專題培優(yōu)課　構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式

專題培優(yōu)課構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式【考情分析】構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式是高考的一個熱點內(nèi)容，主、客觀題均可出現(xiàn)．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一形如an＋1＝pan＋f(n)型角度一an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)例1[2024·江西景德鎮(zhèn)模擬]已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝4an－6，則a2023＝()A．－42023＋2 B．－42023－2C．－42022＋2 D．－42022－2[聽課記錄]題后師說形如an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)求an的一般步驟角度二an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)例2已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求數(shù)列{an}的通項公式．[聽課記錄]題后師說形如an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)求an的一般步驟角度三an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)例3[2024·江西宜春模擬]已知正項數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，則數(shù)列{an}的通項an＝()A．－3×2n－1 B．3×2n－1C．5n＋3×2n－1 D．5n－3×2n－1[聽課記錄]題后師說形如an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)求an的一般步驟鞏固訓(xùn)練1(1)[2024·重慶萬州模擬]若數(shù)列{an}滿足a1＝1，1an+1＝2an＋1，則a9A．1210-1B．129-1C．210－1(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，則數(shù)列{an}的通項公式an＝()A．(n＋1)·2n－1 B．n·2n＋1C．n·2n D．n·2n－1(3)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1－2an＝n＋1，則an＝________．題型二形如an＋1＝pan＋qan－1(a≥2，n∈N*)例4已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式．[聽課記錄]題后師說形如an＋1＝pan＋qan－1求an的一般步驟鞏固訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，則a9＋a10＝()A．47B．48C．49D．410題型三形如an＋1＝pa例5(多選)已知數(shù)列{an}滿足a1＝35，an＋1＝3an1+2an(n∈N*A．?dāng)?shù)列{1an－B．a(chǎn)n<1C．?k∈N*，ak>ak＋1D．1a1+1a2＋…[聽課記錄]題后師說形如an＋1＝panqan+r鞏固訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an3-an(n∈N*)，則a1．[2024·河南許昌模擬]已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋1，a1＝1，則{an}的通項公式為()A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝2n－1－1C．a(chǎn)n＝2n D．a(chǎn)n＝2n－12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，則S10＝()A．410-15B．411-15C．410－13．已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且1an+1＝3an＋2，則數(shù)列{an4．已知數(shù)列{an}滿足2an－an－1＝3·2n－1(n≥2)，且a2＝32a1，則an＝________專題培優(yōu)課構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式關(guān)鍵能力·題型剖析例1解析：由an＋1＝4an－6，得an＋1－2＝4(an－2)，而a1－2＝－1，因此數(shù)列{an－2}是首項為－1，公比為4的等比數(shù)列，則an－2＝－1×4n－1，即an＝－4n－1＋2，所以a2023＝－42022＋2.故選C.答案：C例2解析：∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，∴an+1-n+1∴數(shù)列{an－n}是以a1－1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.例3解析：在遞推公式an＋1＝2an＋3×5n的兩邊同時除以5n＋1，得an+15n+1＝25×an5n+35①，令bn＝an5n，則①式變?yōu)閎n＋1＝25bn＋35，即bn＋1－1＝25(bn－1)，所以數(shù)列{bn－1}是等比數(shù)列，其首項為b1－1＝a15－1＝－35，公比為25，所以bn－1＝－35×(25)n－1，即bn＝1－35×(25)n－1，所以an5n＝答案：D鞏固訓(xùn)練1解析：(1)因為a1＝1，1an+1＝2an＋1，所以1an+1＋1＝2(1an＋1)，又1a1＋1＝2，所以數(shù)列{1an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以1an＋1＝2n，(2)an＋1＝2an＋2n?an+12n＝an2n-1＋1，所以{an2n-1}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故an2n-1＝1＋(n－1)＝n，(3)an＋1－2an＝n＋1?an＋1＋(n＋3)＝2(an＋n＋2)，所以數(shù)列{an＋n＋2}是以1＋1＋2＝4為首項，2為公比的等比數(shù)列，因此an＋n＋2＝4·2n－1?an＝2n＋1－n－2.答案：(1)B(2)D(3)2n＋1－n－2例4解析：由an＋1＝2an＋3an－1，可得an＋1＋an＝3(an＋an－1)，即an+1+a所以{an＋1＋an}是以a1＋a2＝3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，則an+13n+1+1不妨令cn＝an3n，則cn＋1＋13c所以cn＋1－14＝－13(cn－14)，即c又由c1－14＝a13所以數(shù)列{cn－14}是首項為112，公比為－13所以cn－14＝112×(－13)n－1所以an＝3n鞏固訓(xùn)練2解析：數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝2，an＋an－1＝4(an－1＋an－2)(n≥3)，整理得an+an-1an-1+an-2＝4(常數(shù))，數(shù)列{an＋an＋1}是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列；所以an＋an＋1＝4×4n－1＝4n.所以a9答案：C例5解析：對于A，依題意an≠0，由an＋1＝3an2an+1兩邊取倒數(shù)可得1an+1＝2an+13an＝13·1an+23，兩邊同時減去1，整理得1an+1－1＝13(1an對于B，1an－1＝23(13)n－1＝23n，∴1an＝23n對于C，易知1an＝23n＋1關(guān)于n單調(diào)遞減，∴數(shù)列{1an}是遞減數(shù)列，又an>0，∴數(shù)列{an對于D，1a1+1a2＋…＋1an＝(231＋1)＋(232＋1)＋…＋(23n＋1)＝2(131+132＋…＋13n)答案：ABD鞏固訓(xùn)練3解析：由an＋1＝an3-an得1an+1＝即1an+1-12＝3(1an-則1an-12＝(1a1-12)3所以1an＝12·3n－1＋12＝3n-1+12，得an＝2答案：23n-1+1(n∈隨堂檢測1．解析：由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝2，故{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.故選D.答案：D2．解析：因為an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，所以an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝3≠0，所以an+an-1an-1+an-2＝4(n≥3)，所以{an＋an＋1}是等比數(shù)列，公比為4，首項為3，則數(shù)列{a2n－1＋a2n}也是等比數(shù)列，公比為42＝16，首項為3.所以答案：A3．解析：∵1an+1＝3an＋2，等式兩邊同時加1整理得1an+1＋1＝3(1an＋1)，又∵a1＝1，∴1a1＋1＝2，∴{1an＋1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列．∴1a