蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題16難點(diǎn)探究專題：平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問(wèn)題壓軸題三種模型全攻略(原卷版+解析)

專題16難點(diǎn)探究專題：平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問(wèn)題壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題】 1【類型二平面直角坐標(biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問(wèn)題】 5【類型三平面直角坐標(biāo)系中新定義型問(wèn)題】 9【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 14【典型例題】【類型一平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題】例題：（2023秋·遼寧盤(pán)錦·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)沿箭頭所示的方向，依次得到點(diǎn)，，，，，…，則的坐標(biāo)是．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中方向排列，如，，，，，，…，根據(jù)規(guī)律探索可得，第40個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)

A． B． C． D．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，水平向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)；接著水平向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

3．（2023秋·黑龍江佳木斯·八年級(jí)佳木斯市第五中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，……，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)第次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．

4．（2023春·四川內(nèi)江·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，把一條長(zhǎng)為a個(gè)單位長(zhǎng)度且沒(méi)有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計(jì)）的一端固定在點(diǎn)A處，并按的規(guī)律緊繞在四邊形的邊上．（1）當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【類型二平面直角坐標(biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問(wèn)題】例題：（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，長(zhǎng)方形的兩邊分別在x軸、y軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，點(diǎn)，將長(zhǎng)方形沿x軸無(wú)滑動(dòng)向右翻滾，經(jīng)過(guò)一次翻滾，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，經(jīng)過(guò)第二次翻滾，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為；……，依次類推，經(jīng)過(guò)第2023次翻滾，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是直角三角形，點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，將按如圖方式在x軸負(fù)半軸上向左連續(xù)翻滾，依次得到、、、…，則的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．2．（2022·黑龍江大慶·大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)的位置，則的橫坐標(biāo)為（

）

A．2019 B．2018 C．2017 D．20163．（2023春·安徽蕪湖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將沿軸向右滾動(dòng)到的位置，再到的位置……依次進(jìn)行下去，若已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【類型三平面直角坐標(biāo)系中新定義型問(wèn)題】例題：（2022秋·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P伴隨點(diǎn)．已知點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，…，這樣依次得到點(diǎn)，，，…，，…．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P的友好點(diǎn)，已知點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)．……以此類推，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)經(jīng)過(guò)某種變換后得到點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P的和諧點(diǎn)．已知點(diǎn)的和諧點(diǎn)為，的和諧點(diǎn)為，的和諧點(diǎn)為，…，這樣由依次得到、、…．若點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．3．（2023春·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，．在平面直角坐標(biāo)系中有三個(gè)點(diǎn)，，，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為（即，，三點(diǎn)共線，且），關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，按此規(guī)律繼續(xù)以，，為對(duì)稱點(diǎn)重復(fù)前面的操作，依次得到，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．4．（2023春·北京房山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中,不同的兩點(diǎn)，,給出如下定義：若,則稱點(diǎn)，互為“等距點(diǎn)”．例如，點(diǎn),互為“等距點(diǎn)”．(1),，,四個(gè)點(diǎn)中，能與坐標(biāo)原點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”的是________．(2)已知，①若點(diǎn)是點(diǎn)的等距點(diǎn)，且滿足的面積為,求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若以點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為正方形上存在一點(diǎn)與點(diǎn)互為等距點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一只小螞蟻在平面直角坐標(biāo)系中按圖中路線進(jìn)行“爬樓梯”運(yùn)動(dòng)，第1次它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)……按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)第2023次運(yùn)動(dòng)后，小螞蟻的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，一只瓢蟲(chóng)從點(diǎn)A出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿循環(huán)爬行，問(wèn)第2025秒瓢蟲(chóng)在點(diǎn)（

）

A． B． C． D．3．（2023春·福建莆田·七年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，將邊長(zhǎng)為1的正方形一邊與x軸重合按圖中規(guī)律擺放，其中相鄰兩個(gè)正方形的間距都是1，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．4．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若點(diǎn)坐標(biāo)是，則經(jīng)過(guò)第2022次變換后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．（2023秋·安徽六安·八年級(jí)六安市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到如下指令：從原點(diǎn)O出發(fā)，按向右、向上、向右、向下的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1m，其行走路線如圖所示，第1次移動(dòng)到點(diǎn)，第2次移動(dòng)到點(diǎn)……第n次移動(dòng)到點(diǎn)，則的面積是（

）

A．m2 B． C．m2 D．m2二、填空題6．（2023春·四川南充·七年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)機(jī)器人在平面直角坐標(biāo)系中，從O點(diǎn)出發(fā)，向正東方向走3米到達(dá)點(diǎn)，再向正北方向走6米到達(dá)點(diǎn)，再向正西方向走9米到達(dá)點(diǎn)，再向正南方向走12米到達(dá)點(diǎn)，再向正東方向走15米到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)機(jī)器人走到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．7．（2023秋·安徽六安·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)……，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)第2025次運(yùn)動(dòng)后動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是．

8．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，，彈性小球從點(diǎn)出發(fā)，沿圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．若小球第1次與長(zhǎng)方形的邊的碰撞點(diǎn)為，第2次與長(zhǎng)方形的邊的碰撞點(diǎn)為，…，第n次與長(zhǎng)方形的邊的撞點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．

9．（2023春·遼寧葫蘆島·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個(gè)點(diǎn)從原點(diǎn)開(kāi)始向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)：把點(diǎn)向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)；把點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)；把點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，…；按此做法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

10．（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）數(shù)學(xué)家高斯推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，被數(shù)學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在計(jì)算時(shí)，用到了一種方法，將首尾兩個(gè)數(shù)相加，進(jìn)而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數(shù)）．有下列問(wèn)題，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，，其中，2，3，，，，且，是整數(shù)．記，如，即，，即，，即，?，以此類推．則．

三、解答題11．（2023秋·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)每次移動(dòng)1個(gè)單位，其行走路線如圖所示.

(1)填寫(xiě)下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：______，______；(2)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)（n為正整數(shù)）_____；(3)螞蟻從點(diǎn)到點(diǎn)的移動(dòng)方向______．12．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)?？计谥校┬露x：在平面直角坐標(biāo)系中中的點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（其中k為常數(shù)，），則稱點(diǎn)為點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“3屬派生點(diǎn)”為，即．(1)點(diǎn)的“2屬派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為點(diǎn)，且線段的長(zhǎng)為線段長(zhǎng)的3倍，求k的值．13．（2023春·吉林松原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的“a級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)已知點(diǎn)的“級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)；(2)已知點(diǎn)的“級(jí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N位于x軸上，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若存在點(diǎn)H，且，直接寫(xiě)出H點(diǎn)坐標(biāo)．14．（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“a階派生點(diǎn)”（其中a為常數(shù)，且）．例如：點(diǎn)的“2階派生點(diǎn)”為點(diǎn)，即點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則它的“3階派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)若點(diǎn)P的“5階派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到了點(diǎn)，點(diǎn)的“階派生點(diǎn)”位于坐標(biāo)軸上，求點(diǎn)P2的坐標(biāo)．15．（2023春·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)與的坐標(biāo)滿足，（k為常數(shù)，），則稱點(diǎn)N是點(diǎn)M的“k系友好點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是的“1系友好點(diǎn)”．(1)點(diǎn)的“2系友好點(diǎn)”的坐標(biāo)是，若一個(gè)點(diǎn)的“系友好點(diǎn)”的坐標(biāo)是，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是；(2)已知點(diǎn)在第二象限，且滿足，點(diǎn)A是點(diǎn)的“系友好點(diǎn)”，求的值；(3)點(diǎn)在x軸正半軸上，“k系友好點(diǎn)”為點(diǎn)，若無(wú)論t為何值，的值恒為0，求k的值．

專題16難點(diǎn)探究專題：平面直角坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問(wèn)題壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題】 1【類型二平面直角坐標(biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問(wèn)題】 5【類型三平面直角坐標(biāo)系中新定義型問(wèn)題】 9【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 14【典型例題】【類型一平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題】例題：（2023秋·遼寧盤(pán)錦·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)沿箭頭所示的方向，依次得到點(diǎn)，，，，，…，則的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】由圖可得，，，，，…，當(dāng)n能夠被3整除時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)得，點(diǎn)按“上→右→下→下→右→上”6次一循環(huán)，則，根據(jù)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，即可得．【詳解】解：由圖可得，，，，，…當(dāng)n能夠被3整除時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴，∵按“上→右→下→下→右→上”6次一循環(huán)，∴，∵點(diǎn)在點(diǎn)的上方，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，解決問(wèn)題的關(guān)鍵找出圖形的變化規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中方向排列，如，，，，，，…，根據(jù)規(guī)律探索可得，第40個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)

A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，把第一個(gè)點(diǎn)作為第一列，，作為第二列，，，作為第三列，進(jìn)而可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第列有個(gè)數(shù)，則列共有個(gè)數(shù)，且奇數(shù)列的點(diǎn)的順序由上到下，偶數(shù)列點(diǎn)的順序由下到上，由，可知第40個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在第9列，從上往下第4個(gè)點(diǎn)，進(jìn)而可求點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：由題意知，把第一個(gè)點(diǎn)作為第一列，，作為第二列，，，作為第三列，進(jìn)而可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第列有個(gè)數(shù)，則列共有個(gè)數(shù)，且奇數(shù)列的點(diǎn)的順序由上到下，偶數(shù)列點(diǎn)的順序由下到上，∵，∴第40個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)在第9列，從上往下第4個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)規(guī)律的探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，水平向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)；接著水平向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】對(duì)奇數(shù)點(diǎn)，偶數(shù)點(diǎn)分開(kāi)討論，找出點(diǎn)坐標(biāo)與序數(shù)的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律求解．【詳解】解：，；，；，；，；……當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；∴，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索，由開(kāi)始的幾個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵，注意分開(kāi)討論．3．（2023秋·黑龍江佳木斯·八年級(jí)佳木斯市第五中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，動(dòng)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，……，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)第次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了次，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)按，，，，，，，，重復(fù)出現(xiàn)，每個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)．【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了次．觀察圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)可知：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)按，，，，，，，，重復(fù)出現(xiàn)，每個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)．∵，∴當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)次運(yùn)動(dòng)后，橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為．即點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)歸納概括出點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·四川內(nèi)江·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，把一條長(zhǎng)為a個(gè)單位長(zhǎng)度且沒(méi)有彈性的細(xì)線（線的粗細(xì)忽略不計(jì)）的一端固定在點(diǎn)A處，并按的規(guī)律緊繞在四邊形的邊上．（1）當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出四邊形的周長(zhǎng)，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個(gè)單位長(zhǎng)度，從而確定答案．【詳解】解：∵，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)為，∴細(xì)線繞一圈的長(zhǎng)度為10，∵，∴當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)與點(diǎn)重合，坐標(biāo)為：；∵，∴當(dāng)時(shí)，細(xì)線另一端所在位置的點(diǎn)在點(diǎn)下方1個(gè)單位長(zhǎng)度處，即為：；故答案為：，；【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)的規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是求出四邊形的周長(zhǎng)?！绢愋投矫嬷苯亲鴺?biāo)系中圖形翻轉(zhuǎn)問(wèn)題】例題：（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，長(zhǎng)方形的兩邊分別在x軸、y軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，點(diǎn)，將長(zhǎng)方形沿x軸無(wú)滑動(dòng)向右翻滾，經(jīng)過(guò)一次翻滾，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，經(jīng)過(guò)第二次翻滾，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為；……，依次類推，經(jīng)過(guò)第2023次翻滾，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形即可得到經(jīng)過(guò)4次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，求出的商，從而解答本題．【詳解】解：觀察圖形得，，，，，經(jīng)過(guò)4次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)一個(gè)循環(huán)，，∵點(diǎn)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為：，∴經(jīng)過(guò)505次翻滾后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．∴的坐標(biāo)為．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查探究點(diǎn)的坐標(biāo)的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)的變化規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是直角三角形，點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，將按如圖方式在x軸負(fù)半軸上向左連續(xù)翻滾，依次得到、、、…，則的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形，從到經(jīng)過(guò)的路程恰好為的周長(zhǎng)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：從到經(jīng)過(guò)的路程恰好為的周長(zhǎng)：故的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：同理：從到經(jīng)過(guò)的路程恰好為：故的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：…∴、、、…、的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：∵∴的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：∵與的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同故的直角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與規(guī)律．根據(jù)題意確定坐標(biāo)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江大慶·大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)的位置，則的橫坐標(biāo)為（

）

A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B【分析】觀察圖形和各點(diǎn)坐標(biāo)可知：點(diǎn)到要翻轉(zhuǎn)4次為一個(gè)循環(huán)，到橫坐標(biāo)剛好加4，到處橫坐標(biāo)加3，按照此規(guī)律，求出的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：由題意可知：點(diǎn)到要翻轉(zhuǎn)4次為一個(gè)循環(huán)，，，，，，，到橫坐標(biāo)剛好加4，到處橫坐標(biāo)加3，，，，的橫坐標(biāo)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，解題關(guān)鍵是根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)和題意，找出坐標(biāo)規(guī)律．3．（2023春·安徽蕪湖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將沿軸向右滾動(dòng)到的位置，再到的位置……依次進(jìn)行下去，若已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的滾動(dòng)可知每滾動(dòng)3次為一個(gè)周期，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸上，由點(diǎn)，，可得，從而得到，進(jìn)而得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（為正整數(shù)），再代入即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：每滾動(dòng)3次為一個(gè)周期，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸上，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，同理可得出：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（為正整數(shù)），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算得出規(guī)律：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（為正整數(shù)），是解題的關(guān)鍵．【類型三平面直角坐標(biāo)系中新定義型問(wèn)題】例題：（2022秋·湖南常德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P伴隨點(diǎn)．已知點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，…，這樣依次得到點(diǎn)，，，…，，…．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“伴隨點(diǎn)”的定義依次求出各點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵的坐標(biāo)為，∴，，，，…．依此類推，每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)依次循環(huán)，∵,∴點(diǎn)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的變化規(guī)律，讀懂題目信息，理解“伴隨點(diǎn)”的定義并求出每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循序組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P的友好點(diǎn)，已知點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的友好點(diǎn)為點(diǎn)．……以此類推，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的坐標(biāo)為和友好點(diǎn)的定義，順次寫(xiě)出點(diǎn)、、、的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律，即可求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的友好點(diǎn)的坐標(biāo)是，……以此類推，∴，，，（n為自然數(shù)），∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，從已知條件得出循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)經(jīng)過(guò)某種變換后得到點(diǎn)，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)P的和諧點(diǎn)．已知點(diǎn)的和諧點(diǎn)為，的和諧點(diǎn)為，的和諧點(diǎn)為，…，這樣由依次得到、、…．若點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】利用點(diǎn)的和諧點(diǎn)的定義分別寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，…,從而得到每4次交換為一個(gè)循環(huán)。然后利用判斷點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)相同.【詳解】解：根據(jù)題意得點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，…,而，∴點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)相同，為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探究題，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的規(guī)律的能力，有理數(shù)運(yùn)算以及平面直角坐標(biāo)系等相關(guān)知識(shí)，找到坐標(biāo)的變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵.3．（2023春·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，．在平面直角坐標(biāo)系中有三個(gè)點(diǎn)，，，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為（即，，三點(diǎn)共線，且），關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，按此規(guī)律繼續(xù)以，，為對(duì)稱點(diǎn)重復(fù)前面的操作，依次得到，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)題意，可求得點(diǎn)至點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察各點(diǎn)坐標(biāo)，可知每個(gè)點(diǎn)循環(huán)一次，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)與已知某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)相同．【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．根據(jù)題意，得解得所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．同理可得，，，，．觀察各點(diǎn)坐標(biāo)可知，點(diǎn)至點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)，即每個(gè)點(diǎn)循環(huán)一次．∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)相同．∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意求得某點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2023春·北京房山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中,不同的兩點(diǎn)，,給出如下定義：若,則稱點(diǎn)，互為“等距點(diǎn)”．例如，點(diǎn),互為“等距點(diǎn)”．(1),，,四個(gè)點(diǎn)中，能與坐標(biāo)原點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”的是________．(2)已知，①若點(diǎn)是點(diǎn)的等距點(diǎn)，且滿足的面積為,求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若以點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為正方形上存在一點(diǎn)與點(diǎn)互為等距點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．【答案】(1)、(2)①點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，，；②或【分析】（1）根據(jù)“等距點(diǎn)”定義，逐點(diǎn)驗(yàn)證即可得到答案；（2）①設(shè)，由題意得到，或，再由的面積為，列式，解得，代入或，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；②根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)，當(dāng)與點(diǎn)互為等距點(diǎn)，則，分四種情況：當(dāng)在正方形左邊上；當(dāng)在正方形右邊上；當(dāng)在正方形上邊時(shí)；當(dāng)在正方形下邊時(shí)，分類討論即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)“等距點(diǎn)”定義，得：、,，即與坐標(biāo)原點(diǎn)不是“等距點(diǎn)”；、,，即與坐標(biāo)原點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”；、,，即與坐標(biāo)原點(diǎn)不是“等距點(diǎn)”；、,，即與坐標(biāo)原點(diǎn)不是“等距點(diǎn)”；綜上所述，與坐標(biāo)原點(diǎn)互為“等距點(diǎn)”的是、故答案為：、；（2）解：①，點(diǎn)是點(diǎn)的等距點(diǎn)，設(shè)，則，即，或，如圖所示：

的面積為，由圖可知，，解得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，由得到；由得到，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，由得到；由得到，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；②如圖所示：

，正方形邊長(zhǎng)為，設(shè)，當(dāng)與點(diǎn)互為等距點(diǎn)，則，當(dāng)在正方形左邊上，有，即，得到，解得或；當(dāng)在正方形右邊上，有，即，得到，解得或；當(dāng)在正方形上邊時(shí)，有，再由解得或，則或，解得或；當(dāng)在正方形下邊時(shí)，有，再由解得或，則或，解得或；綜上所述，若以點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為正方形上存在一點(diǎn)與點(diǎn)互為等距點(diǎn)，t的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查新定義與坐標(biāo)問(wèn)題，讀懂題意，根據(jù)新定義結(jié)合學(xué)過(guò)的知識(shí)，綜合運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一只小螞蟻在平面直角坐標(biāo)系中按圖中路線進(jìn)行“爬樓梯”運(yùn)動(dòng)，第1次它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)……按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)第2023次運(yùn)動(dòng)后，小螞蟻的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】分別找到橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的變化規(guī)律，再算出2023與2的商和余數(shù)，繼而得解．【詳解】解：第1次：，第2次：，第3次：，第4次：，第5次：，…，則橫坐標(biāo)是從1開(kāi)始的正整數(shù)，每個(gè)正整數(shù)出現(xiàn)2次，縱坐標(biāo)是從0開(kāi)始的正整數(shù)，其中只有0出現(xiàn)1次，其余數(shù)出現(xiàn)2次，則，∴第2023次的坐標(biāo)是：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型—點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是觀察點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．2．（2023秋·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，一只瓢蟲(chóng)從點(diǎn)A出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿循環(huán)爬行，問(wèn)第2025秒瓢蟲(chóng)在點(diǎn)（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)、、、的坐標(biāo)可得出、及矩形的周長(zhǎng)，由，可得出當(dāng)秒時(shí)瓢蟲(chóng)在點(diǎn)邊上，再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，，瓢蟲(chóng)2025秒行駛的路程為：，，，即此時(shí)瓢蟲(chóng)在邊上，當(dāng)秒時(shí)，瓢蟲(chóng)在點(diǎn)處，此時(shí)瓢蟲(chóng)的坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型—點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)瓢蟲(chóng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律找出當(dāng)秒時(shí)瓢蟲(chóng)在邊上是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建莆田·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，，將邊長(zhǎng)為1的正方形一邊與x軸重合按圖中規(guī)律擺放，其中相鄰兩個(gè)正方形的間距都是1，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的變化規(guī)律，每8個(gè)點(diǎn)看作一次循環(huán)，再根據(jù)點(diǎn)在第253個(gè)循環(huán)中的第七個(gè)點(diǎn)的位置，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：由圖可得，第一個(gè)正方形中，，，，，各點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1，1，2，2，縱坐標(biāo)依次為0，1，1，0；第二個(gè)正方形中，，,，，各點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為3，3，4，4，縱坐標(biāo)依次為0，，，0；根據(jù)縱坐標(biāo)的變化規(guī)律可知，每8個(gè)點(diǎn)一次循環(huán)，∴，∴點(diǎn)在第253個(gè)循環(huán)中的第7個(gè)點(diǎn)的位置，∴故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又∵的橫坐標(biāo)為4，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，…∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是判斷點(diǎn)在第253個(gè)循一中的第七個(gè)點(diǎn)的位置．4．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若點(diǎn)坐標(biāo)是，則經(jīng)過(guò)第2022次變換后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察圖形可知每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點(diǎn)所在的象限，然后解答即可．【詳解】解：點(diǎn)第一次關(guān)于軸對(duì)稱后在第二象限，坐標(biāo)為，點(diǎn)第二次關(guān)于軸對(duì)稱后在第三象限，坐標(biāo)為，點(diǎn)第三次關(guān)于軸對(duì)稱后在第四象限，坐標(biāo)為，點(diǎn)第四次關(guān)于軸對(duì)稱后在第一象限，坐標(biāo)為，即點(diǎn)回到原始位置，每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，，經(jīng)過(guò)第2022次變換后所得的點(diǎn)與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，觀察圖形得出每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·安徽六安·八年級(jí)六安市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到如下指令：從原點(diǎn)O出發(fā)，按向右、向上、向右、向下的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1m，其行走路線如圖所示，第1次移動(dòng)到點(diǎn)，第2次移動(dòng)到點(diǎn)……第n次移動(dòng)到點(diǎn)，則的面積是（

）

A．m2 B． C．m2 D．m2【答案】C【分析】確定從到水平移動(dòng)的距離即可求解．【詳解】解：由圖可知：從到需要移動(dòng)的次數(shù)為：水平移動(dòng)的距離為：（m）從到需要移動(dòng)的次數(shù)為：水平移動(dòng)的距離為：（m）…依此類推：從到需要移動(dòng)的次數(shù)為：水平移動(dòng)的距離為：（m）∴的面積為：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律題．根據(jù)題意確定一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·四川南充·七年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)機(jī)器人在平面直角坐標(biāo)系中，從O點(diǎn)出發(fā)，向正東方向走3米到達(dá)點(diǎn)，再向正北方向走6米到達(dá)點(diǎn)，再向正西方向走9米到達(dá)點(diǎn)，再向正南方向走12米到達(dá)點(diǎn)，再向正東方向走15米到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)機(jī)器人走到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)坐標(biāo)的表示方法得到從點(diǎn)出發(fā)，向正東方向走3米到達(dá)點(diǎn)，其坐標(biāo)為；再向正北方向走6米到達(dá)點(diǎn)，其坐標(biāo)為；再向正西方向走9米到達(dá)點(diǎn)，其坐標(biāo)為；再向正南方向走12米到達(dá)點(diǎn)，其坐標(biāo)為；再向正東方向走15米到達(dá)點(diǎn)，其坐標(biāo)為．【詳解】解：根據(jù)題意得，；；；；∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)：在直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作軸和軸的垂線，用垂足在軸上的坐標(biāo)表示這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，垂足在軸上的坐標(biāo)表示這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)．7．（2023秋·安徽六安·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)……，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)第2025次運(yùn)動(dòng)后動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】根據(jù)題意得出規(guī)律：橫坐標(biāo)為點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的第幾次，縱坐標(biāo)為1、0、2、0的循環(huán)，進(jìn)而可求解．【詳解】解：由題意得：，，，，，可以看出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，橫坐標(biāo)為點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的第幾次，縱坐標(biāo)為1、0、2、0的循環(huán)，，經(jīng)過(guò)第2025次運(yùn)動(dòng)后動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型——點(diǎn)的坐標(biāo)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是觀察點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)得出規(guī)律．8．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，，彈性小球從點(diǎn)出發(fā)，沿圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．若小球第1次與長(zhǎng)方形的邊的碰撞點(diǎn)為，第2次與長(zhǎng)方形的邊的碰撞點(diǎn)為，…，第n次與長(zhǎng)方形的邊的撞點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】根據(jù)反射角等于入射角作圖，可知每10次反彈為一個(gè)循環(huán)即可求解．【詳解】解：如圖，小球行進(jìn)的路徑，可知小球第10次的碰撞點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)P重合，

∴小球的運(yùn)動(dòng)軌跡10次一循環(huán)．∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)同點(diǎn)．由圖可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．答案：

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，作出圖形，觀察出每10次反彈為一個(gè)循環(huán)是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·遼寧葫蘆島·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把一個(gè)點(diǎn)從原點(diǎn)開(kāi)始向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)：把點(diǎn)向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)；把點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)；把點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，…；按此做法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】先根據(jù)平移規(guī)律得到第次變換時(shí)，相當(dāng)于把點(diǎn)的坐標(biāo)向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右或向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到下一個(gè)點(diǎn)，然后推出每四次坐標(biāo)變換為一個(gè)循環(huán)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，由此求解即可．【詳解】解：∵把一個(gè)點(diǎn)從原點(diǎn)開(kāi)始向上平移個(gè)單位，再向右平移個(gè)單位；把點(diǎn)向上平移個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位；把點(diǎn)向下平移個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位；把點(diǎn)向下平移個(gè)單位，再向右平移個(gè)單位，∴第次變換時(shí)，相當(dāng)于把點(diǎn)的坐標(biāo)向右或向左平移n個(gè)單位長(zhǎng)度，∵到是向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，到是向左個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，到是向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，到是向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，到是向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，∴可以看作每四次坐標(biāo)變換為一個(gè)循環(huán)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，正確找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）數(shù)學(xué)家高斯推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，被數(shù)學(xué)界譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在計(jì)算時(shí)，用到了一種方法，將首尾兩個(gè)數(shù)相加，進(jìn)而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數(shù)）．有下列問(wèn)題，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，，其中，2，3，，，，且，是整數(shù)．記，如，即，，即，，即，?，以此類推．則．

【答案】42【分析】利用圖形尋找規(guī)律，再利用規(guī)律解題即可．【詳解】解：第1圈有1個(gè)點(diǎn)，即，這時(shí)；第2圈有8個(gè)點(diǎn)，即到，這時(shí)；第3圈有16個(gè)點(diǎn)，即到，這時(shí)；，依次類推，第圈，；由規(guī)律可知：是在第23圈上，且，則，即，故答案為：42．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形與規(guī)律，利用所給的圖形找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023秋·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)每次移動(dòng)1個(gè)單位，其行走路線如圖所示.

(1)填寫(xiě)下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：______，______；(2)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)（n為正整數(shù)）_____；(3)螞蟻從點(diǎn)到點(diǎn)的移動(dòng)方向______．【答案】(1)；(2)(3)向下【分析】（1）觀察圖形可知，，都在x軸上，求出、的長(zhǎng)度，然后寫(xiě)出坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)（1）中規(guī)律寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)圖形信息，4次為一個(gè)循環(huán)，則，可知從點(diǎn)到點(diǎn)的移動(dòng)方向與從點(diǎn)到的方向一致．【詳解】（1）解：由圖可知，，都在x軸上，∵螞蟻每次移動(dòng)1個(gè)單位，∴，，∴，；故答案為：；；（2）解：根據(jù)（1）可知，，同理得，那么，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：∵，∴從點(diǎn)到點(diǎn)的移動(dòng)方向與從點(diǎn)到的方向一致，為向下．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)點(diǎn)的變化規(guī)律的考查，比較簡(jiǎn)單，仔細(xì)觀察圖形，確定出都在x軸上是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)?？计谥校┬露x：在平面直角坐標(biāo)系中中的點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（其中k為常數(shù)，），則稱點(diǎn)為點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“3屬派生點(diǎn)”為，即．(1)點(diǎn)的“2屬派生點(diǎn)”的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為點(diǎn)，且線段的長(zhǎng)為線段長(zhǎng)的3倍，求k的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)“k屬派生點(diǎn)”的定義，進(jìn)行求解即可；（2）分和，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，即：，故答案為：．（2）解：設(shè)點(diǎn)點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為點(diǎn)，∴，∵，的縱坐標(biāo)相同，∴軸，如圖，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴；

綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律．解題的關(guān)鍵是理解并掌握“k屬派生點(diǎn)”的定義．13．（2023春·吉林松原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直