數(shù)學(xué)自主練習(xí)：間接證明

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1。實(shí)數(shù)a、b、c不全為0的條件為（）A.a、b、c均不為0B。a、b、c中至多有一個(gè)為0C。a、b、c中至少有一個(gè)為0D。a、b、c中至少有一個(gè)不為0思路解析：實(shí)數(shù)a、b、c不全為0的條件是a、b、c至少有一個(gè)不為0。答案:D2。x、y←R，且x2+y2=1，則（1-xy）（1+xy）有(）A。最小值，無最大值。B。最小值1，無最大值.C。最小值，最大值1D。最大值1,最小值思路解析：設(shè)x=cosα,y=sinα，則(1—xy)(1+xy)=（1-sinαcosα)(1+sinαcosα)=1—sin2αcos2α=1-sin22α.∵sin22α∈［0,1］,∴(1-xy）（1+xy)∈[，1］.答案:D3.設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a+,b+，c+（）A.都大于2B。至少有一個(gè)大于2C.至少有一個(gè)不小于2D。至少有一個(gè)不大于2思路解析:∵a+++c+b+=a++b++c+≥2+2+2=6.所以a、b、c中至少有一個(gè)大于2.答案：B4。已知a、b、c都是正數(shù)，S=，則有（）A。0＜S＜1B.1＜S＜2C思路解析：S＞=1，且S＜=2?！?＜S＜2.答案:B5。求證：一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°.證明:假設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C都小于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°,∠C＜60°.相加得∠A+∠B+∠C＜180°.這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以∠A,∠B，∠C都小于60°的假設(shè)不能成立，從而一個(gè)三角形中,至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°.6.求證：當(dāng)x2+bx+c2=0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根時(shí),bc≠0.證明：假設(shè)bc=0，則有三種情況出現(xiàn):(1）若b=0，c=0方程變?yōu)閤2=0，x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根,這與已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根相矛盾。（2）若b=0，c≠0,方程變?yōu)閤2+c2=0,但當(dāng)c≠0時(shí)，x2+c2=0;但c≠0時(shí),x2+c2≠0與x2+c2=0矛盾，(3）若b≠0，c=0,方程變?yōu)閤2+bx=0，方程的根為x1=0,x2=—b。這與已知條件方程有兩個(gè)非零實(shí)根相矛盾。綜上所述,bc≠0。7。證明：1，，2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)。證明:假設(shè)1，，2是某一等差數(shù)列的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d,則1=3-md，2=+nd，其中m、n為某兩個(gè)正整數(shù)，由上面兩式消去d，得n+2m=(m+n)，因?yàn)閚+2m為有理數(shù)，而（m+n）為無理數(shù)，所以2m+n≠（m+n），因此，假設(shè)不成立，即1，,2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng).8。平面上有四個(gè)點(diǎn)，設(shè)有三點(diǎn)共線。證明:以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形.證明：假設(shè)以每三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)三角形都是銳角三角形，記這四個(gè)點(diǎn)為A、B、C、D.考慮點(diǎn)D在△ABC之內(nèi)或之外有兩種情況：（1)如果點(diǎn)D在△ABC之內(nèi)，（如圖（1）），根據(jù)假設(shè)圍繞點(diǎn)D的三個(gè)角都是銳角，其和小于270°，這與一個(gè)周角等于360°矛盾.（2)如果點(diǎn)D在△ABC之外(如圖(2）)，根據(jù)∠A、∠B、∠C、∠D都大于90°,這和四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°相矛盾.綜上所述，假設(shè)不成立，從而題目中的結(jié)論成立.9.已知a≠0,證明關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個(gè)根.證明：由于a≠0，因此方程至少有一個(gè)根x=,如果方程不是一個(gè)根，不妨設(shè)x1、x2是它的兩個(gè)不同根,即ax1=b,①ax2=b，②①-②得a(x1-x2)=0。因?yàn)閤1≠x2，所以x1—x2≠0，所以應(yīng)有a=0,這與已知相矛盾，故假設(shè)不成立.所以當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax=b有且只有一個(gè)根.10.(精典回放）設(shè)y=f（x)是定義在區(qū)間［-1，1］上的函數(shù)，且滿足條件：①f(-1）=f(1）=0;②對(duì)任意的μ、v∈［-1，1]，都有|f（u)-f（v)｜≤|μ—v｜（1）證明：對(duì)任意的x∈［—1,1]，都有x—1≤f(x)≤1-x；(2）證明:對(duì)任意的μ、v∈[—1,1］，都有｜f（u）—f(v)｜≤1；（3)在區(qū)間［—1，1］上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f(x）,且使得：｜f（μ）-f(v)｜＜｜μ-v｜,當(dāng)μ、v∈[0，]。｜f（μ)-f(v）｜＜｜μ—v｜，當(dāng)μ、v∈［,1].若存在,請(qǐng)舉一例；若不存在，請(qǐng)說明理由.(1)證明：由題設(shè)條件可知,當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),有|f（x)｜=|f(x)-f(1)|≤|x—1|=1-x.即：x-1≤f（x）≤1-x.（2)證明：對(duì)任意的u、v∈[-1,1]。當(dāng)｜u-v｜≤1時(shí)，有｜f（u）-f(v）|≤|u—v｜≤1.當(dāng)|u—v|＞1時(shí),有u·v＜0,不妨設(shè)u＜0，則v＞0，且v—u＞1，所以|f(u）-f（v）|≤|f(u）—f(—1）｜+|f(v)—f（1)|≤|u+1|+｜v-1|=1+u+1-v=2-(v-u）＜1.綜上可知：對(duì)任意的u、v∈[—1,1]，都有｜f(u)-f（v）|≤1.（3）解：滿足所述條件的函數(shù)不存在,理由如下：假設(shè)存在函數(shù)f(x)滿足條件，則由｜f（u)—f(v）|=|u—v｜，u、v∈[，1］，得｜f（）—f（1）|=|—1｜=。又f（1)=0,所以|f(）｜=又因?yàn)閒（x)為奇函數(shù),所以f（0）=0.由條件｜f(u)—f（v)|＜｜u-v|，u，v∈[0,］，得｜f（）|=|f（）—f(0)|＜.這與|f()｜=矛盾，所以假設(shè)不成立,即這樣的函數(shù)不存在.我綜合我發(fā)展11。在△ABC中，若∠C是直角,求證:∠B一定是銳角。證明：假設(shè)∠B不是銳角，則∠B為直角或鈍角，在△ABC中，∠A+∠B+∠C＞90°+90°+∠A＞180°。這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾。從而∠B一定為銳角。12。求證：、、不可能成等差數(shù)列.證明：假設(shè)、、成等差數(shù)列，則有—=-，即2=+，兩邊平方得：12=7+,∴5=,兩邊再平方得：25=40顯然不成立,從而假設(shè)不成立?！?、、不可能成等差數(shù)列.13。如果一條直線和兩條平行線中的一條是異面直線,且不與另一條直線相交，那么這條直線與另一條直線也是異面直線。證明：不妨設(shè)直線a,b,l中，a∥b,l與a是異面直線，且l與b不相交。假設(shè)l與b不是異面直線，則l與b共面，即l與b可能相交,也可能平行。若l與b相交，這與已知矛盾。若l與b平行，即l∥b，又a∥b,得l∥a,這與l與a異面相矛盾.綜上可知，l與b是異面直線。14。已知函數(shù)f（x)對(duì)其定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，當(dāng)a＜b時(shí)，都有f（a）＜f（b)，證明f(x）=0至多有一個(gè)實(shí)根。證明：假設(shè)f(x)=0至少有兩個(gè)不同的實(shí)根x1、x2，不妨設(shè)x1＜x2，由方程的定義，f（x1）=0，f（x2）=0,則f（x1）=f(x2)①但已知x1＜x2時(shí)，有f（x1）＜f(x2)，這與式①相矛盾，因此假設(shè)不成立，故原命題成立.15。已知｛an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1=0,a2=3，an+1·an=(an-1+2）（an-2+2）,n=3,4,5…，用反證法證明a3=2.證明：由題設(shè)得a3a4=10，且a3,a4∴a3的可能值為1，2，5，10。若a3=1，則a4=10,a5=與題設(shè)矛盾.若a3=5,則a4=2,a5=，與題設(shè)矛盾。若a3=10,則a4=1，a5=60,a6=,與題設(shè)矛盾.∴a3=2。16.求證：一元二次方程ax