2020-2021學(xué)年天津市南開中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年天津市南開中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）①單位向量都共線；②長度相等的向量都相等；③共線的單位向量必相等；④與非零向量共線的單位向量是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)向量的定義即可判斷命題①②③都錯(cuò)誤，與非零向量共線的單位向量是，從而判斷命題④正確，這樣即可得出正確的選項(xiàng)．【詳解】解：向量既有大小也有方向，單位向量的方向不相同或相反便不共線，命題①錯(cuò)誤；長度相等而方向不同的向量不相等，命題②錯(cuò)誤；共線的單位向量方向不相同的也不相等，命題③錯(cuò)誤；與非零向量共線的單位向量是：，命題④正確．故選：．2．下列各式不能化簡(jiǎn)為的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由向量加減法法則計(jì)算可得．【詳解】，，，因?yàn)?，，所?故選：D.3．已知滿足(其中是常數(shù))，則的形狀一定是A．正三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】C【詳解】分析：由題意結(jié)合向量的運(yùn)算法則和平面幾何的結(jié)論確定△ABC的形狀即可.詳解：如圖所示，在邊(或取延長線)上取點(diǎn)，使得，在邊(或取延長線)上取點(diǎn)，使得，由題意結(jié)合平面向量的運(yùn)算法則可知：，，而，據(jù)此可得：，從而：，結(jié)合平面幾何知識(shí)可知：，而，故.即△ABC為等腰三角形.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：用平面向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種方法：基向量法和坐標(biāo)系法，利用基向量的時(shí)候需要針對(duì)具體的題目選擇合適的基向量，建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)一般利用已知的垂直關(guān)系，或使較多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣便于迅速解題．4．已知向量，不共線，且向量與的方向相反，則實(shí)數(shù)的值為A．1 B． C．1或 D．-1或【答案】B【分析】根據(jù)題意，得出且，化簡(jiǎn)后得出，，即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：由題可知，，不共線，且向量與的方向相反，則，即，則，即，解得：或（舍去）.即實(shí)數(shù)的值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線的定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．在三角形中，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的減法進(jìn)行計(jì)算可得答案．【詳解】，故選：A6．與的夾角為，與的夾角為，若，則（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】將沿與方向進(jìn)行分解，易得，再在中，，代入相關(guān)值即可得到答案.【詳解】將沿與方向進(jìn)行分解，延長、至、，以、為鄰邊、為對(duì)角線畫出平行四邊形，如圖，由平行四邊形法則有，且，所以，，又，，在中，，即.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合得到，考查了學(xué)生的計(jì)算能力.7．所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用作為基底表示出.即可求得，由余弦二倍角公式即可求得.【詳解】所在平面內(nèi)一點(diǎn)，所以因?yàn)樗杂捎嘞叶督枪娇傻霉蔬x：C【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，用基底表示向量形式，余弦二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】A【分析】設(shè)D是BC的中點(diǎn)，由，，知，所以點(diǎn)P的軌跡是射線AD，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．【詳解】如圖，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，∵，，∴，即∴點(diǎn)P的軌跡是射線AD，∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形五心的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．9．已知向量，若向量，則可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)線性運(yùn)算及參數(shù)范圍，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)果．【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，只有D成立；故選：D二、多選題10．如圖，在中，分別是邊上的中線，它們交于點(diǎn)G，則下列各等式中正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知結(jié)合三角形的重心及向量的線性表示分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】解：由三角形重心性質(zhì)得，所以，A正確；因?yàn)?，B正確；由重心性質(zhì)得，，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，即，D正確．故選：ABD．11．已知三角形，以下各式可以確定P點(diǎn)在線段延長線上的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首先將，化簡(jiǎn)為共線向量，利用共線向量的幾何意義，判斷選項(xiàng).【詳解】，即，當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)在線段上，當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)在線段延長線上，時(shí)，P點(diǎn)在線段延長線上，故B正確，A不正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段延長線上，此時(shí)點(diǎn)是的中點(diǎn)，故C正確；時(shí)，P點(diǎn)在線段延長線上，故D不正確.故選：BC12．在中，，，、的交點(diǎn)為，過作動(dòng)直線分別交線段、于、兩點(diǎn)，若，，則的不可能取到的值為（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先證明結(jié)論：當(dāng)為直線外一點(diǎn)時(shí)，、、三點(diǎn)共線，.計(jì)算出，設(shè)，結(jié)合，可得出，然后將與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】先證明結(jié)論：當(dāng)為直線外一點(diǎn)時(shí)，、、三點(diǎn)共線，.充分性：若、、三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，所以，，因?yàn)?，則，充分性成立；必要性：因?yàn)榍?，所以，，即，所以，，所以，、、三點(diǎn)共線.本題中，取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：、分別為、的中點(diǎn)，則且，，，即，，即，，，，，、、三點(diǎn)共線，為直線外一點(diǎn)，則且.，，則，所以，，可得，由可得，由基本不等式可得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，的最小值為，ABC選項(xiàng)均不滿足.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于以下兩點(diǎn)：（1）利用三點(diǎn)共線的結(jié)論：當(dāng)為直線外一點(diǎn)時(shí)，、、三點(diǎn)共線，.利用該結(jié)論推出；（2）利用基本不等式求出的最小值.三、填空題13．已知兩點(diǎn)，則與向量同向的單位向量是________．【答案】【分析】可求出向量的坐標(biāo)，然后代入即可求出與向量同向的單位向量的坐標(biāo)．【詳解】解：因?yàn)樗裕耘c向量同向的單位向量是．故答案為：．14．若是內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則與的面積比為_______.【答案】【分析】利用向量的加法運(yùn)算得出，取的中點(diǎn)為，進(jìn)而得出點(diǎn)為的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】取的中點(diǎn)為，則即，則點(diǎn)為的重心根據(jù)重心的性質(zhì)可得，點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的則故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)向量關(guān)系判斷三角形的重心，屬于常考題.15．如圖，O為直線外一點(diǎn)，若、、、、…、中任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等，設(shè)，，用、表示________.【答案】【分析】設(shè)為線段的中點(diǎn),利用平行四邊形法則求出，即可求解.【詳解】設(shè)為線段的中點(diǎn)，則也為線段，的中點(diǎn)由平行四邊形法則可知所以故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的運(yùn)算性質(zhì)，利用平行四邊形法則求解是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.16．在中，E，F(xiàn)分別為上的靠近B，C的五等分點(diǎn)，且滿足P為線段上的任一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足，設(shè)的面積分別為，記，則為取到最大值時(shí)，x，y的值分別為_______．【答案】2，2【分析】利用，分別為，上的靠近，的五等分點(diǎn)，得出，且則，再根據(jù)基本不等式以及平面向量基本定理即可求解．【詳解】解：因?yàn)椋謩e為，上的靠近，的五等分點(diǎn)，則，故點(diǎn)到的距離等于三角形的邊上的高的，則，所以，，由此可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)為的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，則，所以，又，所以，故當(dāng)取得最大值時(shí)，，的值分別為2，2．，故答案為：2，2．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵為利用五等分點(diǎn)找出面積直接的關(guān)系，從而將面積轉(zhuǎn)化為，之后就可以利用基本不等式求解即可.四、解答題17．已知，（1）若，求x的值（2）若，求x的值【答案】（1）；（2）或4．【分析】（1）先表示的坐標(biāo)，然后結(jié)合向量相等的條件可求；（2）由已知結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示即可直接求解．【詳解】解：（1）因?yàn)樗?，因?yàn)樗杂校獾茫?）因?yàn)?，，所以即可，解得?．18．中，點(diǎn)．（1）若四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)坐標(biāo)．（2）若D在線段上，且，求．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)，然后由，列出方程組即可求解；（2）根據(jù)得到，進(jìn)而根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，得到，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，然后根據(jù)模長的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，所以，由可得，即，解得，故；（2）因?yàn)?，所以，則，又由，所以.19．已知向量．（1）寫出平面向量基本原理的內(nèi)容，并由此說明能否成為一組基底；（2）若對(duì)于任意非0實(shí)數(shù)t，與均不共線，求實(shí)數(shù)k的取值．【答案】（1）定理見解析，可以成為一組基底；（2）【分析】（1）寫出平面向量基本定理的內(nèi)容，然后依次即可判斷向量，是否可以成為一組基底；（2）先假設(shè)向量，共線，然后建立等式關(guān)系，若不共線，問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意非0實(shí)數(shù)都無解，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：（1）平面向量基本定理的內(nèi)容：如果、是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使．因?yàn)橄蛄浚?，所以不共線，所以可以成為一組基底；（2）因?yàn)樗约僭O(shè)所以則，因?yàn)榧?，因?yàn)橄蛄?，不共線，則對(duì)任意非0實(shí)數(shù)，都無解，即與無交點(diǎn)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以不存在使得，即20．在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，.（1）設(shè)用表示和；（2）求實(shí)數(shù)的值，使得與共線.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算計(jì)算；（2）將和都用向量表示出來，再根據(jù)向量共線定理列方程求解.【詳解】（1）；（2），，與共線，存在使得，即，又不共線，，解得.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，考查向量共線定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.21．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量，點(diǎn)．（1）若，求的最小值；（2）若向量與向量共線，常數(shù)，求的值域．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?時(shí)的值域?yàn)椋痉治觥浚?）根據(jù)已知條件先求出，然后根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求向量的模長公式得到，即可求出最小值；（2）由向量與向量共線，常數(shù)得到，進(jìn)而化簡(jiǎn)，然后將看做整體轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問題，然后按照對(duì)稱軸所處區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論即可.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，最小值為（2），∵向量與向量共線，常數(shù)，∴，∴①當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，時(shí)，取得最小值，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋诋?dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，時(shí)，取得最小值，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋C上所述：當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?；時(shí)的值域?yàn)椋?2．如圖，在的邊上各自做勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，當(dāng)時(shí)分別從點(diǎn)A，B，C出發(fā)，以各自的定速度向點(diǎn)B，C，A前進(jìn)，當(dāng)時(shí)分別到達(dá)點(diǎn)B，C，A．（1）證明：在運(yùn)動(dòng)過程中的重心保持不變；（2）若的面積為S，求的面積的最小值．【答案】（1）證