專題2415圓章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（滬科版）

專題24.15圓章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1巧用圓的半徑相等】 1【題型2由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求求范圍】 5【題型3弧、弦、角、之間的關(guān)系】 11【題型4垂徑定理】 17【題型5圓周角定理】 22【題型6圓內(nèi)接四邊形】 28【題型7直線與圓的位置關(guān)系】 35【題型8切線長(zhǎng)定理的運(yùn)用】 39【題型9弧長(zhǎng)的計(jì)算】 45【題型10扇形面積的計(jì)算】 49【題型1巧用圓的半徑相等】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是連接半徑，抓住圓的半徑相等是關(guān)鍵.【例1】（2023秋·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的弦，OD為⊙O半徑．OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OD=2A．60 B．65 C．70 D．75【答案】D【分析】連接OB，則OB=OD，由OC⊥AB，則【詳解】解：如圖：連接OB，則OB=∵OC∴OC∵OC∴∠OBC∵OD∴∠BOD∴∠OBD故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的有關(guān)知識(shí)；正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，半圓O的直徑AB=10，將半圓O繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O'，與AB交于點(diǎn)P，那么AP=A．2.5 B．5 C．10-52 D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意判斷出△O'PB是等腰直角三角形，由勾股定理求出PB【詳解】解：如下圖，連接O'由題意得：∠OB∵O∴∠O∴△O∴PB∴AP故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△O【變式12】（2023秋·河北唐山·九年級(jí)唐山市第十二中學(xué)?？计谀┤鐖D，⊙O的直徑AB與弦CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若DE=OB，∠A．42° B．28° C．21° D．20°【答案】B【分析】連接OD，易得OD=BE，利用三角形外角的性質(zhì)得到∠ODC【詳解】解：連接OD，則：OD=∴∠OCD∵DE=∴OD=∴∠DOE∴∠ODC∴∠OCD∴∠AOC∴∠E故選B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的認(rèn)識(shí)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握?qǐng)A內(nèi)半徑均相等，得到等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2023秋·天津南開·九年級(jí)南開翔宇學(xué)校?？计谀┤鐖D，⊙O的半徑為2，AB為圓上一動(dòng)弦，以AB為邊作正方形ABCD，求OD的最大值【答案】2【分析】把AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AO'，得到△AOO'是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OO'，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，再求出∠BAO=∠【詳解】如圖，連接AO、BO、把AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AO'∴△AO∵AO=2∴OO在正方形ABCD中，AB=AD，∵∠BAO∴∠BAO在△ABO和△AO=∴△ABO≌△∴DO∴OO當(dāng)O、O'、D三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”此時(shí)，OD的最大值為22故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【題型2由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求求范圍】【方法點(diǎn)撥】解決此類問題關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【例2】（2011秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)，⊙A的半徑是5，若點(diǎn)D(-2,a)在⊙AA．a(chǎn)>4 B．a(chǎn)>4或a<-4 C．a(chǎn)【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式與點(diǎn)D在⊙A外得到關(guān)于a【詳解】解：兩點(diǎn)間的距離公式為d=由題意得DA>5，則DA即9+a∴a∴a>4或故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握點(diǎn)與圓的位置與半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023春·河北石家莊·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)為3，點(diǎn)B所表示的實(shí)數(shù)為a，⊙A的半徑為2，下列說法錯(cuò)誤的是（

A．當(dāng)a<5時(shí)，點(diǎn)B在⊙A內(nèi) B．當(dāng)1<a<5時(shí)，點(diǎn)C．當(dāng)a<1時(shí)，點(diǎn)B在⊙A外 D．當(dāng)a>5時(shí)，點(diǎn)B【答案】A【分析】先找出與點(diǎn)A的距離為2的點(diǎn)1和5，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法即可解．【詳解】解：由于圓心A在數(shù)軸上的坐標(biāo)為3，圓的半徑為2，∴當(dāng)d=r時(shí)，⊙A與數(shù)軸交于兩點(diǎn)：1、5，故當(dāng)a=1、5時(shí)點(diǎn)當(dāng)d<r即當(dāng)1<a<5時(shí)，點(diǎn)當(dāng)d>r即當(dāng)a<1或a>5時(shí)，點(diǎn)由以上結(jié)論可知選項(xiàng)B、C、D不符合題意，選項(xiàng)A符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】題考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=【變式22】（2023秋·北京海淀·九年級(jí)北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M和點(diǎn)P給出如下定義：Q為圖形M上任意一點(diǎn)，若P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，則稱點(diǎn)P為圖形M的“二分點(diǎn)”．已知點(diǎn)N（3，0），A（1，0），B（0，3），C（3，﹣1）．(1)①在點(diǎn)A，B，C中，線段ON的“二分點(diǎn)”是；②點(diǎn)D（a，0），若點(diǎn)C為線段OD的“二分點(diǎn)”，求a的取值范圍；(2)以點(diǎn)O為圓心，r為半徑畫圓，若線段AN上存在⊙O的“二分點(diǎn)”，直接寫出r的取值范圍．【答案】(1)①B、C；②a=3-15或3≤(2)13≤r≤1或3≤r≤9【分析】（1）①計(jì)算每個(gè)點(diǎn)到ON的最大和最小值，可推斷出結(jié)果；②分為當(dāng)最小值是1，和最大值是2兩種情形；（2）當(dāng)AN上的點(diǎn)在圓外和外內(nèi)兩種情形；【詳解】（1）解：①如圖1，∵點(diǎn)A到ON的最大距離是2，到ON的最小距離是0，∴點(diǎn)A不是ON的二分點(diǎn)，∵OB=3，BN=23，∴BN=2OB，∴B點(diǎn)是ON的二分點(diǎn)，∵CD=1，OC=2，∴點(diǎn)C是ON的二分點(diǎn)，故答案是：B、C；②如圖2，當(dāng)OC=2是最小值時(shí)，最大值是OD=4，∴(a∴a1=15當(dāng)最小值是1時(shí)，a≥3，最大值是2時(shí)，∵OC=2，∴a≤23，∴3≤a≤23，綜上所述：a=3?15或3≤a≤23；（2）解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O外時(shí)，設(shè)點(diǎn)M在AN上，M（x，0），（1≤x≤3），假設(shè)M是⊙O的二分點(diǎn)，∴x+r=2（xr），∴x=3r，∴1≤3r≤3，∴13≤r≤1如圖4，點(diǎn)M在⊙O內(nèi)，∴x+r=2（rx），∴x=r3∴1≤r3≤3∴3≤r≤9，綜上所述：13≤r≤1或3≤r≤9【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到線段（上的點(diǎn)）的距離，及點(diǎn)到圓最值問題，解決問題的關(guān)鍵是分為點(diǎn)在圓外和圓內(nèi)兩種情形討論．【變式23】（2023秋·廣東江門·九年級(jí)校考期末）如圖，正方形ABCD中，AB=5cm，以B為圓心，1cm為半徑畫圓，點(diǎn)P是⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP'，連接BP'，在點(diǎn)P【答案】(5【分析】通過畫圖發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)路線為以D為圓心，以1cm為半徑的圓，可知：當(dāng)P'在對(duì)角線BD上時(shí)，BP'最??；當(dāng)P'在對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，BP'最大．先證明【詳解】解：如圖，當(dāng)P'在對(duì)角線BD上時(shí)，BP'最??；當(dāng)P'在對(duì)角線連接BP，①當(dāng)P'在對(duì)角線BD由旋轉(zhuǎn)得：AP=AP∴∠PAB∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∴∠BA∴∠PAB∴△PAB∴P'在Rt△∵AB=由勾股定理得：BD5∴BP即BP'長(zhǎng)度的最小值為②當(dāng)P'在對(duì)角線BD同理可得BD=5∴BP即BP'長(zhǎng)度的最大值為∴BP'長(zhǎng)度的取值范圍是故答案為：(52【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和最值問題，尋找點(diǎn)P'【題型3弧、弦、角、之間的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，其中圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.【例3】（2023秋·河北廊坊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，BC=CD=DE，已知AB是⊙O的直徑，∠

A．40° B．70° C．75° D．105°【答案】C【分析】由BC=CD=DE,∠【詳解】解：∵BC=∴∠BOC∴∠AOE故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在⊙O中，AB、DE為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，且AD=CE．（1）BE與CE有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？（2）若∠BOE=60°，則四邊形OACE是什么特殊的四邊形？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）BE=CE，證明見解析；（2）四邊形OACE是菱形，證明見解析；【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AOD=∠BOE，再根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得AD=BE，加上AD=CE，所以（2）連結(jié)OC可得△COE和△AOC是等邊三角形，可得四邊形OACE的四條邊都相等，再根據(jù)菱形的判定即可求解．【詳解】（1）∵AB、DE是⊙O的直徑，∴∠AOD=∠BOE，∴AD=∵AD=∴BE=∴BE=CE．（2）連結(jié)OC，∵∠BOE=60°，BE=CE，∴∠COE=60°，∵OC=OE，∴△COE是等邊三角形，∵∠AOC=180°﹣60°﹣60°=60°，OA=OC，∴△AOC是等邊三角形，∴OE=CE=OA=AC=OC，∴四邊形OACE是菱形．【點(diǎn)睛】考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．【變式32】（2023秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB

(1)求證：BE=(2)若AE=1，CE=3，求【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥CD于點(diǎn)N，證明四邊形OMEN為矩形，可得AB=CD，OM⊥AB，ON⊥（2）連接OA，求解AB=AE+BE=4，可得【詳解】（1）證明：作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥又∵AB⊥∴四邊形OMEN為矩形，∵AB=CD，OM⊥∴OM=∴四邊形OMEN是正方形，∴OM=∵OM⊥AB，∴BM=12又∵AB=∴BM=∴BM+ME=（2）連接OA，

由（1）可知BE=∴AB=∵OM⊥∴AM=∴EM=∴OM=在Rt△AMO中，∴⊙O的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，矩形，正方形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，弦，弧，弦心距之間的關(guān)系，熟記圓的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.【變式33】（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)期末）已知⊙O的直徑AB=4，弦AC與弦BD交于點(diǎn)E．且OD⊥（1）如圖1，如果AC=BD，求弦（2）如圖2，如果E為弦BD的中點(diǎn)，求EF【答案】（1）AC=23；（2【分析】(1)連接OC，由垂徑定理、等弦得到等弧，根據(jù)同圓中弧與圓心角的關(guān)系可求出∠，通過解直角三角形求出，利用垂徑定理求出；(2)連接BC，根據(jù)AB為直徑，得到∠AFO=∠C=90°，再得到∠D=∠EBC，證明△【詳解】如圖，連接OC，∵AD又∵AC∴AC=BD∴∴AD∴∠∵∴∴則AC=2如圖2，連接BC，∵ABOD⊥∴OD∴∠∵∴△∴BC又∵∴OF是△設(shè)OF=則BC∴2-解得：t=則DF∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，弧，弦，圓心角定理，以及勾股定理，還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，熟悉并靈活運(yùn)用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【題型4垂徑定理】【方法點(diǎn)撥】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條?。纠?】（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，AB=24，則CD的長(zhǎng)為___________(2)如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點(diǎn)，若AB=EF，求證【答案】(1)46(2)見解析【分析】（1）連接OA，OC，過O點(diǎn)作OH⊥AB，則H為AB，CD的中點(diǎn)，得出AH=12（2）過O作OM⊥AB，作ON⊥EF，垂足分別為M、N，得出DM=12CD，HN=12GH，AM=12AB，【詳解】（1）連接OA，OC，過O點(diǎn)作OH⊥AB，則H為AB，∵AB=24∴AH=12∵OH⊥∴OH2=∴OA∴132∴CH=2∴CD=2故答案為：4（2）過O作OM⊥AB，作ON⊥EF，垂足分別為∴DM=12CD，HN=又∵AB=∴AM=連接OA、OE、OD、OH，

在Rt△OAM和OA=∴Rt△∴OM=在Rt△ODM和OD=∴Rt△∴DM=∴CD=【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解此類題的關(guān)鍵．【變式41】（2023秋·河北張家口·九年級(jí)張家口東方中學(xué)?？计谀┤鐖D，⊙O的半徑為6cm，AB是弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，將劣弧AB沿弦AB折疊，交OC于點(diǎn)D，若D是OC的中點(diǎn)，則AB

【答案】4【分析】連接BO，延長(zhǎng)OC交弧AB于E，可證CE=CD=OD，從而可求【詳解】解：如圖，連接BO，延長(zhǎng)OC交弧AB于E，

由折疊得：CD=∵D是OC的中點(diǎn)，∴CD∴CE∴OC∵OC∴AB在Rt△BC=6∴AB故答案：45【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，掌握相關(guān)的性質(zhì)，構(gòu)建出由弦、弦心距、半徑組成的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式42】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E，∠DEB=30°

【答案】2【分析】如圖，過O作OF⊥CD，交CD于點(diǎn)F，連接OD；由垂徑定理可得CF=DF，再根據(jù)題意求得圓的直徑AB=8，則半徑OA=4，進(jìn)而求得OE=2；然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得【詳解】解：如圖，過O作OF⊥CD，交CD于點(diǎn)F，連接

∴F為CD的中點(diǎn)，∴CF=DF∵AE=2∴AB=∴OA=4∴OE=在Rt△OEF中，∴OF=在Rt△ODF中，根據(jù)勾股定理得：DF=0D【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式43】（2023秋·湖北宜昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊行ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC邊上的高AH＝3，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以CP為半徑的⊙C與邊AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)）．（1）當(dāng)⊙C經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求CP的長(zhǎng)；（2）連接AP，當(dāng)AP∥CE時(shí)，求⊙C的半徑及弦EF的長(zhǎng)．【答案】（1）CP＝5；（2）⊙C的半徑為258，EF＝7【分析】（1）連接AC，由勾股定理求出BH＝4，得出CH＝4，由勾股定理求出CA，當(dāng)⊙C經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，CP＝CA＝5；（2）先證明四邊形APCE是平行四邊形，得出CP＝CE，證出四邊形APCE是菱形，得出PA＝CP，設(shè)PA＝CP＝x，則PH＝4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑；作CM⊥EF于M，則CM＝AH＝3，由垂徑定理得出ME＝MF＝12EF，由勾股定理求出ME，即可得出EF【詳解】解：（1）連接AC，如圖1所示：∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴BH＝AB∴CH＝BC﹣BH＝4，∴CA＝AH當(dāng)⊙C經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，CP＝CA＝5；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，當(dāng)AP∥CE時(shí)，四邊形APCE是平行四邊形，∵CP＝CE，∴四邊形APCE是菱形，∴PA＝CP，設(shè)PA＝CP＝x，則PH＝4﹣x，在Rt△APH中，由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，即32+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝258即⊙C的半徑為258作CM⊥EF于M，如圖2所示：則CM＝AH＝3，ME＝MF＝12EF在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME＝CE∴EF＝2ME＝74【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、平行四邊形的判定方法、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．【題型5圓周角定理】【方法點(diǎn)撥】圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑?！纠?】（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P是

(1)如圖1，求證：AP=(2)如圖2，連接BP，AP．點(diǎn)M為弧AP上一點(diǎn)，過P作PD⊥BM于D點(diǎn)，求證：BD=(3)如圖3，點(diǎn)Q是弧AP上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，P重合），連PQ，AQ，BQ．求BQ-【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）連接AP,BP，根據(jù)已知得出∠PCB（2）過點(diǎn)M作MN⊥BM垂足為M，過點(diǎn)P作PN⊥MN于點(diǎn)（3）過點(diǎn)P作PD⊥BQ于點(diǎn)D，過點(diǎn)Q作QE⊥BQ垂足為Q，過點(diǎn)P作PE⊥AQ于點(diǎn)Q，連接PQ，由（【詳解】（1）解：如圖1，連接AP,∵∠ACB=90°，∴∠PCB∴AP=∴AP=（2）證明：如圖2，過點(diǎn)M作MN⊥BM垂足為M，過點(diǎn)P作PN⊥∴四邊形PDMN是矩形，∵BP=∴∠BMP∵PD⊥∴△PMD∴DP=∴四邊形PDMN是正方形，∴PD=DM∵∠ACB=90°∴AB是⊙的直徑，∴∠BPA∴∠BPD∴∠BPD又∵BP=∴△∴BD=∴BD=（3）如圖3所示，過點(diǎn)P作PD⊥BQ于點(diǎn)D，過點(diǎn)Q作QE⊥BQ垂足為Q，過點(diǎn)P作PE⊥AQ于點(diǎn)由（2）可得四邊形DPEQ是正方形，△BDP∴BD=∴BQ=設(shè)正方形DPEQ的邊長(zhǎng)為a，則PQ=∴BQ-AQPQ【點(diǎn)睛】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，90度角所對(duì)的弦是直徑，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式51】（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將AC沿弦AC折疊交直徑AB于圓心O，則∠AOC=