遼寧省撫順市六校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

20232024學(xué)年度下學(xué)期“撫順六校協(xié)作體”期末考試試題高一數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分命題人：呼妍白金艷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如果，則（）A. B. C.1 D.22.已知某圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.4π C. D.8π3.在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，，則（）A B. C. D.4.下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A. B. C. D.5.已知，，，若，則（）A. B. C.5 D.66.若，則的值為（）A. B. C. D.7.已知正三棱臺上、下底面的面積分別為和,高為1，所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是（）A.100π B.128π C.144π D.192π8.在中，已知，，，則的面積是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為2πB.在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D.的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，，，那么下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.11.長方體中，，，E是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.平面C.的最小值為D.以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長是三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______．13.已知，若，則______．14.在中，，，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，，則的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15已知平面上兩個(gè)向量，，其中，，且．（1）若與共線，求的值；（2）求與的夾角的余弦值．16.如圖（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中點(diǎn)，現(xiàn)將沿AB折起得圖（2），點(diǎn)M是PD中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)．（1）求證：平面PAB；（2）在線段PC上是否存在一點(diǎn)E，使得平面平面PAB？若存在，請指出點(diǎn)E位置并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．17.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，以a，b，c為邊長的三個(gè)等邊三角形的面積依次為，，．已知，．（1）求角B：（2）若的面積為，求c．18.如圖，PO是三棱錐的高，，，E是PB的中點(diǎn)．（1）求證：平面PAC；（2）若，，，求三棱錐體積．19.已知函數(shù)，稱非零向量為的“特征向量”，為的“特征函數(shù)”．（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的“特征向量”；（2）若函數(shù)的“特征向量”為，求當(dāng)且時(shí)的值；（3）若的“特征函數(shù)”為，且方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20232024學(xué)年度下學(xué)期“撫順六校協(xié)作體”期末考試試題高一數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分命題人：呼妍白金艷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如果，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算求出，然后由共軛復(fù)數(shù)概念可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故選：D2.已知某圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.4π C. D.8π【答案】B【解析】【分析】圓的周長公式求出，然后由圓錐側(cè)面積公式可得.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，則由題意有，得，所以側(cè)面積為.故選：B3.在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形結(jié)合向量的線性運(yùn)算分析求解.【詳解】由題意可得：.故選：B.4.下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】函數(shù)，要求函數(shù)的增區(qū)間，即，即.令，得到.則A正確，B錯(cuò)誤；令，得到.則C，D錯(cuò)誤．故選：A．5.已知，，，若，則（）A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)相等，建立關(guān)于的等式求解．詳解】解：，，，，，解得：，故選：C．6.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先利用兩角和的正切公式求，再利用三角函數(shù)恒等變化，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次分式，轉(zhuǎn)化為正切表示，即可求解.【詳解】，，，.故選：C7.已知正三棱臺上、下底面的面積分別為和,高為1，所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是（）A.100π B.128π C.144π D.192π【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】正三棱臺上、下底面面積分別為和,可求出上下底邊長為：和.設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A.8.在中，已知，，，則的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用三角恒等變換以及正弦定理可得，，進(jìn)而求，利用正弦定理可得，即可得面積.【詳解】因?yàn)?，則，且，則，可得，解得，又因?yàn)?，由正弦定理可得，則，且，則，可得，即，可得，則，由正弦定理可得，所以的面積是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為2πB.在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D.的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到【答案】BC【解析】【分析】對于ABC，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一分析判斷即可；對于D，利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對A,對于，它的最小正周期，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，對B,又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對C,當(dāng)時(shí)，，所以，所以的取值范圍為，故C正確；對D,的圖象向左平移個(gè)單位長度得到解析式為，故D錯(cuò)誤.故選：BC．10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，，，那么下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量，模以及數(shù)量積，再結(jié)合三角恒等變換公式等即可判斷.詳解】對A，，，則，，所以，故A正確；對B，，，則，，因?yàn)榕c的大小不確定，所以沒辦法判定是否相等，故B錯(cuò)誤；對C，，，所以，，所以，故C正確；對D，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.長方體中，，，E是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.平面C.的最小值為D.以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長是【答案】BCD【解析】【分析】計(jì)算的邊上的高后可判斷A的正誤，可證平面平面，從而可平面，故可判斷B的正誤，利用平面展開圖結(jié)合余弦定理可求的最小值，故可判斷C的正誤，D中判斷出交線的形狀結(jié)合計(jì)算可判斷D的正誤.【詳解】對于A，因?yàn)樵陂L方體中，，，故，故為等腰三角形，而，故為銳角，故的最小值為的邊上的高，設(shè)高為，則，故，故的最小值為，故A錯(cuò)誤.對于B，由長方體的性質(zhì)可得，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，同理平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，故B正確.對于C，如圖，將、放置在一個(gè)平面中，則的最小值即為，而，，因?yàn)?、均為銳角，故，，故，故，故C正確.對于D，以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為個(gè)圓弧，該圓弧的圓心為，半徑為，故弧長為，故D成立.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______．【答案】【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)模長公式計(jì)算即可.【詳解】,可得.故答案為：.13.已知，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得，利用，結(jié)合二倍角的余弦公式可求值.【詳解】由，可得，則，則.故答案為：14.在中，，，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】將用基底表示出來，后用余弦定理，結(jié)合基本不等式可解.【詳解】如圖所示，設(shè)分別為的角所對邊，由余弦定理知，，即，即.,即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.根據(jù)三點(diǎn)共線的向量結(jié)論，可知，，則，化簡得.則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.則的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平面上兩個(gè)向量，，其中，，且．（1）若與共線，求的值；（2）求與的夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用向量共線的定理結(jié)論，求的值即可；（2）運(yùn)用向量數(shù)量積的夾角的余弦公式求解即可．小問1詳解】若與共線，則存在實(shí)數(shù)k，使得，即，因?yàn)橄蛄颗c不共線，所以，解得．【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以?6.如圖（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中點(diǎn)，現(xiàn)將沿AB折起得圖（2），點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)．（1）求證：平面PAB；（2）在線段PC上是否存在一點(diǎn)E，使得平面平面PAB？若存在，請指出點(diǎn)E的位置并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，E為PC中點(diǎn)，證明見解析【解析】【分析】（1）應(yīng)用線面平行判定定理證明即可；（2）先取點(diǎn)，再應(yīng)用面面平行判定定理證明即可；【小問1詳解】取AP的中點(diǎn)Q，連接MQ，BQ，因?yàn)镸，Q分別為PD，PA的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以，．所以，，所以四邊形MNBQ為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，所以平面PAB．【小問2詳解】存在點(diǎn)E，當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí)，平面平面PAB．證明如下：由圖（1）因?yàn)锳是PD中點(diǎn)，，，所以且，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以．因?yàn)镋，M分別為PC，PD中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，所以平面PAB，同理可知平面PAB，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫鍼AB．17.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，以a，b，c為邊長的三個(gè)等邊三角形的面積依次為，，．已知，．（1）求角B：（2）若的面積為，求c．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由已知可得，結(jié)合余弦定理可得，結(jié)合已知可得，進(jìn)而求得；（2）由（1）可求得，進(jìn)而由正弦定理可得，，從而由面積可求得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以由余弦定理，可得，因?yàn)椋?，從而，又因?yàn)?，即，且，所以．【小?詳解】由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以．18.如圖，PO是三棱錐的高，，，E是PB的中點(diǎn)．（1）求證：平面PAC；（2）若，，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，由題意可證，進(jìn)而可得平面，由三角形中位線定理可得，進(jìn)而可證平面，從而可證平面平面，可得結(jié)論；（2）由已知可得，，由三棱錐的體積公式可求體積.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接．因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)榉謩e是中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．又因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面．【小?詳解】因?yàn)椋?，由?）可得，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)镻O是三棱錐的高，所以．19.已知函數(shù)，稱非零向量為的“特征向量”，為的“特征函數(shù)”．（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的“特征向量”；（2）若函數(shù)的“特征向量”為，求當(dāng)且時(shí)的值；（3）若的“特征函數(shù)”為，且方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】（1）先利用兩角和正余弦公式展開化簡函數(shù)，再根據(jù)特征函數(shù)的概念求解即可；（2）由已知可得，利用即可求解；（3）由定義得并化簡（化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式），解方程得或且，求得兩根，然后作出函數(shù)，的圖象，由圖象可得