則得gx?5+g?x+1=0，將②式代入得，于是gx+12=?gx+6又f(?4)=0，由①可得f2+f?4又由fx+2+gx+1=?1可得因f2030+g2029于是，f(2030)?g(2017)=?1?g故選：B.【變式4-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是?∞,0∪0,+∞，對任意的x1，x2∈0,+∞，x1≠xA．?1,0∪0,1 C．?∞,?1∪【解題思路】由題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x)，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【解答過程】由函數(shù)y=f(x+1)圖象關(guān)于點(?1,0)中心對稱，知函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(0,0)中心對稱，所以f(x)為奇函數(shù).令g(x)=xf(x)，則g(?x)=?xf(?x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)為偶函數(shù)，對于?x1,x2∈(0,+∞所以g(x)在(?∞由f(1)=4，得g(1)=4，g(?1)=4，當(dāng)x>0時，f(x)>4x變形為xf(x)>4，即g(x)>g(1)，解得當(dāng)x<0時，f(x)>4x變形為xf(x)<4，即g(x)<g(?1)，解得綜上，不等式f(x)>4x的解集為故選：B.【題型5對稱性與周期性的綜合應(yīng)用】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）若定義在R上的函數(shù)fx滿足fx=fx，且A．f8+x=fx B．fC．f201=3 D．【解題思路】本題考查抽象函數(shù)的圖象與性質(zhì)內(nèi)容，根據(jù)已有條件fx=fx和f【解答過程】由fx=f又f2+x+f2?x=6，所以所以f8+x由A可得，f8+x=f?x，所以f由A可得，fx是周期為8的函數(shù)，f又由f2+x+f2?x=6,f3對于D，由f2+x+f2?x=6所以y=fx+2故選：C.【變式5-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)fx滿足f2?x=f①直線x=1為曲線y=fx的對稱軸；②點23,0為曲線y=fx的對稱中心；③函數(shù)fx其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)f2?x=fx可得函數(shù)對稱軸，可判斷①；根據(jù)ft+2=?f【解答過程】由f2?x=fx因為ft+2=?f所以fx由f3x+2為奇函數(shù)有f?3x+2=?f3x+2，令t=3x得f?t+2又直線x=1為曲線y=fx的對稱軸，以f則fx的對稱中心為2k,0令t=0，則f2=?f2，所以f2=0，在f于是f1=2，f2=0，f3=?f1因為fx的圖象關(guān)于點2,0對稱?f所以fx=?f?x故選：C.【變式5-2】（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R，記gx=f′x，函數(shù)f2x+3A．gx不為周期函數(shù) B．fx的圖象不關(guān)于點C．g211=1【解題思路】利用函數(shù)成中心對稱的恒等式來證明新函數(shù)的對稱性，再利用雙對稱來證明函數(shù)的周期性，從而就可以來判斷各選項.【解答過程】因為函數(shù)f2x+3的圖象關(guān)于點?1,1所以f2x?1+3則fx的圖象關(guān)于點1,1由fx+3=x+f3?x令?x=fx由?x+3=?3?x，得?又fx的圖象關(guān)于點1,1對稱，則f所以?x+1+1則可得?x的圖象關(guān)于點1,故?x為周期函數(shù)，且周期為8，?所以，f985又fx=?x所以f′x=f′x+8，由由fx+3=x+f3?x由gx=f′x得：g利用gx的周期為8，則g故選：C．【變式5-3】（2024·陜西榆林·一模）定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(0)<0，f(3?x)=f(1+x)，g(2?x)+g(x)=2，g(x+12)=f(2x)+1，則下列說法中錯誤A．x=6是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸B．2是g(x)的一個周期C．函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心為3,0D．若n∈N?且n<2023，f(n)+f(n+1)+?+f(2023)=0，則【解題思路】由已知可推得gx關(guān)于直線x=32對稱，g2?x?1=gx+1?1.又有g(shù)1?x?1=?g1+x+1.進(jìn)而得出g1?x=?g2?x，即有g(shù)?x=g?x+2，即可得出B項；根據(jù)gx的周期可得出fx【解答過程】由f(3?x)=f(1+x)可得f(2?x)=f(2+x)，所以f(x)關(guān)于直線x=2對稱，所以f2x關(guān)于直線x=1對稱，即gx+1所以gx+12關(guān)于直線x=1對稱，所以g所以有g(shù)3?x=gx，所以有g(shù)又由g2?x+g(x)=2可得，g1?x+g1+x所以g1?x對于B項，因為g2?x?1=gx+1所以，g1?x=?g2?x所以，gx的周期為T=2對于A項，由已知f2x=gx+因為f(x)關(guān)于直線x=2對稱，所以x=6是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，故A項正確；對于C項，gx關(guān)于點1,1對稱，所以f2x=g所以fx關(guān)于點1,0對稱，所以f又f(x)關(guān)于直線x=2對稱，所以f4+x所以f4+x=?f2?x所以函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心為3,0，故C項正確；對于D項，由C知，fx關(guān)于點1,0對稱，fx關(guān)于點所以，f0+f2=0，又fx的周期為4，所以對k∈Z，因為f2023則當(dāng)n=2時，有f(n)+f(n+1)+?+f(2023)=f2因為f0+f2當(dāng)n=1時，f(n)+f(n+1)+?+f(2023)=f1當(dāng)n=3時，f(n)+f(n+1)+?+f(2023)=f3故n的最小值為3，D錯誤.故選：D.【題型6類周期函數(shù)】【例6】（2024·山東青島·模擬預(yù)測）函數(shù)fx的定義域為R，滿足fx=2fx?1，且當(dāng)x∈0,1時，fx=x1?x.若對任意A．115 B．145 C．3215【解題思路】根據(jù)給定條件分段求解析式及對應(yīng)函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合即得.【解答過程】因f(x)=2f(x?1)，又當(dāng)x∈0,1時，f(x)=?當(dāng)x∈(k,k+1]，k∈N?，時，則f(x)=2f(x?1)=2f(x)=2當(dāng)x∈(?k,?k+1]，k∈N?，時，則f(x)=2f(x)=2作出函數(shù)fx對任意x∈?∞,m設(shè)m的最大值為t，則ft=所以?22所以m的最大值為115故選：A.【變式6-1】（2024·云南昆明·二模）定義“函數(shù)y=fx是D上的a級類周期函數(shù)”如下:函數(shù)y=fx,x∈D，對于給定的非零常數(shù)a，總存在非零常數(shù)T，使得定義域D內(nèi)的任意實數(shù)x都有afx=fx+T恒成立，此時T為fx的周期.若y=fx是1,+∞上的a級類周期函數(shù)，且T=1，當(dāng)x∈1,2A．56,+∞ B．2,+∞ C．【解題思路】由題可得fx=a【解答過程】∵x∈1,2時,f∴當(dāng)x∈2,3時,f當(dāng)x∈n,n+1時,f即x∈n,n+1時,f∵f(x)在1,+∞∴a>0且an?1解得a≥5∴實數(shù)a的取值范圍是53故選：C.【變式6-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x?2)=2f(x)，且當(dāng)x∈(0,2]時，f(x)=x(2?x).若對任意x∈[a,+∞)，都有f(x)≤38成立，則A．72,+∞C．?∞,?3【解題思路】由題設(shè)條件畫出函數(shù)的圖象，由圖象分析得出m的取值范圍.【解答過程】因為當(dāng)x∈(0,2]時，f(x)=x(2?x)；f(x?2)=2f(x)，所以f(x)=12f(x?2)，即若f(x)在(0,2]上的點的橫坐標(biāo)增加2，則對應(yīng)y值變?yōu)樵瓉淼?當(dāng)x∈(0,2]時，f(x)=x(2?x)=?(x?1)2+1故當(dāng)a<0時，對任意x∈[a,+∞)，當(dāng)x∈(2,4]時，f(x)=1同理當(dāng)x∈4,6時，f(x)=?以此類推，當(dāng)x>4時，必有f(x)≤3函數(shù)fx和函數(shù)y=因為當(dāng)x∈(2,4]時，f(x)=?1令?12(x?3)2+因為當(dāng)x∈a,+∞時，f(x)≤3故選：A.【變式6-3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+1=12fx，且當(dāng)x∈0,1時，fxA．278 B．298 C．134【解題思路】根據(jù)已知計算出fx=12n1?2x?【解答過程】由題意得，當(dāng)x∈1,2時，故f當(dāng)x∈2,3時，故f可得在區(qū)間n,n+1n∈Z上，所以當(dāng)n≥4時，fx≤3

當(dāng)x∈72,4時，由f所以m的最小值為29故選：B.【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用】【例7】（2024·山西呂梁·一模）已知函數(shù)fx滿足fx+y+fA．f0=3 B．函數(shù)f2x?1C．fx+f0≥0【解題思路】解法一：令x=1，y=0代入判斷A；令x=0，利用奇偶性和對稱性的概念判斷B；令y=x判斷C；令y=1，利用周期性的概念判斷D；解法二：構(gòu)造函數(shù)f(x)=3cos【解答過程】解法一：令x=1，y=0，則2f1=2令x=0，則fy所以fy=f?y所以f2x?1=f?2x+1=f2令y=x，則f2x令t=2x，則ft+f0令y=1，則fx+1所以fx+2①②聯(lián)立得fx+2所以fx+3=?fx，fx+6=?f解法二：構(gòu)造函數(shù)f(x)=3cos滿足f1=3f0f2x?1因為f2x?1表示y=3cos2π3x的圖象向右平移所以f2x?1關(guān)于直線x=由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知fxfx的周期T=故選：D.【變式7-1】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知定義域為R的函數(shù)fx,gx滿足：g0≠0，fA．g0=1 B．C．若f1+g1=1，則f【解題思路】B選項，根據(jù)fxgy?fygx=fx?y得到fy?x=?fx?y，故fx為奇函數(shù)；A選項，由B可知f0=0，賦值得到g【解答過程】B選項，由fxgy所以fy?x=?fx?yA選項，由fx是奇函數(shù)得f0=0由gxgy又g0≠0，得D選項，由gxgy?fxfyC選項，由題意得f=f令y=1得fx?1當(dāng)f1+g1故f2?g2f2024故選：D.【變式7-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)fx的定義域是0,+∞，且對任意正實數(shù)x，y都有fxy=fx+fy(1)求f1(2)判斷y=fx在區(qū)間0,+(3)解不等式f2x【解題思路】（1）利用賦值法，即可求得所求的函數(shù)值，得到答案；（2）首先判定函數(shù)為增函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和所給條件進(jìn)行證明即可；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和所得函數(shù)值對應(yīng)的自變量得到函數(shù)不等式，得出不等式組，即可求解.【解答過程】（1）由題意，函數(shù)fx對任意的正實數(shù)x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)令x=y=1，可得f(1)=f(1)+f(1)，所以f1令x=2,y=12，可得f(1)=f(2)+f(12)（2）函數(shù)fx設(shè)x1,x令x=x1,y=x2又由x>1時，f(x)>0，因為x2x1>1，可得f(x所以函數(shù)y=f(x)在(0,+∞（3）由題意和（1）可得：f(8x?6)?1=f(8x?6)+f(1又由不等式f(2x)>f(8x?6)?1，即可得2x>4x?34x?3>0，解得即不等式f(2x)>f(8x?6)?1的解集為【變式7-3】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)p(x)，q(x)的定義域均為R，且滿足：①?x>0，p(x)>0；②q(x)為偶函數(shù)，q(x)≥q(0)=1；③?x，y∈R，p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y).(1)求p(0)的值，并證明：p(x)為奇函數(shù)；(2)?x1,①p(x②p(x)單調(diào)遞增.【解題思路】（1）用賦值法，令x=y=0可求得p(0)，再令y=?x，使用q(x)≥1>0恒成立可證得p(x)是奇函數(shù)；（2）①由x1②設(shè)x1由p(x1)=p(x1【解答過程】（1）證明：在p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y)中令x=y=0，則p(0)=p(0)q(0)+q(0)p(0)=2p(0)，所以p(0)=0，令y=?x，則p(0)=p(x)q(?x)+q(x)p(?x)，q(x)是偶函數(shù)，所以p(x)q(x)+p(?x)q(x)=0，又q(x)>0，所以p(x)+p(?x)=0，即p(?x)=?p(x)，所以p(x)是奇函數(shù)；（2）證明：①p(x②設(shè)x1<x2，則x2由①可得p(x又p(x)是奇函數(shù)，q(x)是偶函數(shù)，所以p(=p所以p(x所以p(x1)<p(【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例8】（2024·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測）已知fx=ax2(1)求fx(2)設(shè)函數(shù)gx=x2?2mx+4m∈R【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可得c=0，進(jìn)而結(jié)合f(1)=1（2）將問題轉(zhuǎn)化為gx【解答過程】（1）x∈?2,2，且fx+f將x=0代入fx+f?x=0可得f0即fx=ax2+bx4+解得a=0b=1，故ffx=x（2）只要gx2max<fx∵1≤x1<x2≤2，∴故函數(shù)fx=x法一：gx=xy=x+195x在1,95當(dāng)x=1時，x+195x=245故當(dāng)x=1時，x+195xmax法二：gx=x當(dāng)m≤32時，gxmax=g(2)<當(dāng)m>32時，gxmax=g(1)<15綜上所述：m>12【變式8-1】（2024·上海寶山·一模）已知函數(shù)fx=x(1)判斷函數(shù)fx(2)若函數(shù)Fx=x?fx在x=1處有極值，且關(guān)于x的方程F(3)記gx=?ex（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.若對任意x1、x2∈【解題思路】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及奇偶函數(shù)的定義，即可判斷；（2）根據(jù)極值，求出a=1，得到F(x)=x3?x2（3）根據(jù)g(x)的單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為gx1?gx2<fx1?fx2【解答過程】（1）fx=x2?ax?a，因為f(x)的對稱軸為x=a2，故當(dāng)a=0時，f(x)的對稱軸為y（2）Fx=x?fx在x=1處有極值，因為F(x)=x3?axF(x)=x3?故x∈(?∞,?13)和(1,+∞)因為關(guān)于x的方程Fx=m有3個不同的實根，根據(jù)函數(shù)的圖象，當(dāng)F(1)<m<F(?13（3）gx=?ex，g(x)單調(diào)遞減，對任意x1g(x2)?g(則對任意x1、x2∈0,e轉(zhuǎn)化為，對任意x1、x2∈0,ef(x所以，函數(shù)f(x)+g(x)在[0,e]上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)?g(x)在①函數(shù)f(x)+g(x)在[0,e]上單調(diào)遞減，即f′又因為，fx=x2?ax?a得2x?ex≤a在[0,e]上恒成立，令?(x)=2x?ex，?′(x)=2?ex，令?′(x)=0②函數(shù)f(x)?g(x)在[0,e]上單調(diào)遞增，即f′又因為，fx=x2?ax?a2x+ex≥a在[0,e]上恒成立，因為函數(shù)y=2x+ex綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為：2ln【變式8-2】（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知函數(shù)f(x)的定義域為R，?a,b∈R，fa+b+fa?b=3fa(1)求證：f(x)+f(0)≥0；(2)求f(1)+f(2)+?+f(2023)的值；(3)當(dāng)x∈R時，求不等式3f(2x)+4≤9f(x)的解集．【解題思路】（1）借助賦值法令a=b=x（2）借助賦值法可得f(x)為周期為6的周期函數(shù)、并可計算出f0、f1、?、（3）借助賦值法令a=b=x，可將原不等式轉(zhuǎn)化為9f2x【解答過程】（1）令a=b=x2，則有由f2x2（2）令b=1，則有f(a+1)+f(a?1)=3f(a)f(1)=fa則f(a)+f(a?2)=fa?1，即f(a)=f故f(a+1)+f(a?1)=fa?1?f(a?2)，即則fa?3+1=?fa?3?2故f(a+1)=f(a?5)，即有fx故函數(shù)f(x)為周期為6的周期函數(shù)，令a=1、b=0，則有f1+f1令a=1、b=1，則有f2+f0由f(a+1)=?f(a?2)，故f3f4=?f1=?1故f(1)+f(2)+?+f(2023)=337=3371（3）令a=b=x，則有f2x即f2x則3f2x即3f(2x)+4≤9f(x)可化為9f即解9f2x即13由f(1)=13、f(0)=23，且故x∈0,1又f(a?2)=?f(a?5)，即fx故f(x)在區(qū)間[3,6]上單調(diào)遞增，又f(5)=13、f(6)=2又函數(shù)f(x)為周期為6的周期函數(shù)，故該不等式的解集為6k,6k+1∪【變式8-3】（2023·上海浦東新·模擬預(yù)測）已知定義域為D的函數(shù)y=fx.當(dāng)a∈D時，若gx=fx?fax?a（(1)判斷函數(shù)y=2x2+x+2（x∈R(2)若定義域為0?,?+∞的T0函數(shù)y=sx(3)設(shè)P是滿足下列條件的定義域為R的函數(shù)y=Wx組成的集合：①對任意u∈R，Wx都是Tu函數(shù)；②W0=W2=2，W?1=W【解題思路】（1）將x=1代入解析式，根據(jù)gx（2）由T0函數(shù)可知gx=sxx是0,?+∞上的增函數(shù)，s（3）由題可知Wx是T0函數(shù)，也是T2函數(shù)，結(jié)合已知函數(shù)值及函數(shù)單調(diào)性，可得當(dāng)x<0，或當(dāng)x>2時，Wx>2，再討論當(dāng)0<x<2，結(jié)合W?1=W3=3可判斷Wx>maxx,?2?x【解答過程】（1）是，理由：由題，gx=2x2故y=2x2+x+2（x∈R（2）因為y=sx是T0函數(shù)，且s0=0，所以因為s2λ有意義，所以λ≥0，顯然，λ=0時不等式不成立，下設(shè)λ>0此時s2λ<λs2由gx的單調(diào)性得，2λ<2，即所求不等式的解集為0（3）由題意，Wx是T0函數(shù)，故y=Wx?2x是增函數(shù)，從而當(dāng)x<0時，Wx?2x<W2?22=0當(dāng)0<x<2時，同理可得，Wx?2x>W?1?2?1=?1因此，當(dāng)m≤1時，Wx≥m對一切下證，任意m>1均不滿足要求，由條件②知，m≤2.另一方面，對任意M∈1?,對條件①，任取u∈R，有WM注意到y(tǒng)=x+u?2是增函數(shù)，而對?x=x?1?u?1x?u，當(dāng)u<1時，因為M?14所以條件①成立.從而WMx∈P故m<M，從而m=1為所求最大值.一、單選題1．（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)fx=xx，則關(guān)于x的不等式fA．13,+∞ B．?∞,1【解題思路】消去絕對值可得函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可得.【解答過程】由fx=xx=x由f2x>f1?x，有2x>1?x故選：A.2．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)f(x)=x2?2ax,x≥1a2x?1,x<1是A．(0,45) B．(0,45]【解題思路】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合一次、二次函數(shù)單調(diào)性求解即得.【解答過程】由f(x)=x2?2ax,x≥1a2x?1,x<1是所以實數(shù)a的取值范圍是(0,4故選：B.3．（2024·上海黃浦·二模）設(shè)函數(shù)fx=?x2+ax+20,?4≤x≤0aA．1,+∞ B．C．516,1 【解題思路】分?4≤x≤0和0<x≤4兩種情況下恒成立，參變分離轉(zhuǎn)化為最值求解即可.【解答過程】當(dāng)?4≤x≤0時，?x2+ax+20>0當(dāng)x=0時，上式成立；當(dāng)?4≤x<0，a<x?20x，明顯函數(shù)y=x?20所以ymin=?4?20當(dāng)0<x≤4時，ax2?2x+3>0令t=1x∈14又y=2t?3t2開口向下，對稱軸為所以y=2t?3t2的最大值為所以a>1綜上：實數(shù)a的取值范圍是13故選：D.4．（2024·西藏·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=x?xA．fx+1?2 B．fx?1?2 C．【解題思路】變形得到fx=x+1+1【解答過程】因為fx所以fx?1由于gx=x+1又g?x故gx=x+1其他選項均不合要求.故選：C．5．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域為R，若對?x∈R都有f3+x=f1?x，且fx在A．f4<f1C．f1<f2【解題思路】由f3+x=f1?x【解答過程】因為對?x∈R都有f3+x=f又因為fx在2，+所以f4<f3故選：A．6．（2024·遼寧撫順·一模）已知定義域為xx≠0的函數(shù)fx滿足fx+yfx+fy=fxA．f23=6C．fx為奇函數(shù) D．fx在區(qū)間【解題思路】賦值法可判斷A，利用奇偶函數(shù)的定義及賦值法判斷BC，由函數(shù)的特例可判斷D.【解答過程】令x=y=13，則所以2f23f13所以2f2令x=23，即2f23由題意，函數(shù)fx的定義域為(?令y=?2x，則fx?2xf令?x代換x,y，則f?x?xf?x所以2f?2x=f?x，令?x代換x由將2f?2x=f?x可得f?xfx所以f(x)為奇函數(shù)，故C正確；令x=y=1，則f2f1+f1故選：C.7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域為R，函數(shù)Fx=f1+x?A．函數(shù)fx的一個對稱中心為2,1 B．C．函數(shù)fx為周期函數(shù)，且一個周期為4 D．【解題思路】對于A，由G(x)為奇函數(shù)，則G(?x)=?G(x)，再將Gx=f2+3x?1代入化簡可求出對稱中心；對于B，由選項A可得f(2)=1，再由F(x)為偶函數(shù)可得f(1+x)?f(1?x)=2x，令x=1可求出f(0)；對于C，由fx的圖象關(guān)于點(2,1)【解答過程】對于A，因為Gx所以G(?x)=?G(x)，即f(2?3x)?1=?[f(2+3x)?1]，所以f(2?3x)+f(2+3x)=2，所以f(2?x)+f(2+x)=2，所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(2,1)對于B，在f(2?x)+f(2+x)=2中，令x=0，得2f(2)=2，得f(2)=1，因為函數(shù)Fx=f1+x所以f1?x所以f(1+x)?f(1?x)=2x，令x=1，則f(2)?f(0)=2，所以1?f(0)=2，得f(0)=?1，所以B正確，對于C，因為函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，f(0)=?1所以f(4)=3，所以f(0)≠f(4)，所以4不是fx對于D，在f(2?x)+f(2+x)=2中令x=1，則f(1)+f(3)=2，令x=2，則f(0)+f(4)=2，因為f(0)=?1，所以f(4)=3，因為f(2)=1，所以f1故選：C.8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=fx是定義在R上的函數(shù)，f1+x=f1?x，函數(shù)fx+1的圖象關(guān)于點?1,0對稱，且對任意的x1,①fx+2②f?③函數(shù)y=fx在2,4④不等式fx≥0的解集為A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)題意可知函數(shù)fx是以4為周期的周期函數(shù)，且在?1,1上單調(diào)遞增，在1,3上單調(diào)遞減，3,5【解答過程】由函數(shù)fx+1的圖象關(guān)于點?1,0對稱，得fx的圖象關(guān)于點0,0對稱，即函數(shù)由f1+x=f1?x，得ff(x+4)=f[(x+3)+1]=f[1?(x+3)]=f(?x?2)=?f(x+2)=?f[(x+1)+1]=?f[1?(x+1)]=?f(?x)=f(x)，因此f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，①正確；對任意的x1,x不妨設(shè)x1>x2，則x13?f(?132)=f(?由函數(shù)fx是R上的奇函數(shù)，在0,1上單調(diào)遞增，得函數(shù)fx在在1,3上單調(diào)遞減，3,5上單調(diào)遞增，③錯誤；由f(2)=f(0)=0，fx在?1,1上單調(diào)遞增，在1,3上單調(diào)遞減，得當(dāng)x∈[?1,3]時，fx≥0又函數(shù)fx是以4為周期的周期函數(shù)，因此不等式fx≥0故選：C.二、多選題9．（2024·河北滄州·二模）已知fx是定義在0,+∞上的單調(diào)遞增且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，若?x,y∈0,+∞，恒有fx+yA．fB．?C．fD．f【解題思路】對于A：令y=0，結(jié)合單調(diào)性分析即可判斷；對于B：假設(shè)存在x0使得fx0=1，分析可知fx恒等于1，結(jié)合單調(diào)性分析判斷；對于CD：利用反證法證明?x∈0,+∞,fx【解答過程】對于選項A：令y=0，得fx+0=f因為fx在0,+∞上單調(diào)遞增，可知fx所以f0對于選項B：若存在x0使得f令y=x0，得fx+這與fx單調(diào)遞增矛盾，故?x∈對于選項CD：若存在x1，使得f因為fx的圖象連續(xù)不斷，f故存在x2，使得fx2故?x∈0,+∞,f則fx當(dāng)且僅當(dāng)fx又因為x1≠x令y=x≥0時，可得f2x則fx當(dāng)x∈0,1時，令gx=因為y=1x+x,x∈可知gx=2又因為g0=0，則?x∈0,1因為gf可知gfx1故選：AD.10．（2024·新疆·三模）已知fx，gx都是定義在R上的函數(shù)，對任意實數(shù)x，y滿足fx+y?fx?yA．f0=0 C．fx為奇函數(shù) D．【解題思路】令y=0即可判斷A；令x=y=1即可判斷B；令x=1可得f(x)=f(1?x)?f(1+x)，結(jié)合奇函數(shù)的定義即可判斷C；由選項C，令x=1?x可得f(1?x)=f(x)+f(x?2)，求出f(x)的周期即可求解.【解答過程】f(x+y)?f(x?y)=2g(x)f(y).A：令y=0，得f(x)?f(x)=2g(x)f(0)=0，則f(0)=0，故A正確；B：令x=y=1，得f(2)?f(0)=2g(1)f(1)，即f(2)=2g(1)f(1)，又f(2)+f(1)=0且f(2)f(1)≠0，所以2g(1)f(1)+f(1)=0，解得g(1)=?1C：令x=1，得f(1+y)?f(1?y)=2g(1)f(y)，即f(1+y)?f(1?y)=?f(y)，得f(y)=f(1?y)?f(1+y)，所以f(x)=f(1?x)?f(1+x)，得f(?x)=f(1+x)?f(1?x)，所以f(x)+f(?x)=0，則f(x)為奇函數(shù)，故C正確；D：由選項C知f(x)=f(1?x)?f(1+x)，又?f(1+x)=f(?x?1)，得f(x)=f(1?x)+f(?x?1)①，令x替換成1?x，得f(1?x)=f(x)+f(x?2)②，①②相加，得f(?x?1)+f(x?2)=0，則f(x?2)=?f(?x?1)=f(x+1)，得f(x)=f(x+3)，即f(x)的周期為3，所以f(0)=f(3)=0，因為f(1)+f(2)+f(3)=0,2024=674×3+2，所以n=12024故選：ABC.11．（2024·江西上饒·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx的定義域為R,?x,y∈R,fx+yA．fx為偶函數(shù) B．C．fx的周期為2 D．【解題思路】根據(jù)已知條件進(jìn)行賦值，以及利用變量替換推出函數(shù)性質(zhì)，逐一判斷選項即可求解.【解答過程】因為f(x)定義域為R，?x,y∈R，f(x+y)?f(x?y)=2f(12?x)f(y)A選項，令x=0，則f(y)?f(?y)=2f(1即f(?y)=?f(y)，所以f(x)為奇函數(shù)，故A錯誤；B選項，用x2替換x，用x2替換則f(x2+又f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，因此f(x)=2f(1?xC選項，令x=12，則所以f(12+y)=f(又f(?x)=?f(x)，所以f(x+1)=?f(x)，因此f(x+2)=?f(x+1)=?[?f(x)]=f(x)，故C正確；D選項，令y=12?x即1?f(2x?1令x=12?y即1?f(12?2y)=2①+②整理得2=2f(即f(x)2故選：BCD.三、填空題12．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足fx+20．【解題思路】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性以及fx+2=?f?x【解答過程】函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，有f又由fx=?f?x和f可得函數(shù)fx的周期為2，則f故答案為：0.13．（2024·天津·一模）記不超過x的最大整數(shù)為[x]．若函數(shù)f(x)=|2x?[2x+t]|既有最大值也有最小值，則實數(shù)t的取值范圍是12≤t<1【解題思路】根據(jù)題意取2x+t=m+n,(m∈Z,n∈0,1)，則f(x)=n?t，將問題轉(zhuǎn)化g(n)=n?t在區(qū)間0,1上既有最大值也有最小值，然后分t≤0，【解答過程】取2x+t=m+n,(m∈Z,n∈0,1所以函數(shù)f(x)=|2x?[2x+t]|既有最大值也有最小值，即g(n)=n?t在區(qū)間0,1當(dāng)t≤0時，g(n)=n?t在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，只有最小值，無最大值，不合題意，當(dāng)0<t<12時，g(n)=n?t在區(qū)間0,t又g(0)=t,g(1)=1?t，則g(0)<g(1)，此時g(n)=n?t當(dāng)12≤t<1時，g(n)=n?t在區(qū)間0,t又g(0)=t,g(1)=1?t，則g(0)≥g(1)，此時g(n)=n?t有最大值為g(0)，最小值為g(t)=0當(dāng)t≥1時，g(n)=t?n在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，只有最大值，無最小值，不合題意，綜上所述，實數(shù)t的取值范圍是12故答案為：1214．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知fx,gx是定義域為R的函數(shù)，且fx是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，滿足fx+gx=ax2【解題思路】根據(jù)題意，得到?fx+gx=ax2?x+2，聯(lián)立方程組，求得g(x)=ax2【解答過程】因為fx是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，滿足可得f?x聯(lián)立方程組fx+gx又因為對任意的1<x1<所以gx1?g構(gòu)造?(x)=g(x)+3x=ax所以由上述過程可得?(x)=ax2+3x+2(i)若a<0，則對稱軸x0=?3(ii)若a=0，?(x)=3x+2在x∈(1,2)單調(diào)遞增，滿足題意；(iii)若a>0，則對稱軸x0綜上可得，a≥?34，即實數(shù)a的取值范圍為故答案為：?3四、解答題15．（2024·上?！と＃┮阎猣x=ax?b4?x2，函數(shù)(1)求fx(2)判斷y=fx【解題思路】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(0)=0，求出b的值，結(jié)合函數(shù)的解析式求出a的值，計算可得答案；（2）根據(jù)題意，根據(jù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法證明可得答案．【解答過程】（1）根據(jù)題意，f(x)=ax