浙江省新力量聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題

絕密★考試結束前2023學年第二學期溫州新力量聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1.已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】向量平移后與原向量為相等向量，所求坐標即為向量坐標.【詳解】根據題意可知，，把向量按向量平移后，與原向量相等，所得向量仍然為.故選：C.2.中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由正弦定理，大角對大邊，大邊對大角等證明出充分性和必要性均成立，從而求出答案.【詳解】因為，由大角對大邊可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理當時，，，由正弦定理可得，由大邊對大角可得，必要性成立，“”是“”的充要條件.故選：C3.已知，向量在上的投影向量的模長是4，則可能為（）A.12 B.8 C.8 D.2【答案】A【解析】【分析】根據投影向量模長的計算公式得到兩向量夾角的余弦值，再根據向量的數(shù)量積公式即可得到結果.【詳解】設與夾角為，由題意可知，則又因為，所以，所以可能為12.故選A.4.有一塊多邊形菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖），其中，，，則這塊菜地的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由所給條件求出BC，將斜二測直觀圖還原成直角梯形，利用梯形的面積公式即可求解.【詳解】如圖1所示，過點A作AE垂直于BC于點E，，，，四邊形是正方形，則，，將斜二測直觀圖還原成圖2所示直角梯形，其中,所以這塊菜地的面積為.故選：D.5.已知銳角三邊長分別為，，，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理建立不等式，解不等式求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】顯然邊長x<x+1,所以只需和的對角均為銳角即可，由余弦定理得：，解得：．故選：A【點睛】已知三邊，判斷是銳角三角形還是鈍角三角形的方法：①如果一個三角形的最長邊平方=其他兩邊的平方和，這個三角形是直角三角形；②如果一個三角形的最長邊平方>其他兩邊的平方和，這個三角形是鈍角三角形；③如果一個三角形的最長邊平方<其他兩邊的平方和，這個三角形是銳角三角形；④特別地：如果一個三角形的三條邊相等，這個三角形是等邊三角形，也是銳角三角形。6.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，側棱.若側面水平放置時，水面恰好過，，，的中點.那么當?shù)酌嫠椒胖脮r，水面高為（）A.7 B.6 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】先根據水平放置時，水的形狀為直四棱柱，求出水的體積，再求出當?shù)酌嫠椒胖脮r，水面高即可.【詳解】設三棱柱的底面的面積為，高為，則.當側面水平放置時，水的形狀呈直四棱柱形，由于液面恰好經過的中點，則直四棱柱的底面積是直三棱柱底面積的，即直四棱柱的底面積是，所以水的體積，當?shù)酌嫠椒胖脮r，設水面高為，則，從而有，所以，即當?shù)酌嫠椒胖脮r，水面高為6.故選：B.7.在中，由下面的條件能得出為鈍角三角形的是（）.A. B.C. D.，，【答案】B【解析】【分析】A，由平面向量的數(shù)量積判斷；B，由兩邊平方判斷；C，由判斷；D，利用正弦定理求解判斷.【詳解】A，因為，所以，即角B為銳角，角A，C不定，故錯誤；B，兩邊平方得，由得，即角A為鈍角，故正確；C，由可得，則，，，所以角A，B，C為銳角，故錯誤；D，因為，，，由正弦定理得，因為，所以或，則或，故錯誤；故選：B8.在鈍角中，分別是的內角所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】延長交于，由重心性質和直角三角形特點可求得，由，利用余弦定理可構造等量關系得到，由此確定為銳角，則可假設為鈍角，得到，，，由此可構造不等式組求得的取值范圍，在利用余弦定理可得，利用的范圍，結合為銳角可求得的取值范圍.【詳解】延長交于，如下圖所示：為的重心，為中點且，，，；在中，；在中，；，，即，整理可得：，為銳角；設為鈍角，則，，，，，解得：，，，由余弦定理得：，又為銳角，，即的取值范圍為.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查解三角形中的取值范圍問題的求解，解題關鍵是能夠由兩角互補得到余弦值互為相反數(shù)，由余弦定理得到，確定為銳角，從而得到三邊之間的不等關系，求得的范圍.二?多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分）9.設向量，則下列敘述正確的是（）A.若，則與的夾角為鈍角B.的最小值為2C.與垂直的單位向量只能為D.若，則【答案】AB【解析】【分析】求出與夾角的余弦值可判斷；向量的?？膳袛啵粏挝幌蛄靠膳袛?；向量模相等列出方程求解可判斷.【詳解】對，當時，，因為，所以與的夾角是鈍角，故正確；對，，當且僅當時取等號，所以的最小值為，故正確；對，設與垂直的單位向量為，則，解得或與垂直的單位向量為或，故錯誤；對，若，可得：，解得，故錯誤.故選：.10.已知為坐標原點，點，，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據向量的坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC11.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（）A.直徑為的球體B.所有棱長均為的四面體C.底面直徑為，高為的圓柱體D.底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【解析】【分析】根據題意結合正方體的性質逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，即球體直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內，故C不正確；對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點作，設，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，根據對稱性可知圓柱高為，所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；故選：ABD.非選擇題部分三?填空題：（本大題共3小題，每題5分，共15分）12.在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為________．【答案】##【解析】【分析】結合圖像，依次求得，從而利用棱臺的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，因為，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.13.為了測量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的地測得塔尖的仰角為，沿北偏東前進100米到達地（假設地和地在海拔相同的地面上），在地測得塔尖的仰角為，則塔高為__________米.【答案】50【解析】【分析】首先根據題目已知條件畫出圖形，如圖所示，CD為古塔的高度，設為米，在中，利用余弦定理求解.【詳解】根據題意作圖，平面，設塔米，由已知由平面，米，在中，，在中，，所以在中，由余弦定理,，解得米，米（舍去），故答案為：50.14.如圖，在中，為邊上不同于，的任意一點，點滿足.若，則的最小值為_______.【答案】##0.4【解析】【分析】根據題意，得，因為，，三點共線，所以，將化為的函數(shù)求最小值即可.【詳解】根據題意，得.因為，，三點共線，設，則，所以，所以，所以有，即，所以，所以當時，取得最小值.故答案為：四?解答題：（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知向量，，，且，．（1）求向量、；（2）若，，求向量，的夾角的大小.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題意結合向量平行及垂直的坐標表示可求，，進而可求；（2）設向量，的夾角的大小為．先求出，，然后結合向量夾角的坐標公式可求．【小問1詳解】解：因為，，，且，，所以，，所以，，所以，；【小問2詳解】解：設向量，的夾角的大小為．由題意可得，，，所以，因為，所以．16.記的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【小問1詳解】因為，所以，解得：．【小問2詳解】由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．17.求一個棱長為的正四面體的體積，常有如下解法：構造一個棱長為1的正方體，我們稱之為該四面體的“生成正方體”（如圖一），則四面體是棱長為的正四面體，四面體的體積．（1）求四面體的體積；（2）模仿（1），對一個已知四面體，構造它的“生成平行六面體”，記兩者的體積依次為和，試給出這兩個體積之間的一個關系式，不必證明；（3）一個相對棱長都相等的四面體，通常稱之為等腰四面體（如圖二），其三組對棱長分別為，，，求此四面體的體積．【答案】（1）（2）（3）2【解析】【分析】（1）根據棱錐的體積公式計算可得結果；（2）根據計算可得結果；（3）構造該四面體的“生成長方體”可求出結果.【小問1詳解】）．【小問2詳解】設生成平行六面體的底面積為，高為，則其體積為，則則，即.【小問3詳解】如圖，構造該四面體的“生成長方體”，設棱長分別為，，，則有，解得：．則有．18.設z1是虛數(shù)，z2＝z1是實數(shù)，且﹣1≤z2≤1．（1）求|z1|的值以及z1的實部的取值范圍；（2）若ω，求證ω為純虛數(shù)；（3）求z2﹣ω2最小值．【答案】（1）|z1|＝1，取值范圍為[，]．（2）見解析（3）1【解析】【分析】（1）設z1代數(shù)形式代入z2，根據z2是實數(shù)，求得|z1|，再根據﹣1≤z2≤1，求得z1的實部的取值范圍；（2）根據復數(shù)除法法則化簡ω，再根據純虛數(shù)概念判斷證明；（3）先化簡z2﹣ω2，再利用基本不等式求最小值．【詳解】（1）設z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），則z2＝z1（a+bi）（a+bi）（a+bi）（a）+（b）i，因為z2是實數(shù)，所以b0，即b（）＝0，因為b≠0，所以a2+b2＝1，即|z1|＝1，且z2＝2a，由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得a，即z1的實部的取值范圍為[，]．（2）證明：∵a2+b2＝1，ω，因為a，b≠0，所以ω為純虛數(shù)．（3）z2﹣ω2＝（a）+（b）i﹣（）2，＝2a+（b﹣b）i＝2a＝2a＝1＝1＝1＝1+2（a+1）﹣4＝2（a+1）3，a+1∈[，]，當2（a+1）時，即a＝0時，z2﹣ω2取最小值1．【點睛】本題考查復數(shù)概念、復數(shù)的模、純虛數(shù)概念、復數(shù)運算以及利用基本不等式求最值，考查綜合分析求解與論證能力，屬中檔題.19.在直角梯形中，已知，對角線交于點，點在上，且．（1）求的值；（2）若為線段上任意一點，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）建立平面直角坐標