專題2415圓章末十大題型總結（培優(yōu)篇）（滬科版）

專題24.15圓章末十大題型總結（培優(yōu)篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1巧用圓的半徑相等】 1【題型2由點與圓的位置關系求求范圍】 5【題型3弧、弦、角、之間的關系】 11【題型4垂徑定理】 17【題型5圓周角定理】 22【題型6圓內接四邊形】 28【題型7直線與圓的位置關系】 35【題型8切線長定理的運用】 39【題型9弧長的計算】 45【題型10扇形面積的計算】 49【題型1巧用圓的半徑相等】【方法點撥】解決此類問題的關鍵是連接半徑，抓住圓的半徑相等是關鍵.【例1】（2023秋·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的弦，OD為⊙O半徑．OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OD=2A．60 B．65 C．70 D．75【答案】D【分析】連接OB，則OB=OD，由OC⊥AB，則【詳解】解：如圖：連接OB，則OB=∵OC∴OC∵OC∴∠OBC∵OD∴∠BOD∴∠OBD故選D．【點睛】本題考查了圓，平行線的性質，等腰三角形的有關知識；正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是解題的關鍵．【變式11】（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，半圓O的直徑AB=10，將半圓O繞點B順時針旋轉45°得到半圓O'，與AB交于點P，那么AP=A．2.5 B．5 C．10-52 D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意判斷出△O'PB是等腰直角三角形，由勾股定理求出PB【詳解】解：如下圖，連接O'由題意得：∠OB∵O∴∠O∴△O∴PB∴AP故選：C．【點睛】本題考查了圓的性質，旋轉的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是根據(jù)旋轉的性質求出△O【變式12】（2023秋·河北唐山·九年級唐山市第十二中學?？计谀┤鐖D，⊙O的直徑AB與弦CD的延長線交于點E，若DE=OB，∠A．42° B．28° C．21° D．20°【答案】B【分析】連接OD，易得OD=BE，利用三角形外角的性質得到∠ODC【詳解】解：連接OD，則：OD=∴∠OCD∵DE=∴OD=∴∠DOE∴∠ODC∴∠OCD∴∠AOC∴∠E故選B．【點睛】本題考查圓的認識，等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質．熟練掌握圓內半徑均相等，得到等腰三角形，是解題的關鍵．【變式13】（2023秋·天津南開·九年級南開翔宇學校?？计谀┤鐖D，⊙O的半徑為2，AB為圓上一動弦，以AB為邊作正方形ABCD，求OD的最大值【答案】2【分析】把AO繞點A順時針旋轉90°得到AO'，得到△AOO'是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出OO'，再根據(jù)正方形的性質可得AB=AD，再求出∠BAO=∠【詳解】如圖，連接AO、BO、把AO繞點A順時針旋轉90°得到AO'∴△AO∵AO=2∴OO在正方形ABCD中，AB=AD，∵∠BAO∴∠BAO在△ABO和△AO=∴△ABO≌△∴DO∴OO當O、O'、D三點共線時，取“=”此時，OD的最大值為22故答案為：22【點睛】本題考查了圓的基本性質、全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，利用旋轉作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．【題型2由點與圓的位置關系求求范圍】【方法點撥】解決此類問題關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內．【例2】（2011秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）直角坐標系中，已知點A(1,0)，⊙A的半徑是5，若點D(-2,a)在⊙AA．a(chǎn)>4 B．a(chǎn)>4或a<-4 C．a(chǎn)【答案】B【分析】根據(jù)兩點間的距離公式與點D在⊙A外得到關于a【詳解】解：兩點間的距離公式為d=由題意得DA>5，則DA即9+a∴a∴a>4或故選B．【點睛】本題主要考查了兩點間的距離公式，點與圓的位置關系，掌握點與圓的位置與半徑的關系是解題的關鍵．【變式21】（2023春·河北石家莊·九年級?？奸_學考試）在數(shù)軸上，點A所表示的實數(shù)為3，點B所表示的實數(shù)為a，⊙A的半徑為2，下列說法錯誤的是（

A．當a<5時，點B在⊙A內 B．當1<a<5時，點C．當a<1時，點B在⊙A外 D．當a>5時，點B【答案】A【分析】先找出與點A的距離為2的點1和5，再根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法即可解．【詳解】解：由于圓心A在數(shù)軸上的坐標為3，圓的半徑為2，∴當d=r時，⊙A與數(shù)軸交于兩點：1、5，故當a=1、5時點當d<r即當1<a<5時，點當d>r即當a<1或a>5時，點由以上結論可知選項B、C、D不符合題意，選項A符合題意．故選：A．【點睛】題考查了對點與圓的位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d>r時，點在圓外；當d=【變式22】（2023秋·北京海淀·九年級北京交通大學附屬中學?？计谀τ谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中的圖形M和點P給出如下定義：Q為圖形M上任意一點，若P，Q兩點間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，則稱點P為圖形M的“二分點”．已知點N（3，0），A（1，0），B（0，3），C（3，﹣1）．(1)①在點A，B，C中，線段ON的“二分點”是；②點D（a，0），若點C為線段OD的“二分點”，求a的取值范圍；(2)以點O為圓心，r為半徑畫圓，若線段AN上存在⊙O的“二分點”，直接寫出r的取值范圍．【答案】(1)①B、C；②a=3-15或3≤(2)13≤r≤1或3≤r≤9【分析】（1）①計算每個點到ON的最大和最小值，可推斷出結果；②分為當最小值是1，和最大值是2兩種情形；（2）當AN上的點在圓外和外內兩種情形；【詳解】（1）解：①如圖1，∵點A到ON的最大距離是2，到ON的最小距離是0，∴點A不是ON的二分點，∵OB=3，BN=23，∴BN=2OB，∴B點是ON的二分點，∵CD=1，OC=2，∴點C是ON的二分點，故答案是：B、C；②如圖2，當OC=2是最小值時，最大值是OD=4，∴(a∴a1=15當最小值是1時，a≥3，最大值是2時，∵OC=2，∴a≤23，∴3≤a≤23，綜上所述：a=3?15或3≤a≤23；（2）解：如圖3，當點A在⊙O外時，設點M在AN上，M（x，0），（1≤x≤3），假設M是⊙O的二分點，∴x+r=2（xr），∴x=3r，∴1≤3r≤3，∴13≤r≤1如圖4，點M在⊙O內，∴x+r=2（rx），∴x=r3∴1≤r3≤3∴3≤r≤9，綜上所述：13≤r≤1或3≤r≤9【點睛】本題考查了點到線段（上的點）的距離，及點到圓最值問題，解決問題的關鍵是分為點在圓外和圓內兩種情形討論．【變式23】（2023秋·廣東江門·九年級?？计谀┤鐖D，正方形ABCD中，AB=5cm，以B為圓心，1cm為半徑畫圓，點P是⊙B上一個動點，連接AP，并將AP繞點A逆時針旋轉90°至AP'，連接BP'，在點P【答案】(5【分析】通過畫圖發(fā)現(xiàn)，點P'的運動路線為以D為圓心，以1cm為半徑的圓，可知：當P'在對角線BD上時，BP'最?。划擯'在對角線BD的延長線上時，BP'最大．先證明【詳解】解：如圖，當P'在對角線BD上時，BP'最小；當P'在對角線連接BP，①當P'在對角線BD由旋轉得：AP=AP∴∠PAB∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∴∠BA∴∠PAB∴△PAB∴P'在Rt△∵AB=由勾股定理得：BD5∴BP即BP'長度的最小值為②當P'在對角線BD同理可得BD=5∴BP即BP'長度的最大值為∴BP'長度的取值范圍是故答案為：(52【點睛】本題考查了正方形的性質、旋轉的性質、點與圓的位置關系和最值問題，尋找點P'【題型3弧、弦、角、之間的關系】【方法點撥】在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，其中圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等.【例3】（2023秋·河北廊坊·九年級?？计谥校┤鐖D，BC=CD=DE，已知AB是⊙O的直徑，∠

A．40° B．70° C．75° D．105°【答案】C【分析】由BC=CD=DE,∠【詳解】解：∵BC=∴∠BOC∴∠AOE故選：C【點睛】此題考查了弧與圓心角的關系，掌握數(shù)形結合思想的應用是解題的關鍵．【變式31】（2023秋·黑龍江大慶·九年級校考期中）如圖，在⊙O中，AB、DE為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，且AD=CE．（1）BE與CE有什么數(shù)量關系？為什么？（2）若∠BOE=60°，則四邊形OACE是什么特殊的四邊形？請說明理由．【答案】（1）BE=CE，證明見解析；（2）四邊形OACE是菱形，證明見解析；【分析】（1）根據(jù)對頂角相等得到∠AOD=∠BOE，再根據(jù)圓心角、弧、弦的關系得AD=BE，加上AD=CE，所以（2）連結OC可得△COE和△AOC是等邊三角形，可得四邊形OACE的四條邊都相等，再根據(jù)菱形的判定即可求解．【詳解】（1）∵AB、DE是⊙O的直徑，∴∠AOD=∠BOE，∴AD=∵AD=∴BE=∴BE=CE．（2）連結OC，∵∠BOE=60°，BE=CE，∴∠COE=60°，∵OC=OE，∴△COE是等邊三角形，∵∠AOC=180°﹣60°﹣60°=60°，OA=OC，∴△AOC是等邊三角形，∴OE=CE=OA=AC=OC，∴四邊形OACE是菱形．【點睛】考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．【變式32】（2023秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB

(1)求證：BE=(2)若AE=1，CE=3，求【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）作OM⊥AB于點M，作ON⊥CD于點N，證明四邊形OMEN為矩形，可得AB=CD，OM⊥AB，ON⊥（2）連接OA，求解AB=AE+BE=4，可得【詳解】（1）證明：作OM⊥AB于點M，作ON⊥又∵AB⊥∴四邊形OMEN為矩形，∵AB=CD，OM⊥∴OM=∴四邊形OMEN是正方形，∴OM=∵OM⊥AB，∴BM=12又∵AB=∴BM=∴BM+ME=（2）連接OA，

由（1）可知BE=∴AB=∵OM⊥∴AM=∴EM=∴OM=在Rt△AMO中，∴⊙O的半徑為5．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，矩形，正方形的判定與性質，垂徑定理的應用，弦，弧，弦心距之間的關系，熟記圓的基本性質是解本題的關鍵.【變式33】（2023秋·浙江杭州·九年級期末）已知⊙O的直徑AB=4，弦AC與弦BD交于點E．且OD⊥（1）如圖1，如果AC=BD，求弦（2）如圖2，如果E為弦BD的中點，求EF【答案】（1）AC=23；（2【分析】(1)連接OC，由垂徑定理、等弦得到等弧，根據(jù)同圓中弧與圓心角的關系可求出∠，通過解直角三角形求出，利用垂徑定理求出；(2)連接BC，根據(jù)AB為直徑，得到∠AFO=∠C=90°，再得到∠D=∠EBC，證明△【詳解】如圖，連接OC，∵AD又∵AC∴AC=BD∴∴AD∴∠∵∴∴則AC=2如圖2，連接BC，∵ABOD⊥∴OD∴∠∵∴△∴BC又∵∴OF是△設OF=則BC∴2-解得：t=則DF∴∴【點睛】本題考查了垂徑定理，弧，弦，圓心角定理，以及勾股定理，還考查了全等三角形的判定和性質，中位線定理，熟悉并靈活運用以上性質定理是解題的關鍵．【題型4垂徑定理】【方法點撥】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條?。纠?】（2023秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，AB=24，則CD的長為___________(2)如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點，若AB=EF，求證【答案】(1)46(2)見解析【分析】（1）連接OA，OC，過O點作OH⊥AB，則H為AB，CD的中點，得出AH=12（2）過O作OM⊥AB，作ON⊥EF，垂足分別為M、N，得出DM=12CD，HN=12GH，AM=12AB，【詳解】（1）連接OA，OC，過O點作OH⊥AB，則H為AB，∵AB=24∴AH=12∵OH⊥∴OH2=∴OA∴132∴CH=2∴CD=2故答案為：4（2）過O作OM⊥AB，作ON⊥EF，垂足分別為∴DM=12CD，HN=又∵AB=∴AM=連接OA、OE、OD、OH，

在Rt△OAM和OA=∴Rt△∴OM=在Rt△ODM和OD=∴Rt△∴DM=∴CD=【點睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點是解此類題的關鍵．【變式41】（2023秋·河北張家口·九年級張家口東方中學校考期末）如圖，⊙O的半徑為6cm，AB是弦，OC⊥AB于點C，將劣弧AB沿弦AB折疊，交OC于點D，若D是OC的中點，則AB

【答案】4【分析】連接BO，延長OC交弧AB于E，可證CE=CD=OD，從而可求【詳解】解：如圖，連接BO，延長OC交弧AB于E，

由折疊得：CD=∵D是OC的中點，∴CD∴CE∴OC∵OC∴AB在Rt△BC=6∴AB故答案：45【點睛】本題主要考查了折疊的性質，垂徑定理，勾股定理，掌握相關的性質，構建出由弦、弦心距、半徑組成的直角三角形是解題的關鍵．【變式42】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點E，∠DEB=30°

【答案】2【分析】如圖，過O作OF⊥CD，交CD于點F，連接OD；由垂徑定理可得CF=DF，再根據(jù)題意求得圓的直徑AB=8，則半徑OA=4，進而求得OE=2；然后根據(jù)直角三角形的性質可得【詳解】解：如圖，過O作OF⊥CD，交CD于點F，連接

∴F為CD的中點，∴CF=DF∵AE=2∴AB=∴OA=4∴OE=在Rt△OEF中，∴OF=在Rt△ODF中，根據(jù)勾股定理得：DF=0D【點睛】本題主要考查了垂徑定理、三角形的性質、勾股定理等知識點，掌握垂徑定理是解答本題的關鍵．【變式43】（2023秋·湖北宜昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊行ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC邊上的高AH＝3，點P是邊BC上的動點，以CP為半徑的⊙C與邊AD交于點E，F(xiàn)（點E在點F的左側）．（1）當⊙C經(jīng)過點A時，求CP的長；（2）連接AP，當AP∥CE時，求⊙C的半徑及弦EF的長．【答案】（1）CP＝5；（2）⊙C的半徑為258，EF＝7【分析】（1）連接AC，由勾股定理求出BH＝4，得出CH＝4，由勾股定理求出CA，當⊙C經(jīng)過點A時，CP＝CA＝5；（2）先證明四邊形APCE是平行四邊形，得出CP＝CE，證出四邊形APCE是菱形，得出PA＝CP，設PA＝CP＝x，則PH＝4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑；作CM⊥EF于M，則CM＝AH＝3，由垂徑定理得出ME＝MF＝12EF，由勾股定理求出ME，即可得出EF【詳解】解：（1）連接AC，如圖1所示：∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴BH＝AB∴CH＝BC﹣BH＝4，∴CA＝AH當⊙C經(jīng)過點A時，CP＝CA＝5；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，當AP∥CE時，四邊形APCE是平行四邊形，∵CP＝CE，∴四邊形APCE是菱形，∴PA＝CP，設PA＝CP＝x，則PH＝4﹣x，在Rt△APH中，由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，即32+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝258即⊙C的半徑為258作CM⊥EF于M，如圖2所示：則CM＝AH＝3，ME＝MF＝12EF在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME＝CE∴EF＝2ME＝74【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、勾股定理、垂徑定理、平行四邊形的判定方法、菱形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度．【題型5圓周角定理】【方法點撥】圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑?！纠?】（2023秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點P是

(1)如圖1，求證：AP=(2)如圖2，連接BP，AP．點M為弧AP上一點，過P作PD⊥BM于D點，求證：BD=(3)如圖3，點Q是弧AP上一動點（不與A，P重合），連PQ，AQ，BQ．求BQ-【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）連接AP,BP，根據(jù)已知得出∠PCB（2）過點M作MN⊥BM垂足為M，過點P作PN⊥MN于點（3）過點P作PD⊥BQ于點D，過點Q作QE⊥BQ垂足為Q，過點P作PE⊥AQ于點Q，連接PQ，由（【詳解】（1）解：如圖1，連接AP,∵∠ACB=90°，∴∠PCB∴AP=∴AP=（2）證明：如圖2，過點M作MN⊥BM垂足為M，過點P作PN⊥∴四邊形PDMN是矩形，∵BP=∴∠BMP∵PD⊥∴△PMD∴DP=∴四邊形PDMN是正方形，∴PD=DM∵∠ACB=90°∴AB是⊙的直徑，∴∠BPA∴∠BPD∴∠BPD又∵BP=∴△∴BD=∴BD=（3）如圖3所示，過點P作PD⊥BQ于點D，過點Q作QE⊥BQ垂足為Q，過點P作PE⊥AQ于點由（2）可得四邊形DPEQ是正方形，△BDP∴BD=∴BQ=設正方形DPEQ的邊長為a，則PQ=∴BQ-AQPQ【點睛】本題考查了弧與圓周角的關系，90度角所對的弦是直徑，正方形的性質與判定，勾股定理，全等三角形的性質與判定，掌握圓周角定理是解題的關鍵．【變式51】（2023春·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將AC沿弦AC折疊交直徑AB于圓心O，則∠AOC=