清單04整式的乘法與因式分解（五大考點梳理題型解讀核心素養(yǎng)提升中考聚焦）

清單04整式的乘法與因式分解（五大考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識導圖】【知識清單】考點一：冪的運算同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.(其中m,n都是正整數(shù))注意：（1）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質，即（m，n，p都是正整數(shù)）（2）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（m,n都是正整數(shù)）.冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.(其中m，n都是正整數(shù)).注意：（1）(m，n，p均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.(其中n是正整數(shù)).注意：（1）(n為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：.同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，（a≠0，m、n都是正整數(shù)，并且m＞n）注意：（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運算；（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式的底數(shù);（3）當三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質.即：（a≠0，m、n、p都是正整數(shù)，并且m＞n＞p）；（4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整數(shù)，并且m＞n）零指數(shù)冪：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即（a≠0）注意：底數(shù)a不能為0，無意義.負整數(shù)指數(shù)冪:任何不等于零的數(shù)的n（n為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的n次冪的倒數(shù)，即（a≠0，n是正整數(shù)）.注意：是的倒數(shù)，a可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如，.引進了零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴大到了全體整數(shù)，以前所學的冪的運算性質仍然成立。(其中m，n為整數(shù)，a≠0);(其中m，n為整數(shù)，a≠0);(其中n為整數(shù)，a≠0，b≠0).科學記數(shù)法的一般形式:（1）把一個絕對值大于10的數(shù)表示成的形式，其中n是正整數(shù)，（2）利用10的負整數(shù)次冪表示一些絕對值較小的數(shù)，即的形式，其中是正整數(shù)，.用以上兩種形式表示數(shù)的方法，叫做科學記數(shù)法.冪的運算總結：（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式；（2）同底數(shù)冪的乘法或除法時，只有當?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)沒寫就為1，計算時不要遺漏；（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加；（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方；（5）靈活地逆用公式，使運算更加方便、簡潔；（6）帶有負號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習慣?！纠?】（2022·黑龍江·大慶市第三中學八年級期末）計算：(1)；(2)；(3)已知，求代數(shù)式的值．(4)化簡求值：，其中【答案】(1)4a6；(2)1；(3)；(4)；【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法，積的乘方和冪的乘方計算即可；（2）利用平方差公式計算即可；（3）利用平方差公式和多項式乘多項式的運算法則將式子化簡，再整體代入計算即可；（4）根據(jù)整式的混合運算法則計算即可化簡，再根據(jù)非負數(shù)的性質可求出x和y的值，最后代入求值即可．(1)；(2)；(3)∵∴．將代入，得；(4)∵∴，解得：，將代入，得：．【點睛】（1）考查冪的混合運算，涉及同底數(shù)冪的乘法和除法，積的乘方和冪的乘方；（2）考查平方差公式；（3）考查整式的化簡求值，需利用整體代入的思想；（4）考查整式的化簡求值，非負數(shù)的性質，注意絕對值和平方的非負性．熟練掌握各運算法則是解題關鍵．考點二：整式的乘法整式的乘要用到有關冪的一些運算法則單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的一個因式。如：注意：（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應用；（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，一定要先確定符號；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；（3）結果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成;（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，用單項式去乘多項式的每一項，要注意每項的符號。如：.(單項式為m,分別去乘多項式+a，b，+c)注意：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.多項式與多項式相乘的運算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，要注意每項的符號。如：（前一個多項式的每一項2m，1，分別去乘后面一個多項式的每項3m，2）注意：多項式與多項式相乘，仍得多項式，多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，需要合并同類項?！纠?】（2022·河南鶴壁·八年級期末）（1）計算①；

②；③；

④．（2）根據(jù)（1）中的計算，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用字母表示出來．（3）根據(jù)（2）中的結論，直接寫出下題的結果：①__________；②若，則____________．【答案】（1）①；②；③；④；（2）（n為正整數(shù)）；（3）①；②【分析】（1）根據(jù)多項式乘多項式法則可得答案；（2）觀察（1）中等式特點即得規(guī)律；（3）運用（2）的規(guī)律即可得到答案．【詳解】解：（1）①；②；③；④；（2）由（1）可得規(guī)律為：（n為正整數(shù)）；（3）由（2）可知，①；故答案為：；②∵，又；∴；故答案為：．【點睛】本題考查整式的混合運算，解題的關鍵是掌握多項式乘多項式的法則．【變式1】（2022·河北承德·八年級期末）已知，．(1)對A，B分別進行整式乘法運算；(2)甲乙兩位同學用框圖的方法比較A，B的大?。渍J為：A大于B；乙認為：A不小于B，通過計算判斷誰的說法正確．【答案】(1)、(2)乙說的對【分析】（1）利用整式的乘法運算即可；（2）利用作差法計算即可判斷．（1）解：，

；；（2）解：=，∴乙說的對．【點睛】本題主要考查整式的混合運算，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．【變式2】（2022·四川宜賓·八年級期末）仔細閱讀下面例題，解答問題：觀察下列各計算題：26×682＝286×6234×473＝374×4352×275＝572×2515×561＝165×51……以上每個等式都非常巧妙，左邊是一個兩位數(shù)乘以三位數(shù)，等式兩邊的數(shù)字之間具有特殊性，一邊的數(shù)字也有特殊性，且數(shù)字關于等號成對稱分布，我們把滿足這種條件的等式稱為“對稱積等式”．(1)解決問題：填空，使下列各式成為“對稱積等式”：41×154＝×14；×286＝682×(2)解決問題：設“對稱積等式”這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，①寫出a+b的取值范圍；②請用含a、b的代數(shù)式寫出表示“對稱積等式”的式子，并證明你的結論．【答案】(1)14,62,26(2)①②證明見解析【分析】（1）根據(jù)例題寫出對稱積等式即可；（2）①根據(jù)為整數(shù)且的和為三位數(shù)的十位數(shù)字，即可求得范圍；②根據(jù)規(guī)律列出等式，進而根據(jù)整式的乘法運算進行證明即可(1)41×154＝451×14；62×286＝682×26故答案為：14,62,26(2)設“對稱積等式”這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，，，且為整數(shù)②證明：等式的左邊等于等式的右邊等于左邊等于右邊原等式成立【點睛】本題考查了找規(guī)律，整式的乘法運算，不等式組的應用，找到規(guī)律是解題的關鍵．考點三：乘法公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差；即注意：(1)a,b既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.(2)抓住平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.（1）位置變化：如（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（相同項為b,“相反項”為a）（5）增項變化：如（6）增因式變化：如完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.注意：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍，常見的變形：補充公式：；；；.【例3】（2022·遼寧大連·八年級期末）用等號或不等號填空，探究規(guī)律并解決問題：(1)比較a2+b2與2ab的大?。孩佼攁＝3，b＝3時，a2+b22ab；②當a＝2，b＝時，a2+b22ab；③當a＝﹣2，b＝3時，a2+b2ab．(2)通過上面的填空，猜想a2+b2與2ab的大小關系，并證明你的猜想；(3)如圖，直線l上從左至右任取A、B、G三點，以AB，BG為邊，在線段AG的兩側分別作正方形ABCD，BEFG，連接CG，設兩個正方形的面積分別為S1，S2，若三角形BCG的面積為1，求S1+S2的最小值．【答案】(1)①；②；③(2)；理由見解析(3)的最小值為4【分析】（1）代入計算得出答案；（2）根據(jù)（1）的結果，得出結論；（3）由題意可知ab＝2，S1＋S2＝a2＋b2，而a2＋b2≥2ab，進而得出答案．(1)解：①把a＝3，b＝3代入，a2＋b2＝9＋9＝18，2ab＝2×3×3＝18，∴a2＋b2＝2ab；故答案為：＝；②把a＝2，b＝代入，a2＋b2＝4＋＝，2ab＝2×2×＝2，∴a2＋b2＞2ab；故答案為：＞；③把a＝?2，b＝3代入，a2＋b2＝4＋9＝13，2ab＝2×（?2）×3＝?12，∴a2＋b2＞2ab，故答案為：＞．(2)由（1）可得，a2＋b2≥2ab，理由如下：∵，又∵，∴a2＋b2≥2ab．(3)由題意可知S1＝a2，S2＝b2，∵△ACF的面積為1，即，∴ab＝2，∵S1＋S2＝a2＋b2≥2ab，∴S1＋S2＝a2＋b2≥4，因此S1＋S2的最小值為4．【點睛】本題主要考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是正確應用的前提，根據(jù)偶次冪的性質得出a2＋b2≥2ab是正確解答的關鍵．【變式1】（2022·重慶黔江·八年級期末）若多項式是完全平方式，請你寫出所有滿足條件的單項式Q是_______．【答案】±4x,4x4【分析】根據(jù)題意可知本題是考查完全平方式，設這個單項式為Q，①如果這里首末兩項是2x和1這兩個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去2x和1積的2倍，故Q=±4x;②如果如果這里首末兩項是Q和1，則乘積項是4x2=2×2x2，所以Q=4x4.【詳解】解：∵4x2+1±4x=(2x±1)24x2+1+4x4=(2x2+1)2;∴加上的單項式可以是±4x,4x4,中任意一個,故答案為：±4x,4x4.【點睛】本題主要考查完全公式的有關知識，根據(jù)已知兩個項分類討論求出第三項是解題的關鍵.【變式2】已知實數(shù)a，b，c滿足，，求的值．【答案】【分析】由和兩式變形得出，，，再將原式變形為，計算即可．【詳解】∵，∴，兩邊同時平方得，即，∴，又∵，∴，∴，即，同理可得，，原式============．【點睛】本題考查了完全平方公式和平方差公式，解題的關鍵是對代數(shù)式進行變形．考點四：因式分解因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.【例4】（2022·山東威?！ぐ四昙壠谀痉椒ㄌ崛　繑?shù)學學習活動，是在公式化體系的不斷完善中進行的．我們已經(jīng)學習了平方差公式，在平方差公式的基礎上，可以對式子a3﹣b3進行如下推導：a3﹣b3=a3﹣a2b+a2b﹣b3=a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）=a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）=（a﹣b）[a2+b（a+b）]=（a﹣b）（a2+ab+b2）．對于a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2），稱為立方差公式．【公式推導】請推導立方和公式：a3+b3．【公式應用】請利用上面的公式進行因式分解：（直接寫結果）（1）=；（2）=．【答案】公式推導見解析；（1）；（2）【分析】[公式推導]在立方和公式中加上a2b﹣a2b仿照例題計算可得結果；[公式應用]應用推導的公式計算即可．【詳解】解：[公式推導]a3+b3=a3+a2b﹣a2b+b3=a2（a+b）﹣b（a2﹣b2）=a2（a+b）﹣b（a+b）（a﹣b）=（a+b）[a2﹣b（a﹣b）]=（a+b）（a2﹣ab+b2）．【公式應用】（1）=．（2）=．故答案為：（1）；（2）．【點睛】此題考查了因式分解的應用，熟練掌握平方差計算公式及正確理解題意是解題的關鍵．【變式】（2022·福建廈門·八年級期末）我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：（p，q是正整數(shù)，且），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱是n的最佳分解，并規(guī)定；，例如12可以分解成，或，因為，所以是12的最佳分解，所以．(1)求；(2)如果一個正整數(shù)只有1與m本身兩個正因數(shù)，則m稱為質數(shù)．若質數(shù)m滿足，求m的值；(3)是否存在正整數(shù)n滿足，若存在，求n的值：若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)5；(3)4，理由見解析．【分析】（1）讀懂F(n)的定義，寫出24的最佳分解，即可直接作答；（2）根據(jù)F(m+4)=1可以知道m(xù)+4是一個平方數(shù)，再利用因式分解求出m的值；（3）根據(jù)，設n=a4a=4a2，n+12=b4b=4b2，由n=4a2=4b212得，進而得，從而求得n的值．(1)解：∵24=124=212=38=46，241>122>83>64，∴；(2)解：由質數(shù)m滿足設，∴m+4=a2，∴m=，∵m為質數(shù)，∴a2=1，∴a=3，∴m=a24=5，(3)解：存在n的值，理由如下：由，設n=a4a=4a2，n+12=b4b=4b2，∴n=4a2=4b212，∴b2a2=3，∴，∵a，b為正整數(shù)，∴，解得，∴n=4a2=41=4．【點睛】本題考查因式分解的應用，用讀懂新定義，并把問題轉化為方程或方程組，再用因式分解法解方程或方程組是解題的關鍵．考點五：整式的除法整式的除要用到有關冪的一些運算法則：多項式除以單項式：多項式除以單項式，把這個多項式的每一項分別除以單項式，要注意每項的符號。如：【例5】（2022·福建泉州·八年級期末）計算（a2＋ab）÷a的結果是（

）A．a＋b B．a2＋b C．a＋ab D．a3＋a2b【答案】A【分析】利用多項式除以單項式的運算法則進行計算即可．【詳解】解：（a2＋ab）÷a＝a＋b，故選：A．【點睛】本題考查了多項式除以單項式，正確的計算是解題的關鍵．【變式1】（2022·貴州遵義·八年級期末）小明作業(yè)本發(fā)下來時，不小心被同學沾了墨水：，你幫小明還原一下被墨水污染的地方應該是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用多項式乘單項式的運算法則計算即可求解．【詳解】解：(?4x2y2+3xy?y)?(?6x2y)=24x4y3?18x3y2+6x2y2，∴■=18x3y2．故選：B．【點睛】本題主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法則是解題的關鍵．【變式2】（2022·河南南陽·八年級期末）我閱讀：類比于兩數(shù)相除可以用豎式運算，多項式除以多項式也可以用豎式運算，其步驟是：（1）把被除式和除式按同一字母的降冪排列（若有缺項用零補齊）．（2）用豎式進行運算．（3）當余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時，運算終止，得到商式和余式．我會做：請把下面解答部分中的填空內容補充完整．求的商式和余式．解：答：商式是，余式是（

）我挑戰(zhàn)：已知能被整除，請直接寫出a、b的值．【答案】我會做：；，我挑戰(zhàn)：【分析】我會做：根據(jù)題意填空即可；我挑戰(zhàn)，根據(jù)例題列豎式進行多項式的除法計算即可，然后根據(jù)整除，最后結果余0，即可求得的值．【詳解】解：我會做：補全如下，答：商式是，余式是（）故答案為：；我挑戰(zhàn)：能被整除，則余數(shù)為0，根據(jù)題意列豎式運算即可，解得【點睛】本題考查了多項式除以多項式，掌握多項式的乘法是解題的關鍵．【核心素養(yǎng)提升】1.逆向思維的思想方法1．（2022·吉林·東北師大附中明珠學校八年級期末）已知，則＝_____．【答案】【分析】先根據(jù)冪的乘方求出，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法的逆運算法則求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了冪的乘方，同底數(shù)冪除法的逆運算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．2．（2022·山西·右玉縣第三中學校八年級期末）若，則______．【答案】【分析】根據(jù)兩個非負數(shù)的和為零則它們均為零，可求得a與b的值，把a與b的值代入代數(shù)式中即可求得結果．【詳解】∵，，且，∴，，即a+3=0，3b1=0，∴，．當，時，，故答案為：．【點睛】本題考查了兩個非負數(shù)的和為零的性質，積的乘方逆用，求代數(shù)式的值等知識，利用兩個非負數(shù)和為零的性質是本題的關鍵，積的乘方逆用是難點．2.直觀想象利用幾何直觀來解決問題3．（2022·浙江臺州·八年級期末）學習了平方差、完全平方公式后，小聰同學對學習和運用數(shù)學公式非常感興趣，他通過上網(wǎng)查閱，發(fā)現(xiàn)還有很多數(shù)學公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他發(fā)現(xiàn)，運用立方和公式可以解決很多數(shù)學問題，請你也來試試利用立方和公式解決以下問題：(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何數(shù)、字母或式子①化簡：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝；②計算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝；(2)【公式運用】已知：＋x＝5，求的值：(3)【公式應用】如圖，將兩塊棱長分別為a、b的實心正方體橡皮泥揉合在一起，重新捏成一個高為的實心長方體，問這個長方體有無可能是正方體，若可能，a與b應滿足什么關系？若不可能，說明理由．【答案】(1)a3b3，100(2)4(3)不可能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)立方差公式計算；（2）根據(jù)完全平方公式計算；（3）根據(jù)體積找到a，b關系．(1)解：①原式=a3+(b)3=a3b3．②原式=（99+1）（99299×1+12）÷（99299+1）=100．故答案為：a3b3，100．(2)∵，∴原式=51=4．(3)假設長方體可能為正方體，由題意：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴7a210ab+7b2=0不成立，∴該長方體不可能是邊長為的正方體．【點睛】本題考查立方差和立方和公式的應用，構造使用公式的條件是求解本題的關鍵．3.數(shù)學運算運用整體思想求值4．（2022·安徽蕪湖·八年級期末）計算的值可以用換元法．（1）設，則___________（用含x的代數(shù)式表示）；（2）計算：__．【答案】

2022【分析】（1）由得到即可；（2）設，，則原式，求解即可．【詳解】解：（1）故答案為：；（2）設，原式原式故答案為：2022．【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給式子，找到規(guī)律，再利用整體思想解題是關鍵．【中考熱點聚焦】熱點1.整式的運算1．（2023?衢州）下列運算，結果正確的是（）A．3a+2a＝5a2 B．3a﹣2a＝1 C．a2?a3＝a5 D．a÷a2＝a【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則和同底數(shù)冪的除法法則及合并同類項法則即可解決問題．【解答】解：因為3a+2a＝5a，所以A選項錯誤．因為3a﹣2a＝a，所以B選項錯誤．因為a2?a3＝a2+3＝a5，所以C選項正確．因為a÷a2＝a1﹣2＝a﹣1，所以D選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查同底數(shù)冪的運算及合并同類項，熟知同底數(shù)冪的運算法則及合并同類項法則是解題的關鍵．2．（2023?西寧）計算：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）．【分析】利用完全平方公式和平方差公式解答即可．【解答】解：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）＝（4a2﹣12a+9）﹣（a2﹣25）＝4a2﹣12a+9﹣a2+25＝3a2﹣12a+34．【點評】本題主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟練掌握兩個公式是解題的關鍵．熱點2.因式分解3．（2023?杭州）分解因式：4a2﹣1＝（）A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2） C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12＝（2a﹣1）（2a+1）．故選：A．【點評】此題主要考查了公式法分解因式，正確運用平方差公式分解因式是解題關鍵．4．（2023?赤峰）分解因式：x3﹣9x＝．【分析】根據(jù)提取公因式、平方差公式，可分解因式．【解答】解：原式＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3），故答案為：x（x+3）（x﹣3）．【點評】本題考查了因式分解，利用了提公因式法與平方差公式，注意分解要徹底．5．（2023?懷化）分解因式：2x2﹣4x+2＝．【分析】先提取公因數(shù)2，再利用完全平方公式進行二次分解．a2±2ab+b2＝（a±b）2．【解答】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．【點評】本題主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，難點在于需要進行二次分解因式．6．（2023?呼和浩特）分解因式2b3﹣4b2+2b＝